THÔNG TIN TÀI LIỆU
HÌNH HỌC 10 TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG GV: PHAN NHẬT NAM TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 CƠ SỞ LỶ THUYẾT Định nghĩa Lấy M nửa đường tròn đơn vò tâm O Xét góc nhọn = xOM Giả sử M ( x0 ; y0 ) sin = y0 (tung độ) cos = x0 (hoành độ) tan = cot = y0 tung độ x0 hoành độ (x 0) x0 hoành ñoä y0 tung ñoä (y 0) -1 – Nếu tù cos < 0, tan < 0, cot < Chú ý: – tan xác định 900, cot xác định 00 1800 Tính chất Góc phụ Góc bù sin(900 ) cos cos(900 ) sin tan(900 ) cot cot(90 ) tan sin(1800 ) sin cos(1800 ) cos tan(1800 ) tan cot(1800 ) cot Giá trị lượng giác góc đặc biệt 00 300 450 600 900 1800 sin 2 cos 2 2 0 –1 tan 3 cot 3 Các hệ thức sin2 cos2 1 tan2 (cos 0) cos2 1 cot (sin 0) sin2 tan cot (sin cos 0) sin tan (cos 0) cos cos cot (sin 0) sin Chú ý: sin ; cos GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN: Dạng 1: Biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị lương giác lại Từ giả thuyết ta xác định khoảng giá trị góc thuộc (00 , 900 ) (900 , 1800 ) cụ thể: (00 , 900 ) sin , cos , tan , cot (90 ,180 ) sin , cos , tan , cot 0 Sử dụng đẳng thức lượng giác tương ứng để tìm giá trị lượng giác lại: sin cos Nếu gt cho sin a : cos2 sin a , tan , cot cos sin sin cos Nếu gt cho cos a : sin cos a , tan , cot cos sin 1 tan cos Nếu gt cho tan a : , sin tan cos cos a2 1 Nếu gt cho cot a : , cos cot sin cot sin sin a2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho biết cos Tính giá trị lượng giác lại góc 10 Giải: Ta có cos (900 , 1800 ) sin , tan , cot 10 (vì sin ) 10 Lại có: sin cos sin cos tan sin cos cot cos sin Vậy giá trị lượng giác lại là: sin Ví dụ 2: Cho biết sin , tan cot 10 Tính giá trị lượng giác lại góc Giải: Ta có (00 , 1800 ) sin TH1: (00 , 900 ) cos ta có: sin cos cos sin tan 2 cos sin 2 cot sin cos 2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG TH2: (900 , 1800 ) cos ta có: sin cos cos sin tan 2 cos sin 2 cot sin cos 2 Ví dụ 3: Cho biết tan Tính giá trị lượng giác lại góc Giải: Ta có tan (00 , 900 ) sin , cos , cot Lại có: 1 tan 22 cos cos cos 5 tan sin sin tan cos cos cot 1 tan 5 , sin cot 5 Vậy giá trị lượng giác lại góc là: cos Ví dụ 4: Cho biết tan x Tính giá trị biểu thức: A (vì cos ) cos3 x sin x cos x sin x 3cos x Giải: cos3 x sin x cos x sin x 1 1 cos3 x sin x cos x cos3 x cos3 x cos3 x cos x cos x cos x A sin x cos x sin x cos x 1 3 cos x cos x cos x tan x(tan x 1) (tan x 1) tan x tan x tan x 23 2 1 (tan x 1) tan x 22 Ví dụ 5: Cho biết sin cos a Tính giá trị lượng giác : sin , cos , tan , cot b Tính giá trị biểu thức: A sin cos6 Giải: a sin cos cos sin Lại có: sin cos sin sin 2 sin sin GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2sin 2 sin www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 1 2 2 sin cos tan 1 cot 1 cos sin Do đó: cos sin Vậy giá trị lượng giác cần tìm là: sin b A sin cos sin cos 2 , cos , tan 1 , cot 1 2 3 1 sin cos 3sin cos sin cos 3sin cos 2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho M(- 4; 3) Hãy tìm giá trị sin x, cos x, tan x, cot x với x xOM Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho giá trị lượng giác góc, tính giá trị lượng giác lại: a sin (biết góc nhọn) d cos b tan 2 c sin e cot 2 f cos Bài 2: Cho biết giá trị lượng giác góc, tính giá trị biểu thức: a Cho biết: sin x , 900 x 1800 Tính A tan x 3cot x tan x cot x b Cho biết: tan x Tính B sin x cos x 3sin x cos x , C sin x 3cos x 2sin x sin x cos x c Cho biết: sin x Tính C cot x tan x cot x tan x d Cho biết: cot x 3 Tính E sin x 2sin x cos x cos x 2sin x 3sin