Gọi D và E lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn I với cạnh AB, BC.. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm E vẽ hai nửa đờng tròn tâm O1 đờng kính AC và tâm O2 đờng kính CB; EA và EB
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
Đề chính thứC
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 18 tháng 7 năm 2007
-Phần I: Trắc nghiệm (3,0 điểm)
Trong các câu sau đây, hãy chọn phơng án đúng và viết chữ cái đứng trớc phơng án đó vào bài làm.
Câu 1 Gọi x1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình 6x 2 - 5x + 1 = 0, phơng trình bậc hai có các nghiệm
x 1 + x 2 và x 1 x 2 là:
A 36t 2 – 36t + 5 =0 B t 2 – t + 6 =0
C 5t 2 – 36t + 36 = 0 D 36t 2 + 36t + 5 =0
Câu 2 Cho biểu thức P = 2x2 - 2x +
2
1
Với x thoả mãn 1 x 1 thì tập hợp tất cả các giá trị của biểu thức là:
2
9 P
0
2
9 P 2
1
Câu 3 Với mọi m, phơng trình x2 -(m-1)x-m 2 +m-2 = 0
A có hai nghiệm trái dấu B có hai nghiệm âm
C có hai nghiệm dơng D vô nghiệm
Câu 4 Phơng trình 3 2 2 ( 3 2 ) 1 0
2
1
và
3
1
C 1 và
3
1
2 3 1
Câu 5 Phơng trình 0
4
1 5
3 2
1 2
x x
C có nghiệm kép D có hai nghiệm phân biệt dơng
Câu 6 Giá trị của biểu thức ( 3 1 ) 2 ( 1 3 ) 2 là:
Câu 7 Có 16 2 2 9 2 2 7
2 9 2
16 xx xx là
7 1
Câu 8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx+m2 -5.
Đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ khi:
1
Trang 2C m = 2 D m = 5 ; m = - 5
Câu 9 Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Khi đó:
A AH 2 = BH BC B AHB đồng dạng với CAB
CH
1 BH
1 AH
1
Câu 10 Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC<BC Gọi H là trực tâm tam giác ABC; R , R1 , R 2 , R 3 lần lợt là bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH, BCH Khi đó:
A R > R 1 > R 2 > R 3 B R 1 < R 2 < R 3 < R
C R = R 1 = R 2 = R 3 D R = R 1 + R 2 + R 3
Câu 11 Cho góc xOy, điểm A trên Ox, điểm B, C trên Oy (A, B, C phân biệt và khác O) thoả mãn OA2
= OB.OC thì:
A Ox là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C
B Oy là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua A, B, C
C OAB đồng dạng với ABC
D 2.OA = OB + OC
Câu 12 Cho tam giác ABC có đờng cao AH, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC và AB Khi
đó:
A diện tích HEF bằng
4
1
diện tích ABC
B. HEF đồng dạng với ABC
C HEF vuông
D Tứ giác ABHE nội tiếp một đờng tròn
Phần II: Tự luận (7,0 điểm)
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phơng trình x2 - 2mx + m - 1 = 0 (1)
a Chứng minh rằng với m > 1 thì phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt
b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm kia 3 đơn vị.
Bài 2: (2,0 điểm)
a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + 2xy + y 2 - 3x - 3y + 2007
b Tìm số nguyên tố p để 4p 2 + 1 và 6p 2 + 1 là các số nguyên tố.
Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tam giác cân (có A = 600 ) nội tiếp đờng tròn tâm
O, ngoại tiếp đờng tròn tâm I Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Đờng thẳng OH cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N
a Chứng minh năm điểm B, H, I, O, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b Chứng minh BM + CN = MN.
c Gọi D và E lần lợt là các tiếp điểm của đờng tròn I với cạnh AB, BC AI cắt DE tại G Chứng minh góc AGC bằng 90 0
Trang 3
-Hết -Họ tên thí sinh: ………
Số báo danh: ………… Phòng thi số: ………
Chữ ký của cán bộ coi thi số 1
Sở giáo dục và đào tạo
Hng Yên
Đề chính thứC
Hớng dẫn chấm thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên
năm học 2007 - 2008 Môn: Toán (dành cho lớp chuyên Toán, Tin)
-I Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả Trong bài, thí
sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh giải đúng với cách giải khác với cách giải trong đáp án thì giám khảo chấm cho điểm theo số điểm qui định dành cho bài hay phần đó.
3) Cặp chấm thảo luận chi tiết thống nhất việc vận dụng HDCT này.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn
Phần I Trắc nghiệm (3 điểm)
Mỗi câu cho 0,25 điểm
Đáp án
Phần 2 Tự luận (7 điểm).
