BÀI TỐN TÌM ĐƯƠNG VNG GĨC CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cho ∆1 qua M1 (x1, y1, z1) // U (a1, b1, c1) Cho ∆2 qua M2 (x2, y2, z2) // U (a2, b2, c2) Biết ∆1 ∆2 chéo Tìm đường vng góc chung Phương pháp chung: Ta thường giải dạng toán theo cách sau đây: Cách 1: Viết phương trình ∆1, ∆2 dạng tham số lấy H(x1 + a1t, y1 + b1t, z1 + c1t) ∈ ∆1 K(x2 + a2t, y2 + b2t, z2 + c2t) ∈ ∆2 HK U = HK U = Tìm K, H thỏa mãn Phương trình đường thẳng HK phương trình cần tìm Cách 2: Xét U = [ U , U ] véctơ phương đường vng góc chung ∆ Ta cần tìm điểm ∆ Xét mặt phẳng (P1) chứa ∆1 có véctơ phương U, Khi ∆ ⊂ (P1) Lấy K giao ∆2 với (P1), K ∈ ∆ Cách Xét mặt phẳng (P1) chứa ∆1 song song với U, ∆ ⊂ (P1) Xét mặt phẳng (P2) chứa ∆2 song song với U Khi ∆ ⊂ (P2) Vì ∆ = (P1) ∩ (P2) ta viết phương trình tổng quát ∆ Áp dung (Đề thi Đại học Sư phạm II Hà Nội năm 1998) x − 2z − = y − = đường thẳng ∆2 a) Chứng tỏ ∆1 ∆2 chéo Hãy viết phương trình đường vng góc chung ∆1 ∆2 b) Viết phương trình dạng tổng quát mặt phẳng cách ∆1 ∆2 Lời giải a) Đường thẳng ∆1 qua M1 (2, 1, 0) // U1 (1,-1,2) Đường thẳng ∆2 qua M2 (0, 3, 1) // U2 (-2, 0, 1) Ta có M M (-2, 2, 1) D(U , U , M M ) = [U1 , U ] M M = -10 ≠ Vì ∆1, ∆2 chéo Xét H(2 + t, - t, 2t) ∈ ∆1 K( -2s, 3, + s) ∈ ∆2 HK ( -2s – t – 2, + t, s - 2t + 1) véctơ vng góc với U , U Ở H K giao điểm đường vng góc chung ∆ với ∆1 ∆2 HK U = 6t + = t = − ⇔ ⇔ 5s + = HK U = s = −1 5 2 ⇒ H , , − , K (2, 3, 0) 3 3 Phương trình đường vng góc chung ∆ phương trình HK: 5 2 ⇒ H ; ;− // U (1, 5, 2) 3 3 x = + t Phương trình tham số ∆: y = + 5t z = 2t b) Mặt phẳng cách ∆1 ∆2 mặt phẳng trung trực đoạn HK; 11 13 2 Mặt phẳng qua điểm I , , − nhận véctơ U (1, 5, 2) véctơ 6 6 pháp tuyến Phương trình có dạng: 11 13 2 x − + y − + z + = 6 6 hay x + 5y + 2z 12 = Nhận xét Thường có ba cách để tìm đường vng góc chung, tùy vào tốn cụ thể mà dùng phương pháp cho thích hợp Trong tốn này, ý đến câu b), ta phải dùng cách 1) hợp lý