Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 203 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
203
Dung lượng
8,03 MB
Nội dung
Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 TUYỂN CHỌN 205 CÂU OXY TRÍCH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB, gọi M, N trung điểm cạnh AD, BC Trên đường thẳng MN lấy điểm K cho N trung điểm đoạn thẳng MK Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết K (5; 1) , phương trình đường thẳng chứa cạnh AC : 2x y điểm A có tung độ dương (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014) ■ Nhận xét ý tưởng : Bài toán chia thành hai bước: + Bước 1: chứng minh AC KD (dùng giả thiết quan trọng để làm tiếp bước 2) + Bước 2: vận dụng AC KD vào việc giải tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D ☺ Bước 1: Nhận xét sau dựng hình xong phát KD AC Để chứng minh KD AC có nhiều cách kể đến: ● Cách 1: Chứng minh KDC ACD 90 (chứng minh tổng góc tam giác 90 o suy góc DHC 90 Ta có DAC ACD 90 nên ta cần chứng minh DAC MKD (2 góc tam giác MKD ACD ) ● Cách 2: Vẫn với ý tưởng cách 1, ta chứng minh HDC ACD 90 để suy DHC 90 Ta có DAC ACD 90 DAC HDC (2 góc tan DAC tan HDC , để dễ hiểu mở rộng hình chữ nhật ABCD thành hình vng ADEF (và bạn đọc khơng q xa lạ với việc chứng minh AC KD) ● Cách 3: Dựng hệ trục tọa độ Bxy hình vẽ tọa độ hóa điểm điều phải chứng minh tương đương với AC.KD (Bạn đọc xem hình vẽ để hiểu rõ hơn) Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 ● Cách 4: Dựa ý tưởng chứng minh AC.KD Ta sử dụng tích vơ hướng hai a.b | a | | b | cos(a, b) Cụ thể ta gọi M = BC KD chuyển toán véctơ chứng minh AC.KD thành AC.MD (Ta dùng quy tắc “chèn điểm” để tạo tích vơ hướng cạnh có độ dài hợp góc cụ thể) ● Cách 5: Ta chứng minh “điểm thuộc đường tròn” dựa cách chứng minh tứ giác nội tiếp Cụ thể ta chứng minh “H nhìn AK góc vng” Xét thấy “M nhìn AK góc vuông ” Ta chứng minh AMHK tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh DAC MKD (2 góc liên tiếp nhìn cạnh MH nhau) (việc chứng minh tương tự cách cách 2) ● Cách 6: Ta vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh HCD H AC KD để thực điều bạn cần tính số đo cạnh HC, HD, CD theo cạnh lại cạnh cho trước đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” xét thấy IC KD = H IK // CD) Ngồi bạn chứng minh cách “gián tiếp đổi đường” chuyển từ tốn chứng minh vng góc sang song song, chứng minh tam giác vuông đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có góc vng nửa cạnh huyền, v,v,… ☺ Bước 2: Sau chứng minh AC KD Ta hai hướng sau: + Hướng thứ 1: (tạo thêm phương trình đường thẳng mới) _ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H _ Vận dụng định lý thuận Thales cách 6) Ta tìm tỉ số độ dài HK HD chuyển KH kKD KH k KD, (k 0) tọa độ điểm D _ Viết phương trình đường thẳng AD qua điểm D có véctơ pháp tuyến AD AD 2 AC AD CD AD tạo với AC góc với cos n (a; b), (a b2 0) _ Sau viết phương trình AD tìm tọa độ điểm A tọa độ tâm M tọa độ tâm I hình chữ nhật ABCD (dựa quan hệ MK = 3MI MK 3MI ) _ Có tọa độ tâm I (là trung điểm AC BD) tọa độ B C + Hướng thứ 2: (tìm tọa độ điểm A thơng qua độ dài AK) _ Viết phương trình KD H = KD AC tọa độ H _ Tham số hóa điểm A theo đường AC ẩn nên cần phương trình độ dài AK = ? _ Dựa vào định lý thuận Thales cách ta tính độ dài AK AH AC CD KI _ Có tọa độ điểm A tọa độ C tọa độ trung điểm I tọa độ D tọa độ B ► Hướng dẫn giải chứng minh AC KD : Gọi H = AC KD * Cách 1: Ta có MKD = ACD (c-g-c) DAC MKD Ta có: DAC ACD 90 MKD ACD 90 HDC ACD 90 Suy DHC 90 HCD H AC KD H * Cách 2: Dựng hình vng ADEF cho K trung điểm EF Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 tan DAC Ta