D04 các bài toán cực trị muc do 4

là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.. có tâm Lúc này ta có đạt giá trị nhỏ nhất khi là một trong hai giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.. Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu 36 [2H3-1.4-4] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH -HỌC KÌ I-2018) Trong không

gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

Lời giải Chọn A

có tâm

Lúc này ta có

đạt giá trị nhỏ nhất khi là một trong hai giao điểm của đường thẳng và mặt cầu Phương trình đường thẳng

nên tọa độ là nghiệm của hệ

Khi đó :

Câu 48 [2H3-1.4-4] (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-năm 2017-2018) Trong không

gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc tọa độ , các đỉnh , , với , và Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó thể tích tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng:

Lời giải Chọn C

Cách 1: Ta chia khối hộp chữ nhật thành các hình chóp có thể tích ,

; do

Xét hàm số xác định và liên tục trên :

Cách 2: Dùng phương pháp tọa độ trong không gian

,

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện:

Xét hàm số xác định và liên tục trên :

Câu 48: [2H3-1.4-4] (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Trong không gian cho tia

vuông góc với nhau đôi một Điểm cố định thuộc tia và Các điểm

và lần lượt lưu động trên các tia và sao cho ( không trùng ) Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Lời giải

Trong tam giác vuông , gọi là trung điểm cạnh khi đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Từ dựng đường thẳng song song với suy ra là trục đường tròn tam giác Mặt phẳng trung trưc của qua E và cắt tại Khi đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và bán kính

Ta có

Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất khi cà chỉ khi là hình chiếu vuông góc của lên Khi đó tam giác là tam giác vuông cân và

Câu 50 [2H3-1.4-4] (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)Trong không gian với hệ

tọa độ cho các điểm , Tìm giá trị nhỏ nhất của với ,

là hai điểm thuộc mặt phẳng sao cho

Lời giải Chọn B

Lấy đối xứng với qua mặt phẳng Khi đó với mọi thì

Gọi thuộc mặt phẳng và Gọi là hình chiếu của trên mp

Kẻ cắt tại , dựng hình bình hành thì

Dễ dàng chứng minh được với , dựng được như vậy thì với mọi ta luôn có

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng

năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho , ,

Điểm trên mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó ta có bằng

Lời giải Chọn B.

Gọi là trọng tâm tam giác

Nên

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất hay là hình chiếu của lên mặt phẳng

Tọa độ trọng tâm của tam giác là:

Câu 46 [2H3-1.4-4] (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Trong không gian , cho mặt

cầu có tâm có bán kính bằng và mặt cầu có tâm có bán kính bằng là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu , Đặt , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến Giá trị bằng

Lời giải Chọn C

Giả sử tiếp xúc với , lần lượt tại và

Gọi với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Để phương trình có nghiệm với ẩn thì

Giả sử cắt tại ta có là trung điểm của

Suy ra Khi đó

Mặt khác

Do đó chọn

Đặt

Mặt khác

Câu 36: [2H3-1.4-4] (SGD Nam Định – năm 2017 – 2018) Trong không gian

Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng

cắt mặt phẳng tại Điểm nằm trong mặt phẳng sao cho luôn nhìn dưới góc vuông và độ dài lớn nhất Tính độ dài

Lời giải

Chọn C

+ Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là

+ Gọi là hình chiếu của lên Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó và qua nhận làm vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng qua , nhận làm vectơ chỉ phương

có phương trình là

Khi đó

Câu 50: [2H3-1.4-4] (THPT BÌNH XUYÊN VĨNH PHÚC-2018) Trong không

và sao cho đoạn thẳng ngắn nhất là

Lời giải

Chọn B.

+ Đường thẳng có véctơ chỉ phương là và đi qua điểm + Đường thẳng có véctơ chỉ phương là và đi qua điểm

vị trí chéo nhau

+ Vì nên hai đường thẳng đã cho có vị trí chéo nhau

+ Suy ra ngắn nhất khi và chỉ khi là đoạn vuông góc chung của

và

Cách 1: Từ yêu cầu của bài toán ta có hệ phương trình sau:

Cách 2: Từ yêu cầu của bài toán ta có hệ phương trình sau:

[2H3-1.4-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế lần 3) Trong không gian với hệ tọa

độ , cho mặt cầu (với là tham số thực) và hai điểm , Tìm giá trị nhỏ nhất của để trên

Lời giải

Chọn C.

