Vim RA eta Sees VPP tikgies PFE © of bP ES WP PEW PC cs Fs MASE ES 30 DE THI HOC SINH GIG! TOAN CAP 2 NGUYEN VU THANH (Pai bdnd Chịu trúch nhiệm xuất bản: LE HOANG Bién tip: YEN CA Suva ban in: NGUYET KIEU In 2.000 cuốn, khổ 14,5 x 30,5em Tại Xí nghiệp In Bến Tre Số
đăng kí kế hoạch xuất bấn 402/207 do Cục xuất bản cấp ngày 31/04/2000 và giấy trích ngang KHXB số 885/2000
In xong và nộp lưu chiểu tháng 1Ô năm 2000,
Trang 5PX rot én try none a wort by ue My, Seay, tri 9 12 % „3.7 peered Tgp % ở” # gn „ “ee (tl » 4 er SISSY EEGs P wore cre ys ee
Ching minh rang néu x,y ¢ Z% thi 2x + ấy chía hết
cho 17 khi và chỉ khi 9x + 5y chia hết cho 17, Giải phương trình :
A4x~2+x10 -x X” ~ 12x + 40
Chứng mình rằng với mọi số nguyên x, y số
A=(x + y) (x + 3y) & + By) (x + 4y) + yÌ bà số chính phương, Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là điểm bất kỳ nằm
giữa À và B, đường thẳng CE cắt đường thẳng ÁAD tại
I, đường thẳng vuông góc với CI tại C cất đường
thẳng AB tại K
@) Chứng mình rằng tứ giác ACKT ndi tiép va Cle CK Suy ra trung diém ctia TK đi động trên một đường cố định
b) Từ b kẻ đường vuông góc với [E tại M, khi E di động trên AB, ching t6 M di động trên một đường
cố định |
e) Đặt BE = x, tính các độ dài BK, CK, IK va điện
tích tứ giác ACKI theo và x
Trang 6tt in TƯ re xua! 70000) cee sự grrr: 222004242 eed % go “ey eens erate: xu” wont é gon tượng pet ey, ts, EEA, HƯỚNG DẪN VÀ NHẬN XÉT CÁCH GIẢI P BÀI 1: Ta có: 42x + 3y) + (Øx + By) = 17(X + V) Đo đó: 2x+3y:17 = 9x+ 5y : l7 Ở đây chúng ta đã sử dụng bai tính chất chìa hết : *Néuaicvabicthiatbic | _ ® Nấu ab : c và (b,c) = 1 thì a : c
Cùng với loại bải tập này có các bài sau : 1/ Biết N = deba , chứng minh rang :
a)N ¡ 4 khi và chỉ khi a + 2b? 4 bìN : 8 khi và chỉ khi a + 2b + ác : 8
c)N : 16 khi va chi khi a + 2b + 4c + 8d : 16 và b chấn,
2/ Cho a, b < N, ching minh ring :
aja+4b: 13 khi va chi khi l0a+b: 13 bì 3b + 2b 7 17 khi và chỉ khi 10a + b ¡ 17
3/ Chúng mình rằng nếu một số có ba chữ số mà chữ số hàng
chục và hàng đơn vị giống nhau và tổng ba chữ số đó chia hết cho
7 thi số đã cho chia cho 7
4/ Chứng mình rằng nếu a” + bŸ chia hết cho 6 thì hai số 2a + b, 3b ~ a hoặc hai ðn ~ b, 2b + a chia hét cho 5
5/ Cho n sé nguyén aj, ag, ., a, c6 tổng 8ị + 8a + + aa chia hết cho 6, chứng tố rằng tổng aj +a2+ +ai cũng chia hết cho 6
Trang 8WM Nhan xét cách giải : e Phương pháp giải trên đây gọi là phương pháp đối lập jAsM ihe M BeM - eo ÌB = M A=B mu Với phương pháp này các em nhớ đấu bất đẳng thức xây ra của bất đẳng thức đạng “2” hoặc “<”, | + Băng phiưứng pháp biến đối tương đương ta có thể chứng mình bất đẳng thức : (ac + b.đŸ « (a? + bÐ (c? + đồ Dấu bằng xảy ra khí và chỉ khi Ê= + Bất đẳng thức trên gọi ¢ là bất đẳng thức Bunhiacopxki Áp dụng bất đẳng thức trên ta chứng mình À < 4 như sau: A?=(1.vJx+241 2/10 ~ x} < (1? + 17) [x - 2) + (10 ~ x)] < 16 => A<4 c