Bài 1 (2 điểm)
3
Trang 4Bài 2 (2
điểm)
a) Ta có A= x 2 + 2xy + y 2 -3x -3y + 2007
= (x+y) 2 – 3(x+y) + 2007
= (x+ y -
2
3
) 2 +
4
8019
4
8019
với mọi x, y
Mặt khác ta có:
A =
4
8019
x + y -
2
3
= 0
x + y =
2 3
Vậy min A =
4
8019
x + y =
2 3
0,5 đ
0,5 đ
b) Nhận xét: p là số nguyên tố => 4p 2 + 1 > 5 , 6p 2 + 1> 5
Đặt x = 4p 2 + 1 = 5p 2 - (p -1)(p + 1)
y = 6p 2 + 1 => 4y = 25p 2 - (p -2)(p +2)
Khi đó:
- Nếu p chia 5 d 4 hoặc d 1 thì (p – 1)(p+1) 5
=> x 5 mà x > 5 suy ra x không là số nguyên tố.
- Nếu p chia 5 d 3 hoặc d 2 thì (p - 2)(p + 2) 5
=> 4y 5 mà (4,5) = 1 => y 5 mà y > 5 => y không là số nguyên
tố.
Do vậy p 5, mà p là số nguyên tố => p =5.
Thử với p = 5 thì x = 101, y = 151 là các số nguyên tố.
Đáp số p = 5.
* Cách khác : Nhận xét: 4a 2 + 1> 5 và 6a 2 + 1> 5 vì p là một số nguyên tố.
Gọi r là số d của phép chia p cho 5 => r {0,1,2,3,4}
Ta có p = 5k + r với k là số tự nhiên.
- Lần lợt thay p = 5k + 1, p = 5k + 4 vào 4p 2 + 1 thì suy ra 4p 2 + 1 chia hết
cho 5 => 4p 2 + 1 không là số nguyên tố
- Lần lợt thay p = 5k + 2, p = 5k + 3 vào 4p 2 + 1 thì suy ra 6p 2 + 1 chia hết
cho 5 => 6p 2 + 1 không là số nguyên tố
- Do vậy p chia hết cho 5 , mà p nguyên tố nên p =5.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Bài 3: (1,5 điểm)
a) Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có a = 1; b’ = -m; c = m - 1
4
3 ) 2
1 m ( 1 m m ac
'
Nên PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của (1), áp dụng định lý Vi-ét ta đợc
x 1 x 2 =
a
c
= m-1 > 0 với m>1
x 1 x 2 =
a
b
= 2m > 0 với m>1
Do đó (1) luôn có hai nghiệm dơng phân biệt với mọi m>1
0,5 đ
0,5 đ
b) Không mất tính tông quát, giả sử x1 < x 2
Ta có
) 3 ( m 2 x
x
) 2 ( 1
m x
x
) 1 ( 3
x x
1 2
2 1
1 2
Từ (1) và (3) ta có
2
3 m 2
x1 ,
2
3 m 2
x2
Thay vào (2) ta đợc
2
3 m
2
.
2
3 m
2
=m-1
4m2-4m+1=6 (2m-1)2 =6
6 1
m
2
6 1 m
2
2
6 1 m
2
6 1 m
Vậy với
2
6 1
m thì (1) có 2 nghiệm thoả mãn nghiệm này hơn nghiệm
kia 3 đơn vị.
0,5 đ
0,5 đ
Trang 5O I H M C'
B' N
C B
A
Gọi BB’ và CC’ là các đờng cao của tam giác ABC.
Tam giác ABC nhọn nên H và O nằm trong tam giác ABC => H, O, I cùng
- Tứ giác AB’HC’ nội tiếp => C’HB’ = 180 0 – C’AB’ = 120 0
BOC = 2 BAC = 120 0 (3)
BIC = 180 0 - IBC - ICB = 180 0 -
2
1
( ABC + ACB) = 120 0
Từ (2), (3) , (4) => BHC = BIC = BOC = 120 0 (6)
Từ (1) và (6) => năm điểm B,C,O,H,I cùng thuộc một đờng tròn 0,25 đ
b) Từ BHOC nội tiếp => OHC = OBC = 0 30 0
2
BOC 180
Tam giác ACC’ có C’ = 90 0 => OHC = 90 0 - CAC’ = 30 0 .
