SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi:19 tháng năm 2009 Câu 1( 2,0 điểm) Cho biểu thức: T = 2x + 1 − − 1− x 1+ x 1− x Tìm điều kiện x để T xác định Rút gọn T Tìm giá trị lớn T Câu ( 2,0 điểm) Giải hệ phương trình: Giải phương trình: 2x − xy = 2 4x + 4xy − y = x − + y + 2009 + z − 2010 = (x + y + z) Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên a để phương trình: x 2- (3+2a)x + 40 - a = có nghiệm nguyên Hãy tìm nghiệm nguyên a≥0 b≥0 Cho a, b, c số thoả mãn điều kiện: 19a + 6b + 9c = 12 Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm x − 2(a + 1)x + a + 6abc + = x − 2(b + 1)x + b + 19abc + = Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A Chứng minh tứ giác BHCD hình bình hành Gọi P Q điểm đối xứng E qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng Tìm vị trí điểm E để PQ có độ dài lớn Câu ( 1,0 điểm) Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta có: x y z 2x + 2y + 2z + + > a b2 c2 a + b2 + c2 Hết Họ tên thí sinh: Họ tên chữ ký giám thị Số báo danh: Họ tên chữ ký giám thị SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Đề thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm Câu ý Nội dung Điểm 2,0 0,25 Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 2x + 2 − 2x T= − = = 3 1− x 1− x 1− x x + x +1 T lớn x + x + nhỏ nhất, điều xẩy x= Vậy T lớn 2 0,75 0,5 0,5 2x − xy = Giải hệ phương trình: 2 4x + 4xy − y = SỞ GD VÀ ĐT KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN 2x − THANH HOÁ NĂM HỌC: 2009 -(*) 2010 Nhận thấy x = không thoả mãn hệ nên từ (1) ⇒ y = 0,25 x 2x − 2x − 2 vàothức (2) được: 4x + 4x - ((Dành )cho = thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) ĐềThế Môn:xToán x Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ⇔ 8x4 – 7x2 - = 0,25 Đặt t = x2 với t ≥ ta 8t2 - 7t - = ⇔ t = t = - (loại) với t =1 ta có x2 = ⇔ x = ± thay vào (*) tính y = ± x = y = Hệ phương trình cho có nghiệm: ; x = −1 y = −1 ĐK: x ≥ 2; y ≥ −2009; z ≥ 2010 Phương trình cho tương đương với: ) ( 0,25 0,25 0,25 0,25 x + y + z = x − + y + 2009 + z − 2010 2 ⇔ x − − + y + 2009 − + z − 2010 − = ⇔ x = 3; y = −2008; z = 2011 ( 0,25 ) ( ) 0,25 PT cho có biệt số ∆ = 4a2 + 16a -151 PT có nghiệm nguyên ∆ = n2 với n ∈ N Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 ⇔ (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167 ⇔ (2a + 4)2 - n2 = 167 ⇔ (2a + + n)(2a + - n) = 167 Vì 167 số nguyên tố 2a + + n > 2a + - n nên phải có: 0,25 0,25 2a + + n = 167 2a + - n = 4a + = 168 ⇒ 4a + = − 168 2a + + n = -1 a = 40 ⇒ a = − 44 0,25 2a + - n = -167 với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = có nghiệm nguyên x = 0, x = 83 với a = - 44 PT có nghiệm nguyên x= -1, x = - 84 Ta có: ∆1' = a(2 − 6bc) ; ∆ ' = b(2 − 19ac) Suy ∆1' + ∆ ' = a(2 − 6bc) + b(2 − 19ac) Từ giả thiết 19a + 6b + 9c = 12 ,Cta có tổng 0,25 0,25 0,25 H = − c(12 − 9c) (2 − 6bc) + (2 − 19ac) = − c(19a + 6b) a = 9c − 12c + = ( 3c − ) ≥ b Do hai số (2 − 6bc) ;(2 − 19ac) không âm B A Mặt khác, theo giả thiết ta có a ≥ ; cb ≥ Từ suy 0,25 Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) =7 x2 1 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + B = x5 + x x 1 + 2− = y x Giải hệ phương trình: + 2− = y x Cho số x ( x ∈ R; x > ) thoả mãn điều kiện: x2 + Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x thoả mãn điều kiện: ≤ x1 ≤ x ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: Q= 2a − 3ab + b 2a − ab + ac Câu 3: (2,0 điểm) (x + y + z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Giải phương trình: x−2 + y + 2009 + z − 2010 = Câu 4: (3,0 điểm)) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng quaA, cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK ⊥ BN Cho đường tròn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm).Một góc xOy có số đo 45 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2 − ≤ DE < Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a + b + c + d + ac + bd ,trong ad − bc = Chứng minh rằng: P ≥ Hết SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm x = (do x > 0) x 1 1 ⇒ 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) ⇒ A = x3 + =18 x x x x x 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x ⇒ B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 + 2− = + 2− Từ hệ suy (2) y x x y Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = ⇒ x + Nếu 1 > x y 2− 1 > − nên (2) xảy x=y y x 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 vào hệ ta giải x=1, y=1 Theo Viét, ta có: x1 + x = − 0.25 c b , x1.x = a a b b − + ÷ 2a − 3ab + b a a ( Vì a ≠ 0) Khi Q = = b c 2a − ab + ac 2− + a a + 3(x1 + x ) + (x1 + x ) = + (x1 + x ) + x1x 2 Vì ≤ x1 ≤ x ≤ nên x1 ≤ x1x x ≤ 0.25 0.25 0.25 ⇒ x12 + x 2 ≤ x1x + ⇒ ( x1 + x ) ≤ 3x1x + + 3(x1 + x ) + 3x1x + =3 Do Q ≤ + (x1 + x ) + x1x 0.25 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x = 0.25 0.25 b − a = c = c = −b = 4a a ⇔ b = −2a Vậy maxQ=3 Tức − b = c = a c = a 0.25 ĐK: x ≥ A 2, y ≥I - 2009, zB≥ 2010 0.25 Phương trình cho tương đương với: O K x − +2 My + 2009 +2 z − 2010 x+y+z=2 E D x ⇔ ( x −x - 1)2 + (M y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = B A x −D −1 = y EC C x = N 0.25 0.25 0.25 ... ,Cta có tổng 0,25 0,25 0,25 H = − c(12 − 9c) (2 − 6bc) + (2 − 19ac) = − c(19a + 6b) a = 9c − 12c + = ( 3c − ) ≥ b Do hai số (2 − 6bc) ;(2 − 19ac) không âm B A Mặt khác, theo giả thi t ta có a... Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 ( áp án gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm x = (do x > 0) x 1 1 ⇒ 21 = (x + )( x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) ⇒ A = x3... 1 ⇒ 7.18 = (x2 + )( x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x ⇒ B = x5+ = 7.18 - = 123 x 1 1 + 2− = + 2− Từ hệ suy (2 ) y x x y Từ giả thi t suy ra: (x + )2 = ⇒ x + Nếu 1 > x y 2− 1 > − nên (2 ) xảy x=y