x cos x cos x Bài 3: Cho biết 450 900 a Chứng minh rằng: sin cos b Đặt: a sin cos Hãy tính giá trị biểu thức : A sin cos B sin cos C sin cos D sin cos4 E sin cos6 F sin cos6 Bài 4: Biết sin150 6 Tinh cos150 , tan150 , cot150 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài : Cho sin cos Hãy tính giá trị biểu thức sau: A sin cos B sin cos C sin cos D sin cos4 E sin cos6 F sin cos6 G sin8 cos8 H cos cot sin tan Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau: a a sin 00 b cos00 c sin 900 e a cos900 b sin 900 c sin1800 b a2 sin 900 b2 cos900 c2 cos1800 f sin2 900 cos2 600 3tan2 450 c 4a2 sin2 450 3(a tan 450 )2 (2a cos 450 )2 g sin2 30 sin2 150 sin2 750 sin2 870 d cos2 120 cos2 780 cos2 10 cos2 890 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; 4) xOM 1200 Hãy tìm x Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) xOM Hãy cho biết dấu x, y trường hợp : nhọn , tù Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác : Sử dụng đẳng thức lượng giác : sin (cos 0) cos cos cot (sin 0) sin tan cot (sin cos 0) tan sin2 cos2 1 tan2 (cos 0) cos2 1 cot (sin 0) sin2 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 2 sin x cos6 x sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 3sin x cos x 3 sin x cos8 x sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức: 1 sin x sin x ; cos x cos x tan x với 00 x 1800 Giải: x (00 ,1800 ) sin x cos x cos x cos x cos x VT sin x sin x sin x sin x 1 cos x 2(1 cos x)(1 cos x) 2(1 cos x)(1 cos x) sin x sin x sin x sin x sin x sin x cos x sin x sin x sin x sin x VP tan x cos x cos x Do ta có: VT VP cos2 x (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x Giải: VT tan x sin x sin x sin x sin x 1 2 cos x cos sin x tan x 1 sin x tan x VP (đpcm) Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A sin 30 sin 150 sin 750 sin 870 Giải: Theo cơng thức phụ ta có: sin 30 sin 900 87 cos87 sin150 sin 900 750 cos 750 Do ta có: A cos 870 cos 750 sin 750 sin 87 cos 87 sin 87 cos 750 sin 750 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x A sin x 4cos x cos x 4sin x Giải: Nhận xét: x ta có: 1 sin x, cos x sin x , cos x sin x, cos x A sin x 1 sin x cos4 x 1 cos2 x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cos x 2 (vì sin x cos2 x ) sin x cos x (đpcm) Bài tập áp dụng: Baøi Chứng minh đẳng thức sau: a) (sin x cos x )2 2sin x.cos x b) sin4 x cos4 x 2sin2 x.cos2 x c) tan2 x sin2 x tan2 x.sin2 x d) sin6 x cos6 x 3sin2 x.cos2 x sin x sin x cos x sin x cos x e) sin x cos x tan x cos x cot x cot x f) 2 sin x tan x g) sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 2sin x.cos x h) sin x cos x cos x sin x Baøi Đơn giản biểu thức sau: a) A cos y sin y.tan y b) B cos b cos b c) C sin a tan2 a d) D e) E 4sin2 x.cos2 x sin2 x tan x.cot x f) F sin(900 x ) cos(1800 x ) sin2 x(1 tan2 x ) tan2 x (sin x cos x ) cos 360 sin 540 cos 540 g) G 0 sin144 cos126 i) I cos2 x sin x sin x sin x sin x h) H sin x cot x cos x j) J cos2 120 cos2 780 cos2 10 cos2 890 k) K cos100 cos 200 cos300 cos 400 cos1600 cos1700 cos1800 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số): a A 2cos4 x sin x sin x cos2 x 3sin x b B cos6 x 2sin x cos2 x 3sin x cos x sin x c C cot x tan x (cot x tan x) 2 d D cos 600 x cos 450 x sin x 300 cos x 1350 e E sin x 4cos x cos x 4sin x f F g G cot x tan x cot x cot x cos x sin x cos x cot x cot x Dạng 3: Chứng minh đẳng thức liên quan đến góc tam giác Cho tam giác ABC ta có A B C 1800 A B C 900 2 Vì lý nên xét tốn có biến ba góc tam giác ta liên tương đến công thức bù công thức phụ , cụ thể như: sin