Do vậy NHC = NCH => tam giác NHC cân tại N => NC = NH
Tơng tự MB = MH Từ đó có BM + CN = MN
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
c)
I
G E
D
C B
A
Hình 2 Hình 1
G
I
E
D
C B
A
5
Trang 6Trờng hợp 1: G nằm ngoài DE ( hình 1)
Ta có GEC = BED (đ.đ)
Tam giác BDE cân tại B => BED =
2
B
180 0
(7)
Tam giác AIC có AIC = 180 0 - IAC - ICA = 180 0
-2
1
( BAC +BCA)
= 180 0 -
2
B
180 0
mà CIG = 180 - AIC =
2
B
180 0
nên CIG = CEG => tứ giác IEGC nội tiếp đợc => IGC = IEC =
90 0 hay AGC = 90 0
Trờng hợp 2: G thuộc đoạn DE
Chứng minh tơng tự ta có CIG =
2
B
180 0
và GEB =
2
B
180 0
=> tứ giác IGEC nội tiếp đợc => IGC = IEC = 90 0
(L u ý: Nếu chứng minh đúng 1 trờng hợp hình cho 0,75đ)
1,0đ
Sở GD và đào tạo Hng Yên Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Năm học 2001 – 2002 Môn thi: Toán – Ngày thứ hai
Thời gian: 150 phút
Đề chẵn: ( dành cho thí sinh có số báo danh chẵn )
Bài 1: ( 2 điểm )
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 52 14 3
Bài 2( 2 điểm) GiảI các phơng trình sau:
5x 7x 4 x 2x 5
b) x3 – 3x2 + 4x – 4 = 0
3
x x x x
Bài 3 ( 2 điểm )
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 4 giờ 20phút, một cano chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A là 38 km Tìm vận tốc của thuyền, biết cano chạy nhanh hơn thuyền là
13 km/h
Bài 4: ( 4 điểm)
Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Kẻ đờng kính AD Gọi giao điểm của AB và CD là M, Gọi giao điểm của AC và BD là N; giao điểm của AD kéo dài và MN là H
a) CM các tứ giác BCNM; HDCN nội tiếp đờng tròn
b) CM: CH = 1
2MN
c) CM: CH là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O
Trang 7d) Tính độ dài CH biết HD = 2cm; R = 3cm
đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2002-2003
(Thi 31/7/2002 Thời gian 150 phút)
Đề Chẵn
Bài 1: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức sau: A =
2 x
9 x
với x = -7 b) Rút gọn: B = 4y (1 y) 4
c) Tìm giá trị lớn nhất của: C = ( x y ) 2 với x, y > 0; x + y 1
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = nx + 3 – 2n (1)
a) Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) Tìm n? Vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng tỏ đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi n thay đổi
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hệ phơng trình:
n y mx
m y 5x
trong đó m, n là tham số
a) Giải hệ phơng trình với m = 3, n = 5
b) Tìm giá trị của tham số n sao cho với mọi giá trị của tham số m hệ phơng trình luôn có nghiệm
Bài 4: (1,5 điểm)
Hai vòi A và B cùng chảy vào bể không có nớc và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 4 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi
sẽ chảy bao lâu mới đầy bể ?
Bài 5: (4 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB E là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn không trùng với
A và B Từ E kẻ đờng thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại C Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm E vẽ hai nửa đờng tròn tâm O1 đờng kính AC và tâm O2 đờng kính CB; EA và EB cắt hai nửa đờng tròn lần lợt ở M và N
a) Chứng minh: EC = MN Tính độ dàI đoạn MN theo AC = a; BC = b
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn ( O1), (O2)
c) Xác định vị trí của đIểm E trên nửa đờng tròn đờng kính AB để tứ giác EMCN là hình vuông
d) Cho AE = 2 cm; AB = 5 cm Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đợc tạo thành khi quay tam giác vuông ABE trọn một vòng quanh cạnh góc vuông BE cố
định?
7
Trang 8đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2002-2003
(Thi 31/7/2002 Thời gian 150 phút)
Đề lẻ
Bài 1: (1,5 điểm)
d) Tính giá trị biểu thức sau: A =
2 a
9 a
với a = -7 e) Rút gọn: B = 4b (1 b) 4
f) Tìm giá trị lớn nhất của: C = ( a b ) 2 với a, b > 0; a + b 1
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = mx + 3 – 2m (1)
c) Biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 6) Tìm m? Vẽ đồ thị hàm số
d) Chứng tỏ đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho hệ phơng trình:
b y ax
a y 5x
trong đó a, b là tham số
c) Giải hệ phơng trình với a = 2, b = 5
d) Tìm giá trị của tham số b sao cho với mọi giá trị của tham số a hệ phơng trình luôn có nghiệm
Bài 4: (1,5 điểm)
Hai vòi A và B cùng chảy vào bể không có nớc và chảy đầy bể trong 2 giờ 55 phút Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi
sẽ chảy bao lâu mới đầy bể ?
