Tổng từng phần và ứng dụng vào bài toán chuỗi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ NGUYÊN TỔNG TỪNG PHẦN VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN CHUỖI THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ NGUYÊN TỔNG TỪNG PHẦN VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN CHUỖI Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2018 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một vài dạng tập bất đẳng thức liên quan đến chuỗi 1.1.1 Một số bất đẳng thức chuỗi 1.1.2 Một số toán bất đẳng thức chuỗi dành cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông 5 Tổng phần ứng dụng vào giải số toán chuỗi 23 2.1 Tổng phần 23 2.1.1 Công thức tổng phần 23 2.1.2 Bất đẳng thức Abel 24 2.1.3 Bất đẳng thức K.L Chung 25 2.2 Vận dụng tổng phần vào giải số toán chuỗi 27 Kết luận Tài liệu tham khảo 51 52 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt n = a1 + a2 + + an i=1 n bj = b2 b3 bn + b1 b3 bn + b1 b2 b4 bn + + b1 b2 b3 bn−1 i=1 j=i BĐT: Bất đẳng thức CBS: Cauchy - Buniakowski - Schwarz K.L Chung: Kai Lai Chung AM-GM: Trung bình cộng - Trung bình nhân NXBGD: Nhà xuất giáo dục SGK: Sách giáo khoa Lời nói đầu Tổng phần khái niệm mẻ học học sinh phổ thông sinh viên Nó khơng giảng dạy trường phổ thông Và sinh viên tiếp cận tham khảo thêm bên ngồi giáo trình Việc áp dụng tổng phần vào toán chuỗi vấn đề chưa khai thác nhiều phổ thơng đại học Những tốn chuỗi phong phú đa dạng Những bắt đầu làm quen chuỗi thường khó hình dung cấu trúc nó, đặc biệt toán bất đẳng thức chuỗi lại phức tạp Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic tốn quốc tế, thi vơ địch tốn nước, toán liên quan đến bất đẳng thức chuỗi đề cập nhiều thuộc loại khó đề Luận văn với đề tài" Tổng phần ứng dụng vào tốn chuỗi" có mục đích trình bày chi tiết toán bất đẳng thức chuỗi Trong luận văn bước đầu đề cập đến tổng phần ứng dụng tổng phần vào toán chuỗi Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo cho đọc giả toán chuỗi vấn đề tổng phần Luận văn gồm 02 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày toán liên quan đến bất đẳng thức chuỗi với lời giải chi tiết Chương 2: Tổng phần ứng dụng vào toán chuỗi Giới thiệu tổng phần, bất đẳng thức Abel, bất đẳng thức K.L Chung Ý tưởng xây dựng công thức tổng phần ứng dụng tổng phần vào giải số toán chuỗi kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic Một số toán đưa với nhiều cách giải, có cách giải áp dụng công thức tổng phần Một kiến thức lạ mà quen Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng tới PGS.TS Trịnh Thanh Hải, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Cô đọc, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn phong phú hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập cao học Cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Quế Võ số tỉnh Bắc Ninh giúp đỡ cho tác giả công tác Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên có vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi sai sót trình bày, mong góp ý Thầy Cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2018 Tác giả Đỗ Thị Nguyên Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn trình bày lời giải chi tiết số toán bất đẳng thức chuỗi thường gặp làm sở để trình bày vấn đề chương 1.1 1.1.1 Một vài dạng tập bất đẳng thức liên quan đến chuỗi Một số bất đẳng thức chuỗi Trong phần tác giả nhắc lại số bất đẳng thức chuỗi hay dùng chương trình phổ thơng sử dụng để chứng minh toán luận văn Bất đẳng thức 1.1 (Bất đẳng thức CBS) Cho 2n số thực tùy ý a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn Khi n n ≤ bi i=1 i=1 Dấu ” = ” xảy n a2i b2i i=1 a2 an a1 = = = b1 b2 bn Bất đẳng thức 1.2 (Bất đẳng thức AM - GM) Cho n số thực không âm a1 , a2 , , an Khi đó: n i=1 √ ≥ n n a1 a2 an Dấu ” = ” xảy a1 = a2 = = an ≥ Bất đẳng thức 1.3 (Bất đẳng thức Chebyshev) Áp dụng cho dãy ngược chiều Cho hai dãy hữu hạn số thực ngược chiều a1 ≥ a2 ≥ ≥ an b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn Khi n n i=1 bi ≤ n n i=1 n n bi i=1 Áp dụng cho dãy chiều Cho hai dãy hữu hạn số thực chiều a1 ≥ a2 ≥ ≥ an b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn Khi n n i=1 bi ≥ n n i=1 n n bi i=1 Dấu ” = ” xảy hai dạng a1 = a2 = = an b1 = b2 = = bn Một số toán bất đẳng thức chuỗi dành cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thơng 1.1.2 Trong mục tác giả trình bày chi tiết bất đẳng thức chuỗi tổng hợp từ tài liệu [1],[3] Bài toán 1.1 (Toán học tuổi trẻ số 470, năm 2016) Cho n số thực không âm, (i = 1, 2, 3, , n) ( n ≥ ) thỏa mãn n xi = i=1 Chứng minh n n i=1 xi + xi n < i=1 x2i + x2i (1.1) Lời giải (Sử dụng BĐT Chebyshev) Không tính tổng qt từ giả thiết ta giả sử: ≥ x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ≥ Khi đó, với i < j xi ≥ xj ≤ xi xj ≤ Do xi xj ≥ ⇔ xi (1 + x2j ) ≥ xj (1 + x2i ) 2 + xi + xj ⇔ xi + xi x2j − xj − xj x2i ≥ ⇔ (xi − xj ) − xi xj (xi − xj ) ≥ ⇔ (xi − xj )(1 − xi xj ) ≥ (hiển nhiên) Vậy nên x1 x2 xn ≥ ≥ ≥ 2 + x1 + x2 + x2n Áp dụng bất đẳng thức cho hai dãy chiều, ta x1 x2 xn n x1 + x2 + + xn 2 + x1 + x2 + x2n n xk = ≤ xk ≤ nên Do k=1 n ≥ n xk k=1 k=1 xk + x2k xk xk ≥ , k = 1, 2, , n + xk + xk Ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy có phần tử xk = 1, phần tử lại 0, điều dẫn đến dấu đẳng thức không xảy BĐT (1.1) Bài tốn 1.2 (Đề thi vơ địch tốn Nữu Ước năm 1975) Khẳng định sau hay sai: Với số dương tùy ý a1 , a2 , , an an+1 = a1 ta có bất đẳng thức: n i=1 n n ai+1 ≥ i=1 ai+1 