Trên tồn tại điểm sao cho khi và chỉ khi và có điểm chung

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Câu 49: [2H3-1.4-4] (Sở GD&ĐT Bình Phước) Trong không gian với hệ trục tọa độ ,

là điểm thay đổi trên Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

Lời giải

Chọn B.

Mặt cầu có tâm bán kính bằng , mặt cầu có tâm

bán kính bằng

Ta có bốn điểm , , , là bốn đỉnh của hình vuông cạnh bằng , và

Ta có

Ta có

Vậy nhỏ nhất là bằng , dấu “ ” xảy ra khi , là giao điểm của với các mặt cầu

Câu 47: [2H3-1.4-4] (CHUYÊN HẠ LONG- LẦN 3-2018) Trong không gian , cho mặt cầu

và các điểm , Biết rằng tập hợp các điểm thuộc và thỏa mãn là một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

Hướng dẫn giải Chọn C.

Suy ra thuộc mặt cầu tâm , bán kính

Nên là đường tròn có tâm là hình chiếu của lên

Vậy bán kính của đường tròn là

Câu 48: [2H3-1.4-4] (CHUYÊN HẠ LONG- LẦN 3-2018) Trong không gian , cho mặt cầu

Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm ,

và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón đỉnh là tâm của

và đáy là là đường tròn có thể tích lớn nhất Biết rằng , khi đó

bằng

Hướng dẫn giải Chọn A.

Mặt cầu có tâm và bán kính

Câu 48 [2H3-1.4-4] (CHUYÊN HÀ TĨNH -LẦN 1-2018) Trong không gian , cho ba điểm

, , Gọi là điểm thỏa mãn và đạt giá trị nhỏ nhất Tính

Lời giải Chọn D.

Gọi là trung điểm của , suy ra ;

Phương trình mặt phẳng trung trực của :

nằm về hai phía so với

nhỏ nhất bằng khi

Phương trình đường thẳng : , do đó tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương

Câu 48: [2H31.44] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Lần 1

-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Hai điểm , thay đổi trên các đoạn , sao cho đường thẳng chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau Khi ngắn nhất thì trung điểm của đoạn có tọa độ là

Lời giải

Chọn A.

Ta có

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi

Câu 49: [2H3-1.4-4] (SỞ GD-ĐT THANH HÓA-2018) Trong không gian với hệ

nhỏ nhất

A. B. C. D.

Lời giải

Chọn C

,

Câu 46: [2H3-1.4-4] (THPT TRẦN NHÂN TÔNG QUẢNG NINH-LẦN 1-2018) Trong không gian

với hệ tọa độ , cho các điểm , Trong các tam giác thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ và vuông góc với nhau, điểm , sao cho góc lớn nhất Tính giá trị

Hướng dẫn giải Chọn C.

Gọi , lần lượt là trung điểm của cạnh ,

Gọi , ta có nên

Theo công thức tính đường trung tuyến, ta có

,

Góc lớn nhất nhỏ nhất

Ta có

Kết hợp với ta được thỏa mãn

Câu 50: [2H3-1.4-4] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN HẢI PHÒNG-2018)

Trong không gian cho tam giác đều cạnh bằng cố định, là điểm thỏa mãn

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

B Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

C Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

D Tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính

Lời giải

Chọn C.

Trước hết, ta xác định điểm thỏa mãn Gọi là trung điểm , ta có:

Suy ra là trung điểm

Từ đó, ta có:

Mặt khác:

Vậy, tập hợp các điểm là mặt cầu có bán kính Câu 36: [2H3-1.4-4] (SỞ

GD-ĐT NAM ĐỊNH 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm

và mặt phẳng : Đường thẳng đi qua và

Điểm nằm trong mặt phẳng sao cho luôn nhìn dưới góc vuông và độ dài lớn nhất Tính độ dài

Lời giải

Chọn C

+ Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là

+ Gọi là hình chiếu của lên Ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó và qua nhận làm vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng qua , nhận làm vectơ chỉ phương

có phương trình là

Khi đó

Câu 41: [2H3-1.4-4] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Trong không gian ,cho mặt cầu có

tâm và đi qua điểm Xét các điểm thuộc sao cho

đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện lớn nhất bằng

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt ; ;

Ta có bán kính mặt cầu là

Gọi là trung điểm khi đó ta có

Vì tứ diện nội tiếp trong mặt cầu nên ta có và Xét tam giác vuông tại ta có