Bài 5: (4 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB M là một điểm tuỳ ý trên đờng tròn không trùng với
A và B Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại H Trên cùng nửa mặt phẳng bờ
AB chứa điểm M vẽ hai nửa đờng tròn tâm O1 đờng kính AH và tâm O2 đờng kính HB; MA và
MB cắt hai nửa đờng tròn lần lợt ở P và Q
a) Chứng minh: MH = PQ Tính độ dàI đoạn PQ theo AH = a; BH = b
b) Chứng minh PQ là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn ( O1); ( O2)
c) Xác định vị trí của đIểm M trên nửa đờng tròn đờng kính AB để tứ giác MPHQ là hình vuông
d) Cho AM = 1 cm; AB = 5 cm Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón
đ-ợc tạo thành khi quay tam giác vuông ABM trọn một vòng quanh cạnh góc vuông BM
cố định
đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2002-2003
(Thi 1/8/2002)
Đề lẻ
Bài 1: (2 điểm)
Trang 9a) Đa một thừa số vào dấu căn:
5
2
x.
b) Rút gọn: B =
4
y) 3(x y x
2 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của:
3x
16 15x x C
2
Bài 2: (2 điểm)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 - 10x – m2 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1 ) khi m = 11
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m ạ 0
c) Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình (1) là nghịch đảo các nghiệm của phơng trình
m2x2 +10x –1 = 0 (2) trong trờng hợp m ạ 0
Bài 3: (2 điểm)
a) Giải phơng trình : 4x2 - 2(1+ 3)x + 3 =0
b) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:
Một ôtô dự định đi từ tỉnh A tới tỉnh B trong một thời gian nhất định Nếu chạy với vận tốc
45 km/h thì đến B sẽ chậm mất 1/2 giờ.Nếu xe chạy với vận tốc 60 km/h thì đến B sớm hơn 3/4 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C, các điểm S,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,AC và
BC.Dựng đờng cao CH
a) Chứng minh rằng 5 điểm C,Q,S,H,P cùng thuộc một đờng tròn
b) Tính tỷ số diện tích của SPC và BCA
c) Cho AC = 3cm, BC = 4cm.Tính thể tích của hình đợc sinh ra khi cho CBS quay trọn một vòng quanh BS
d) Cho AC= b, CB = a, AB = c, AQ = m, BP = n và r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng 2 2
2 n m
r
<
20
1
Hết
-đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2003-2004 (Thi ngày: 05/8/2003)
Đề chẵn
Câu 1: (2 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức: M =
1 3
1 1 3
1
2 Rút gọn biểu thức : N =
1 x y xy
4 4x 2
9
Trang 10Câu 2: (2 điểm)
1 Vẽ đồ thị hàm số y = x2
2 Cho B = x - x ĐK: x0
Tìm điều kiện để B có nghĩa, tính giá trị nhỏ nhất của B
Câu 3: (2 điểm)
Một ngời dự định đi từ A đến B dài 36 km trong một thời gian dự định Đi đợc nửa quãng ờng ngời đó nghỉ 18 phút Để đến B đúng hẹn ngời đó tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa đ-ờng còn lại Tính vận tốc ban đầu và thời gian dự định
Câu 4: (3 điểm)
Cho 2 dây cung AB, CD (O); AB > CD cắt nhau ngoài (O) cắt nhau tại P, H là trung
điểm của AB, K là trung điểm của CD
1) Chứng minh: 4 điểm O, H, P, K cùng thuộc1 đờng tròn (nằm trên 1 đờng tròn);
2) So sánh 2 góc HPO và KPO;
3) So sánh HP và KP
Câu 5: (1 điểm)
Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’có AB = 4, AA’= 8
Tính diện tích xung quanh và thể tích lăng trụ
Đề thi vào lớp 10
Câu 1: Rút gọn:
a) 3 20 - 2 45 + 4 5 b) Trục căn thức:
x 1
x
1 2
Câu 2:
a) Giải phơng trình: x 51 x
Trang 11b)Cho phơng trình: x2 – 3x + 2 = 0 (1) có x1, x2 là nghiệm của phơng trình (1)
Gọi y1, y2 là nghiệm của phơng trình cần lập sao cho y1, y2 là nghịch đảo của x1, x2
Câu 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
Một canô đi xuôi dòng 90 km, rồi ngợc 36 km Biết thời gian canô đi xuôi nhiều hơn đi ngợc là 2 giờ Vận tốc xuôi hơn vận tốc ngợc là 6 km Tính vận tốc xuôi và vận tốc ngợc
Câu 4:
Cho đờng tròn (O), hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M nằm trong (O) sao cho ABCD tại M Từ A kẻ AHBC; AH cắt DC tại I Gọi F là điểm đối xứng với C qua AB, AF cắt (O) tại K
a) CMR: góc HAB bằng góc BCM;
b) Tứ giác AHBK nội tiếp;
c) Tìm vị trí AB và CD để AB + CD lớn nhất
Bài 5: (2 điểm)
Cho PT : x2 – 2(m+1)x + 2m + 10 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) với m = 4
2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
3) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2
không phụ thuộc vào m
đề thi vào lớp 10 tỉnh hng yên
Năm học 2003-2004 (Thi ngày 06/8/2003)
đề chẵn
11