Trang 9gastige 2 ca of Ÿ rod en ae ny sớm , „z2 _ ae 4% et nen A a gr 4 tity, Fa 2 ret il sả ; eet 4 gers Tacé:
Aw (x ty) (x + 4y) (x + Dy) Oc + By) + y” « (X) + Buy + 4y"} (x? + Sxy + By") + y‘
= Í(X” + 5xy + Sy") ~ y?] fx" + Sxy + 5y? + y1 +
=(x + ðxy + By”? (đpem),
I§ Nhận xét cách giải :
Khi gap dang tích (X + a) (x + hẦx + ƒXx + d) với a + b=c+ d ta thường khai triển (x + 8) (x + b) và (x + ¢) (x + đ) để được ;
x + (a+ bx = x’ + (e+ dix
Loạt này có các bài toán sau :
1 GIẢi và biện luận theo tham số m phương trình : x(x + 1) x +2) Íx + 3) =m ~ 1 5/ Định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : (x”~ 1) (x + 3) & + 5) zm, 3/ Chứng mình rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 hiên là mệt số chính phương, 4/ Gọi 8 = 1.3.3 + 3.8.4 + + nín + 1)(n + 3) Chứng minh rằng 4Š + 1 là số chính phương ð/ Giải phường trình (x + a) (x + 2a) (x + ña) (x + 4a) = 3a’ 6/ Cho y = (x + 1) (% + 3) (%x + 3) (x + 4)
a Tim giá trị nhỏ nhất của y b Giải phương trình y=3, —
Trang 10` oe
te” ay
Chey
T220: ered ee vu oe, SELEISOS Cy hi,
Bob preeetes 09g25 xua CÔ ấp ent x2 $ mu? or a %, ‘he, (272 £ Thy D C _ a) Tứ giác ACKI có hai đỉnh A và Œ nhìn cạnh IK dưới góc vuông nên nội tiếp trong đường tròn đường kính IK vA tâm O là trung điểm IK s ndi tiép chan cung CK) 1 M Mà GAK = 45° = CIK = 48°
Suy ra A CIK vudng can tai A do đó Cl = CK |
Tâm Ó nằm trên đường trung trực của AC là BD cố định
'b) Tứ giác AIME nội tiếp (vì có Ã + Ñ = 180°)
=> KAM = ẾTM = 45” (cùng chắn cung EM),
= - tia AM là tia phân giác của góc vuông IAB
Trang 11oy - ptt we ttn, 5 saat gastige cones PPIIIILY gerd 22 KẾ * L4 at C4 551 ỹ 2 H00, : mm r4 VÀ "eg Fa es ret wares ea ộ HP _ ĐỀ 2, Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x*+(x+1J'<y°+(y +
Tìm 11 số không âm sao cho mỗi số bằng bình
phương của tổng 10 số còn lại *%
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của :
y= 3vx-1+4V5-x (L<x<5)
Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm
của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh AB và
Trang 12280240080 ‘ woes 25%.) b _r szz2 4 EEE a CC cr % ; SHS, £ heh
a) Néu x > 0 thi tit x? < x? 4+ xé le (x + 1# Suy ra (i) khong CÓ nghiệm nguyên x>0 b) Néu x = 0 hofc x = ~ 1 thì từ (1) Suyra: yo tytistl oy=Ovys-1 Ta e6 nghiém: (0,0);(0;- 1 (~1;0); ©l ; 1) e} Nếu x< - 1 thi từ (x + 1< x”+ x+ 1< x
Suy ra (1) không có nghiệm nguyên % < ~ 1
Tóm lại, phương trinh đã cho có 4 nghiệm nguyên : (6;0) ;(0;~1 ;€1;0) ;(el¡—Ð)
l Nhận xét cách giải :
Phương pháp giải trên gọi là phương pháp loại trữ, trong dé su dung tinh chat :
“Nếu có sổ nguyên m sao cho m® <n < (m+ LP thin khéng thé
là số chính phương”
@ Cac bai toan cting loại này :
Trang 13@ HuGng dan giải :
UVéixeO:x <lexe 4 Way < (xed)?