A B sin 1800 C sin C cos A B cos 1800 C cos C sin A B C C sin 900 cos 2 Các ví dụ minh họa: Ví dụ : Chứng minh với tam giác ABC ta có: a tan B C 2A 3A cot 2 b cos A B C cos B Giải: B C 1800 A A, B, C ba góc tam giác nên ta có: A B C 180 A C 180 B a tan B C 2A 1800 A 3A 3A tan tan 90 cot 2 (đpcm) b cos A B C cos A C B cos 1800 B cos B (đpcm) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài tập áp dụng: Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh rằng: sin( B C ) sin A cos( A B) cos C A B C cos 2 A B C cot C tan sin A B C cos C A B 2C 3C sin cos 2 A B 2C 3C cot tan 2 sin TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CƠ SỞ LỶ THUYẾT Góc hai vectơ Cho a, b Từ điểm O vẽ OA a, OB b Khi a, b AOB với 00 AOB 1800 Chú ý: + a, b = 900 a b A O + a, b = 00 a , b hướng B + a, b = 1800 a , b ngược hướng + a, b b , a Tích vơ hướng hai vectơ a.b a b cos a, b Định nghĩa: a.a a a Đặc biệt: Tính chất: Với a , b , c kR, ta có: a.b b a ; a b c a.b a.c ; ka b k a.b a kb ; a2 ; a b 2 a 2a.b b ; a b 2 a2 2a.b b ; a2 a a b a b a b a.b > a, b nhọn a.b < a, b tù a.b a b GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 5a d MAMB MAMC MBMC Gọi G trọng tâm ABC GA.GB GA.GC GB.GC a a a2 cos1200 3 Ta có: MAMB MG GA MG GB MG MG GA GB GAGB MG MG GA GB a2 Tương tự ta cúng có: MAMC MG MG GA GC a2 a2 MBMC MG MG GB GC 6 Do : MAMB MAMC MBMC 3MG 2MG GA GB GC MAMB MAMC MBMC a2 a2 3MG 2 5a a 5a 3MG MG a 2 Ví G điểm cố định nên tập hợp điểm M đường tròn tâm G bán kính R = a Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, góc A góc nhọn Trung tuyến AI Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn điều kiện: AB AH AC AK AI Với H, K hình chiếu M lên AB AC Giải: H, K thuộc cạnh AB AC nên ta có: AB AH AC AK AB AH AC AK AB AM AC AM (theo định lý hình chiếu vng góc) AM AB AC AM AI Gọi E trung điểm AI ta có: AI AI AI AI AE.AI Do ta có: AB AH AC AK AI AM AI AE AI AI AM AE AI EM Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua E vng góc với AI (vì E, A, I cố định) Dạng 5: Sử dụng tích vơ hướng để giải tốn cực trị hình học: Phương pháp chung: Sử dụng tích vơ hướng để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, chẳng hạn : S MI c (với c hẳng số , điểm I cố định) Min S c MI = (tức M I) GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 21 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Chú ý : Nếu M nằm đường thẳng d cho trược Min(S) đạt M hình chiếu I lên d Nếu M nằm đường tròn C(O,R)thì Min(S) , Max(S) đạt M giao điểm đường thẳng IO đường tròn (C) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm O Tìm vị trí điểm M thuộc đường tròn (C) để S MA2 MB 2MC đạt giá trị nhỏ , đạt giá trị lớn Giải: Gọi D đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD M Gọi R bán kính (C) C Khi ta có : CA CB CD OA OB OC R 2 S MA MB 2MC O MO OA MO OB MO OC A MO OA OB 2OC OA OB 2OC 2 B M MO CA CB R R R MO.CD 2.MO.CD.cos MO, CD 2.R.CD.cos MO, CD D Ta có: 1 cos MO, CD 2.R.CD S 2.R.CD Min(S ) 2R.CD cos MO, CD 1 (tức M thuộc (C) cho MO CD ngược chiều) Max(S ) 2R.CD cos MO, CD (tức M thuộc (C) cho MO CD chiều) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC đường thẳng d cố định M điểm tùy ý d a Dựng điểm I thỏa mãn điều kiện: IA 3IB IC b Xác định vị trí điểm M cho S MA2 3MB2 2MC đạt giá trị nhỏ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 22 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Giải: A a Gọi H trung điểm AB ta có: IA IB 2IH IA 3IB IC IA IB IC IB HI CB I đỉnh thứ tư HCBI b S MI IA MI IB MI IC H I 2 2MI 2MI IA 3IB IC IA 3IB 2IC M 2MI IA2 3IB 2IC