có: tan MKD CD AD tan DAC tan MKD DAC MKD MD MK Ta có: DAC ACD 90 KDE ACD 90 HDC ACD 90 Suy DHC 90 HCD H AC KD H * Cách 3: Dựng hệ trục Bxy hình vẽ, Đặt cạnh AB = a > AD = 2AB = 2a Ta có: A(0; a), C(2a;0), D(2a; a), K (a; a) AC (2a; a) AC.KD 2a 2a AC KD H Mặt khác KD (a; 2a) * Cách 4: Gọi M = KD BC Xét: AC.MD AD DC MC CD AD.MC DC.MC AD.CD DC.CD a AD.MC AD.MC.cos( AD; MC ) 2a cos a DC.MC (do CD MC ) Với nên AC.MD a a AD.CD (do AD CD ) DC.CD CD a Suy AC MD AC KD H * Cách 5: CD tan DAC AD Ta có: tan DAC tan KDE DAC KDE tan KDE KE DE Suy tứ giác AMHK tức giác nội tiếp (2 góc liên tiếp nhìn cạnh nhau) Mà M nhìn AK góc vng H nhìn AK góc vuông HAK H Suy AC KD H * Cách 6: Gọi M = KD BC Ta có KI // CD IC KD = H, theo định lý thuận Thales ta có: IH HD IK HC HK CD Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 Suy HC 2 AC CD 2 2CD IH IC HD HK KD 5 5 CD 2 HC Xét HC HD CD (theo định lý đảo Pytago) HCD H AC HD 4CD KD ► Hướng dẫn giải hướng thứ 1: * Gọi H = AC KD Do KD AC: 2x + y - = KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1) m = -7 Vậy KD: x - 2y - = 13 x 2x y 13 11 * Tọa độ H nghiệm hê: H ; 5 x y y 11 IH HD IK 2 * Ta có (theo định lý thuận Thales) HD KH HD KH HC HK CD 3 13 13 xD x 1 Suy D D(1; 3) y 11 11 1 yD 3 D 2 * Gọi n (a; b), (a b 0) véctơ pháp tuyến AD Đường thẳng AD qua D có dạng là: a(x - 1) + b(y + 3) = Ta có cos CAD AD AD AC AD CD Mặt khác cos CAD | cos( AD; AC ) | | n.nAC | | n | | nAC | | 2a b | a b 2 b AD : x Suy (2a b)2 4(a b ) 3b 4a AD : 3x y * TH1: Với AD: 3x + 4y + = = AD AC 21 x 2x y 21 27 A ; 5 3 x y y 27 Ta có A Tọa độ A nghiệm hệ Loại A có tung độ dương * TH2: Với AD: x - = 2 x y x A 1;1 Ta có A = AD AC Tọa độ A nghiệm hệ x 1 y 1 Nhận A có tung độ dương Do M trung điểm AD M(1; - 1) Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD, ta có MK 3MI I (2; 1) Mặt khác I trung điểm AC BD B(3;1) C(3; -3) Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(3;1), C (3; 3), D(1; 3) ► Hướng dẫn giải hướng thứ 2: * Gọi H = AC KD Do KD AC: 2x + y - = KD: x - 2y + m = KD qua K(5; -1) m = -7 Vậy KD: x - 2y - = 13 x 2x y 13 11 * Tọa độ H nghiệm hê: H ; 5 x y y 11 * Ta có A AC: 2x + y - = A(a; - 2a) Do A có tung độ dương nên - 2a > a KA (a 5;4 2a) Mặt khác AK KD KH d [ K ; AC ] | 5.2 1.1 | 3 1 a 1(n) Suy AK 20 (a 5) (4 2a) 20 a Vậy A(1;1) a 21 (l ) AC 3IC AC AC AH AI IH IH HD IK 10 * Lại có AC AC AC AC HC HK CD 13 xC 1 x 3 Suy AC AH C C (3; 3) y 11 1 yC 3 C 4 * Gọi I tâm hình chữ nhật ABCD I trung điểm AC BD I(2;-1) Ta có IK I (2;1) CD IK D(1; 3) B(3;1) CD ■ Lời bình: Có thể thấy tốn vận dụng linh hoạt nhiều kỹ thuật, phương pháp để giải đối tượng cần tìm Về phần chứng minh vng góc, bạn thấy, với nhiều phương án tiếp cận khác có nhiều cách chứng minh khác Và sau chứng minh AC KD hướng giải sau ta thấy sức mạnh việc “vận dụng định lý Thales” cách mà “chuyển đẳng thức độ dài đẳng thức véctơ” Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(4;0) , phương trình đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B tam giác ABC x y phương trình đường thẳng chứa trung trực cạnh BC : 2x y Tìm tọa độ điểm B, C, D (Trích đề thi thử khối A, THPT Chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ, năm 2014) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Dễ dàng nhận thấy BD : x y Dựa vào tinh chất đường trung trực BC d vừa vuông BC nên d vuông AD điểm D viết phương trinh AD AD BD D nên ta tìm tọa độ _ Đến để tìm tọa độ tìm điểm B C ta cần tìm tọa độ I giao điểm đường cheo AC BD Dựa vào công thức trung điểm ta biểu diễn tọa độ B C theo tọa độ điểm I _ Cuối có hai hướng tiếp: Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 + Hướng thứ 1: Gọi K trung điểm BC biểu diễn tọa độ K theo tọa độ B C Khi K thuộc đường thẳng trung trực BC + Hướng thứ 2: Ta có BC.ud Giải phương trinh để tìm B C Mời bạn đọc xem lời giải ► Hướng dẫn giải : * Từ giả thiết ta có BD : x y AD qua A(4;0) vng góc với d : 2x y suy phương trình AD : x y 16 7 x y x D(3; 4) y 4 x y 16 * Tọa độ D thỏa mãn hệ C (2a 4; 2b) * Gọi I (a; b) giao điểm đường chéo AC BD B(2a 3; 2b 4) 4a ; 2b a 1 J d 4a 8(2b 2) * Mặt khác 1 I BD a b b Khi tọa độ trung điểm BC J Do tọa độ B(-1; 3) C(-2; -1) Vậy tọa độ điểm cần tìm B(1;3), C (2; 1), D(3; 4) ■ Lời bình: Có thể thấy vai trò giao điểm đường chéo hình binh hanh việc giải toan tìm điểm Trong tập ví dụ minh họa, tác giả nhấn mạnh đến việc chuyển quan hệ chưa biết điểm quan hệ với giao điểm Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD đáy lớn CD Các đường thẳng AC, BD có phương trinh 2x y x y Gọi M trung điểm AB Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đường DM có phương trinh 3x y 11 B có hồnh độ âm (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đức Mậu, Nghệ An, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 _ Dễ dàng tìm tọa độ D D DB DM đồng thời điểm I với I AC BD _ Do tính chất hình thang cân nên AC = BD nên IA = IB suy tam giác IAB cân I Vì MI vng góc AB _ Ta tham số A theo AC, B theo BD (2 ẩn nên cần phương trinh) biểu diễn tọa độ M theo tọa độ A B Do M thuộc DM nên ta pt (1) Mặt khác MI vuông AB (pt (2)) Từ giải (1) (2) ta tìm tọa độ A B _ Khi C CD AC nên ta cần lập phương trinh đường thẳng CD qua D CD // AB ► Hướng dẫn giải : x y 1 x7 * Ta có tọa độ D thỏa mãn hệ D(7; 4) 3x y 11 y 4 1 x x y 1 1 Và tọa độ I thỏa mãn hệ I ; 3 2 x y y1 a 2b 2a b A AC A(a;1 2a) ; * Ta có Ta lại có M trung điểm AB nên M 2 B BD B(1 2b; b) 13a 2b 11 ab IM AB a 1 * Mặt khác, suy A(1;3), B(3; 1) a b 2 M DM b 1 b * Phương trình CD qua D nhận IM làm vecto pháp tuyến C giao điểm AC CD nên ta có tọa độ C (4; 7) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán là: A(1;3), B(3; 1), C (4; 7), D(7; 4) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C): x y y cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng d : 2x y 1 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB tìm tọa độ điểm C 2 (Trích đề thi thử lần 4, THPT Quế Võ, Bắc Ninh, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 _ Để viết phương trình đường AB ta chắn phải sử dụng giả thiết liên quan đến trung điểm M mà cụ thể tìm tọa độ điểm M Do M thuộc d nên ta cần tìm thêm phương trinh liên hệ với M _ Ở đây, ta liên hệ M với I thông qua độ dài MI (sử dụng kiện tam giác ABC đều) _ Mặt khác C giao điểm MI đường tròn (C) nên ta cần viết phương trinh MI ► Hướng dẫn giải : * (C) có tâm I (0; 2) bán kinh R = 2 Gọi tọa độ điểm M (m;2m 1) * Do tam giác ABC nội tiếp (C) nên m 1 R 2 IM m (2m 3) 5m 12m m * Với m = suy M(1; 1) Khi đó, AB qua M nhận IM (1; 1) có phương trinh: x y Mặt khác phương trình MC MC : x y x 2, y x 2, y x y 4x Do tọa độ C thỏa mãn hệ x y 2 Vì C(2;0) phía với M so với I nên không thỏa mãn Ta nhận C (2; 4) * Với m = 7 9 suy M ; 5 5 1 có phương trinh: x y 5 Khi đó, AB qua M nhận IM ; Mặt khác phương trình MC MC : x y 14 14 12 x ,y x y 14 5 Do tọa độ C thỏa mãn hệ 2 x 14 , y x y 4x 5 14 12 14 ; phía với M so với I nên không thỏa mãn Ta nhận C ; 5 5 Vì C Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 14 ; C (2; 4) C Vậy yêu cầu toán tương đương với hay 5 AB : x y AB : x y Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH, phân giác AD 3x + 4y + 10 = 0, x – y + = 0; điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB MC = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết C có hồnh độ ngun (Trích đề thi thử THPT Tuy Phước, Bình Định, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Dựa vào tinh chất phân giác ta dễ dàng tìm điểm N (bạn đọc xem lại chương để hiểu rõ hơn) _ Khi ta dễ dàng viết phương trinh AC vng góc BH qua N Đồng thời tìm điểm A A giao điểm AC AD _ Tới việc tìm tọa độ B cách tương giao đường AB BH (viết phương trinh AB qua A M) Với tọa độ C ta tham số hóa C theo đường AC sử dụng giả thiết MC để giải tìm tọa độ C Mời bạn đọc xem lời giải ► Hướng dẫn giải: * Gọi N điểm đối xứng với M qua AD, đường thẳng MN qua M(0; 2) vng góc AD có phương trình là: x y 1 3 2 2 Tọa độ giao điểm K MN AD K ; suy tọa độ N (1;1) * Vì AD phân giác góc A, M thuộc AB nên N thuộc AC Do AC qua N vng góc BH nên có phương trình: 4x y 1 4 x y x A(4;5) y x y 1 Ta có tọa độ A thỏa mãn hệ * Đường thẳng AB qua A M có phương trình 3x y x 3 1 3x y Ta có tọa độ B thỏa mãn hệ 1 B 3; y 3 x y 10 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 * Ta có MC nên C thuộc đường tròn (C) tâm M, bán kinh MC Ngoài C thuộc AC nên tọa độ C nghiệm hệ: x 1, y x ( y 2) (do C có hồnh độ nguyên ta nhận C(1;1) x 31 , y 33 x y 25 25 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(4;5), B 3; 1 , C (1;1) 4 Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5; 7) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trinh x y Đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng AB có phương trình 3x y 23 Tìm tọa độ điểm B C, Biết B có hồnh độ dương (Trích đề thi thử THPT Chun Vĩnh Phúc, năm 2014) ☺ Nhận xét ý tưởng : _ Ta liên hệ quan hệ điểm đặc biệt A, M, C, D cách cho AC cắt DM I _ Vận dụng định lý Thales thuận quen thuộc ta có tỉ số độ dài cạnh CD IC ID Từ ta tham số hóa C theo đường thẳng x – y + = đồng thời AM IA IM biểu diễn tọa độ I theo A C _ Lại có I thuộc đường thẳng DM nên thay vào ta tìm tọa độ điểm C _ Để xác định tọa độ điểm B ta liên hệ qua trung điểm M thuộc DM sử dụng tính chất hình chữ nhật ABCD AB BC để giải tìm tọa độ điểm B ► Hướng dẫn giải: * Ta có C x y C(c; c 4) , M trung điểm AB I giao điểm AC DM * Theo định lý Thales thuận ta có CD IC ID c 10 c 10 AI AC I ; AM IA IM 3 Mặt khác I thuộc DM nên ta có * Ta có M thuộc MD M m; c 10 c 10 4 23 c C (1;5) 3 3m 23 3m B 2m 5; 10 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 AI // I1H1 // I2H2 AI d * Ta có I trung điểm I1 I2 I 3; Đường thẳng d qua A(2; 3) nhận IA 1;3 làm véctơ pháp tuyến có dạng là: 1(x 2) 3(y 3) x 3y Vậy phương trình đường thẳng thỏa u cầu tốn x y ► Hướng dẫn giải cách 2: Sử dụng phương pháp gọi điểm * Chứng minh (C1 ) (C2) cắt điểm (xem cách 1) x x 2x A x x1 * Gọi A1 (x1 ; y1 ), A (x ; y ) Do A trung điểm A1A2 y1 y2 2y A y y1 x12 y12 13 x12 y12 13 A1 (C1 ) 2 A (C2 ) x y2 12x 11 (4 x1 ) (6 y1 ) 12(4 x1 ) 11 * Ta có: x12 y12 13 (1) 2 x1 y1 4x1 12y1 15 (2) * Trừ vế theo vế hai phương trình (1) (2) ta được: x1 y1 A d (do(*)) * Đặt d: x - 3y + = Ta có: d: x - 3y + = phương trình cần tìm Ad Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y ► Hướng dẫn giải cách 3: Sử dụng phương pháp khoảng cách * Chứng minh (C1 ) (C2) cắt điểm (xem cách 1) * Gọi n (a;b), (a b 0) véctơ pháp tuyến (vtpt) đường thẳng d Đường thẳng d qua A(2;3) có dạng tổng quát là: a(x - 2) + b(y - 3) = d: ax + by - 2a - 3b = 2 AA12 R1 [d(I1 ;d)]2 * Theo định lý Pi-ta-go ta có: mà AA1 = AA2 R [d(I ;d)]2 AA 2 (2b 3b)2 (4a 3b)2 25 2 Suy R [d(I1;d)] R [d(I2 ;d)] 13 a b2 a b (4a 3b) (2a 3b) 12(a b ) b 3ab (*) 2 2 (*) Nhận xét a = b = (loại a b2 ) nên với b ≠ 0, ta chọn a = b0 Do (*) b2 3b b 3 * TH1: với a = 1, b = -3 d1 : x - 3y + = TH2: với a = 1, b = d2: x - = (loại ta có I1I (6;0) n