= x<eyexs, vô lý
Với x = Ö => y = 1 ta cé nghiém (0; 1}
Véix=~1 => y= Ota cé nghiém (- 1 ; 0}
Với x < - 1: x2 ly! «(x+ 1 «> 2xx + 1)> ƠƯ
Trang 14RF LR 8 F gory 8 a a3 \ —e ` % ` , W Š §§ XS §XÃX ) na Nể Xz š § Ì BÀI 2: Giả sử ai, as, aịị là 11 số không âm théa điều kiện của bài toán Ta có ; a = (a * 8; + +ânu Ỷ a8ạ = Úm + ay + + nuƑ
Ũ đi — 8y = (Bạ + 8g + + Bị) ¬ (By bay tu + ay)
= (ag ~— a; ag + ay + Zag + 4 2ayy)
=> — (Ai ~ Rạj (Ì + a; + 82 + Zag t+ + Zag) = O = ay = &
Tuong tu tacé ays ag = ayy za 1 Khid6 : a=(iday = azO0 hoặc az —~ 100 Ì BÀI 3: al Giá trị lớn nhất :
Trang 1502g22: xua? m fone, Ệÿ j #ẹ g2 ws ¢ vest way s=Ệ EEE bị Giá trị nhỏ nhất : Ta có: yo 3(Jx—-1+V5—-x)+ V5~-x pat os A= Vx-1 + VB-x = A? = 4+2Jix-DG-®) 24
= Az 9 và dấu bằng xảy ra khi x= 1 hoặc x = Š
Vay y 23.2 +0 = 6 Dau bang xdy ra khi x=5
Đo đó: miny =6 khi x=5
A/ Trường hợp P nim trong đường tròn nội tiếp A ABC
Ta co: A MOP = A QÓP (c.g.c)
<> OMP=6QP @
Mặt khác :
GMP ~ ONP (AMON can) (2)
Từ (1) và (2) suy re ONP = OQP
=> Tứ giác OPNG nội tiếp
=> 5 điểm O,P,N,C, Q nằm trên đường tròn đường kính
OC => OPE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trôn)
bí Trường hợp P nằm trên đường nội tiếp AABC, Rhi dé
AABC là A cân tại A và P là chân đường cao kẻ từ A
œ/ Trường hợp P nằm ngoài đường trôn nội tiếp A ABC Bạn
đọc chứng rainh tương tự
Trang 16& oF # x Đ = a § \ Ể nh HN \ pin Qoyn Ws PW ecg k Bas haw! ae § § ĐỀ 3 Cho íx ~ yÌ + (y — ZÌ + Œ ~ XỶ =ÍX + V — ĐI + (y+z—9x# +(x+z- 9y Chứng mình rằng : x = y = z Cho ba số a,b,c thỏa điều kiện ; ja” +b`+c/ <1 la? +hŸ+c! z1 Chứng mính rằng : a + bŸ + cÌ = ]
Cho dãy số 49, 4489, 444889 được xây dựng bằng cách thêm 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của đây số là số chính phương,
%
Cho tam giác ABC, trên AB và AC va phía ngoài tam giác ta dựng bai hình vuông ABDE va ACMN
Chứng mình rằng trung tuyến qua Á của tam giác
Trang 17% # om ts 8 a8 $ N : LP Ah fare : Ary W š Sầ MS š x XS và & Ferre _ s ế g § š & ` {œ 4(x - #) (z ~ Yì + 4y ¬ X) (x~#) + 4Œ — ÿ) (y - 4) = 0 { 2x? + 3y? + 2z! - 2xy ~ 3y£ ~ 22N = Ô « (x — V}) + (y - #2” + Œ ~ xÌ” =Ư c>X= ÿ =ữ § Nhận xét cách giải :
Trên đầy sử dụng phương pháp : “Tổng bình phương”,
Trang 18& Fon fF se 8 Se Roy 5 TA ể Sy LA,
Vnkfiata Clam Woe PEWS Cele Fs WAVE ES nến từ (1) suy ra : J£dt~a)=8 b-b)=0 =mộttrong ba số a,b, cbằng 1 còn hai số còn lại bằng 0 la -o=o Từ đó suy ra: a + bỀ + cố =1 Ì BÀI 3:
Số bạng tổng quát côa dãy số có dạng :
a, = 44 4 88 89 = 44 ,.4 88.8 +1 Nenana nnn Nene Nope IS 4 - -n-lgổÑ ns#4 0uố 8 ï 44 4.10” + ỡ§,„B +1=4 11 1,10° +8i1 1+1 BOE nì nổ § ø gồ 1 nee i 10" ~1 10-1 = 4 16° +8 +] 4.10” +4.10° +1 -(216 vì 9 8 99.9 10" ~] 8 9 › (vi Lluis f_——mr= nad i ) WM Nhận xét cách giải :
« Sử dụng biểu diễn số tự nhiên trong hệ ghi số cơ số 10
N= a.) jaja, = 10a, +10" an, + + 10a; + ap
Thí dụ :
abed = 10008 + 100b + 10¢ + d= 100ab +ed
+ Số aaa a z a.11 1=a, 99.0.9 a.40 =1 ti»