C d B Vì A, B, C I điểm cố định nên IA2 3IB2 IC số Do S MA2 3MB2 2MC đạt giá trị nhỏ IM đạt giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc điểm I lên đường thẳng d BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Cho tam giác ABC vng A, AB = a, BC = 2a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Baøi Cho tam giác ABC cạnh a Tính tích vơ hướng : a) AB AC b) AC.CB c) AB.BC Bài Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = a Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AH CB c) AB.BC Baøi Cho tam giác ABC có : AB.CB AC.BC a Tính cạnh tam giác ABC b Gọi I, J hai điểm thỏa mãn đẳng thức IA IB JB JC tính độ dài đoạn thẳng IJ Baøi Cho bốn điểm A, B, C, D a) Chứng minh: DA.BC DB.CA DC.AB b) Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Baøi Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: BC.AD CA.BE AB.CF Baøi Cho hai điểm M, N nắm đường tròn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI AB AI , BN BI BA.BI b) Tính AM.AI BN BI theo R GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 23 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho tam giác ABC vng A có BC = , M trung điểm BC Biết AM BC Tính độ dài AB AC Baøi Cho tam giác ABC cạnh a AM trung tuyến tam giác ABC Tính tich vơ hướng: a AC AB AC d AC AC AB e AB AC b AM AB c CA BC CA CB AB AC f AB.BC BC.CA CA AB Bài 10 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a) Tính AB AC , suy giá trị góc A b) Tính CA.CB c) Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài 11 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau: a) AB AC b) ( AB AD )(BD BC ) d) AB.BD e) ( AB AC AD)(DA DB DC ) HD: a) a2 b) a2 c) 2a2 c) ( AC AB)(2 AD AB) d) a2 e) Bài 12 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = a) Tính AB AC , suy cosA b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG.BC c) Tính giá trị biểu thức S = GA.GB GB.GC GC.GA d) Gọi AD phân giác góc BAC (D BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD HD: a) AB AC , cos A b) AG.BC d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB c) S 29 54 AB DC AD AB AC , AD AC 5 Baøi 13 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 M trung điểm BC a) Tính BC, AM b) Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA IB 0, JB JC HD: a) BC = 19 , AM = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 b) IJ = 24 133 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 14 Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB2 BC2 CD2 DA2 AC.DB b) Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là: AB2 CD2 BC2 DA2 Bài 15 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH MA BC Baøi 16 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a) MA2 MC MB2 MD2 b) MA.MC MB.MD c) MA2 MB.MD 2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Bài 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a 1; 3 , b ; a x ;1 a Chứng minh a b b Tìm giá trị x để a c c Tìm giá trị x để a c phương d Tìm tọa độ vectơ d để a d b.d 20 Baøi 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(9; 4), C(5; y) D(x; -2) a Tìm giá trị y cho tam giác ABC vng C b Tìm x để A, B, D thẳng hàng Baøi 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(-3; 3), B(4; 4) a Tìm điểm M thuộc trục tung cho AMB 900 b Tìm điểm N thuộc Ox để A, B, N thẳng hàng Baøi 20 Tính góc hai vec tơ trường hợp sau: a a 4; 3 , b 1; c a 2; 5 , b 3; b a 6; 8 , b 12; d a 2; , b 3; Baøi 21 Cho tam giác ABC với A(1 ; 6) , B(2 ; 6), C(1 ; 1) a Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC b Tìm hình chiếu vng góc K đỉnh A lên đường