Tích phân padic và các ứng dụng 1

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỨ PHẠM TP Hồ CHÍ MINH Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG NGUYỄN THỊ CẤM THẠCH TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LÒI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu thân hướng dẫn tận tình,chu đáo PGS.TS Mỵ Vinh Quang Bằng kiến thức mà học hai năm qua lóp cao học khoá 17 ngành Đại số lý thuyết số làm tảng cho nghiên cứu tiếp sách tham khảo để viết lên luận văn Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính biết ơn sâu sắc thầy PGS.TS Mỵ Vinh Quang, thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Lê Hoàn Hoá, TS Trần Huyên TS Đậu Thế cấp, quý thầy trực tiếp trang bị cho kiến thức làm tảng cho trình nghiên cứu, dành thời gian quý báu đọc góp ý cho luận văn Tôi vô cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ Thuật Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi công tác tạo điều kiện Nguyên Thị Câm Thạch MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ PADIC .6 1.1 Chuẩn trường 1.2 1.3 Xây dựng trường số p-adic 11 Tính chất tô pô p 17 1.4 Trường số phức hàm chỉnh hình p-adic 23 Chương XÂY DỤNG Độ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC 25 2.1 Không gian hàm địa phương 25 2.2 Độ đo p-adic 28 2.3 Một số độ đo thường dùng 32 2.4 Tương tự p-dic tích phân Riemann 33 2.5 Điều kiện khả tích 35 Chương TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ÚNG DỤNG 45 3.1 Một số kết lý thuyết tích phân Cauchy giải tích phức45 3.2 Tích phân Schnirelman 46 3.3 Lóp (p[D) 56 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VẢN 64 Xa,N DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập số tự nhiên : Tập số nguyên : Tập số hữu tỷ : Tập số thực : Tập số nguyên p-adic : Tập phần tử khả nghịch : Chuẩn trường K : Trường số p-adic : Trường số phức p-adic : Chuẩn p-adic ^N, {xa,N}ư) ordpa : Số mũ củap phân tích a thành thừa số nguyên tố B(a,r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r B[a,r] ịfn D(a,r) Suy Giả sử I I chuẩn trường K Ta chứng minh hàm d từ KxK vào tập Điều vô lý |JC| < Vậy |JC| < số thực không âm xác định d(x,y) = \x- y\ hàm mêtric trường 2) 1) Chứng minh tương tự K 1)=>3) mêtric ứng vớix chuẩn I hai trường họp sau : Giả sử|jc|gọi < 1là |JC|tương < với e K TaI xét Tô pô sinh mêtric tương ứng gọi tô pô tương ứng chuẩn I I • Trường họp : Neu có hai chuẩn tầm thường ta chứng 1.1.4 • Các tính chất minh |1| =|-1| = suy |-x|chuẩn = |x| lại tầm thường Thật vậy: Gỉa sử chuẩn I I tầm thường với