nad 8 nas} 9 9
Trang 19
ig: hey tri 1% N &« at er @, c ee, erie: a wort ETE ue Se, 4% pec peered #2222 % ở” # go „ “on (ite vA Tuug” PEELE _ xưa! % sara Bài tập tương tự : -1/ Chứng mình rằng các số sau là số chỉnh phương ÄÀ + l1 1 + 44 4+1 wen? ren pre” anal Read B=1L 14+11 1 + 66.648 wen power? ee ————— #o gố 1 n+4số3 nat B C= 44 4 4+ 22 2 3+ 88 8 B+ 7 Dasa Mod _~1 2/ Chứng mình rằng : abcabc ! 7, 11 lä 3/ Ching minh rằng số 111 2,.2 là tích của hai số tự nhiên ni ngõ? Hên tiếp với mọi n 2 1 (n € N) Ì BÀI 4:
Ta chứng mình đường cao AH của tam giác ABC kéo đài cắt EN tại trung điểm của EN
Gọi E', N' lần lượt là hình chiếu củ E, N lân AH kéo dai Xét hai tam giác vuông AE'E và BHA có : AE = AB BEA = HAB (= 90° - EB’ AE) = AABRE = A BHA => ER’ = AH (1) Tuong tu ta cing cd: A AN’B = ACHA => NN’ = AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra : BE’ #/ = NN*; do dé ti gide ER’NN’ là hình bình hành <> AH cdt EN tại trung điểm cda EN (dpem)
Trang 202 a : = \ # & & &Ề os ¬ VR AA SA) â YR W Đ 1 Ề CA L§ NZ Z § § ae DE 4 Giả sử x,y là số đương Gọi m là số nhà nhất trong CÁC SỐ X;¡ ÿ + + ; +, Hãy tìm giá trị lớn nhất có thể X a Vy đạt được của m
Với những số nguyên nào của x (Ú < x < 9) thì các số 44 4 xx x và 11,.1 xx x đồng thời là tích của hai
————~ —— Wrenn Can pene? nag 4 nein ti sổ 1 Q®ố 1 số tự nhiên liên tiếp với mọt số tự nhiên n > 1 Choa+b+c=0, chứng mình rằng : a~b b-c c-a., e a b ( + —)= ẹ a * b orp pre * oe ,
Cho cạnh của hình vuông ABCD có độ đài là L, Trên các cạnh 4B, AD lấy các điểm P và Q sao cho chu vị
Trang 21a 3 a S Ss 28 - = 2 SEAS E He GE gŠ 3š 8 8 WoPPeWeea ce Fo AAG es Xét hai trường hợp xảy ra: a) Khi x«< v2 thì m <xs V2 3 ~ &) Khi x > *3 "- = V2 =>:m < X9 x 2 & +42 Vậy m đạt giá trị lớn nhất bằng J2 khix = 42 hoặc y= + * Ì BÀI 2:
Với n = 1 hải số 4x và 1x đồng thời là tích của hai số tu nhiên liên tiếp chỉ với x = 2 (42 = 6.7 ; 12 = 3.4) Ta chitng minh với x = 3 thì kết quả đúng với mọi m 2 Ì Ta cá : 44 4 A sóc eh “S44 4.10" + 22, 2=4.11 1.10" + 9.11 1 thd : TY TY TY ø / tt _ ~ 418 meat 4948 = ~a 1Ú = la 4q" +1) 9 | 9 3100 ~1) [90"-1) || = ` +1 3 3 | là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Tương tự : H ee ty ee 41 22 9= 12a io gi@ 3 —— max 10" ~1 - 102 ~1 10-1 i= { +1) = (q1ữ` + 3)= 9 3
là tích của hai số tự nhiên liên tiếp
Trang 22he, _ gf „ Ấy z2 ies manages ? Hơn" for Là „ Tuy tne ? sewed reed P BÀI 3: —€ ~ a-b Dat xz — Sy see ee a b € Khi dé: | yt! 24x XIÿ wD x ¥ Zz {x + ¥ + Z) đu + vŸ) a + xX y 2 Y+?z @ t-a a-b, ai c?-acrab-b’ Ta có : cái Te sE = pre be a (c-bl(c+b-a) 3a` Í be b—c be (vì cđ+ be - g8) ¥ ac z ab YRE BtR Xr¥ ga Be x y 5 be ca ab 9(a2 + bế + c5) — 2[-(Œ +œ”+b” + oF | abc abe - -6bc(h + œ) - abe a 6 vì b+cx=-a)- (2) ` 4 x 1 1 1 "Từ (1) và (2) sUy ra :ŒX + ÿ + t)(—+~+7)= 9 (dpem) X Y Nhận xét :
Từ cách giải trên suy ra bài toán :
Nếu a+b+c=0 thì a? + bì + c* = Sabe « Các hài toán tương tự :
