ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 1 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun Tốn) Ngày thi: 15/06/2013 Thời gian: 150 phút Bài 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức: A = 1 2 1 2 2 1 1 1 1 x : x x x x x x x 2. Chứng minh: 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 > 3 Bài 2. (2,0 điểm) Cho a, b là hai số ngun dương sao cho 1 1 a b b a là một số ngun dương. Gọi d là ước của a, b. Chứng minh bất đẳng thức d a b . Bài 3. (1,5 điểm) Cho hai số a, b > 0, a b. Chứng minh rằng: 2 2 2 4 a b a b ab a b . Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng ( ) thay đổi nhưng ln đi qua điểm A cắt hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) tương ứng tại M và N. Giả sử ( ) cắt đường tròn (O) tại E ( E A và E thuộc cung lớn BC). Đường thẳng MC cắt BN tại F. 1. Chứng minh rằng tam giác ACN đồng dạng với tam giác MBA. Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN. 2. Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp đường tròn. 3. Chứng minh đường thẳng EF ln đi qua điểm cố định khi ( ) thay đổi nhưng ln đi qua A. Bài 5. (1,5 điểm) Tìm nghiệm ngun của phương trình: 3(x 2 + xy + y 2 ) = x + 8y ẹE THI 10 CHUYEN Bẹ 2 Buứi Vaờn Chi GII THI 10 CHUYấN Lấ QUí ễN BèNH NH MễN TON CHUYấN Ngy thi: 15/06/2013 - Thi gian: 150 phỳt Bi 1. (2,0 im) 1. Rỳt gn biu thc: A = 1 2 1 2 2 1 1 1 1 x : x x x x x x x A = 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x x : x x x x = 2 1 1 2 1 1 1 x : x x x = 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x : . x x x x x (KX: x 0, x 1). 2. Chng minh: 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 > 3 t A = 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 , B = 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 48 49 Ta cú: A > B. Xột tng A + B = 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 + 1 1 1 2 3 4 5 48 49 = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 47 48 48 49 = 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 48 47 49 48 = 49 1 = 6. Vỡ A > B nờn A + B < 2A 6 < 2A A > 3. Vy 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 47 48 > 3. Bi 2. (2,0 im) Chng minh d a b t 1 1 a b b a = k ( a, b, k N * ) a 2 + b 2 + a + b = kab (1) Vỡ d l c nguyờn dng ca a v b nờn a = xd, b = yd (a,b,x,y,d N * ) Thay vo (1), ta cú: x 2 d 2 + y 2 d 2 + (x + y)d = kxyd 2 (x + y)d = kxyd 2 (x 2 + y 2 )d 2 (x + y)d = (kxy x 2 y 2 )d 2 d 2 (vỡ (x + y)d nguyờn dng nờn kxy x 2 y 2 nguyờn dng) Do ú: a + b d 2 d a b . ÑEÀ THI 10 CHUYEÂN BÑ 3 Buøi Vaên Chi Bài 3. (1,5 điểm) Chứng minh 2 2 2 4 a b a b ab a b (a, b > 0, a b) Ta có: 2 2 2 4 4 a b a b a b = 2 4 a b ab *) 2 2 0 4 a b ab ab a b ab 2 a b > 0: BĐT đúng với a, b > 0, a b. *) 2 4 a b ab < 2 a b 2 2 ab a b a b > 0: BĐT đúng với a, b > 0, a b. Vậy 2 2 2 4 a b a b ab a b (a, b > 0, a b). Bài 4. (3,0 điểm) 1) Chứng minh ACN MBA, MBC BCN Ta có: 1 1 1 1 2 2 B C sdAB sdAC = 60 0 1 1 B A = 60 0 MB // AC 1 2 M A (đồng vị) Do đó ACN MBA (g.g). Suy ra MB BA AC CN MB BC BC CN , mặt khác MBC BCN (= 120 0 ), nên MBC BCN (c.g.c). 2) Chứng minh tứ giác BMEF nội tiếp Ta có MBC BCN 2 2 M B . Vì 2 B MBF MBC = 120 0 , nên 2 M MBF = 120 0 . Từ đó trong tam giác BMF ta có: 0 1 2 180 F M MBF = 60 0 . Tứ giác AEBC nội tiếp nên 1 E ACB = 60 0 (cùng bù với AEB ). Do đó 1 1 F E = 60 0 , suy ra tứ giác BMEF nội tiếp. 3) Chứng minh EF đi qua điểm cố định EF cắt BC tại I. Ta có: 2 1 F F = 60 0 (đối đỉnh), 2 E ABC = 60 0 , suy ra 2 2 F E = 60 0 A B C E M F I O 60 0 60 0 60 0 60 0 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 N 1 1 2 S S S S S ÑEÀ THI 10 CHUYEÂN BÑ 4 Buøi Vaên Chi Do đó tứ giác EFCN nội tiếp. Mặt khác, MBC BCN 2 1 C N , tứ giác EFCN nội tiếp 3 1 E N . Suy ra 3 2 E C , và EIC chung nên IEC ICF (g.g) IC 2 = IE.IF (1) Chứng minh tương tự, IBF IEB (g.g) IB 2 = IE.IF (2) Từ (1), (2) ta có IB = IC. Vậy khi đường thẳng ( ) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, thì EF luôn đi qua điểm cố định I là trung điểm của BC. Bài 5. (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3(x 2 + xy + y 2 ) = x + 8y (1) Biến đổi phương trình: (1) 3x 2 + 3xy + 3y 2 – x – 8y = 0 3x 2 + (3y – 1)x + (3y 2 – 8y) = 0 (2) Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x. Ta có : = (3y – 1) 2 – 12(3y 2 – 8y) = - 27y 2 + 90y + 1 = 9y(- 3y + 10) + 1 Nhận xét : Nếu y 4 hoặc y - 1 (y Z) thì < 0 : Pt (2) vô nghiệm. Do đó 0 y 3 (y Z) +) Nếu y = 0 thì = 1, Pt (2) 3x 2 – x = 0 x 1 = 0 (chọn), x 2 = 1 3 (loại). +) Nếu y = 1 thì = 64, Pt (2) 3x 2 + 2x – 5 = 0 x 1 = 1 (chọn), x 2 = 5 3 (loại). +) Nếu y = 2 thì = 73 : không là số chính phương, Pt (2) không có nghiệm nguyên. +) Nếu y = 3 thì = 28 : không là số chính phương, Pt (2) không có nghiệm nguyên. Vậy Pt (1) có hai nghiệm nguyên : (x ; y) = (0 ; 0) , (1 ; 1). S A B C E M F I O 60 0 60 0 60 0 60 0 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 N 1 1 2 S S . ĐỀ THI 10 CHUYÊN BĐ 1 Bùi Văn Chi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 Đề chính thức Mơn thi:. Tìm nghiệm ngun của phương trình: 3(x 2 + xy + y 2 ) = x + 8y ẹE THI 10 CHUYEN Bẹ 2 Buứi Vaờn Chi GII THI 10 CHUYấN Lấ QUí ễN BèNH NH MễN TON CHUYấN Ngy thi: 15/06/2013 - Thi gian:. b. Chứng minh rằng: 2 2 2 4 a b a b ab a b . Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng ( ) thay đổi nhưng ln đi qua điểm A cắt hai