X e K , x * 0, ta có |x| = • |x_1|=j—Ị (x^o) Nếu • |0| = 1.1.5 |JC| * ta xét hai trường hợp sau: Định nghĩa hai chuân tương đương Hai chuẩn II I trường K gọi tương đương tô pô cảm sinh hai mêtric tương ứng chúng Kí hiệu I I ~| I 1.1.6 Địn Giả sử I , I h I lý hai chuấn trường K, mệnh đề sau tương đương: |x| < |x| < với xe K |xj < |jcj < với xe K Tồn số dương c > cho |x| J = |x|c với xeK |*II 0 3) =>4) Giả sử {*„ }là dãy Cauchy chuẩn I I , nghĩa \xn -*M| -> m,n^>co c Hay *„ -xm\ọ —>0 m,n —> 00 với c>0 thỏa *„-*, = \xn-xmL Do |*„ -*m L —> m,n —> 00 I n m 12 Vậy {*„ }là dãy Cauchy chuẩn I I 4) =>1) Giả sử 1*1 < ta cần chứng minh 1*1 < Từ giả thiết 1*1 cho 1*1 J= |*|c với * e K Khi ta có: ổ1(a,r) = |*GẨy |*-ứ| 0tốtanên viết\px X I==—, m,nera, \px' n * 0=thì n họp xảy chuẩn \2\ Ta xét trường Tuơngtự ta có \p°2ị = |p*3| = - = \Pkk\ = Trưòĩig họp : Nếu \2\ đề > từ điều kiện tương đương tính phi Archimede 1.1.11 Mệnh • J Ylogj.H KPJ Nên \m\ = \p\“ = = |m|c với c = log ị \p\ Cho {JC7Ỉ} dãy Cauchy /1 Neu X -Ị> khitan —> 00 \x I dãy dừng -Với xe , x< thìA-X>0 p nên ta có : |x| = 1—jd = \-x\a = 1.1.12 Định lý (Điều kiện củacótỉnh phi Archimede ) - Với xe , X > ta viết m,ntưong elà, chuẩn n đưoĩig * : \x\a suy X =I I—, không phitaArchimede Vậy I|x|I là= |x| với mọitrên X etrường TheoK, kiện tương chuẩn truờng n điều Cho chuấn mệnh đề sauđưcmg tưong đưoĩig: Lấy n e N, giả sử n =ữ0 +ax2 + + as2s, đóO + cy+ + cy Suy C]M + C2 W2 + + C"«” = =>|w| |C'+C2M + + C>"-1| =0 \ \p\ n n n \p Mặt khác, (n,p) =1 =>|c'| =\n\ =1 \c2nu + + Cnnun~x\ 00 I* F(z)dz - lim — V F(a + ệỵ) a,/ J ' ' (m,/?)=l m—>OCí yyy Vì (m,p)=ỉ => \m\ ='p1 , ta cần chứng minh lim m->V/(ứ 00 + fr)ỉ = o (m,/>)=l í m - Nếu a = 0, xét lim X f{ệỵ)ệ = lim X/(6 r)£ m—>co m—>00 TT (m,p)=l£ =1 (m,p)=l 1=1 Vì /(z) hàm chỉnh hình Z) nên/(z) có biểu diễn duới dạng chuỗi 7=0 f(z) = ỵcjzJ hội tụ 00 00 Nên ta có /(£r)£ = ỴJCjệ!+Xỵj = ỴcịỴ^r 7=0 7=0 Mặt khác £.m = nên ta viết: oo m-Ị 00 Z v ' ê ' + = v i ồ* = X cý^y 7=0 fc=0 7=0 7+l-£(modm) /n-1 00 Do /(£/)£ = với = z c7 ^ *=0 7=0 7+l=Ắ:(modm) m Í= m-1 Suy £ /(6 r) = !**(£+-+£) fc= Theo bổ đề ta có (£,* + + £*) = với k = l,m-l m Nên 2] /(£r)£ = Í= Ta chứng minh ồ0 -» -> 0 00 Thật vậy, chuỗi CjZJ hội tụ nên ịc.