Trang 23yg Ÿ oom 8 a $ 8 2 v 38 N & oy ` ge \/PMHÀ 8ã f?f) © ARR WP Pe W sce gd ys AA ai Giả sử a’ +b? +c" = 3abc, tính : a+ a+ a4 b ¢ a
3/ Chứng mình rằng nếu aŸ + b + cỔ « Sabe thi hệ phương trinh sau cô nghiệm duy nhất : | ax + by + cz = Ô 4bx + cy +az =0 lox + ay +bz=0 4/ Chứng minh rằng riếu hệ : ax + by =ơ bx+cy=a có nghiệm thì 4 + b + cÏ = 3ahe Ấ©cXx +ay =b ? BÀI 4: BE | Ta có : ẤP + AQ + PQ x 2 z AQ + QD + AP + Ở PB—PQ=PB+QD Trên đoạn PQ lấy điểm M sao cho : DQ = QM ; MP = PB
| Trên tia déi véi tia DA lấy điểm E sao
Trang 24š 2 \ Psy x x sy % Sy hà SAPPY F Pe PC SAF Rows § gh #8 § š WPS WCeee & WAS E § § K22 ae wt *
Tìm một số điện thoại có 4 chi sé biét ring nd 14 mot |
số chính phương và nếu ta thêm vào mỗi chữ số của nỏ
một đơn vị thì cũng được một số chính phương Chứng rrinh rằng với mọi số tự nhiên n > Ì, tạ có :
1 1 ‡ 1 + # m— S 1 8
5 18 25 w+in+D® Z0
Giải hệ phương trình -
Cho tam giác ABC câu tại A Các đường thẳng qua đỉnh B, Ö và trung điểm Ö của đường cao tương ứng đỉnh A cắt các cạnh AB, AC ở M và N, Cho diện tích tam giác
ABC bằng S Hay tinh diện tích tứ giác AMƠOM
22
Trang 25D BAI:
Giả sử số điện thoại là : abcd
Tạ có: abed =x’: fa+lib+lc+ Dds) =¥
+ y-x x11! => (y-xfy+x=1111
x,y là các số có hai chữ số (vì nếu x,y có từ 3 chữ số trở lên thì khi bình phương không thể là số có 4 chữ sổ và x,y cũng không thế có 1 chữ số) 1111 chí có hai cách phân tích thành tích hai số nguyên dương 1111 = l1 3101 = 11111 jy-x=1l Vì (y -x)ì(y + x)>z 11.101 > ì 8 Kỷ ) ly+x=101 Giải hệ ta được ; x z 4ỗ ; y = 56 Thử lại ; ahcã = x” = 2085; y* = 3136 Vãy số điện thoại cần tìm là : 2026 § Nhận xét cách giải : Cách giải trên sử dụng phương pháp phân tịch trong phương trình nghiệm nguyên
~ Đưa các ấn vệ cùng một vế và phân tích ra thừa số, ~ Phân tích về còn lại ra thừa số nguyên tế
- Lập luận để đi đến các hệ phương trình
Sau đây là những bài toán tìm nghiệm nguyên bằng phương pháp phân tích,
1/ Tùm hai số nguyên có tổng bằng tích
2/ Tim hai số nguyên có tích bằng p lần tổng (p nguyên tối,
3/ Tim hình chữ nhật có các cạnh nguyên sao cho số đo điện tích bằng số đo chu vi
Trang 26oem 70000) wr TH EEA, 9 Lư 222004242 eed % g “rng erate: xu” wont wen an Fara seat yo „ “pm, fr S 4% pet grrr: 4/ Tìm nghiệm nguyên : œ) 3xÏ + 10xy + By” = 96 b) 3x” + xy - yy? -9= 0
ð/ Tìm hai số tự nhiên mã hiệu bình phương của chúng bằng 169
6/ Tìm số hữu tỉ x sao cho X” + x + 6 14 86 chính phương :
Hướng dẫn : Giả sử Ê eQ: pe at D8 =n’ => qel 9 q” 3 pˆ+p+6=n c> (Bp + 1}? ơ 4n ô - 28 7! Tìm nghiệm nguyên phương trình : x” + x + 18 =y? Hướng dẫn : (4x? + 4x + Ù + B1 = VỀ 51 œ y?- (2x + 1} Ì BÀI 2: Ta có : 1 - 1 1 1 1 | 1
KỲT (ID 9K soK+1 2KÁKAOU 2K Kel
Trang 27+ R 1 171 1 1 1 1 i < =+=lCC-ve)+c~)+ te —) 5 22 8 3 4 n n+l 1 1 9 qt ee (dpem) 5 4 20 lÑ Nhận xét cách giải :
Bất đẳng thúc trên được chứng mình bằng phương pháp gọi là
“nhương pháp lâm trội”, Ta có thể dùng tính chất bất đẳng thức