I1I2 (0; 1) nên n I1I2 n , Khi đường thẳng d trở thành đường thẳng chưa dây cung chung (C 1), (C2)) Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y ■ CÁCH : Sử dụng phép biến hình (phép đối xứng tâm) 189 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 ► Hướng dẫn giải cách 4: * Chứng minh (C1 ) (C2) cắt điểm (xem cách 1) * Xét phép đối xứng tâm A(2;3) biến điểm I 2(6; 0) thành điểm I 2’(-2;6), biến đường tròn (C2) thành đường tròn (C2’) biến điểm A2 (C2) thành điểm A1 (C2’) * Khi (C1) (C2’) có dây cung AA1 chung I1I2 ’ AA1 * Đường thẳng d qua A(2; 3) nhận I1I2 ' 2;6 2(1; 3) làm véctơ pháp tuyến có dạng là: 1(x 2) 3(y 3) x 3y Vậy phương trình đường thẳng thỏa yêu cầu toán x y Câu 192 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng A có G trọng tâm, B(10;1), C(10;1) Xác định tọa độ đỉnh A biết diện tích tam giác ABG 20 (Thử sức trước kì thi đề số 3, Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ, Số 426, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : Gọi M trung điểm BC S ABG AB.d (G; AB) S d ( M ; AB) MA ABM S ABM 30 * Ta có: S ABG d (G; AB) GA S AB.d ( M ; AB) ABM Suy S ABC 2S ABM 60 d ( A; BC ).BC (*) 190 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 * Ta có BC (20;0) 20(1;0) BC 20 đường thẳng BC: y – = BA CA BA.CA Đặt A(a; b) Ta có A thỏa hệ: (I) S ABC d ( A; BC ) d ( A; BC ) BC a 8; b a 8; b 5 a 64 (a 10)(a 10) (b 1)(b 1) * Do đó, (I) a 8; b | b 1| | b 1| a 8; b 5 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(8;7) hay A(8;7) hay A(8; 5) hay A(8; 5) Câu 193 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1), B(1;5), C(4;0) Gọi G, H trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A, G, H (Thử sức trước kì thi đề số 4, Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ, Số 427 , năm 2013) ► Hướng dẫn giải : * Ta có G trọng tâm tam giác ABC nên suy tọa độ G(1; 2) * Ta có AH qua H qua A(-2; 1) nhận BC (3; 5) làm vecto pháp tuyến nên có dạng là: 3( x 2) 5(y 1) AH : 3x y 11 Lại có BH qua B(1; 5) nhận AC (6; 1) làm vecto pháp tuyến nên có dạng là: 6( x 1) 1(y 5) BH : x y Khi H giao điểm AH BH nên tọa độ H thỏa hệ: 16 x x y 11 16 23 27 H ; 27 6x y 1 y 23 * Gọi phương trình đường tròn (C) cần tìm có dạng là: x2 y 2ax 2by c 191 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 49 a 108 4a 2b c A (C ) 49 2a 4b c b Ta có: G (C ) 36 H (C ) 5017 32 46 25 a bc 0 729 27 c 54 2 Vậy phương trình đường tròn thỏa u cầu tốn (C ) : x y 49 49 25 x y 0 54 18 54 Câu 194 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có phương trình cạnh AB, AB x y 0, 2x y 1 Điểm M (1;2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D cho DB.DC có giá trị nhỏ (Trích đề thi thử lần khối A, THPT Quỳnh Lưu 1, Nghệ An, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : * Gọi vecto pháp tuyến AB, AC, BC là: n1 (1; 2), n2 (2;1), n3 (a; b) (a b 0) Phương trình BC qua M(1; 2) có dạng: BC : a( x 1) b( y 2) * Tam giác ABC cân A nên: cos B cos C | cos(n1; n2 ) || cos(n2 ; n3 ) | | a 2b | | 2a b | a b ab a b2 a b2 * TH1: a = - b, ta chọn b = -1 suy a = nên BC: x – y + = 2 Dễ dàng suy tọa độ B(0;1), C ; (không thỏa mãn M thuộc đoạn BC) 3 * TH2: a = b, ta chọn b = suy a = nên BC: x + y – = Dễ dàng suy tọa độ B(4; 1), C 4;7 (thỏa mãn M thuộc đoạn BC) * Gọi trung điểm BC I(0; 3) Ta có: DB.DC DI BC BC Dấu xảy D I D(0;3) 4 192 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán D(0;3) Câu 195 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuôn cân A, biết cạnh huyền nằm đường thẳng x + 7y – 31 = Điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; –3) thuộc đường thẳng AB (Trích đề thi thử lần 1, THPT Triệu Sơn 4, Thanh