ỵJị -> j —^ GO nên theo định nghĩa giới 7=0 £ C/J 7+l=0(mod = cm_,ym + + cíím_1 y'"” + < £ với m> N m) Suy b0 —» -> 00 Do ta có:|ồj = Từ ta có |im X/(■?,/)?, =° m—>00 *“■ m = Li m ĨYỈ em p(m,p b =\) yr raUm= J1J v ' 10 ẤT ^ Trường họp 1: f ( x ) - ( X - a ) k Bởi j /(z)(z - a)dz =0 với a = a9y tồn thìf{x)dx (í) Nếu Ị f(x)dx < raax |/(jf)| vr=' / Khi đó: [ f{x)dx- [ (x-a)kdx = Lim — y (ẶK)*\™\p ]p Ỵ Lim a,y 00 ^=iLmr= m - Nếu a * 0, ta có /(a + ệiỵ)ệi = Ỵjcj—»0 (a + ệi/Ỵ £ (1) |jt e p>}) (2i) Nếu- {/„(x)) dãy hàm hội tụ vềf(x) mặt cầu: / \x-a\ = rj 7=1 Nếu Ả: = = =m (vìđều {É/#M =l}trên = {£>• ,£,_! _1 crt* _| —1 b —1 ta có [ (Lim - Lim / (x)dx Vì £/”=lnên đặt fj (x))dx + \ = mi + k[ với k e {0,l,2, ,ra-l} J «->00 Do Ị /(x)dx = ỵ° = ì n—>00 J Suy £/+1a,r = ậr+k = ệk với Ẩ: G {0,1,2, ,/n-l} (3i) Nếu rx t (ỉí '”+ £ + + £) Do ta suy j /(x)dx = 0k= Đặc biệt tíchÍ=1 phân không phụ thuộc vào việc chọn Ỵ với \ỵ\ =r, không Theo bổ rxr Bây ta chứng minh cho trường hợp đinh lý - Neu \z-a\) 00 e 00 («,/>)=! í*7 =1*■ J Do (n,p)=l nên \n\ =lsuyra lim y f\z + (ệ-ì)ỵ]ệ = \z\ 00 L J chứng minh định lý ta suy ra: Và g(z) = -lim ^g[z + (£-l)y]£ max I f (z)I = max I f (z)I \z\(a,|y|) Giả Theo sửf(z)chứng mộtminh hàm ởthuộc ọ{B\0,r\) f(z)Gkhả vi Do D(0,r), f(z) khả vi cấp ổ[0,r] đạođó hàm : đỏ thuộc lóp )= lí =' 77^ ■ L Nên — lim V /' \b-ỵ + P)=1’=1 Áp dụng công thức [ /(z)(z -a)dz= lim — V f(a + ệỵ)ệỵ chứng minh đuợc n K)=1 #*-i Lấy *e/?[0,r]thì 1*1 [...]... = /(0)+ẳ/(«)(-l)s- + 2 /(a-p")(-l)4 , a= - +1 2 PX -1 Xét tổng A= z p ■V ~ 1 ,1 ữ= 2 +1 Đặt -b = a-pN thì "))) 0")) a nêu a eio,l, ,— 1 a=^l+, 1 2 J 2 Zd a =1 = /(0)+ẳ/(«)(-l)s-... của tích phân Riemann, khảo sát một số ví dụ cụ thể và điều kiện khả tích của các hàm liên tục làm cơ sở cho chương 3 2 .1 Không gian các hàm hằng địa phương Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phương trên không Đe chứng minh điều này ta lấy xe /“' (a) suy ra /(x) = a Do/ là hàm hằng địa phuơng nên tồn tại lân cận ux của X sao cho /{ux) = {ữj, do đó Uxd f~' (ứ) bởi vậy / _1 (a)... lần Tồn tại tập K0 vô hạn các phần tử x0n của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mồi phần tử đều bằng bo Trong tập K0 các phần tử x0n có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là aXn với « = 0 ,1, 2, ,(/7 -1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0 ,1, 2, ,p-\) Vậy phải tồn tại bx e {0 ,1, 2, , p -1} được nhận giá trị vô hạn lần Do đó tồn tại tập Kx vô hạn các phần tử xXn của dãy {x0n ... 00 ta ịn I < na cách chọn p) Mặt khác, 2* < rt < 2S +1 nên ta có |2Í +11 = |/| + 2S +1 - 1 < |n| + |2'?+l -nị Gọi q số nguyên tố khác p Ta chứng minh q =1 Suy > 12 S +11 -12 " +1 -n > 2(s+ì)a... = xn-xmL Do |*„ -*m L —> m,n —> 00 I n m 12 Vậy {*„ }là dãy Cauchy chuẩn I I 4) = >1) Giả sử 1* 1 < ta cần chứng minh 1* 1 < Từ giả thiết 1* 1