dé lam tang lên (hoặc giảm xuống) một vế của bất đẳng thức mã
vế này tính được tổng boặc tích
Trang 28X+Y+Zx2 (ŒÐ)
Hệ đã cho được viết ộ đã cho duge vie : Ma (3
Từ (Ủ suy ra; 2 œ 2 ~ Ä — Y rôi thay vào (2) và rút gọn ta được - | (X-9)+(Y-Ø s0 => X=Y=<9,2Z=~9 Vậy hệ có nghiệm : (%x ; vị z) = ( ) ba} ew ¬ ? 2 # bo f ee @ Nhan xét cách giải :
Giải phương trình (hệ phương trình) theo phương pháp trên
Trang 29ee 5 ABS Bee Từ (1) và (2) suy ra: — Sawou= S anon ~
4 š Roa x & ro S ty é > oy SEH
AP PTE WPS Wags F WAP es es bP’ & ok bb Gs
Srow „1Ì AN 2° AC
Goi 1 JA trung điểm NC ta có :
H là đường trung bình ACBN
Trang 30L4 wr TH EEA, oe ae rn re xua! Lư grrr: 222004242 eed % nthe cs Thy é go, g “sea? toner, xu” wont a4 9 c) Nếu AABC ŒÁ A'WC' tỷ số K thì Se? <? MATEO đ) A Z ae ut ®œ we a DB
@ CAc bài toán về tỷ số điện tích,
1/ Cho hình bình hành ABCD, gọi P, Q, R, 5 lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA Tính điện tích hình giới hạn
bởi các đường thắng AQ, BR, CS, DP, biết diện tích hình bình hành là aˆ
9/ Trong tam giác ABC cỏ diện tích bằng đơn vi, dung doan ÀD cất trung tuyến CF tại E sao cho KẾ œ = CF, Tính điện tích tam gide ABD
8/ Cho lục gide déu ABCDEF goi M, N, P lan lot là trung điểm của các cạnh AB, CD, EE,
_ #) Chứng minh rằng tam giác MNP đều
_ b) Tính điện tích tam giác MNP, biết điện tích lục giác đếu là S 4/ Các đường chéo của một hình thang chia hình thang ấy thành bốn tam giác Tùn điện tích hình thang, biết điện tích của
các tam giác kế với đáy la S, va Sy
5/ Tìm tỷ số điện tích của tam giác ABC với điện tích của tam giác khác có cạnh bằng các trung tuyến của tam giác ABC
Trang 31ies WORE AIE % reel Sy c ¿ 2, ưu sezsẢ eed “ có Z7” C 4 ee, wey % SSSI Giá sử N = 1.8.5 2001 chứng mình rằng trong ba số nguyên liên tiếp ZN ~ 1, 2N, aN + 1 không có số nào là số chính phương
Cho 3001 điểm trên raặt phẳng, NẾTt rằng trong mỗi nhôm ba điểm bất kỳ của các điểm trên bao giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoáng cách bé hơn 1 Chứng mình rằng trong các điểm trên cố ít nhất
1001 điểm nằm trong một đường trên có bán kính bằng 1
Tim các chữ số x„y sao cho nếu xaxax che yyyy có
Trang 324 B ì 4 HƯỚNG DẪN VÀ NHÂN XÉT CÁCH GIẢI ”" on xu aani e 2N 14 mét sé chin nhưng không chia hết cho 4 nên không thể là một số chính phương e Một số chính phương không chia hết cho 3 thì chia cho 3 du là 1 vì (3K + LỰ = 8K” + 2K) + 1 | Ma 2N ~ 1 = (QN ~ 3) + 2 chia cho 3 du la 3 nên 2N - 1 không thể là số chính phương e Giả sử 9N+1=Ef (lả@ + SN=ŒÑ~U(+U:4 = Ñ chẵn (vô lý) Vậy 2N + 1 cũng không là số chính phương I§ Nhận xét cách giải :
Ở trên sử dụng hai tính chất của số chính phương
a) Số chỉnh phương chia hết cho số nguyên tố p thì sẽ chia hết cho p’,
b) Số chinh phuong chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hodc 1 Cée bài
tập về số chính phương
1/ Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 3000, 3001 được không ? Tại sao ?