thẳng BC Từ suy A’ đối xứng điểm A qua đường thẳng BC Bài 22 Cho tam giác ABC có A(1 ; -1) , B(5 ; -3) , C(2 ; 0) a Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b Tìm tọa độ điểm M biết CM AB AC c Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 25 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi 23 Cho ba điểm A(7; 4), B(0; 3), C(5; -1) a Tính AB AC b Tính giá trị lượng giác góc BAC c Tìm tọa độ chân đường cao tam giác ABC d Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC e Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC f Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC g Chứng minh I, H, G thẳng hàng, tính tỷ số HI HG Bài 24 Cho tam giác ABC có AC = 2AB Gọi D trung điểm AC , M điểm thỏa mãn điều kiện BM BC Chứng minh BD vng góc với AM Bài 25 Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0) a Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b Tìm toạ độ điểm M biết CM AB AC c Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 26 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8) a Tính AB AC Chứng minh tam giác ABC vng A b Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N g Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i Tìm toạ độ điểm T thoả TA 2TB 3TC j Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B k Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ABC Baøi 27 Cho hình vng ABCD a Gọi M, N trung điểm BC CD Chứng minh BK AC b Gọi P, Q tương ứng BC, CD cho BC = m.BP, CD = m.CQ Chứng minh AP BQ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 26 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 28 Cho hình chữ nhật ABCD a AB = a, AD = a Gọi K trung điểm AD Chứng minh BK AC b2 b AB = a, AD = b Gọi K trung điểm AD L tia AD cho DL 2a Chứng minh BK AL Baøi 29 Cho tứ giác ABCD có AC BD M Gọi P trung điểm AD Chứng minh MP BC MA.MC MB.MD Baøi 30 Cho hình vng ABCD, điểm M nằm AC cho AC = 4AM Gọi N trung điểm DC Chứng minh tam giác BMN tam giác vuông cân Bài 31 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = h, cạnh đáy AD = a , BC = b tìm điều kiện a, , b, h để: a AC BD b AIB 900 với I trung điểm CD Bài 32 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = 2a, cạnh đáy AD = a , BC = 4a a Tính AC.BD , từ suy góc AC BD b Gọi I trung điểm CD, J điểm di động cạnh BC Dùng tích vơ hướng để tính BJ cho AJ BI vng góc Baøi 33 Cho tứ giác ABCD a Chứng minh : AB BC CD DA2 AC.BD b Suy điều kiện cần đủ để có tứ giác có đường chéo vng góc AB2 CD2 BC DA2 Bài 34 Cho tam giác ABC vng A, Gọi M trung điểm BC Lấy điểm B1, C1 AB AC cho AB AB1 AC AC1 Chứng minh AM B1C1 Baøi 35 Cho tam giác ABC cân đỉnh A , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, a Gọi M trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACM Chứng minh OE CM b Gọi BB1 CC1 đường cao tam giác ABC Chứng minh OA B1C1 Baøi 36 Cho đường tròn tâm O điểm P nằm miền đường tròn Qua P, kẻ hai dây cung AB CD vng góc Gọi M trung điểm dây cung BD Chứng minh: PM AC Bài 37 Cho tam giác ABC tìm tập hợp điểm M cho: a) MA2 MA.MB b) ( MA MB)(2 MB MC ) d) 2MA2 MA.MB MA.MC c) ( MA MB)( MB MC ) Baøi 38 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA.MC MB.MD a2 b) MA.MB MC.MD 5a2 d) ( MA MB MC)( MC MB) 3a2 c) MA2 MB2 MC 3MD2 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 27 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Baøi 39 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB MC MD IJ Baøi 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G M điểm tùy ý a Chứng minh rằng: MA.BC MB.CA MC AB b Chứng minh : MA2 MB2 MC GA2 