Hóa, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : * Đường thẳng AB có phương trình a( x 2) b( y 3) (a b 0) Do góc ABC 450 nên ta có: 3a 4b | a 7b | 12a 7ab 12b2 50 a b2 4a 3b * Với 3a = 4b, ta chọn a = suy b = Ta có phương trình AB: 4x + 3y + = Vì AC vng AB nên AC: 3x – 4y + = 4x 3y 1 x 1 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình A 1;1 3x y y cos 450 x y 31 x 4 Tọa độ B nghiệm hệ phương trình B 4;5 4x y 1 y 5 x y 31 x Tọa độ C nghiệm hệ phương trình C 3; 3x y y * Với 4a = – 3b, ta chọn a = 3, b = –4, ta có AB: 3x – 4y – 18 = Vì AC vng AB nên AC: 4x – 3y – 49 = 4 x y 49 x 10 A 10;3 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình 3x y 18 y 3 x y 31 x 10 B 10;3 A (!!!) loại Tọa độ B nghiệm hệ phương trình 3x y 18 y Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(4;5), C (3; 4) Câu 196 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có I giao điểm hai đường chéo 10 ; 2 AC BD Cho điểm A(1; 0) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ICD điểm J Tìm tọa độ đỉnh lại hình vng ABCD biết góc CD trục hồnh nhỏ 450 (Trích đặc san số 2, Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ, năm 2012) ► Hướng dẫn giải : * Gọi độ dài cạnh hình vng a > Bán kinh đường tròn nội tiếp tam giác ICD r, ta có: a2 1 2S ICD a r a IC ID CD a a 2(1 2) 193 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 1 a a d ( J ; AB) a r * Ta có: (1) Phương trình AB có dạng: a a d (J; AD) 2 AB : k ( x 1) ly (k l 0) AD : l ( x 1) ky * Áp dụng cơng thức khoảng cách ta có: 10 k 1 l l 3k 2 d ( J ; AB) 3 95 l d (J; AD) 2 10 k l 1 k 95 ) Do AB // CD nên góc AB trục hồnh nhỏ 450 tức giá trị tuyệt đối hệ số góc đường AB nhỏ Do có cặp k 1, l 3 thỏa mãn suy AB: x – 3y – = Ta chọn ( k 1, l 3) hay (k 1; l * Phương trình đường thẳng IJ qua J vng góc AB có dạng là: 2 10 x y IJ : 3x y 2 5 1 Giao điểm IJ AB H ; B 4;1 Từ tìm C(3; 4), D(0; 3) 2 2 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B 4;1 , C (3; 4), D(0;3) Câu 197 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết AB = BC, tọa độ điểm A(2;3) , đường phân giác góc ABC có phương trình x y 1 , hình 29 chiếu vng góc đỉnh B đường thẳng CD điểm H ; Tìm tọa độ đỉnh B, C, D 5 biết diện tích hình thang ABCD 12 (Trích đề thi thử số 7, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) 194 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 ► Hướng dẫn giải : * Tam giác ABC cân B nên AC vng góc đường thẳng d suy AC: x + y – = * Gọi I giao điểm x y x I (3; 2) x y 1 y AC d, nên tọa độ I nghiệm hệ: * Lại có I trung điểm AC nên ta có tọa độ C (4;1) 9 3 3 (3;1) làm vecto pháp tuyến có dạng Đường thẳng BH qua H nhận HC ; 5 là: 29 y BH : x y x 3x y 19 x * Khi tọa độ B nghiệm hệ B(5; 4) x y 1 y 4 10 S ABCD BH ( AB CD) CD 10 AB 4 xD 2(5 2) x 2 * Suy DC AB D D(2; 1) 1 yD 2(4 3) yD 1 Ta có: AB 10, BH Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán B(5; 4), C (4;1), D(2; 1) Câu 198 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x y x y điểm A(4;1) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm B, C cho tam giác ABC (Trích đề thi thử số 8, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 195 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 * Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính R * Vì AB = AC IB = IC nên IA đường trung trực cạnh BC suy d vuông góc IA Do đường thẳng d nhận IA (3;3) 3(1;1) làm vecto pháp tuyến * Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác IAB ta có: AB AH IB IA AB IA AB.cos IAB AB AB 12 AB AH 2 2 * Trường hợp 1: AH AI H I H (1; 2) d : x y * Trường hợp 2: AH AI 1 H trung điểm AI H ; d : x y 2 2 Vậy phương trình đường thẳng