Lí thuyết nevanlinna padic và các ứng dụng

sp , ;] Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO / N ĐẠ I H Ọ C TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lục Văn Hào Lục Văn Hào Lí THUYẾT UEVAULÍUUA pADÍIC Lí THUYẾT UEVAULÍUUA pADÍIC DỤNG VÀ CẮC ỨKÍG Chuyên ngành số Lí ỨKÍG thuyết số VÀ: ĐạiCẮC DỤNG Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Ngưòi hướng dẫn khoa học PGS.TS MỴ VINH QUANG Thnh Thnh phố phố Hồ Hồ Chí Chí Minh Minh 2009 2009 II q; Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP.HCM LỤC VĂN HÀO Lí THUYẾT NEVANLÍNNA p-ADỈC VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên ngành : ĐẠI SỔ LÍ THUYẾT so LUẨN VẨN THẠC sĩ TO ẨN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 rf ì LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn, lòng biết on chân thành sâu sắc Xin chân thành cảm ơn thầy Trần Huyên, thầy Bùi Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải, thầy Lê Hoàn Hoá, thầy Đậu Thế cấp tất thầy cô khác trực tiếp tham gia giảng dạy, truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn anh chị phòng Khoa học công nghệ sau Đại học, đồng nghiệp, bạn bè động viên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập suốt thời gian qua hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, 08/2009 Lục Văn Hào MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐÀU Chương MỘT SỐ VẤN ĐÈ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-AĐỈC 1.1 Chuẩn Archimedean chuẩn phi Archimedean 1.2 Trường số/7-adic vành 1.3 Trường số phức p-aáic Chương HAI ĐỊNH LÍ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNApADIC 10 2.1 Các hàm đặc trưng 10 2.2 H định lí lí thuyết Nevanlinna p -adic 15 2.3 N hận xét số định lí mở rộng 23 Chương NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYÉT NEVANLINNA /7-ADIC 29 3.1 ứng dụng lí thuyết Nevanlinnap-adic để giải giả thuyết abc cho trường hàm/?-adic 29 3.2 ứng dụng lí thuyết Nevanlinnap-adic để giải toán Waring cho trường hàm p -adic 50 KÉT LUẬN 61 MỞ ĐÀU Lí chọn đề tài Giải tích /7-adic chuyên ngành toán học phát triển ứng dụng lĩnh vực lí thuyết số đại, góp công lớn vào hai thành tựu bật kỉ 20 lí thuyết số đại chứng minh định lí lớn Fermat (Andrexvs Wiles, 1994) chứng minh giả thuyết Taniyama - Shimura (1999) Là nội dung thuộc chuyên ngành giải tích /7-adic, lí thuyết Nevanlinna p-adic xây dựng, nghiên cứu có nhiều ứng dụng việc khảo sát tính chất hàm nguyên hàm phân hình /?-adic Vì lí đó, chọn đề tài : “Lí thuyết Nevanlinna /?-adic ứng dụng” nhằm mục đích tiếp cận lí thuyết toán học phát triển Lịch sử vấn đề Lí thuyết Nevanlinna /7-adic lần xây dựng Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang Boutabaa vào thập kỉ cuối kỉ trước (xem [2], [5]) sau lí thuyết Nevanlinna /?-adic mở rộng tổng quát nhiều tác giả khác cho trường họp nhiều chiều cho siêu mặt Giả thuyết abc toán Waring hai vấn đề Lí thuyết số đại nhà toán học giới tìm tòi hướng giải tập họp số nguyên Một thành tựu bật việc nghiên cứu hai vấn đề trẽn tập họp số nguyên góp phần giúp chứng minh định lí cuối Fermat cách đầy đủ toàn diện Trong năm gần đây, nhiều tác giả ứng dụng thành công lí thuyết Nevanlinna /7-adic để giải vấn đề liên quan đến giả thuyết abc toán Waring cho hàm nguyên hàm phân hình /7-adic Mục đích nghiên cứu ứng dụng hai định lí lí thuyết Nevanlinna /7-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trường hàm p-adic tìm lời giải cho toán Waring trường hàm /7-adic Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Đại số Lí thuyết số đại, đặc biệt vào hai định lí lí thuyết Nevanlinna p-adic để giải vấn đề đặt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn trình bày nội dung lí thuyết Nevanlinna /?-adic, chứng minh định lí để giải giả thuyết abc cho trường hàm p-adic tìm lời giải cho toán Waring trường hàm p-adic Cấu trúc luận văn Luận văn phân bố ba chương với nội dung cụ thể sau : Chương Một số vấn đề giải tích p-adic Chương trình bày số kiến thức để chuẩn bị cho chương sau bao gồm : chuẩn trường, xây dựng trường số /7-adic vành số nguyên /7-adic p, xây dựng trường số phức /7-adic p Hầu hết nội dung phần chứng minh định lí chương bỏ qua Các nội dung chứng minh chi tiết trình bày tài liệu tham khảo liệt kê cuối sách Chương Hai định lí lí thuyết Nevanlinna /7-adic Chương trình bày hàm đặc trưng hai định lí lí thuyết Nevanlinna p-adic Ngoài cung cấp định lí mở rộng lí thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng chương cuối luận văn Chương Những ứng dụng lí thuyết Nevanlinna p-adic Đây chương luận văn Trong chương này, giới thiệu lịch sử phát triển kết nghiên cứu đạt giả thuyết abc toán Waring tập hợp số nguyên, bẽn cạnh ứng dụng lí thuyết Nevanlinna /7-adic để nghiên cứu giả thuyết abc trường hàm /7-adic toán Waring trường hàm p-adic Chương MỘT SỐ VẤN ĐỀ Cơ BẢN CỦA GIẢI TÍCH p-ADIC Trong chưong trình bày số kiến thức chuẩn bị cho chương sau bao gồm : chuẩn trường, xây dựng trường số />-adic , vành số nguyên p-adic , xây dựng trường số phức p-adic Hầu hết chứng minh chương bỏ qua tìm thấy tài liệu tham khảo 1.1 Chuẩn Archimedean chuẩn phi Archimedean 1.1.1 Chuẩn trường Định nghĩa 1.1 Cho F trường, ánh xạ II II: F —» gọi chuẩn (giá trị tuyệt đối) trường F thoả điều kiện sau : i) Vx e F,||x|| > ||;c|| = ; Định nghĩa 3.29 n được'3gọi Bs n viết f-Y Một so tự nhiên -2 k h i n thành tong thừa bậcn 2r+1của vớitoi n -đa 2r s(rỉuỹ > 2) = 3.2r ; ,2 Định pnghĩa -adic f, g h (khác hàm hằng) thoả (3.7) Khi f I , g m \ ầ h n phải độc lập tuyến tính Giả sử ngược lại, tồn ( a , b , c ) E p - {o} cho a f l + b g m + c h n = Không tính tổng quát, ta giả sử a * 0, theo ta có : íi ìg-+íi V=1 V a) V a) Vì g h hàm nên a ^ b a ^ c Từ đây, ta chọn a,p e cho m a ^ ntl c =1 —, p = —— { a g Ỵ + Ụ3h)n = \ điều tồn (theo định lí 3.44.) điêu không thê tôn (theo định Áp dụng định lí 3.25., ta có : =T{rJ + N2 r,— +N{r,fiyN(r,gmyN[ryy\ogr + 0(\) [...]... /7-ADIC Giả thuyết abc được Oesterlé đặt ra đầu tiên như sau : Sau khi tìm hiểu hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic, chúng ta sẽ nghiên cứubộvềbacác dụngdưong của lí( ỡ,ố,c) thuyếtkhông Nevanlinna p-adic thoả đối với “ Với số ứng nguyên tầm thường a +giả b =thuyết c và abc và bài toán Waring trên trường các hàm p-adic Đây là hai vấn đề có lịch sử lâu nguyên tổ cùng nhau, đặt đời đồng thời... lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna /7-adic 2.2.1 Định lí cơ bản thứ nhất Mặt khác bán kỉnh hội tụ của f{z) VÓ7 kỉnh hội tụ của f và thoả Định lí 2.10 Cho f ỉ à một hàm phân hình khác hàm hằng trên ú—p{r,f^ với mọi 0 r') Áp dụng (2.1) và công thức Jensen ta có đẳng thức sau Vì vậy, khi r > r ' thì: 7 T(rj) = max\N(r,f),N đúng với mọi hàm phân hình / khác hàm hằng r,— trên +0(1) Như minh được đẳng thức dưới đây : r, 0(1) r, + Chứng minh vậy, ta chứng đúng với bất kì hai phần tử khác nhau ũ,b £ u {00} r n ( ) - Pi—Pk (đặt '•(l) = l) Chương 3 NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA /7-ADIC Giả thuyết abc được... đại số, đầy đủ Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ cơ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA /;-AI)IC Trong chương này chúng tôi trình bày một số hàm đặc trưng, hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p-adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục vụ cho chương 3 2.1 Các hàm đặc trưng 2.1.1 Chuẩn trên trường Kí hiệu ;>[[z]] = j/0) = ^^anznịan E p > là vành các chuồi luỹ thừa J n= 0 [ Với r > 0, đặt Arị p"j = ị f... _ và II II = I I _ trên II II p Trường p • p II II p I I p p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn II II vừa xây dụng Nếu ta tiếp tục làm đầy đủ p theo II II thì sẽ nhận được trường các số phức padic, được kí hiệu là = = Trường số phức /?-adic có các tính chất co bản sau : và có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức đóng đại số, đầy đủ Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ cơ BẢN CỦA LÍ THUYẾT... tụ = T ( r , f ) + \og+ p ( r , a ) Nếu z ^ 0, lưu ý rằng (2) = T ( r , f ) + \og+\a\p Chứng minh tương tự, ta cũng có : T(r,f) < T ( r , f - a ) + \og+ ịaị p Từ (1), (2) và (3), ta có được điều phải chứng minh 2.2.2 (3) □ Định lí cơ bản thứ hai Trước khi vào nội dung chính của định lí cơ bản thứ hai của lí thuyết Nevanlinna /7-adic, ta xét bổ đề sau : Trong trường họp f [ z ) hội tụ trên ^,(0,/?), ta ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Lục Văn Hào Lục Văn Hào Lí THUYẾT UEVAULÍUUA pADÍIC Lí THUYẾT UEVAULÍUUA pADÍIC DỤNG VÀ CẮC ỨKÍG Chun ngành số Lí ỨKÍG thuyết số VÀ: ĐạiCẮC DỤNG... Hai định lí lí thuyết Nevanlinna /7-adic Chương trình bày hàm đặc trưng hai định lí lí thuyết Nevanlinna p-adic Ngồi chúng tơi cung cấp định lí mở rộng lí thuyết Nevanlinna p-adic để vận dụng chương... N hận xét số định lí mở rộng 23 Chương NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA LÍ THUT NEVANLINNA /7-ADIC 29 3.1 ứng dụng lí thuyết Nevanlinnap-adic để giải giả thuyết abc cho trường hàm/?-adic