GB2 GC 3MG2 từ suy vị trí điểm M để MA2 MB2 MC đạt giá trị nhỏ Baøi 41 Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện: a MA2 MB2 MC 2a b MA.MC MC.MB f MA2 3MB2 2MC c MA2 MA.MB MA.MC g 2MA2 MB MC a d MB.MC MA2 5a 2 e MA.MB MB.MC MC.MA a2 h MA.MB MB.MC MC.MA a2 Bài 42 Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M điểm tùy ý a Chứng minh : MA2 MB MC MD OB OA2 b Giả sử M di động đường tròn (C), tìm vị trí điểm M để MA2 MB2 MC đạt giá trị nhỏ Baøi 43 Cho tam giác ABC cạnh 6cm Lấy điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đặt S MA2 MB2 MC Tìm vị trí điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Bài 44 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O a Chứng minh rằng: MA2 MB2 MC MD2 a2 M thuộc đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD b Chứng minh rằng: MA2 MB MC 3MD 2MO MA MB MC 3MD c Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S MA2 MB MC 3MD M di động đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Bài 45 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều liện: a MA2 MB2 CA2 CB2 g MA.MB AB.MC b 3MA2 2MB2 MC h MA2 MB.MC c MB MB.MC BC i MA2 MB2 MC AB2 AC d AM BC k (với k số cho trước) k MA2 MA.MB MA.MC e MA MB MC MB l f MA.MB MA.MC MC MB BC m MA2 MA.MB MA.MC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 28 MA MB 2MB MC www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Cho ABC có: – độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S Định lí cơsin a2 b2 c2 2bc.cos A ; b2 c2 a2 2ca.cos B ; c2 a2 b2 2ab.cos C Định lí sin a b c 2R sin A sin B sin C Độ dài trung tuyến ma2 2(b2 c2 ) a2 ; mb2 2(a2 c2 ) b2 ; mc2 2(a2 b2 ) c2 4 Diện tích tam giác 1 aha bhb chc 2 1 S bc sin A ca sin B ab sin C 2 abc S 4R S pr S= S p( p a)( p b)( p c) (cơng thức Hê–rơng) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông A, AH đường cao A BC2 AB2 AC2 (định lí Pi–ta–go) AB2 BC.BH , AC2 BC.CH 1 AH BH CH , AH AB AC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 B 29 H C www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG AH BC AB AC b a.sin B a.cos C c tan B c cot C ; c a.sin C a.cos B b tan C b cot C Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD T B A PM/(O) = MA.MB MC.MD MO R Nếu M ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT 2 PM/(O) = MT MO R Baøi R O M C D Bài tập áp dụng Cho tam giác ABC, BC = a, AC = b, AB = c, S diện tích ΔABC, R bán kính vòng tròn ngoại tiếp, r bán kính vòng tròn nội tiếp; ha, hb, hc đường cao hạ từ A, B, C; ma, mb, mc trung tuyến hạ từ A, B, C; la, lb, lc phân giác hạ từ A, B, C; p nửa chu vi ΔABC a = 5; b = 6; c = Tính S, ha, hb, hc, R, r a 3, b 2,c Tính góc b = 8; c = 5; A = 60° Tính S, R, r, , ma a = 21; b = 17; c = 10 Tính S, R, r, ha, ma A = 60°; hc = ; R = Tính a, b, c A = 120°; B = 45°; R = Tính cạnh a = 4, b = 3, c = Tính SABC, suy SAIC (I trung điểm AB) Cho góc A nhọn, b = 2m , c = m, S = m² Tính a, la Cho c = 3, b = 4; S = 3 Tính a 10 Nếu góc A = 90° CMR: a la bcsin A b r A (b c)sin 11 Cho góc A = 120° CMR: la (b c b c ) c 1 1 r hb hc 1 b c tanA a c b b2 c2 a 12 CMR: cotA + cotB + cotC = R tanB b c a abc 3 b c a 13 Cho a a = 2bcosC Tam giác ABC tam giác gì? bca 14 S = p(p – c) Tam giác ABC tam giác gì? GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 30 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG 15 S = (p – b)(p – c) Tam giác ABC tam giác gì? 16 acosB = bcosA Tam giác ABC tam giác gì? 17 mb² + mc² = 5ma² Tam giác ABC tam giác gì? 18 sinA = 2sinBcosC Tam giác ABC tam giác gì? 19 Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA² + MB² = 