Lời giải = bi , (i = 1, , n) đặt bn+1 = Kí hiệu ai+1 n+1 bi = Do đó: Khi i=1 n+1 n+1 i=1 bj = bi i=1 j=i n+1 bi i=1 n+1 = bj i=1 j=i n+1 ≤ i=1  1 n  bnj  j=i n+1 bni = i=1 Từ suy đắn bất đẳng thức Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an Vậy câu trả lời khẳng định Bài toán 1.3 (Toán học tuổi trẻ, số 462, năm 2015) Cho a1 , a2 , , an số thực có tổng Tìm số C = C(n) lớn cho bất đẳng thức sau đúng: n |ai | ≤ C i=1 |ai − aj | 1≤i 1 + + (k + 1)2 (k + m)2 1 < + + k(k + 1) (k + m − 1)(k + m) 1 1 = − + − + − k (k + 1) (k + 1) (k + m − 1) (k + m) |Sk+m − Sk | = 41 1 − k (k + m) < < ε k = Như vậy, ∀ε > nhỏ tùy ý, ta ln tìm số tự nhiên N đủ lớn để ∀k ≥ N |Sk+m − Sk | < ε Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi cho hội tụ Cách (Dùng tổng phần) Đặt ak = 1; bk = k 2k + Suy Ak = k; bk+1 − bk = k (k + 1)2 Áp dụng tổng phần, ta có: n k=1 = k2 n ak bk k=1 n−1 = An b n − = n = + n2 + n Ak (bk+1 − bk ) k=1 n−1 k=1 n−1 k=1 k(2k + 1) k (k + 1)2 (2k + 1) k (k + 1)2 Do ∞ k=1 = lim ( n→∞ k2 = lim n→∞ ∞ = k=1 ∞ < k=1 n k=1 ) k2 + n n−1 k k=1 (2k + 1) k.(k + 1)2 2(k + 1) k(k + 1)2 (2k + 1) k (k + 1)2 42 ∞ = k=1 ∞ k(k + 1) = k=1 1 − k k+1 = ∞ Vì chuỗi k=1 hội tụ k2 Đó điều cần chứng minh Cách Ta có: ∞ k=1 = 1+ k2 ∞ k=2 ∞ < 1+ k=2 ∞ = 1+ k=2 k2 k(k − 1) 1 − k−1 k = + = ∞ Vậy chuỗi số k=1 hội tụ k2 Lời bình: Một tốn có nhiều cách giải khác Mặc dù toán phương pháp tổng phần chưa phải ngắn gọn Nhưng qua cho ta thấy phương pháp tổng phần giải nhiều dạng tốn khác Phương pháp tổng phần khơng áp dụng tốn chuỗi số mà áp dụng cho chuỗi hàm Sau số tốn chuỗi hàm sử dụng phương pháp tổng phần Bài toán 2.13 (Đề thi Olympic toán Mỹ 1982) Nếu x số thực dương n số nguyên dương chứng minh rằng: [x] [2x] [3x] [nx] + + + + n [t] ký hiệu số nguyên lớn nhỏ t Lời giải [nx] ≥ 43 k [kx] Đặt ak = ; bk = k Vậy Ak = k [ix] i i=1 Yêu cầu toán trở thành: Chứng minh [nx] ≥ An (2.10) với n số nguyên dương x số thực dương Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (2.10) Thật vậy, n = ta có: A1 = [x] ≤ [1.x] ln Giả sử mệnh đề (2.10) từ đến n − Ta có: [(n − 1)x] ≥ An−1 Áp dụng tổng phần, ta có: n n [kx] = k=1 k=1 n [kx] k k n−1 ak bk = An bn − = k=1 Ak (bk + − bk ) k=1 n−1 = An n − Ak (k + − k) k=1 n−1 = An n − Ak k=1 Sử dụng kết giả thiết quy nạp, ta có n An n = n−1 [kx] + k=1 n ≤ Ak k=1 n−1 [kx] + k=1 [kx] k=1 n−1 ([kx] + [(n − k)x]) = [nx] + k=1 n−1 ≤ [nx] + [kx + (n − k)x] k=1 44 n−1 = [nx] + [nx] k=1 = n [nx] Suy An ≤ [nx] Do mệnh đề (2.10) tới trường hợp n x số thực dương Theo nguyên lý quy nạp suy An ≤ [nx] với n nguyên dương x số thực dương Vậy [x] [2x] [3x] [nx] [nx] ≥ + + + + n với n nguyên dương x số thực dương ∞ Bài toán 2.14 Chỉ chuỗi hàm k=1 sin(kx) hội tụ với giá k trị thực