Đánh giá tiên nghiệm của nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm và các ứng dụng của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nơng Thị Thùy Nga ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nơng Thị Thùy Nga ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn – Khoa Toán Tin – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, người thầy kính u nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành luận văn, tơi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu cần thiết để tơi nâng cao trình độ chun mơn, phương pháp làm việc hiệu trình học tập giảng dạy Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin Phịng Sau đại học – Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Thư viện trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập hồn thành luận văn trường Xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KÍ HIỆU Chương CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 1.1 Giới thiệu toán 1.2 Mối liên hệ hệ bất phương trình vi phân hàm nghiệm tốn biên tuyến tính Chương ĐÁNH GIÁ TIÊN NGHIỆM CỦA NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 30 2.1 Giới thiệu toán 30 2.2 Bổ đề bất đẳng thức tích phân vi phân 31 2.3 Đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm 34 Chương ỨNG DỤNG CỦA VIỆC ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 40 3.1 Giới thiệu toán 40 3.2 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.1), (3.3) 42 3.3 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm (3.2), (3.3) 51 3.3.1 Định lý bị chặn nghiệm không mở rộng 51 3.3.2 Định lý bị chặn nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm tổng quát 61 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các phương trình vi phân hàm xuất từ kỉ XVIII công cụ tốn học cho tốn vật lí hình học Tuy nhiên, cuối kỉ XIX chúng biết đến áp dụng cụ thể chưa có nghiên cứu cách hệ thống chúng Đầu kỉ XX, quan tâm dành cho phương trình vi phân hàm tăng lên, đặc biệt ứng dụng khí, sinh học kinh tế Ở thời điểm đó, nhà toán học theo hướng nghiên cứu xây dựng nên lý thuyết định tính cho phương trình vi phân hàm lý thuyết tồn ngày Vào thập niên 1970, phát kiến lớn việc xây dựng lý thuyết tốn biên cho phương trình vi phân hàm đề xuất tảng cho kết hệ phương trình vi phân đối số chậm Tuy nhiên, cịn nhiều khó khăn việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình vi phân hàm trường hợp tuyến tính Trong năm gần nỗ lực nghiên cứu thành cơng trường hợp số tốn biên cho phương trình vi phân hàm Đặc biệt cơng trình tác giả Ivan Kiguradze, Bedrich Puza Zaza Sokhadze, điều kiện tinh vi đảm bảo cho tính giải giải lớp rộng toán biên cho phương trình vi phân hàm phát Một phương pháp việc nghiên cứu tốn biên cho phương trình vi phân hàm đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm, hệ phương trình vi phân đối số chậm, đối số lệch kỹ thuật bất đẳng thức đạo hàm Tôi chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng 2 Mục đích đề tài Nghiên cứu, đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân lý thuyết toán biên Trên sở đánh giá đó, ta xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được, tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến Đối tượng nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày lại kết nghiên cứu Ivan Kiguradze, Bedrich Puza Zaza Sokhadze, cụ thể là: Chương trình bày lại phần kết tài liệu [12], đưa định lý hệ bất phương trình vi phân hàm:  dy ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( y )( t ) − q ( t )  ≤ 0; l ( y ) ≤ c  dt   dz ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( z )( t ) − q ( t )  ≥ 0; l ( z ) ≥ c  dt  dy ( t ) − p0 ( y )( t ) ≤ p ( y )( t ) dt l0 ( y ) ≤ l ( y ) Cùng với toán biên tuyến tính: dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt l ( x) = c 1, , n ) hàm đo Trong đó: I = [a,b], c ∈  n , q ∈ L ( I ,  n ) , σ i : I →  ( i = cho σ i ( t ) ∈ {−1;1= } ( i 1, , n ) ∀t ∈ I , l , l0 : C ( I ,  n ) →  n tốn tử tuyến tính bị chặn, l diag (σ , , σ n ) p tốn tử tuyến tính dương, p, p0 : C ( I ,  n ) → L ( I ,  n ) toán tử tuyến tính bị chặn mạnh Ta đưa mối liên hệ hệ bất phương trình nghiệm tốn biên tuyến tính Chương trình bày kết báo [11], nói việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân lý thuyết toán biên: n σ i u 'i (t ) ≤ pi (t )ui (t ) + ∑ pik (t ) uk k =1 C(I ) + qi (t ) (i = 1, , n) Trong đó, I = [a,b], a, b ∈  , σ i ∈ {−1,1} pi ∈ Lloc ( I ), pik ∈ Lloc ( I ), qi ∈ Lloc ( I ); pi (t ) ≤ 0, pik (t ) ≥ 0, qi (t ) ≥ 0, ∀t ∈ I (i, k =1, , n)  Ta đánh giá nghiệm không âm ( ui )in=1 hệ với ui ∈ C loc ( I ) ∩ C ( I ) Chương trình bày kết báo [11], chủ yếu xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được, tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm phi tuyến: x 'i (t ) + gi (t , x1 (t i1 (t )), , xn (t in (t ))) xi ( t ) = fi (t , x1 (t i1 (t )), , xn (t in (t ))) ( i = 1, , n ) x 'i (t ) + g= fi (t , x1 (t i1 (t )), ,= xn (t in (t ))) ( i 1, , n ) i (t ) xi (t i (t )) x (t ) c (t ), t < a = i Và toán Cauchy:  i x ( a ) = c 0i  i (i = 1, , n) Trong đó, a ∈  + , ci ∈ C (−∞, a), c0i ∈ ; gi :  + ×  n →  + , fi :  + ×  n →  (i = 1, , n) hàm thỏa điều kiện Carathéodory địa phương; g 0i ∈ Lloc ( + ), g 0i ≥ 0, ∀t ∈  + (i = 1, , n) ; ττ 1, , n) hàm đo khoảng hữu hạn cho i , ik :  + → , (i , k = t i (t ) ≤ t ,t ik (t ) ≤ t , ∀t ∈  + 4 Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kết tính chất nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm với điều kiện biên khác Ứng dụng đánh giá tiên nghiệm bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định, tính ổn định tiệm cận hệ phương trình vi phân đối số chậm đối số lệch Ngồi ra, tìm hiểu tài liệu liên quan đến vấn đề quan tâm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học, nghiên cứu sinh nghiên cứu hệ bất phương trình vi phân hàm lý thuyết ổn định cho hệ phương trình vi phân đối số chậm để ứng dụng vào vật lý, sinh học, kinh tế… Nội dung luận văn Luận văn gồm ba chương: Chương Các định lý hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta đánh giá nghiệm tốn biên tuyến tính thơng qua kết hệ bất phương trình vi phân hàm Chương Đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta xét tính giải bất phương trình n σ i u 'i (t ) ≤ pi (t )ui (t ) + ∑ pik (t ) uk k =1 C(I ) 1, , n) + qi (t ) (i = đánh giá nghiệm Chương Ứng dụng việc đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Ứng dụng việc đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số chậm MỘT SỐ KÍ HIỆU •  = ( −∞, +∞ ) ;  + = [ 0, +∞ ) 1 i = k kí hiệu Kronecker’s 0 i ≠ k • δ ik =  1 t ∈ I 0 t ∉ I • χI (t ) =  n • x = ( xi )in=1 vectơ cột n chiều, x = ∑ xi i =1 n ; x ≤ y ⇔ y - x ∈ n+ • x, y ∈ yy • 1, , n ) với X = ( xik )i ,k =1 ma trận cấp n × n với phần tử xik ∈  ( i, k = n n chuẩn X = ∑ xik i , k =1 • X −1 ma trận nghịch đảo ma trận X • r(X) bán kính phổ ma trận X • E ma trận đơn vị • Θ ma trận khơng • mes độ đo Lebesgue X ( t ) : t ∈ I } ( ess sup { xik ( t ) : t ∈ I }) • ess sup {= i , k =1 n • C(I) không gian hàm liên tục bị chặn x : I →  với chuẩn { } { } = x C ( I ) sup x ( t ) : t ∈ I = = x • x C max x ( t ) : t ∈ I Nếu n ( xi )i =1 ∈ C ( I ;  n ) x C = ( xi ) n C i =1 • Cloc ( I ) không gian hàm x : I →  liên tục tuyệt đối tập compắc I • L ( I ) không gian hàm x : I →  khả tích Lebesgue • Lloc ( I ) khơng gian hàm x : I →  khả tích Lebesgue tập compắc I Chương CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 1.1 Giới thiệu toán Xét toán biên tuyến tính cho hệ phương trình vi phân dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) dt (1.1) l ( x) = c (1.2) Đồng thời ta xét hệ bất phương trình vi phân hàm tuyến tính  dy ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( y )( t ) − q ( t )  ≤  dt  (1.3) l ( y) ≤ c (1.4)  dz ( t )  diag (σ ( t ) , , σ n ( t ) )  − p ( z )( t ) − q ( t )  ≥  dt  (1.5) l ( z) ≥ c (1.6) 1, , n ) hàm đo Trong đó: I = [a,b], c ∈  n , q ∈ L ( I ,  n ) , σ i : I →  ( i = cho σ i ( t ) ∈ {−1;1= } ( i 1, , n ) ∀t ∈ I , l : C ( I ,  n ) →  n toán tử tuyến tính bị chặn, p : C ( I , n ) → L ( I , n ) tốn tử tuyến tính bị chặn mạnh Cùng với toán (1.1), (1.2), ta xét toán dx ( t ) = p ( x )( t ) dt (1.1 ) l ( x) = (1.2 ) Định nghĩa 1.1 Tốn tử tuyến tính p : C ( I ;  n ) → L ( I ;  n ) gọi bị chặn mạnh tồn ma trận hàm khả tích η : I →  + cho p ( x )( t ) ≤ η ( t ) x C , ∀t ∈ I, x ∈ C ( I ;  n ) ... dụng vi? ??c đánh giá nghiệm hệ bất phương trình vi phân hàm Ứng dụng vi? ??c đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương trình để xem xét tính bị chặn, tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân đối số... Chương Các định lý hệ bất phương trình vi phân hàm Trong chương này, ta đánh giá nghiệm tốn biên tuyến tính thơng qua kết hệ bất phương trình vi phân hàm Chương Đánh giá tiên nghiệm nghiệm hệ bất phương. .. trình vi phân hàm 34 Chương ỨNG DỤNG CỦA VI? ??C ĐÁNH GIÁ NGHIỆM HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM 40 3.1 Giới thiệu toán 40 3.2 Đánh giá nghiệm hệ phương trình vi phân