5k²/2 20 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a 3(GA² + GB² + GC²) = a² + b² + c² b 4(ma² + mb² + mc²) = 3(a² + b² + c²) c 4ma² = b² + c² + 2bc.cosA 21 Chứng minh với tam giác ABC ta có a S = 2R²sinAsinBsinC = Rr(sinA + sinB + sinC) b a = b.cosC + c.cosB c = 2RsinBsinC d sinB.cosC + sinC.cosB = sinA 2 22 Chứng minh a b c ≥ 2p Nếu dấu “ = ” xảy ABC tam giác gì? b c a 23 Cho b + c = 2a Chứng minh hb hc 24 Định x để x² + x + 1; 2x + 1; x² – cạnh tam giác Khi chứng minh tam giác có góc 120° 25 Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam giác ABC HIJ Chứng minh : SHIJ 26 Hai trung tuyến BM = 6, CN = hợp với góc 120° tính cạnh ABC Baøi Chứng minh tam giác ABC ta có; a a b.cos C c.cos B b sin A sin B cos C sin C cos B d ma2 mb2 mc2 c R sin B sin C e S ABC (a b c ) AB AC AB AC GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 31 www.toanhocdanang.com pr 2R TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a Nếu b + c = 2a 1 hb hc b Nếu bc = a2 sin B sin C sin2 A, hb hc ha2 c A vng mb2 mc2 5ma2 Bài Cho tứ giác lồi ABCD, gọi góc hợp hai đường chép AC BD AC.BD.sin b Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vng góc Cho ABC vuông A, BC = a, đường cao AH a Chứng minh diện tích S tứ giác cho cơng thức: S Bài a Chứng minh AH a.sin B.cos B, BH a.cos2 B, CH a.sin2 B b Từ suy AB2 BC.BH , AH BH HC Baøi Cho AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH a Tính cạnh OAK theo a b Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a c Từ tính sin 2 , cos2 , tan 2 theo sin , cos , tan Baøi Baøi Baøi Baøi 10 Giải tam giác ABC, biết: a c 14; A 600 ; B 400 b b 4,5; A 300 ; C 750 c c 35; A 400 ; C 1200 d a 137,5; B 830 ; C 570 Giải tam giác ABC, biết: a a 6,3; b 6,3; C 540 b b 32; c 45; A 870 c a 7; b 23; C 1300 d b 14; c 10; A 1450 Giải tam giác ABC, biết: a a 14; b 18; c 20 b a 6; b 7,3; c 4,8 c a 4; b 5; c d a 3; b 2; c Cho tứ giác ABCD Gọi α góc hợp đường chéo AC BD a Chứng minh rằng: S ABCD = AC.BD.sin α b Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh rằng: S ABCD S ACC ' Baøi 11 Cho tứ giác ABCD có I, J trung điểm đường chéo AC BD Chứng minh rằng: AB2 BC CD2 DA2 AC BD2 4IJ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 32 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG II Bài Chứng minh đẳng thức sau: sin3 x cos3 x sin x.cos x b) sin x cos x sin x cos x a) cos x sin x sin x tan2 x c) 1 tan x 4sin2 x.cos2 x e) d) cos2 x sin2 x 4 sin x cos x sin x tan2 x sin2 x cos2 x sin x cos x cos x(1 tan x ) sin x(1 cot x ) cos x sin x f) tan x cot x sin x cos x sin x.cos x g) cos2 x(cos2 x 2sin2 x sin2 x tan2 x) 1 Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720 Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Baøi Biết sin18 a) A = cos4 x cos2 x sin2 x b) B = sin4 x sin2 x cos2 x Baøi Cho vectơ a , b a) Tính góc a, b , biết a, b hai vectơ u a 2b , v 5a 4b vng góc b) Tính a b , biết a 11, b 23, a b 30 c) Tính góc a, b , biết (a 3b ) (7a 5b ), (a 4b ) (7a 2b ) d) Tính a b , 2a 3b , biết a 3, b 2, (a, b ) 1200 e) Tính a , b , biết a b 2, a b 4, (2a b ) (a 3b ) Bài Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = a) Tính AB AC cosA b) M, N hai điểm xác định AM Bài Cho hình bình hành ABCD có AB = AB, AN AC Tính MN , AD = 1, BAD 600 a) Tính AB.AD, BA.BC b) Tính độ dài hai đường chéo AC BD Tính cos AC, BD Baøi Cho tam giác ABC có góc A nhọn Về phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân đỉnh A ABD ACE Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI DE