TOÁN TỔNG HỢP VỀ PP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Tìm giá trị nhỏ nhất của AX BY với X, Y là hai điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho XY 1.. Vì M là điểm thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các

Câu 1: [2H3-6-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz cho các điểm A0; 0; 2, B3; 4;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của AX BY với

X, Y là hai điểm thuộc mặt phẳng Oxy sao cho XY 1

1 2 5

Lời giải Chọn B

Lấy A0;0; 2  đối xứng với A qua mặt phẳng Oxy Khi đó với mọi XOxy thì

Câu 2: [2H3-6-4] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

Gọi I x y z ; ;  là điểm thỏa mãn IA IB 3IC0 (*)

Do IA2IB2 3IC2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

MI đạt giá trị nhỏ nhất Tức là M là hình chiếu của I lên mặt phẳng

Câu 3: [2H3-6-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1, B2; 0; 2,

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Lời giải Chọn C

Ta có

3

34

Câu 4: [2H3-6-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm A1;1;1, B2; 0; 2,

A 16x40y44z390 B 16x40y44z390

C 16x40y44z390 D 16x40y44z390

Lời giải Chọn C

Ta có

3

34

Câu 5: [2H3-6-4] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong không gian

Oxyz, cho ba điểm A1;0;1, B3; 2;1, C5;3;7 Gọi M a b c ; ;  là điểm thỏa mãn MAMB và MB MC đạt giá trị nhỏ nhất Tính P  a b c

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra I1;1;1; AB4; 2; 0

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB:   : 2x  y 3 0

Vì 2.3 1.2 3 2.5 1.3 3       500 nên B, C nằm về một phía so với   , suy ra A, C nằm về hai phía so với  

Điểm M thỏa mãn MAMB khi M  Khi đó MB MC MA MC AC

t x y z

Câu 6: [2H3-6-4] [THPT Lê Hồng Phong-HCM-HK2-2018]Trong không gian với hệ trục

tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A1;0;0, B3; 2;1, 5 4 8; ;

3 3 3

 , M là điểm thay đổi

sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng MAB, MBC, MCA hợp với mặt phẳng ABC các góc bằng nhau Tính giá trị nhỏ nhất của OM

Vì M là điểm thay đổi sao cho hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC nằm trong tam giác ABC và các mặt phẳng MAB, MBC, MCA hợp với mặt phẳng

ABC các góc bằng nhau nên hình chiếu của M lên mặt phẳng ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Gọi I x y z ; ;  là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, khi đó ta có

3

18

Câu 7: [2H3-6-4] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Trong không gian với

hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu   2 2 2

Mặt cầu  S có tâm I1; 2; 2  , bán kính R3

Vì IM  173 nên M nằm ngoài đường tròn,

Gọi  là góc tạo bởi MB và MI Áp dụng định lí Côsin cho tam giác MIA và MIB

Ta có ba mặt phẳng ( )P , ( )Q , ( )R đôi một song song và ( )P nằm giữa ( )Q , ( )R

Đẳng thức xảy ra khi  vuông góc với ( )P

Câu 9: [2H3-6-4] (THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 2 - Năm 2018) Trong không gian

với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình

  2  2 2

x  y  z  và mặt phẳng  P x:    y z 2 0,  P cắt  S

theo giao tuyến là đường tròn  T CD là một đường kính cố định của đường tròn

 T , A là một điểm thay đổi trên  T (A khác C và D ) Đường thẳng đi qua A

và vuông góc với  P cắt  S tại B Tính BC2AD2

A 8 B 32 C 16 D 64

Lời giải Chọn D

C

D B

Câu 10: [2H3-6-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2 -2018 - BTN) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;1; 2 và B 5; 7; 0 Có tất cả bao nhiêu

giá trị thực của tham số m để phương trình

x y  z x my m zm  m  là phương trình của một mặt cầu  S sao cho qua hai điểm A, B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu  S

đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1

Lời giải Chọn D

TH1:  P là ABI và  S có bán kính R1 2

3 1

m

   và A, B, I không thẳng hàng

2; 6; 2

AB  , AI     1; m 1;m1 2

2

m m

Vậy có hai giá trị của m thỏa ycbt

Câu 11: [2H3-6-4](THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - Lần 2 -2018 - BTN) Trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M 2; 2;1 , A1; 2; 3  và đường

 Tìm một vectơ chỉ phương u của đường thẳng  đi

qua M , vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất

A u2; 2; 1  B u1; 7; 1  C u 1;0; 2 D

3; 4; 4

u 

Lời giải Chọn C

Gọi  P là mp đi qua M và vuông góc với d, khi đó  P chứa 

Mp  P qua M 2; 2;1 và có vectơ pháp tuyến n P u d 2; 2; 1  nên có phương trình:

Câu 12: [2H3-6-4] (THPT Trần Nhân Tông - Quảng Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B2; 1; 3, C 6; 1; 3 Trong các tam giác ABC thỏa mãn các đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau, điểm A a b ; ; 0, b0 sao cho góc A lớn nhất Tính giá trị

cos

a b A



3

Lời giải Chọn C

C B

Như vậy 2 14 15

4cos

5

a b A

Câu 13: [2H3-6-4] (THPT Hậu Lộc 2 - Thanh Hóa - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian

tọa độ Oxyz cho các điểm A1;5;0, B3;3; 6 và đường thẳng : 1 1

x y z

 Gọi M a b c ; ;  sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng

T  a b c?

Lời giải Chọn B

Câu 14: [2H3-6-4] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2H3-4] Trong không

gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng:  P :x2y  z 1 0,

 Q :x2y  z 8 0,  R :x2y  z 4 0 Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng  P ,  Q ,  R lần lượt tại A, B, C Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 15: [2H3-6-4] (THPT Đức Thọ - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, xét tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và

D khác phía với O so với ABC; đồng thời A B C, , lần lượt là giao điểm của các

2

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 16: [2H3-6-4] (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho

bốn điểm A 3;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;6 và D 1;1;1 Gọi là đường thẳng đi qua D và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm A B C, , đến là lớn nhất, hỏi

đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A M 1; 2;1 B M 5; 7;3 C M 3; 4;3 D

7;13;5

M

Lời giải Chọn B

1 2

1 31

Kiểm tra ta thấy điểm M5;7;3

Câu 17: [2H3-6-4] (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x   y z 1 0, đường thẳng

Mặt cầu  S có tâm I4;3; 2  và bán kính R5

Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB và IH 3 nên H thuộc mặt cầu

 S tâm I bán kính R 3

Gọi M là trung điểm của A B  thì AABB2HM , M nằm trên mặt phẳng

Gọi H là hình chiếu của A trên d; K là hình chiếu của A trên  P

Ta có d A P ;    AK AH (không đổi)

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u2;1; 1 

Phương trình đường thẳng d là:

122

Do đó, diện tích tam giác IMN nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất

N là điểm thuộc đường thẳng d nên N2; ;1n n IN1; ;1n n

Đường thẳng d có véc-tơ chỉ phương u 1; 2; 2  

Câu 20: [2H3-6-4] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Trong không

gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : 2 5 2

A T 8 B T 9 C T 9 D T 6

Lời giải Chọn D

Nhận xét rằng A a ; 0; 0Ox và A0;0;bOz

Gọi   là mặt phẳng chứa d và AB và   là mặt phẳng chứa d và A B 

Ta có M thuộc đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và   Theo giả thiết,  có một véctơ chỉ phương là u15; 10; 1  

Mặt phẳng   đi qua M12;5; 2 và có cặp véctơ chỉ phương là u11; 2;1 và

Câu 21: [2H3-6-4](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Trong không gian

với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A1; 2; 1 , B2; 0;1, C2; 2;3 Đường thẳng

 qua trực tâm H của tam giác ABC và nằm trong mặt phẳng ABC cùng tạo với các đường thẳng AB, AC một góc  45o có một véctơ chỉ phương là

 ; ; 

u a b c với c là một số nguyên tố Giá trị của biểu thức ab bc ca  bằng

A 67 B 23 C 33 D 37

Lời giải Chọn A

không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba đường thẳng 1: 1 2

Ta thấy d1, d2 và d3 vuông góc nhau từng đôi một và đồng qui tại S1;0; 2  Do

đó tứ diện SABC là tứ diện vuông tại S H là trực tâm tam giác ABC thì

độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 và mặt phẳng P : 2x 2y z 9 0 Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 3; 4; 4 cắt P tại B Điểm M

thay đổi trong P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90o Khi độ dài MB

lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?

+ Đường thẳng d đi qua A 1; 2; 3 và có vectơ chỉ phương

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M E

Khi đó AM min AE và MB qua B nhận BE làm vectơ chỉ phương + Ta có: B d nên B 1 3 ; 2t 4 ; 3t 4t mà B P suy ra:

2 1 3t 2 2 4t 3 4t 9 0 t 1 B 2; 2;1 + Đường thẳng AE qua A 1; 2; 3 , nhận n P 2; 2; 1 làm vectơ chỉ

phương có phương trình là

1 2

2 23

+ Do đó đường thẳng MB qua B 2; 2;1 , có vectơ chỉ phương

1;0; 2

22

Thử các đáp án thấy điểm I 1; 2;3 thỏa Vậy chọn đáp án B

Câu 24: [2H3-6-4] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,

cho biết đường cong   là tập hợp tâm của các mặt cầu  S đi qua điểm A1;1;1đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng   :x   y z 6 0 và   :x   y z 6 0 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong   bằng

A 45  B 3 5 C 9  D 3

Lời giải Chọn C

Gọi  S là một mặt cầu thỏa đề bài, với tâm I x y z Theo bài ra, ta có  ; ; 

 Tập hợp tâm của mặt cầu  S là giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng 1

Câu 25: [2H3-6-4] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Trong không gian với hệ trục toạ độ

Oxyz, cho các mặt phẳng  P :x y 2z 1 0 và  Q : 2x   y z 1 0 Gọi  S

là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời  S cắt mặt phẳng  P theo giao

tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và  S cắt mặt phẳng  Q theo giao

tuyến là một đường tròn có bán kính r Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu

 S thoả yêu cầu?

Gọi I R, lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu  S , ta có:

Câu 26: [2H3-6-4] (SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ) Trong không gian

với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A1; 3;0, B1; 3;0, C0;0; 3 và điểm MOz sao cho hai mặt phẳng MAB và  ABC vuông góc với nhau Tính góc giữa hai mặt phẳng MAB và  OAB 

Lời giải Chọn A

MAB OAB MAB OAB

Câu 27: [2H3-6-4] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho đường thẳng : 1 4 4

B  Gọi C , D là các điểm thay đổi trên đường thẳng  sao cho CD 14

và mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất Khi đó, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng CD là

Lời giải Chọn D

+ Thể tích tứ diện ABCD là:

1 .sin6

V  AB CD IE  với IE là đoạn vuông góc chung của AB , CD;

   , với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện

ABCD, S tp là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD

Dựa vào  2 , yêu cầu đề bài tương đương với S tp nhỏ nhất

Ta có:

 1 2

1.2

S S S S S S S  AB d d với d1d C AB ; ,

d d D AB

Vì A , B cố định CD 14 nên S ACDS BCD không đổi Do đó S tp nhỏ nhất khi

và chỉ khi d1d2 nhỏ nhất Điều này xảy ra khi trung điểm I của CD là là giao điểm của d và đường thẳng vuông góc chung của d và AB (Xem chứng minh ở

phần bổ sung)

+ Giải bài toán tìm tọa độ 2 điểm của đoạn vuông góc chung ta được I2; 2;3như sau:

Chứng minh nhận định trên bằng bài toán sau:

Cho hai đường thẳng chéo nhau d và  và hai điểm C , D thay đổi trên đường

thẳng d sao cho CD2a (với a là hằng số dương cho trước) Gọi d , 1 d lần 2

lượt là khoảng cách từ C , D đến  Chứng minh rẳng tổng d1d2 nhỏ nhất khi

và chỉ khi trung điểm I của CD là giao điểm của d và đường thẳng vuông góc chung của d và 

+ Gọi IEd là đoạn vuông góc chung của d và  Qua E dựng đường thẳng dsong song với d, gọi  P là mặt phẳng chứa d và 

Gọi C D0 0 2a là đoạn thẳng nhận I là trung điểm, C , 0 D cố định thuộc 0 d Gọi C0, H lần lượt là hình chiếu của 0 C lên 0  P và ; D0, K lần lượt là hình 0

chiếu của D lên 0  P và ;

Gọi CD2a với C , D là hai điểm tùy ý thuộc d

Gọi C, H lần lượt là hình chiếu của C lên  P và ; D, K lần lượt là hình

chiếu của D lên  P và 

Ta có: E là trung điểm của đoạn C D0 0 và H K 0 0

d d d C  d D   d C H  d D H  d b , với bC H0 D K0 là hằng số

d d  d C H  d D KTheo Thales ta có:

+ Nếu C, D cùng phía so với E (và giả sử C ở xa E hơn so với D) ta có:

u   v u v Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi u, v cùng hướng

Câu 28: [2H3-6-4] [Đề thi thử-Liên trường Nghệ An-L2] Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, mặt phẳng   đi qua điểm M1; 2;1 và cắt tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A

, B, C sao cho độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số nhân có công bội

bằng 2 Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới mặt phẳng  

Câu 29: [2H3-6-4] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A2;1;3, B6;5;5 Gọi

 S là mặt cầu có đường kính AB Mặt phẳng  P vuông góc với đoạn AB tại H

sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm H (giao của mặt cầu  S và mặt phẳng  P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng  P : 2x by cz   d 0 với b, c, d

Ta có AB4; 4; 2 AB6 suy ra mặt cầu  S có tâm I4;3; 4 và bán kính 3

Mặt phẳng  P vó vec tơ pháp tuyến n2; ;b c Vì  P vuông góc với đoạn AB

Câu 30: [2H3-6-4] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

, C di động trên đường thẳng d sao cho mặt phẳng OAB vuông góc với mặt phẳng

r

Lời giải Chọn D

+ Ta có: một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u 2; 1; 1 Suy ra

(ABC)

+ Vậy B thuộc đường tròn cố định là đường tròn C , giao tuyến của mặt cầu

Câu 31: [2H3-6-4] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH –

5/2018] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A4; 2;5, B0; 4; 3 , C2; 3;7  Biết điểm M x y z 0; 0; 0 nằm trên mặt phẳng Oxysao cho

MA MB MC  đạt giá trị nhỏ nhất Tính tổng Px0y0z0

Lời giải Chọn C

Gọi G2;1;3 là trọng tâm ABC  MA MB MC   3MG 3MG

Do đó MA MB MC  nhỏ nhất khi MGnhỏ nhất

Mà MGd G Oxy , GH nên MG nhỏ n hất khi M H khi đóM là hình chiếu vuông góc của G lên OxyM2;1;0x0y0z0 3

Câu 32: [2H3-6-4] (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 2; B5;3;7 và mặt phẳng  P :x  y z 0 Điểm M a b c ; ;  thuộc  P sao cho 2MA MB có giá trị nhỏ nhất Tính

2

T a b c 

Lời giải Chọn C

Chọn điểm I sao cho 2IA IB 0 khi đó

I I I

x y z

MI có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên mặt phẳng  P

Đường thẳng d qua I và vuông góc với  P sẽ đi qua M ; I và có vtcp trùng vtpt của  P

Phương trình

113

a b c

Câu 33: [2H3-6-4] (SGD Lạng Sơn - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho hai điểm A9; 3;5 , B a b c ; ;  Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz và Oyz Biết M, N,

P nằm trên đoạn AB sao cho AM MNNPPB Tính tổng T  a b c

Lời giải Chọn B

Ta có ABa9;b3;c5, nên phương trình đường thẳng AB là:

Vì M, N , P lần lượt là giao điểm của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa

độ Oxy, Oxz và Oyz nên suy ra 5 9 5 3