yêu cầu toán d : x y hay d : x y Câu 199 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có I, K tương ứng trung điểm 10 3MC cạnh AD BC Điểm M nằm cạnh CD cho MD , biết điểm G 1; trọng tâm tam giác BDK đường thẳng IM có phương trình 3x y 11 Viết phương trình đường thẳng BD (Trích đề thi thử số 9, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 196 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 * Ta có: IM DL ( ID DM )( DC CL) ID.DC ID.CL DM DC DM CL Suy IM DL ID.CL DM DC (do ID DC, DM CL) 1 3a 3a a a DL IM DL : x y 11 11 x x y 11 11 22 H ; * Khi tọa độ H nghiệm hệ: 5 3x y 11 y 22 1 64 100 3a Mặt khác (với a = AB > 0) DH 2 DH DI DM a 9a 9a 10 Suy IM DL Do đó, DL DC CL2 a * Vì 9a 5a DL 5a DG 16 DH 9 10 DH DG D(4; 5) DG a 10 DG 25 25 t I (3; 2) Ta có I IM I (t;3t 11) ID 10 (t 4) (3t 6) 10 t I ; 34 5 2 * Mà IG JG , Với I (3; 2) J(0; 3) JD (4; 2) BD : x y 34 2 21 22 4 Với I ; J ; JD ; BD : x 11y 47 5 5 5 Vậy phương trình đường thẳng yêu cầu toán d : x y hay d : x 11y 47 Câu 200 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm M nằm cạnh BC cho MC 2MB , tia đối DC lấy điểm N cho NC 2ND Biết điểm D(1; 3) , điểm A nằm đường thẳng d : 3x y phương trình đương thẳng MN 4x y Tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD 197 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 (Trích đề thi thử số 10, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Gọi E giao điểm AD MN Khi ED đường trung bình tam giác MCN MC BC AD Suy ED 3ED AD (*) 3 a 3e 2 a 2 4e * Ta có A d A(a;3a 9), E MN E e; 1 Từ (*) 3a 4e 6 e Suy A(2;3) AD (3; 6) 3(1; 2) CD : x y 4 x y x 3 * Khi tọa độ điểm N nghiệm hệ N 3; 5 x y y 5 * Do D trung điểm CN nên ta có C(5; -1) mà BC AD B(2;5) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(2;3), B(2;5), C (5; 1) Câu 201 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB < AC, đường tròn tâm D 22 7 bán kính CD cắt đường thẳng AC, AD rại điểm E ; F (0; 1) Biết điểm 13 13 D nằm đường thẳng d : x y Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 11, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Ta có D d D(d ; d 7) Vì E, F thuộc đường tròn (T) nên DE = DF 2 22 84 DE DF d d d (d 6)2 d D(2; 5) 13 13 2 198 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 CD : x y 12 * Suy FD (2; 4) 2(1; 2) AD : x y (T ) : ( x 2) ( y 5) 20 x y 12 x 6; y 3 C (6; 3) * Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x 2; y 7 C (2; 7) ( x 2) ( y 5) 20 Do C E phía so với đường AD nên ta nhận C(6; -3) 56 32 AC qua C AC : x y * Ta có EC ; 7; 4 13 13 13 4 x y Tọa độ A nghiệm hệ phương trình A(1;1) 2 x y Ta có: AB DC B(3;3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;1), B(3;3), C (6; 3), D(2; 5) Câu 202 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 30, hai điểm E(3;3) , điểm F nằm đường thẳng BC Hình chiếu vng góc điêm D đường thẳng 1 14 3 AF điểm H ; Biết điểm M ;0 trung điểm cạnh AD đường thẳng BC có 5 hệ số góc số nguyên Tìm tọa độ hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 12, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : * Tam giác HAD vuông H có MH trung tuyến nên AD MH 199 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 Ta có: S ABCD AB AD 30 AB d ( M ; BC ) * Đường thẳng BC qua E nên phương trình có dạng ax by 3a 3b a 3a 3b a 2b (tm) 31a 84ab 44b a b2 31a 22b (ktm) Suy BC : 2x y AD : 2x y Ta có A AD A(a; 2a 1) Ta có d ( M ; BC ) a A(1; 3) 1 45 a (2a 1) 2 a 2 A(2;3) M D(2;3) Phương trình đường thẳng AB x – 2y – = Với A(1; 3) * AM x y Tọa độ B nghiệm hệ B(5; 1) 2 x y x y Phương trình đường thẳng CD x – 2y + = tọa độ C thỏa C(2;5) 2 x y * Với A(2;3) , giải tương tự ta có D(1; 