Baøi Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Gọi H, K trực tâm tam giác ABO CDO Gọi I, J trung điểm AD BC Chứng minh HK IJ GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 33 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Cho hình vng ABCD có cạnh 1, M trung điểm cạnh AB Trên đường chéo AC lấy điểm N cho AN AC a) Chứng minh DN vng góc với MN b) Tính tổng DN NC MN CB Baøi 10 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) AB.AM AC.AM b) AB.AM AC.AM c) ( MA MB)( MA MC ) d) ( MA MB MC )( MA MB MC ) Baøi 11 Chứng minh tam giác ABC ta có: a) b2 c2 a(b.cos C c.cos B) b) (b2 c2 )cos A a(c.cos C b.cos B) b) sin A sin B.cos C sin C.cos B sin(B C) Baøi 12 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu (a b c)(b c a) 3bc A 600 b3 c a3 a2 A 600 b) Nếu bca c) Nếu cos( A C ) 3cos B B 600 d) Nếu b(b2 a2 ) c(a2 c2 ) A 600 Baøi 13 Cho ABC Chứng minh rằng: a) Nếu b2 a2 b cos A a cos B ABC cân đỉnh C 2c sin B cos A ABC cân đỉnh B sin C c) Nếu a 2b.cos C ABC cân đỉnh A b) Nếu d) Nếu b c a ABC vng A cos B cos C sin B.sin C e) Nếu S 2R2 sin B.sin C ABC vng A Bài 14 Cho ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vng góc với là: b2 c2 5a2 Baøi 15 Cho ABC a) Có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB, BC lấy điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK 16 b) Có cos A , điểm D thuộc cạnh BC cho ABC DAC , DA = 6, BD Tính chu vi tam giác ABC HD: a) MK = 30 15 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 b) AC = 5, BC = 34 25 , AB = 10 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài 16 Cho tam giác có độ dài cạnh là: x x 1; x 1; x a) Tìm x để tồn tam giác b) Khi chứng minh tam giác có góc 120 Bài 17 Cho ABC có B 900 , AQ CP đường cao, S ABC 9SBPQ a) Tính cosB b) Cho PQ = 2 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) cos B b) R Baøi 18 Cho ABC a) Có B 600 , R = 2, I tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACI b) Có A 900 , AB = 3, AC = 4, M trung điểm AC Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M trung điểm AB Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp BCM 13 23 30 Baøi 19 Cho hai đường tròn (O1, R) (O2, r) cắt hai điểm A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn C D Gọi N giao điểm AB CD (B nằm A N) Đặt HD: b) R a) R = c) R AO1C , AO2 D a) Tính AC theo R ; AD theo r b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ACD HD: a) AC = R sin , AD = 2r sin b) Rr Baøi 20 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BD = a, CAB , CAD b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, , a) Tính AC HD: a) AC = a sin( ) a2 cos( ) b) S 2sin( ) Baøi 21 Cho ABC cân đỉnh A, A , AB = m, D điểm cạnh BC cho BC = 3BD a) Tính BC, AD b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Tính cos để bán kính chúng bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC HD: a) BC = m sin , AD = GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 m cos 35 b) cos 11 16 www.toanhocdanang.com ... 15 www.toanhocdanang.com TÍCH VÔ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Dạng 2: Các dạng toán sử dụng biểu thức tọa độ Nếu toán cho dạng tọa độ a a1; a2 b b1; b2 ta sử dụng công thức a.b a1b1 ... 0935 334 225 0 12 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b Tính theo a, b tích vô hướng a AB AC , BD AC , AC AB AC... cos1800 GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 www.toanhocdanang.com TÍCH VƠ HƯỚNG & CÁC ỨNG DỤNG Bài Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến (độc lập với biến số): a A 2cos4 x sin x sin
Ngày đăng: 31/01/2019, 21:49
Xem thêm: