KHỐI CẦU

Câu 1: [2H2-3-4] (THPT Đồn Thượng - Hải Phòng - Lân - 2017 - 2018 - BTN) Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có diện tích 84  cm2  Khoảng cách hai đường thẳng SA BD 21  cm   cm  A B 21  cm  21  cm  C D 21 Lời giải Chọn D S G K M E B I A D O C Gọi M trung điểm AB G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , O tâm hình vng ABCD Ta có OM   SAB  Dựng trục hình vng ABCD trục tam giác SAB , chúng đồng phẳng cắt I tức OI , GI trục hình vng ABCD trục tam giác SAB Bán kính mặt cầu R  SI Ta có 4 R  84  cm2   R  21  cm  Đặt AB  x  cm  Trong tam giác vng SGI ta có SI  SG  GI 1 , ta có GI  thay vào 1 tính x  Dựng hình bình hành ABDE Khoảng cách d BD SA x x , SG  d  d  BD,  SAE   d  d  B,  SAE    2d  M ,  SAE   Kẻ MK  AE ta có  SAE    SMK  d  M ,  SAE    d  M , SK   MK  SM MK SM  MK   Ta có SM  x 3 3, x  Thay giá trị vào   tính d  M ,  SAE    Vậy khoảng cách SA BD 21 21 Câu 2: [2H2-3-4] (SGD Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có AB  BC  CD  , AC  BD  1, AD  Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cho A B C 39 D 3 Lời giải Chọn C Ta có ACD tam giác vuông A ABD tam giác vuông D Dựng khối lăng trụ tam giác ACF.DEB hình vẽ D G' B E I A G F I C Gọi G G trọng tâm hai tam giác ACF DEB ; I trung điểm GG Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ACF.DEB , đồng thời tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2  3  3 39 Câu 3: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  IF  IG  GF             [2H2-3-4] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A , AB  a , AC  2a Mặt bên  SAB  ,  SCA  2 tam giác vuông B , C Biết thể tích khối chóp S.ABC a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ? B R  a A R  a R C R  3a D 3a Lời giải Chọn C S I C M A H B Gọi H hình chiếu S mặt phẳng  ABC  SH đường cao hình chóp Mặt khác thể tích khối chóp S.ABC 11 AB.SH  a a nên ta có 32 3  SH  2a Dễ thấy năm điểm A , B , H , C , S thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Mặt khác A , B , H , C thuộc mặt phẳng nên tứ giác ABHC nội tiếp đường tròn Mà BAC  900  BHC  900  HM  BC a  SM  HM  SH  2 a 21 Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có: SB  SC BC SB  SC BC 13a SM     SM   (1) 4 CA2  SC SA2 4a  SC 2 2 R  CI   R   R (2) 2 2 BA  SB SA a  SB R  BI    R2   R (3)  Từ(1), (2), (3) ta có R  a  SB 4a  SC 5a SB  SC 5a 13a      2 2 2  9a R 3a Câu 4: [2H2-3-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Cho lăng trụ đứng có chiều cao h không đổi, đáy tứ giác ABCD với A , B , C , D di động Gọi I giao hai đường chéo AC BD tứ giác Cho biết IA.IC  IB.ID  h Tính giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho A 2h B h C h D h Lời giải Chọn B C B I r A K B D C D A Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi  K ; r  đường tròn ngoại tiếp ABCD Khi IA.IC  IB.ID  r  IK (theo phương r  IK  h  r  h  IK Gọi  O, R  mặt cầu tích ngoại tiếp đường lăng tròn) Suy trụ ta có h2 h 5 h Vậy Rmin  I  h  IK  h2  R  4 2 tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD R  OA2  OK  r  Câu 5: [2H2-3-4] (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình nón  N  có góc đỉnh 60o , độ dài đường sinh a Dãy hình cầu  S1  ,  S2  ,  S3  , ,  Sn  , thỏa mãn:  S1  tiếp xúc với mặt đáy đường sinh hình nón  N  ;  S  tiếp xúc với  S1  tiếp xúc với đường sinh hình nón  N  ;  S3  tiếp xúc với  S  tiếp xúc với đường sinh hình nón  N  Tính tổng thể tích khối cầu  S1  ,  S2  ,  S3  , ,  Sn  , theo a A  a3 52 B 27 a3 52 C  a3 48 9 a3 16 Lời giải Chọn A S M2 I2 E M1 I1 B H Gọi I1 , I tâm mặt cầu  S1   S  Gọi H trung điểm AB Khi