x Lời giải Trường hợp 1: x = 2mπ(m ∈ Z) Khi chuỗi cho x Trường hợp 2: x = 2mπ(m ∈ Z) Khi sin = Đặt ak = sin(kx); bk = k Sử dụng đồng thức 1 x cos (k − )x − cos (k + )x sin kx sin = 2 Ta Ak = a1 + a2 + a3 + + ak = sin x + sin 2x + + sin kx x 3x 3x 1 cos − cos + cos − − cos (k − )x + cos (k − )x − cos (k + )x 2 2 2 = x sin x cos − cos (k + )x 2 = x sin Vậy |Ak | ≤ x | sin | lim (An bn ) = n→∞ 45 Áp dụng tổng phần, ta ∞ k=1 sin kx = lim n→∞ k n an bn k=1 n−1 = lim k=1 ∞ = Ak (bk − bk+1 ) An bn + n→∞ 1 − k k+1 Ak k=1 Từ ∞ Ak k=1 ∞ Ta suy k=1 1 − k k+1 ∞ x sin 1 − k k+1 k=1 = x sin sin kx hội tụ với giá trị thực x k Bằng cách hồn tồn tương tự, ta chứng minh toán sau: ∞ Bài toán 2.15 Chỉ chuỗi hàm k=1 cos(kx) hội tụ với giá k trị thực x = 2mπ(m ∈ Z) Lời giải Trường hợp 1: x = 2mπ(m ∈ Z) Khi đó, chuỗi cho trở thành ∞ k=1 k chuỗi điều hòa nên phân kỳ x Trường hợp 2: x = 2mπ(m ∈ Z) Khi sin = Đặt ak = cos(kx); bk = k Sử dụng đồng thức 1 sin (k + )x − sin (k − )x x 2 cos kx sin = , 2 46 ta Vậy |Ak | ≤ x sin (k + )x − sin 2 Ak = x sin x | sin | lim (An bn ) = n→∞ Áp dụng tổng phần, ta ∞ k=1 cos kx = lim n→∞ k n an bn k=1 n−1 = lim k=1 ∞ = Ak (bk − bk+1 ) An b n + n→∞ 1 − k k+1 Ak k=1 Từ ∞ Ak k=1 ∞ ta suy k=1 1 − k k+1 ∞ x | sin | 1 − k k+1 k=1 x | sin | cos kx hội tụ với giá trị thực x = 2mπ(m ∈ Z) k ∞ Bài toán 2.16 Chỉ chuỗi hàm k=1 trị số thực x Lời giải ∞ Trước hết ta chứng minh chuỗi k=1 Thật vậy, ta có: ∞ ∞ 1 = + s ≤ sin [(k + m)α] sin ≤ S Với k = 1, 2, , n − m, ký hiệu ak = sin [(k + m)α] sin k=1 Theo BĐT Abel ta có: s = sb1 ≤ m+1 n k=m+1 sin kα sin k α n−m = ak bk ≤ Sb1 = k=1 S m+1 Vì 2ai = sin[(i + m)] sin α 1 = cos(i + m − )α − cos(i + m + )α 2 nên 1 2Sk = 2a1 + 2a2 + + 2ak = cos(m + )α − cos(k + m + )α 2 Từ suy −2 ≤ 2Sk ≤ với k = 1, 2, , n 49 Như −1 ≤ s ≤ S ≤ Với kết ta bất đẳng thức đây: n −1 = −b1 ≤ sb1 ≤ m+1 n Vậy k=m+1 n hay sin kα sin k k k=m+1 α ≤ sin kα ≤ k sin kα sin α ≤ Sb ≤ b = 1 m+1 m+1 α k=m+1 (m + 1) sin Đó điều cần phải chứng minh Bài toán 2.18 Với số nguyên dương n số thực α ta có bất đẳng thức n √ sin kα ≤ π k k=1 Lời giải: Vì hàm số y = | sin x| hàm tuần hoàn chu kỳ π nên ta cần xét α ∈ (0; π) với ý bất đẳng thức hiển nhiên với α = √ π Xét < α < π chọn số nguyên không âm m thỏa mãn m ≤ < α n m n sin kα sin kα sin kα m + Biểu diễn ≤ + k k k k=1 k=1 m k=m+1 m √ sin kα kα ≤ = mα ≤ π k k k=1 k=1 2γ π Mặt khác, ta có sin γ > < γ < π α α α Vậy sin > = π π n sin kα Vì ≤ (theo Bài tốn 2.17) nên α k k=m+1 (m + 1) sin Vì | sin kα| < kα nên n k=m+1 sin kα π α π √ ≤ ≤√ = π k m+1α πα 50 n √ sin kα ≤ π k Tóm lại ta k=1 Bài tốn 2.19 Với số nguyên dương n có n n n n e < n! < en e e Lời giải: Các bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau đây: n n ln n − (n − 1) < ln k < (n + 1) ln n − (n − 1) k=1 Theo cơng thức tổng phần ta có: n n−1 ln k = n ln n − k=1 k ln k=1 k+1 k Vậy n n−1 ln k = n ln n − k=1 Vì 1 < ln + k+1 k k ln + k=1 < n−1 n ln n − k=1 k nên k k < k n n−1 ln k < n ln n − k=1 k=1 k , k+1 hay n n ln n − (n − 1) < n−1 ln k < n ln n − (n − 1) + k=1 n−1 Vì k=1 n < k+1 n−1 ln k=1 k+1 = ln n k ln k < (n + 1) ln n − (n − 1) nên k=1 Đó điều phải chứng minh k=1 k+1 51 Kết luận Cơng thức tích phân phần khơng có xa lạ với học sinh THPT, nhiên nhiều học sinh biết đến “từng phần” việc tính tích phân Với mục đích giới thiệu cho học sinh ý tưởng vận dụng “tổng phần” vào việc giải số toán chuỗi, luận văn trình bày kết ban đầu sau: (1) Tổng hợp, trình bày cách có chọn lọc kiến thức nâng cao bất đẳng thức liên quan đến chuỗi số (2) Trình bày bất đẳng thức liên quan mật thiết đến tổng phần bất bất đẳng thức Abel, bất đẳng thức K.L Chung sau trình bày số tập minh họa việc vận dụng tổng phần trình đến lời giải Luận văn không dừng việc đưa tập chuỗi số, giới thiệu số tập chuỗi hàm mà ta vận dụng tổng phần để đưa lời giải Đối với vài toán kỳ thi học sinh giỏi có liên quan đến tổng phần, luận văn cố gắng đưa lời bình, lời dẫn dắt đưa lời giải tường minh so toán mà tài liệu tham khảo có lời giải vắn tắt gợi ý hướng giải khơng có lời giải Bên cạnh số tốn đưa cách giải khác để thấy hay phương pháp tổng phần Thơng qua 19 tốn, luận văn minh họa sinh động việc vận dụng tổng phần vào việc đưa lời giải cho số tốn khó dành cho học sinh khá, giỏi 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đễ, Nguyễn Khánh Nguyên, Các đề thi vô địch toán 19 nước, NXB TRẺ [2] Nguyễn Ngọc Giang (2016), Phương pháp giải tốn thi vơ địch tốn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXBGD Việt Nam Tiếng Anh [4] Li K.Y (2006), Summation by parts Mathematical Excalibur, Vol.11, No [5] Chu W (2007), Abel’s lemma on summation by parts and basic hypergeometric series, Advances in Applied Mathematics, Vol.39 [6] Chu W (2010), Abel’s method on summation by parts and balanced q-series identities http://pefmath.etf.rs Appl Anal Discrete Math ... thức chuỗi với lời giải chi tiết Chương 2: Tổng phần ứng dụng vào toán chuỗi Giới thiệu tổng phần, bất đẳng thức Abel, bất đẳng thức K.L Chung Ý tưởng xây dựng công thức tổng phần ứng dụng tổng phần. .. chuỗi Trong luận văn bước đầu đề cập đến tổng phần ứng dụng tổng phần vào toán chuỗi Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo cho đọc giả toán chuỗi vấn đề tổng phần Luận văn gồm 02 chương: Chương 1:... HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ THỊ NGUYÊN TỔNG TỪNG PHẦN VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN CHUỖI Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS