CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Câu 1: [0H2-3-3] Nếu tam giác ABC có a  b  c thì: A A góc nhọn C A góc vng B A góc tù D A góc nhỏ Lời giải Chọn B b2  c2  a Ta có: cos A  Vì a  b  c  cos A  Do A nhọn 2bc Câu 2: [0H2-3-3] Tính góc C tam giác ABC biết a  b a  a  c   b  b2  c  B C  120 A C  150 C C  60 Lời giải Chọn C     Ta có: a a  c  b b2  c  a3  b3  c  a  b       a  b  a  ab  b2  c2  a  b   a  b2  c2   Do đó: C  120 2ab  a  ab  b  c   cos C  Câu 3: [0H2-3-3] Cho tam giác ABC , xét bất đẳng thức sau: I a  b  c II a  b  c III ma  mb  mc  a  b  c Hỏi khẳng định sau đúng? A Chỉ I, II C Chỉ I, III B Chỉ II, III D Cả I, II, III Lời giải Chọn D Ta có I II bất đẳng thức tam giác b2  c a b  c   b  c   a  Ta có : m   4 2 a Vì b  c  a  b  c   a  m 2 a b  c   ac ac ; mc  2 Do : ma  mb  mc  a  b  c Tương tự ta có : mb  Vậy III Đúng Câu 4: [0H2-3-3] Mệnh đề sau sai? A Nếu a  b  c A góc tù  ma  bc D C  30 B Nếu tam giác ABC có góc tù a  b  c C Nếu a  b  c A góc nhọn D Nếu a  b  c A góc vng Lời giải Chọn B Ta có : cos A  b2  c2  a 2bc Do : * a  b  c cos A  A góc tù nên A * a  b  c cos A  A góc nhọn nên C * a  b  c cos A  A góc vng nên D * Nếu tam giác ABC có góc B tù b  a  c ; góc C tù c  a  b B sai Câu 5: [0H2-3-3] Trong tam giác ABC , câu sâu đúng? bc ma  b  c B ma  A ma  bc C ma  bc D Lời giải Chọn C b2  c a b  c   b  c   a  Ta có: m   4 2 a Vì b  c  a  b  c   a  m 2 a b  c    ma  bc Câu 6: [0H2-3-3] Trong tam giác ABC , có 2ha  hb  hc : A 1   sin A sin B sin C B 2sin A  sin B  sin C C sin A  2sin B  2sin C D 1   sin A sin B sin C Lời giải Chọn A Ta có : 2 1 2S 2S 2S 1         R.sin A R.sin B R.sin C a b c a b c 1    sin A sin B sin C 2ha  hb  hc  Câu 7: [0H2-3-3] Trong tam giác ABC , có a  b.c : A 1   hb hc B ha2  hb hc C 1   hb hc D 2   hb hc Lời giải Chọn B  2S   2S   2S  1 Ta có : a  b.c            hb hc hb hc    hb   hc  Câu 8: [0H2-3-3] Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A B vng góc với là: A 2a  2b  5c B 3a  3b  5c C 2a  2b  3c D a  b  5c 2 Lời giải Chọn D Vì hai trung tuyến vẽ từ A B vng góc với nên G trọng tâm tam giác ABC ABG vuông G với  b2  c a a  c b2  2 2  c      c  GA  GB Khi đó:  9 4  a b2   c   c     5c  a  b 9 4 Câu 9: [0H2-3-3] Cho góc xOy  30O Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB  Độ dài lớn đoạn OB bằng: A 1, B C 2 D Lời giải Chọn D AB   R  R  Với R bán kính đường tròn sin O ngoại tiếp tam giác OAB Vậy OB lớn OB đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Khi OB  Xét tam giác OAB có Câu19 [0H2-3-3] Cho tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F cho góc MPE , EPF , FPQ Đặt MP  q, PQ  m, PE  x, PF  y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME  EF  FQ B ME  q  x  xq C MF  q  y  yq D MQ  q  m2  2qm Lờigiải Chọn C M E q F x y m Q P Từ giả thiết, suy MPE  EPF  FPQ  MPQ  30o Tam giác MPF có MPF  MPE  EPF  60o ; 2 2 MF  MP  PF  2.MP.PF cos MPF  q  y  y.q  q  y  yq Câu31 ABC có cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện:  a  b  c  a  b  c   3ab Khi số đo góc C là: [0H2-3-3] Tam giác A 120 o C 45o B 30 o D 60 o Lờigiải Chọn D Trong tam giác ABC ta ln có: c  a  b  2ab.cos C Hệ thức  a  b  c  a  b  c   3ab   a  b   c  3ab  c  a  b  ab Suy ra: 2.cos C  1  cos C  Câu36  C  60o [0H2-3-3] Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , cạnh CA  b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng: A 60O B 90O C 150O D 120O Lờigiải Chọn B Diện tích tam giác ABC là: S  a.b.sin C S lớn sinC lớn nhất, hay sin C   C  90o Câu 10: [0H2-3-3] Tam giác ABC có AB  , AC  tan A  2 Tính cạnh BC A 33 B 17 C D Lời giải Chọn B Từ giả thiết tan A  2  , ta suy A góc nhọn 1 1 tan A  2  cos A     cos A  2  tan A  (2 2) BC  AB  AC  AB AC.cos A  32  42  2.3.4  17 Câu 11: [0H2-3-3] Tam giác ABC có AB  , AC  tan A  2 Tính cạnh BC A B C 33 D Lời giải Chọn C Từ giả thiết tan A  2 , ta suy A góc tù 1 1 tan A  2  cos A     cos A   2  tan A  (2 2)  1 BC  AB  AC  AB AC.cosA  32  42  2.3.4     33  3 Câu 12: [0H2-3-3] Tam giác ABC có BC  , AC  cot C  2 Tính cạnh AB A 26 B 21 C D 10 Lời giải Chọn C Từ giả thiết cot C  2 , ta suy C góc tù 1 1 cot C  2  tan C   cos C     cos C   2  tan C  ( )2 5 2   AB  AC  BC  AB.BC.cos C  32   2.3     21 5  Câu 13: [0H2-3-3] Tam giác ABC có BC  , AC  cot C  Tính cạnh AB A B C Lời giải Chọn B D 10 Từ giả thiết cot C  , ta suy C góc nhọn 1 cot C   tan C   cos C     cos C  2  tan C 5  1 1     2 AB  AC  BC  AB.BC.cos C  32   2.3  Câu 14: [0H2-3-3] Tam giác ABC có AB  , AC  cos  B  C    Tính BC A 15 B 22 C 15 D 22 Lời giải Chọn A Vì tam giác ABC ta có B  C bù với góc A nên cos  B C     cos A  5 BC  AB  AC  AB AC.cosA   52  2.7.5  15 Câu 15: [0H2-3-3] Tam giác ABC có cos  A  B    , AC  , BC  Tính cạnh AB A 46 B 11 C D Lời giải Chọn A Vì tam giác ABC ta có A  B bù với góc C nên 1 cos  A  B     cos C  8 AB  AC  BC  AB.BC.cos C  42  52  2.4.5  Câu 16: [0H2-3-3] Tam giác ABC vng A có AB  AC  a Điểm M nằm cạnh BC Độ dài AM bao nhiêu? BC cho BM  A a 17 B a C Lời giải Chọn B 2a D 2a A C M B BC  AB  AC  a  a  a BC  AB  a  BM  a a 2 a 2 a AM  AB  BM  AB.BM cos 45  a      2a 3   2 Câu 17: [0H2-3-3] Tam giác ABC có BC  12 , CA  , AB  Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM  Tính độ dài đoạn thẳng AM A B C 20 D 19 Lời giải Chọn