ta có SAB 1 a a R1  SH   3 Hạ I1M  SA , I M  SA A D Xét SI M có sin 30ο  I2M  SI  I M Khi ta có SI SH  SI  I E  EH  3r1  3r2  2r1  r1  3r2 Chứng minh tương tự ta có r2  3r3 ,…., rn  3rn 1 Do dãy bán kính r1 , r2 ,…, rn , lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với r1  a công bội q  Suy dãy thể tích khối cầu  S1  ,  S  , …,  S n  ,… lập thành cấp số a 3 3 nhân lùi vô hạn với V1     a công bội q1    27   54 Vậy tổng thể tích khối cầu  S1  ,  S2  , ,  Sn  , là: V  V1 3  a  q 52 Câu 6: [2H2-3-4] [2017] Cho khối chóp S ABCD có SA  ( ABCD) ; đáy ABCD hình thang vng A B với AB  BC  a; AD  2a ; SA  a Gọi E trung điểm AD Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD a R  a 11 A R  C R  B R  a a 11 D I S S x x N E A E A D D M O B P B C Lời giải Chọn C Gọi O trung điểm CD Kẻ tia Ox SA Ox  ( ABCD) O C Ta có: O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông CDE Ox  ( ABCD) , nên Ox trục đường tròn (CDE ) Gọi M , N trung điểm AB, SC Ta có: SM  SA2  AM  SM  MC a a ; MC  MB  BC  nên suy 2 Do tam giác SMC cân M , suy MN  SC Dễ thấy (MNO) / /( SAD) CE  ( SAD) nên suy CE  (MNO) CE  MN Vậy nên MN  (SEC ) , MN trục đường tròn ( SEC ) Gọi I giao điểm MN SO I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD R  Trong OC  IC  IO  OC a SA 3a IO  3NP  ( P giao điểm MO  2 AC )  a   3a 2 a 11 Vậy R   Chọn C     2     Câu 7: [2H2-3-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A 576 C 144 B 576 Lời giải Chọn B D 144 S I D A O C B Gọi  S  mặt cầu có tâm I bán kính R  Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a , 0  a   Ta có OA  a2 AC a  OI  IA2  OA2  81   2 a2 Mặt khác ta lại có SO  SI  IO   81  2 a2  Thể tích khối chóp S.ABCD V  a  81     a2   3a  a 81    Đặt a  t ,  a  nên  t  162  t  324  3t Xét hàm số f  t   3t  t   81   , với  t  162 ta có f   t    ;  2 t 12 81  t  108 t  108 t t   f   t    81        t   t  144 t  t  12 81       t  144  12    Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vmax  576 t  144 hay a  12 Câu 8: [2H2-3-4] Cho tứ diện ABCD có cạnh a , tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện A 3 B C D Lời giải Chọn A Câu 9: [2H2-3-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  2a , BC  a , hình chiếu S lên  ABCD  trung điểm H AD , SH  ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? 4 a 16 a 16 a A B C Lời giải Chọn A Gọi I  tâm đường tròn ngoại tiếp SAD O tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ta có SD  SA  SH  AH  a  SAD  I A  3 a a 3  R  IA  I A2  I I  I A2  HO  Vậy S  4 R  16 a 2a a Diện tích mặt cầu D 4 a Câu 10: [2H2-3-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  2a tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AD, DC Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DMN A R  R a 39 B R  a 31 C R  a 102 D a 39 13 Lời giải Chọn C Gọi I trung điểm MN Suy I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN d đường thẳng qua I vng góc với mặt đáy E hình chiếu I lên AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.DMN K hình chiếu O lên SH S d O K x A M E N H B D I C Đặt OI  x 5a a 2  x2 Ta có DI  MN  Suy OD  ID  OI  16 SK  SH  x  a AM  HN 3a  x; KO  HI ; EI   2 9a a a 37 HI  EI  HE    16 2 49a  a 3x  x 16 Suy SO  SK  KO2  Vì O tâm mặt cầu ngoại tiếp nên: SO  DO  49a 11a a 102  a 3x  x  x  5a  x   R  OD  16 Câu 11: [2H2-3-4] Cho hình chóp S.ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm giá trị lớn tổng: T  SA2  SB  SC  SD  AB  BC  CD  DA2  AC  BD A 24R C 12R B 20R D 25R Lời giải Chọn D Gọi I tâm mặt cầu  IA  IB  IC  ID  IS  R Ta có: T  SA2  SB  SC  SD  AB  BC  CD  DA2  AC  BD         IS  ID    IB  IA   IC  IB    ID  IC    IA  ID    IC  IA    ID  IB  2 2  IS  IA  IS  IB  IS  IC 2 2    IS  IA2  IB  IC  ID   IS  IA  IB  IC  ID  2   IS  IA2  IB  IC  ID2   25R Câu 12: [2H2-3-4] (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018 - BTN) Cho tứ diện ABCD có đường cao AA1 Gọi I trung điểm AA1 Mặt phẳng  BCI  chia tứ diện ABCD thành hai tứ diện Tính tỉ số hai bán kính hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện A 43 51 B C Lời giải Chọn A D 48 153 Gọi cạnh tứ diện a Gọi K trung điểm CD E  IK  AB Qua A1 kẻ đường thẳng song song với IK cắt AB J Ta có: BJ BA1 3a a AE AI     nên suy AE  AB  BE  BE BK 4 EJ IA1 Gọi M trung điểm BE , mặt phẳng  ABK  dựng đường trung trực BE cắt AA1 O Ta dễ dàng chứng minh O tâm mặt cầu ngoại tiếp EBCD Ta có: BA1  a a , AA1  Đặt BE  x 3 Tam giác ABA1 đồng dạng với tam giác AOM nên suy AM OM AM BH  x   OM   a   AA1 BH AA1 2  Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra: R  OB  OM  MB  2 x2  x  a   2 2 3a 9a  3a  43  a    a Với x  ta có: R  64   128 Tương tự với x  a ta có bán kính R  mặt cầu ngoại tiếp EACD a2  a 51 R   a    a 64  4 128 Do R 43  R' 51 Phương pháp trắc nghiệm: Áp dụng công thức Crelle: Với khối tứ diện ABCD tồn tam giác mà số đo cạnh tích số đo cặp đối tứ diện Hơn gọi V thể tích, R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có cơng thức: S  6V R Câu 13: [2H2-3-4] [THPT Đô Lương - Nghệ An - 2018 - BTN] Bề mặt bóng ghép từ 12 miếng da hình ngũ giác 20 miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm Biết giá thành miếng da 150 đồng/ cm Tính giá thành miếng da dùng để làm bóng (kết làm tròn tới hàng đơn vị)? A 121500 đồng đồng B 220545 đồng C 252533 đồng D 199 218 Lời giải Chọn B B M A O * Ở miếng da hình ngũ giác, xét tam giác OAB có AOB  72o , AB  4,5 cm , trung tuyến AM , BOM  36o Do tan 36o   AB  cm  tan 36o BM BM  OM  OM tan 36o 1 AB 81 S ABO  OM AB  AB  cm  o o  2 tan 36 16 tan 36 405 cm  Diện tích miếng da hình ngũ giác 5S ABO  o  16 tan 36 * Ở miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm có diện tích miếng da  4,5 243 cm2   Vậy giá thành miếng da dùng làm bóng   243 405   12  20  150  220545 (đồng) 16 tan 36o   Câu 14: [2H2-3-4] (Sở Ninh Bình - Lần - 2018 - BTN) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi B1 , C1 hình chiếu A SB , SC Tính theo a bán kính R mặt cầu qua năm điểm A , B , C , B1 , C1 A R  R a B R  a C R  a D a 3 Lời giải Chọn D S C1 B1 A C H I M B Đặt SA  x , gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , H hình chiếu B1 cạnh AB , M trung điểm AB Ta có SA2  SB1.SB SC1 SA2 x2   SC SC a  x  SB1 SA2 x2   , SB SB a  x2 tương tự ta có BB1 HB1 BH a2    Suy B1C1 / / BC , B1 H / / SA nên SB SA AB x  a  HB1  xa a.x HB  , x2  a2 x2  a2 Ta cần chứng minh IA  IB1  a Giả sử x  a ( x  a ta làm tương tự) 2 a.x a.x a ax  a  a  BM  , suy HM    Khi HB  x  a2 x  a2 2  x2  a2  a2 a  IB1  IA  IB  HI  B1H  HM  IM  B1H  3 2 2 Vậy IA  IB  IC  IB1  IC1  , B1 , C1 2 a bán kính mặt cầu qua năm điểm A , B , C ...  Suy dãy thể tích khối cầu  S1  ,  S  , …,  S n  ,… lập thành cấp số a 3 3 nhân lùi vô hạn với V1     a công bội q1    27   54 Vậy tổng thể tích khối cầu  S1  ,  S2 ... hay a  12 Câu 8: [2H2-3-4] Cho tứ diện ABCD có cạnh a , tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện A 3 B C D Lời giải Chọn A Câu 9: [2H2-3-4]... DEB ; I trung điểm GG Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ACF.DEB , đồng thời tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 2  3  3 39 Câu 3: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp R  IF  IG  GF   