Giải đề TS Toán 10 - 2 (9)

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10 ĐỀ SỐ 2 (Thời gian : 120 phút) Bài 1. a) Chứng minh : 3 3 9 3 11 2 9 3 11 2 3 2 + + − = b) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 74 ( 2) ( 4) 18 x y x y  + =   + + + =   Bài 2. Cho phương trình : x 2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức 1 2 x x − đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này. Bài 3. Gọi (P) là đồ thị của hàm số 2 1 2 y x= và (d) là đồ thị của hàm số 1 1 2 y x= + a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x 2 – x – 2 = 0 Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung AB (M khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D. a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB. b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. GIẢI : Bài 1 a) Ta có : 9 3 11 2+ = 3 3 6 3 9 2 2 2+ + + = 3 2 2 3 3 3 3. 2 3. 3 2 2+ + + = 3 ( 3 2)+ Tương tự 3 9 3 11 2 ( 3 2)− = − Vậy 3 3 9 3 11 2 9 3 11 2 2 + + − = 3 2 3 2 3 2 + + − = (đfcm) b) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 74 ( 2) ( 4) 18 x y x y  + =   + + + =   ⇔ 2 2 2 2 74 4 4 8 16 18 x y x x y y  + =   + + + + + =   ⇔ 2 2 74 4 4 8 16 74 18 x y x y  + =  + + + + =  ⇔ 2 2 74 4 8 76 x y x y  + =  + = −  ⇔ 2 2 74 2 19 x y x y  + =  + = −  ⇔ 2 2 (2 19) 74 2 19 y y x y  + + =  = − −  ⇔ 2 5 76 361 74 2 19 y y x y  + + =  = − −  ⇔ 2 5 76 287 0 2 19 y y x y  + + =  = − −  ⇔ 7 41 5 2 19 y y x y  = −      = −      = − −  ⇔ 13 5 5 7 41 5 x x y y  = −  = −   ∨   = −   = −   Vậy hệ có nghiệm là : 5 7 x y = −   = −  hoặc 13 5 41 5 x y  = −     = −   Bài 2. Cho phương trình : x 2 – 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Giả sử x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức 1 2 x x − đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này. a) Ta có : ∆’ = m 2 – 2m + 5 = m 2 – 2m + 1 + 4 = (m – 1) 2 + 4 > 0 , với mọi m vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Ta có : ( ) 2 1 2 x x − = ( ) 2 1 2 x x − = ( ) 2 1 2 1 2 4 . x x x x + − = 4m 2 – 4(2m – 5) = 4m 2 – 8m + 20 = 4(m 2 – 2m + 1 + 4) = 4(m – 1) 2 + 16 ≥ 16 Vậy 1 2 x x − đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1 Bài 3. Gọi (P) là đồ thị của hàm số 2 1 2 y x= và (d) là đồ thị của hàm số 1 1 2 y x= + a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Bảng giá trị của hàm số 2 1 2 y x= x -2 -1 0 1 2 y 2 1 2 0 1 2 2 Bảng giá trị của hàm số 1 1 2 y x= + x -2 0 y 0 1 Đồ thị (P) và (d) f(x)= (1/2 )x^2 f(x)= (1/2 )x +1 x(t )=-1 , y(t)=t x(t )=2 , y(t)=t -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x f(x) b) Lập phương trình hoành độ giao điểm : 2 1 2 x = 1 1 2 x + ⇔ x 2 – x – 2 = 0 Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d) Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2 Suy ra nghiệm của phương trình x 2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2 Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung AB (M khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D. a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB. b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. a) AC.BD không đổi 2 1 2 y x= 1 1 2 y x= + D C B O A M Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1) Và OC là phân giác của góc · AOM , OD là phân giác của góc · MOB Mà · AOM và · MOB kề bù nên suy ra CO ⊥ OD Mặt khác OM ⊥ CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM 2 = R 2 (không đổi) Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R 2 (không đổi) khi M lưu động trên cung AB b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông Diện tích 1 ( ) 2 ABDC AB AC BD S = + = R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi Nên ABDC S nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B ⇔ M là điểm chính giữa của cung AB , ¼ ¼ MC MD= . ) =2 , y(t)=t -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x f(x) b) Lập phương trình hoành độ giao điểm : 2 1 2 x = 1 1 2 x + ⇔ x 2 – x – 2 = 0 Vậy số nghiệm. 11 2 9 3 11 2 2 + + − = 3 2 3 2 3 2 + + − = (đfcm) b) Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 74 ( 2) ( 4) 18 x y x y  + =   + + + =   ⇔ 2 2 2 2 74 4 4 8 16