%/ Chứng mình rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên
tiếp không thể là một số chính phương
3/ Chứng minh rằng tổng lũy thừa chăn của ba số nguyên liên
tiếp không thể là số chính phương |
Trang 33oy fs 3 5220000, wr con 0/2/01 “HH mene : cones % “ fr, „ “ten gree %, “tens 2 a 4 if ae iy EID renee % 4 BÀI 2: Ta có: 2001 = 2 1000 + 1
Goi A la một điểm trong 2001 điểm đã cho Về đường tròn tâm Á bán kính 1, nếu tất cá 2000 điểm cồn lại đếu nằm trong đường trồn tâm Á bán kính 1 thì bài toán được giải,
Giả sử có điểm B nằm ngoài đường tròn (A,1) tức là ÁB > 1, Vẽ
đường tròn tấm"B bán kính 1, ký hiệu là (B, 1) Ta chứng rmminh
tất cá 2001 điểm đã cho đều nằm trong (A,1) hoặc (Œ,1) Thật vậy,
lấy C bất kỳ, ta có nhóm ba điểm A, B, C theo gid thiét vi AB > 1
nên AC < 1 hoặc BC < 1, khi đó C nằm trong (A,1) hoặc (B,1), Vậy theo nguyên tắc Dirichlet, một trong hai đường tròn nãy phải chứa ít nhất 1001 điểm (đpcm)
WW Nhận xét cách giải :
Nguyên tác ngăn kéo Dirichlet : “Nếu đem n + 1 vật xếp vào n ngắn kéo thì có ít nhất ruột ngăn kéo chứa từ 2 vật trở lên”
Tổng quái : “Nếu đem nk + 1 vật xếp vào n ngăn kéo thì có ít
nhất một ngăn kéo chứa từ K + 1 vật trở lên” với bài giải trên : n
‘= 2; K z 1000 vật đà điển ; ngăn kéo là đường tran (A,L và (B, 1) Sau đây là một số bài tập sử dụng nguyên tắc © Dirichlet trong hinh hoc 1 Trong hình vuông có cạnh bằng 1 có 101 điểm phan bế tùy ý, chứng mính rằng có ít nhất 5 điểm nằm trong hình tròn bán kinh 2, 1ý
2/ Ch0 6 điểm trên mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong _ chúng tạo nên một tam giác có độ dài các cạnh khác nhau
Trang 34À fry À đề na tò ẩ é PX PW
QP PF PEAS HPS es WP PEWECALE FL AAS Ä ef SE ES §
Chứng mình rằng tên tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của một
tam giác vừa là cạnh lớn nhất của tam giác khác
3/ Chứng mính rằng trong một hình tròn bán kính 1 không
thể chọn ra nhiều bơn 5 điểm có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng đều lớn bơn 1
4/ Cho 17 điểm nằm trong rmaặt phẳng, trong đó không có ba
điểm nào thắng hàng Nối các điểm này lại bằng các đoạn thẳng
và t6 mau xanh, do hoặc vàng Chứng mình rằng tồn tại một tam giác có các cạnh cùng màu, "Theo giả thiết, ta có : xxxxx ~ lÔyyyYy +r (1) xxxx = [Byyy +r 2000 | (2) lấy (1) trừ (3) theo từng về ta được : x0000=16y000 + 2000 = lWx=l6y+2 = 5x - 8y = Ì (3) Vi (3; 8) = 1 nén (3) cé nghiém nguyên vã nghiệm nguyên tổng quat 1a: = 5+ 8t với Lc 2 y=đ+yøt ViO0 <x, y % 9 nên t = 0 Từ đó suy ra :x= ð; y =3 MÑ Nhận xét cách giải :
Phương trình (8) là phương trình Diophante bậc nhất hai ấn có đang tổng quát ; ax + by = c (*®) với a, b, c nguyên,
Trang 35C5 ⁄ 255i CÀ › 2
À ển à Am YPASSTRE © WYoP PEW Cage’ WAS § Š bh, Sy SHR PP!
@ Cach giai :
« Kiểm tra điều kiện có nghiệm riéng : (a , b) JA ước của c
« Tìm một nghiệm riêng (xạ ; yo) của (*) `
« Nếu (a,b) =1 thì nghiệm nguyên tổng quát của Œ) cho bởi còng thức : X= x, + bt b = ¥, ~ at vate Z l Bài tập : 1/ Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa ; aìn: 9 và n+1 : 35 bìn : Ø1 và n+l: 165 cìn: 9,n+1: 25 và n+ 2: 4, ~1 , nm-] Va la ` a > £ ae a ân 3/ Tìm tất cả các số nguyễn n sao cho “J những số nguyễn
s3/ Giải bài toán cổ :
Trang 36tay cana os ee oy Ys 3 °% ở” se” 222/201 4% “HH eae cones % wer trey, wrung ., gon, 4 “os gre %, ‘teas wereeg 5 wore A wr eae - Nếu xzeO0 thi y#0 wa a0 Hệ đã cho trở thành ; 1+x? 1 1 1 1 2 1 2” Ty >2 y y yo x * 1+xy ` 1 1 1 1 2 1 so =~ — phe = —==r +1 2y * ay 2 z z s¥ 1+z2 1 1 1 1 2 1 Ï— TS HE X_c —— + mm — —=«eằ=e*+Ì 97 x 2° 3 «x x # Cộng vẽ với ba phương trình của hệ và chuyến sang một vế ta có : 1 1 1 2 2 2 my top tp ee +Ñ= 0 ey zZox y # «(1+ ~-ÐD*+C—Ð?=0 x ¥ # | > Xe=yxzã=1l,
Thi lai rd ràng( 1 ; 1 ; 1) là nghiệm của hệ
Trang 37% # SF x os Vrmasarna ooarm WP PEWYEALE Fe QOS § VF § SFR oes š $ 8 Ñ ĐỀ 7 1 s “ Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức ; x°+y +2? < xy+3y +92z—2 Chứng mình rằng nếu la| > 2 thì hệ sau vô nghiệm : x°-2y =a | xˆ+y° =1 3
Ký hiệu [x] là phần nguyên của x (là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)
Tính tổng :
A= [1.2.34 |+[J2545 |, +| {nla + Dns Qin + 3) | 4,
Trang 38Y Fam AF ERA fier trà ng B Band ca \ệ VY ce À Sas or è gs & WP PEW CALE P RSE ES x74 yi 42? ~ xy - By -224+3<0 Ũ c> x'ty2+z”~xy 3y —~2z +8 s~ l (vì x,y,z= 2) ` Ý v 2 <> xi xy + Bl ny +1) +z 2z + 1 <0 _¥32 vẽ | <> ‘x 3 + 3-1 s@-1? <0 BoA 7 An 2 <® ——~1=Ơ cs xzl1i;yz23);£=l1 z-1=0 BÀI 2:
Từ xt+y =1 suy ra: lx{ 41; |y| < 1
Khidé |x| < Ix|” và Ix ~ 2y|
Trang 39RFR BWR! Limndaty Sar WP PEWPCALE F AASE EE g 8 gies or 8 oa 8 af
Bạn đọc hãy giải các bài toán sau: ˆ
, 7 7 2 4, * _ , a
1/ Gid sd f(x) = x” + bx + c, chứng minh ring néu m, n, k 14 ba số nguyên đôi một khác nhau thì :
Max ÍJf0m)|, [fa] , Jfđ9|) > 2
2/ Chia tập hợp những số tự nhiên {1,2 ,,2n} thanh hai tap cou
rời nhau A va B, méi tap có n phần tử ký hiệu các phần tử của hai
tập này theo thứ tự tăng
A= fa; < a¢ < “ag < apf
va B= th, < bạ) < bạ < bị Ì
Hay ching minh dang thức : la, ~b,]+fa, ~b,[+ +1a, -b =n? 3/ Tim a, b, e sao cho:
Trang 400 "rts, Ss ste Ể “5 Ề 3 PEPE ETS noe k4“ “ £?+% a 5 vend “ its, Gerdes r4 4 aA Tn meses : a4 8
posted nee? wearers ott weneedl
9/ Lẫn lượt thay vào đẳng thức x= y =z =1 ;Xe=1,y =z= 0; x=1l,y=~1l,z=0tacó hệ: |la+b+c|=1 Ja|+jb|+jc|=1 ‘=> hai trong ba số a,b,c bang 0 ja - b|+†b ~ c|+jc - a|=9 Ề BÀI 3: Ta có: nơi +1)(n + 9) (ín + 3) = (n + 3n) (nŸ + 3n + 9} = (8ˆ + 8n} + 2(n + 3n} = (n? + 8n)? < n(n +D (n + 2) (n + 3) < (n? + Sn + 1? =n? +8n< Jnin+ Din + 2nt+3) <n? + ẩn + Ì => [Wsã+TWYn + 2n +3) |= n’ + 3n _ Ruy ra: AÁ=( + 3.1) + (2 + 3.2) + + (n” + 8.n) -=(10+ 2? + +11) + 8Ö + 2 + + n) = _ nín+1Xân + l) + 3n(n + 1) ~ 6 20 M@ Nhén xét cach gidi:
Đây là bài toán về “phân nguyên của một số”
_—* Định nghĩa : Phân nguyên của số œ, ký hiệu là [a] 1a sé nguyên lớn nhất không vượt quá œ
[a] <a <[a} +1 « Tính chất : -
ane % vansa<n+1 thi [a] =n