D cos B  AB  BC  AC 62  122  92 11   AB.BC 2.6.12 16 AM  AB  BM  AB.BM cosB  62  42  2.6.4 11  19 16 Câu 18: [0H2-3-3] Hình vng ABCD có cạnh a Gọi E trung điểm cạnh BC , F trung điểm cạnh AE Tìm độ dài đoạn thẳng DF A a 13 B a C Lời giải Chọn A a D 3a B A F E C D a a Ta có: AE  DE  a     2 Dùng công thức độ dài trung tuyến: DF  DA2  DE AE   5a a 13 2  5a  13a  DF  16 16 a2  Câu 19: [0H2-3-3] Tam giác có ba cạnh , , Góc lớn tam giác có cosin bao nhiêu? A B  C 17 D  25 Lời giải Chọn B Góc lớn tương ứng với cạnh lớn nhất: cos   32  82  92  2.3.8 Câu 20: [0H2-3-3] Tam giác có ba cạnh 2, 3, Góc bé tam giác có sin bao nhiêu? A 15 B C Lời giải Chọn A Góc bé ứng với cạnh có số đo bé Giả sử a  2, b  3, c  Ta có cos A  b2  c  a  2.b.c D 14 Do sin A     8 15  Câu 21: [0H2-3-3] Tam giác ABC có AB  , AC  , BC  Tính cos( B  C ) A B  C –0,125 D 0, 75 Lời giải Chọn C Ta có c  AB  , b  AC  , a  BC  Tính cos A  b2  c2  a  2.b.c Để ý cos(B  C )   cos A    0,125 Câu 22: [0H2-3-3] Tam giác ABC có góc A  105 , B  45 Tính tỉ số A B C AB AC D Lời giải Chọn A Ta có: b c AB c sin C sin(180  105  45)       sin B sin C AC b sin B sin 45 Câu 23: [0H2-3-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  c cos( A  B )  A c B 3c C Lời giải Chọn B Ta có cos C   cos( A  B )   2  1 Do sin C        3 9c D 3c AB AB 2c  2R  R   sin C 2sin C Câu 24: [0H2-3-3] Tìm chu vi tam giác ABC , biết AB  2sin A  3sin B  4sin C A 26 C 26 B 13 D 10 Lời giải Chọn A Vì 2sin A  3sin B  4sin C nên ta có: 2a  3b  4c  24 (do c  AB  ) Do đó: a  12, b  8, c  Chu vi tam giác ABC 26 Câu 25: [0H2-3-3] Tam giác ABC có BC  10 sin A sin B sin C   Tìm chu vi tam giác A 12 B 36 D 22 C 24 Lời giải Chọn C Vì sin A sin B sin C a b c   , nên    b  8, c  (do a  BC  10 ) 5 Chu vi tam giác ABC 24 Câu 26: [0H2-3-3] Hình bình hành có hai cạnh , đường chéo 11 Tìm độ dài đường chéo lại A 9, B C 91 Lời giải Chọn C A B 11 D C Gọi hình bình hành ABCD , AD  , AB  Gọi  góc đối diện với đường chéo có độ dài 11 D 10 52  92  112  Ta có: cos   2.5.9   góc tù    BAD  BD  11  AC  AD  DC  AD.DC.cos ADC  AD  DC  AD.DC.cos BAD (vì BAD ADC bù  cos ADC   cos BAD )  1  AC  52  92  2.5.9     91  AC  91  6 Câu 27: [0H2-3-3] Hình bình hành có hai cạnh , đường chéo Tìm độ dài đường chéo lại A B 13 43 D C Lời giải Chọn A A D B 5 C Gọi hình bình hành ABCD , AD  , AB  Gọi  góc đối diện với đường chéo có độ dài Ta có: cos   32  52  52  2.3.5 10   góc nhọn    ADC  AC   BD  AD  AB  AD AB.cos BAD  AD  AB  AD AB.cos ADC (vì BAD ADC bù  cos BAD   cos ADC )  BD  32  52  2.3.5  43  AC  43 10 Câu 28: [0H2-3-3] Hình bình hành có cạnh hai đường chéo Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài A C B Lời giải D Chọn D A B C D Gọi hình bình hành ABCD Ta có: 32  42  25  52  AC  BD  ABCD hình thoi  AB  AD  Câu 29: [0H2-3-3] Hình bình hành có cạnh hai đường chéo Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài A 34 B C 42 D Lời giải Chọn A A B E D C Gọi hình bình hành ABCD Gọi E giao điểm hai đường chéo Giả sử AD  Xét ADE Ta có: cos ADE  AD  DE  AE 42  42  32 23   AD.DE 2.4.4 32 Xét ABD Ta có: AB  AD  BD  AD.BD.cos ADB  42  82  2.4.8 23  34  AB  34 32 Câu 30: [0H2-3-3] Cho tam giác vng, có góc trung bình cộng hai góc lại Cạnh lớn tam giác a Tính diện tích tam giác A a2 B a2 C a2 D a2 10 Lời giải Chọn B Gọi tam giác thỏa đề ABC (với A  B  C ) Đề cho tam giác vuông nên ta suy A  90 Ta có: A  B  C  180, mà theo đề: A  C  B, Suy B  60 a Ta tính: AB  BC.cos 60  a2 Diện tích tam giác: S  AB.BC.sin B  Câu 31: [0H2-3-3] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R , AB  R, AC  R Tính góc A biết B góc tù A 30 C 60 B 45 D 90 Lời giải Chọn A Góc B góc tù nên A , C góc nhọn Ta có: AB R  2R   R  sin C   C  30 (vì C nhọn) sin C sin C Tương tự: AC R 3  2R   R  sin B   B  120 (do B tù) sin B sin B Suy ra: A  180   30  120   30 Câu 32: [0H2-3-3] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R , AB  R, AC  R Tính góc A biết A góc tù A 135 B 105 C 120 D 150 Lời giải Chọn B Góc A tù, suy B , C góc nhọn Ta có: AB R  2R   R  sin C   C  30 (vì C nhọn) sin C sin C Tương tự: AC R 2  2R   2R  sin B   B  45 (do B nhọn) sin B sin B Suy ra: A  180   30  45   105 Câu 33: [0H2-3-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Cho tam giác ABC vuông cân A điểm M tam giác cho MA  1, MB  , MC  Tính góc AMC A 135 B 120 C 160 D 150 Lời giải Chọn A A M B C Áp dụng định lý cosin tam giác ta có:  AB  AM  BM  AM BM cos AMB  AB   4.cos AMB   2 2  BC  BM  CM  BM CM cos BMC  2 AB   2.cos BMC   2  AC  CM  AM  2CM AM cos CMA  AB   2.cos CMA  AB   4.cos AMB   1  2.cos AMB  2.cos CMA   2 AB   2.cos BMC     cos CMA  cos BMC  AB   2.cos CMA Chú ý AMB  BMC  CMA  360 thử đáp án ta thấy AMC  135 thỏa mãn đề  ... tam giác vng, có góc trung bình cộng hai góc lại Cạnh lớn tam giác a Tính diện tích tam giác A a2 B a2 C a2 D a2 10 Lời giải Chọn B Gọi tam giác thỏa đề ABC (với A  B  C ) Đề cho tam giác. .. c   3ab Khi số đo góc C là: [0H2-3-3] Tam giác A 120 o C 45o B 30 o D 60 o Lờigiải Chọn D Trong tam giác ABC ta ln có: c  a  b  2ab.cos C Hệ thức  a  b  c  a  b  c   3ab ... B C 2 D Lời giải Chọn D AB   R  R  Với R bán kính đường tròn sin O ngoại tiếp tam giác OAB Vậy OB lớn OB đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Khi OB  Xét tam giác OAB có Câu19