3), B(2;5), C (5; 1) D(2;3), B(2;5), C (5; 1), A(1; 3) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(2;3), B(2;5), C (5; 1), D(1; 3) Câu 203 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, tia đối tia BA lấy điểm E cho EB AB cạnh AD lấy điểm F cho DF AF Các đường thẳng CE, CF tương ứng có phương trình 4x y 20 2x 11y 10 Biết điểm M (2;4) nằm đường thẳng AD, tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD (Trích đề thi thử số 13, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 4 x y 20 x C(5;0) * Tọa độ điểm C nghiệm hệ 2 x 11y 10 y 200 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 AD a ID ID CD 2 * Gọi I giao điểm AD CE: Đặt AB = a > Ta có IA AE DF AD 3a 4 5a IF ID DF IF CF suy tam giác ICF cân F * Ta có: a 2 CF CD DF * Gọi vecto pháp tuyến đường thẳng AD n (a;b) (a b2 0) Ta có: cos FIC cos FCI cos(n; nCE ) cos(nCF ; nCE ) | 4a 3b | | 4.2 3.11| 125 a b a 2b AD : x y Nên | 4a 3b | 5(a b2 ) 11a 24ab 4b 11a 2b (ktm) * Phương trình đường thẳng CD: x – 2y – = x y x Tọa độ điểm D nghiệm hệ D(1; 2) 2 x y y 2 4 x y 20 x Tọa độ điểm I nghiệm hệ I (2; 4) 2 x y y 4 2 * Ta có: DA ID A(1; 2) , AB DC B(3; 4) Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1; 2), B(3; 4), C (5;0), D(1; 2) Câu 204 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) Gọi M 10 trung điểm cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) E(0;2) Biết G ; trọng 3 tâm tam giác ABC, điểm F (2; 4) nằm đường tròn (C) đểm B có hồnh độ dương Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 14, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 201 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 IE IF * Gọi I(a; b) tâm hình chữ nhật ABCD Ta có: IE 3IG 41 a (b 2)2 (a 2)2 (b 4) 41 I ;8 x ; y 2 1 10 1 x ; y 1 a (b 2) x y 3 I ; 2 2 1 41 1 * Với I ; , IB 3IG B ; (ktm) Với I ; , IB 3IG B 5; 2 D(0; 3) 4 8 2 10 5 * Ta có: EG ; nEG (1; 2) EF : x y 3 IB 5 25 (C ) : x y Tọa độ điểm C nghiệm hệ: 2 2 2 2 5 1 25 x 0, y (ktm) x y C (6; 1) A(1;0) 2 2 x 6; y ( tm ) x y Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1;0), B(5;0), C (6; 1), D(0; 3) Câu 205 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm cạnh BC, 1 25 phương trình đường tròn ngoại tiêp ABE x ( y 1) phương trình đường thẳng 2 DE : 3x y 18 Biết điểm M (0; 3) nằm đường thẳng AB, tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD (Trích đề thi thử số 15, Website: toanhoc24h.blogspot.com, năm 2015) ► Hướng dẫn giải : 202 Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 1 * Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE có tâm I ;1 , bán kính R 2 1 25 x ( y 1) Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình 2 E (2;3) 3x y 18 * Do tam giác ABE vuông B nên I trung điểm AE suy A(-1; -1) Suy AM (1; 2) AB : x y BC : x y AD : x y 2 x y x 2 * Tọa độ B nghiệm hệ B(2;1) x y y x 3x y 18 3 Tọa độ D nghiệm hệ D 4; 2 x y 1 y xC xD xA xB 7 * Ta có BC AD C 3; 2 yC yD y A yB 7 3 Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A(1; 1), B( 2;1), C 3; , D 4; 2 2 203 ... theo tham số điểm M, đề cập trước đó, AB chinh trục đẳng phương đường tròn (C) (C’) có tâm M bán kinh AM _ Sau thi t lập phương trình AB ta sử dụng giả thi t cuối khoảng cách từ J đến AB để giải... chứa cạnh AB tìm tọa độ điểm C 2 (Trích đề thi thử lần 4, THPT Quế Võ, Bắc Ninh, năm 2013) ☺ Nhận xét ý tưởng : Sách : TƯ DUY SÁNG TẠO GIẢI HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 _ Để viết phương... HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY – HỨA LÂM PHONG 2016 14 ; C (2; 4) C Vậy yêu cầu toán tương đương với hay 5 AB : x y AB : x y Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác