Tuyển chọn các bài toán bất đẳng thức và cực trị – Võ Giang Giai Giới thiệu: Bài toán bất đẳng thức, cực trị luôn gây khó khăn cho phần đông thí sinh vì đây là câu khó trong đề thi nhằm phân loại những thí sinh có năng lực xuất sắc
TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG OXY HAY VÀ KHÓ CỦA TÁC GIẢ ĐOÀN TRÍ DŨNG A I H E B D C M F Biên soạn: Đoàn Trí Dũng Điện thoại: 0902.920.389 HÀ NỘI – THÁNG 4/2016 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AD : 3x y 14 Gọi E 0; 6 điểm đối xứng với C qua AB Gọi M trung điểm CD, BD cắt ME 2 4 điểm I ; Tìm tọa độ đỉnh A , B, C , D 3 3 Tam giác CDE có hai trung tuyến BD cắt ME I I trọng tâm 3 14 tam giác CDE Vậy EM EI ; 1;7 M 1;1 2 3 Phương trình đường CD : x 3y thẳng CD qua M vuông góc E 3x + y - 14 = AD: A AD : 3x y 14 Tọa độ D nghiệm hệ: D 4; CD : x 3y M trung điểm CD C 2;0 B I D C M B trung điểm EC B 1; 3 Vì ABCD hình chữ nhật đó: AB DC 6; 2 A 5; 1 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng BD : 2x 3y Điểm G thuộc cạnh BD cho BD 4BG Gọi M điểm đối xứng với A qua G Hạ MH BC , MK CD Biết H 10;6 , K 13; đỉnh B có tọa độ số tự nhiên chẵn Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Ta chứng minh G, H , K thẳng hàng Gọi E, F tâm hình chữ nhật ABCD, MHCK Ta có: G trung điểm BE Do MBAE hình bình hành Vậy ME AB 2HE H trung điểm EM Do GH FH đường trung bình tam giác MAE, MCE Do đó: GH // AC, HF // AC Do G, H , K thẳng hàng Ta có: Phương trình A B G M E H F D C 17 BD : 2x 3y đường thẳng HK : 2x 3y 38 Tọa độ G nghiệm hệ: G ;7 HK : 2x 3y 38 BD : 2x 3y B 7;6 Do GH GP GB nên tọa độ B nghiệm hệ: 17 13 B 10;8 G; GH : x y Vì đỉnh B có tọa độ số tự nhiên chẵn B 10;8 Mặt khác: BD BG D 4; Ta viết phương trình đường thẳng DK : y ta có đường thẳng BC : x 10 BC : x 10 Vậy ta tìm C nghiệm hệ: C 10; Vì: BA CD A 16; DK : y BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 K Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC , cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho BM CN Gọi D, E trung điểm BC MN Đường thẳng DE cắt đường thẳng AB, 1 1 AC P Q Phương trình đường thẳng BC : x 10 y 25 P 0; , Q 0; Tìm tọa độ đỉnh B, 2 2 C biết A nằm đường thẳng x y Gọi J trung điểm MC Vì JE, JD đường trung bình tam giác 1 CMN , CMB đó: JE // CN, JD // BM JE CN , JD BM 2 Mặt khác BM CN DJE cân J P A Q Ta có: JED CQD AQP, JDE APQ Do đó: APQ ∽ JDE Vậy APQ cân A Ta viết phương trình đường trung trực M PQ d : y Do tọa độ A nghiệm hệ phương 2 x y trình: A 1;0 Từ ta viết phương d : y trình đường thẳng: AP : x 2y , AQ : x y E N J B D C AP : x y Tọa độ B nghiệm hệ phương trình: B 5; 3 BC : x 10 y 25 AQ : x y Tọa độ C nghiệm hệ phương trình: C 5; BC : x 10 y 25 Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC AB đỉnh C 15; 9 Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC điểm I 5;1 Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ âm phương trình đường thẳng AI : x y Vì IA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo tính chất góc tiếp tuyến dây cung A góc nội tiếp chắn cung, ta có: IAB BCA IAB ∽ ICA IB IA AB IB IB IA AB Do đó: IA IC AC IC IA IC AC 3 5 Do ta có: IC 4IB B 0; IB 2 I B C Vậy: IA 2IB 5 Tọa độ A nghiệm hệ I ; IA : x 2 y 12 125 A 5;6 phương trình: AI : x y 0, xA Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A 0;7 , tâm đường tròn nội tiếp điểm I 0;1 Gọi E trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B, C biết AH HE B có hoành độ âm BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có: AI AB IE BE A Mặt khác, cạnh tương ứng vuông góc nên HAD HBE , HAF HCE Lại có ABC cân A, đó: HAF HBE Vậy: HBE ∽ BAE Do đó: AE BE AE AE BE AE 8 BE EH BE BE EH EH AE AB 2 tan ABC tan2 ABC BE BE cos ABC F Vậy: AI 3IE E 0; 1 Do ta viết phương trình đường thẳng BC qua E vuông góc với AE là: BC : y 1 Mặt khác AE BE 2 D I H B C E AE 2 Vậy B C hai nghiệm E; EB : x2 y 12 B 2 2; 1 , C 2; 1 hệ phương trình: BC : y 1, xB Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có D 10; 5 trung điểm AB Trên tia CD lấy 22 I ; cho ID 2IC Gọi M 7; 2 giao điểm AI BC Tìm tọa độ đỉnh ABC 3 Trên đoạn thẳng BC lấy điểm G cho IG // AB Theo định lý Thales A IG CG CI 1 IG cho CBD ta có: CG GB BD CB CD AB Mặt khác theo định lý Thales cho MAB ta có: MG MI IG 1 MG GB MA MI A 9; MB MA AB D Vì D 10; 5 trung điểm AB ta có B 11; I 1 Mặt khác, CG GB MG GB đó: 2 MG CG CB BM BC C 6; 3 B G M C 15 Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD Gọi M 3; 1 điểm nằm đoạn AC cho AC AM , gọi N 1; điểm đoạn AB cho AB 3BN , gọi P 2;0 điểm đoạn BD cho BD 4DP Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD Gọi I giao điểm PM AB, J giao điểm MN AD, T điểm nằm cạnh AC cho AC = 3TC 7 3 MI MP , PM MI I ; Ta có: BC AD 2 2 J I A M Đường thẳng qua I N AB : x 5y 17 AC AC NT NM MT AT AM Vì: JA MJ AM AM AC E P D N T C BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 B Do đó: 18 24 IN MT NT IN IA A 5; Vậy: AB AN B 4; 5 IA MA JA 34 8 Mặt khác: AC AM C 3; Vì ABCD hình bình hành nên: BA CD D 6; 5 7 Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 3AB Lấy D ; cạnh AB 2 Gọi E điểm nằm cạnh AC cho CE BD DE cắt BC K 17; 3 (E nằm D K) Biết C 14; 2 Viết phương trình cạnh AC Lấy F cạnh BC cho FE // AB Theo định lý Thales KE FE cho KBD , ta có: Mặt khác, theo định lý Thales KD DB FE CE FE AB cho ABC ta có: AB AC CE AC KE FE AB 1 Vì CE BD đó: KE KD KD CE AC 3 A D E B F C K 25 Từ ta tìm tọa độ điểm E ; 5 viết phương trình đường thẳng AC : 2x y 30 Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC AB Phương trình đường chéo BD : x Gọi E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC AE , gọi M trung điểm cạnh BC Tìm tọa 5 độ đỉnh A , B, C , D biết E ;7 , SBEDC 36 , điểm điểm M nằm đường thẳng x y 18 đồng thời 2 điểm B có tung độ nhỏ AB AE A Ta chứng minh: EM BD Thật vậy, ta có AC AB ABE ∽ ACB Vậy: BC 2BE , mà BC 2BM EBM cân 1 B Mặt khác, IE IA AB, IM AB (đường trung bình ABC ) 2 Vậy IB đường trung trực EM Do EM BD Phương trình đường thẳng EM qua E vuông góc BD EM : y 2 x y 18 11 M ;7 Vậy tọa độ M nghiệm hệ: 2 EM : y E D B I M C Như ta có ME Mặt khác, SBEDC 2SBEC 4SBEM d B; EM ME 18 d B; EM Gọi tọa độ tham số điểm B 4; b , ta có: d B; EM b7 b 13 b Vì B có tung độ bé ta chọn B 4;1 Vì M trung điểm BC ta tìm C 7;13 Do: AC AE A 1; Lại có ABCD hình bình hành, vậy: BA CD D 4;17 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 11 17 Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A, đường cao AD Gọi E ; 5 chân đường phân giác hạ từ đỉnh A ACD Biết tọa độ đỉnh B 4;1 điểm A có hoành độ nhỏ nằm đường thẳng : x y Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Vì ABD ∽ CAD đó: BAD ACD Mặt khác: BAE BAD DAE A AEB EAC ECA BAE BEA hay BA BE B; BE : x 2 y 12 Do tọa độ A nghiệm hệ: : x y 0, xA Do ta tìm tọa độ điểm: A 1;1 Từ tìm C 4;1 B D C E Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I đường kính AE Gọi F trung điểm BC Đường thẳng qua F vuông góc với AC có phương trình d : x y Biết 5 3 tọa độ điểm B 4;1 , I ; đỉnh E có hoành độ hợp số Tìm tọa độ đỉnh A C 2 2 Ta có: AC CE, AC FH FG // CE Do FG đường trung bình A BCE G trung điểm BE Vì theo tính chất tâm trung điểm dây cung ta có IG.GB 9 3 Gọi G 2a; a , ta có: IG 2a; a , GB 2a 3;1 a 2 2 9 3 Do đó: 2a 2a a 1 a a a 2 2 Với G 2a; a E 10 4a; 2a 1 Do ta chọn E 4; I B H C F G E Vì I trung điểm AE ta tìm A 1;1 viết phương trình đường thẳng AC qua A vuông 2 5 3 I ; IB : x y góc GH là: AC : 2x y Do ta có C nghiệm hệ: C 2; 2 AC : x y 0, C A BÀI 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Phương trình tiếp tuyến đường tròn A là: x y Đường phân giác góc góc A cắt BC E 9; 3 Tìm 21 tọa độ đỉnh tam giác biết điểm B ; điểm A có tung độ dương 5 Đường thẳng BC qua điểm B E nên có phương A trình là: x y Gọi F giao điểm tiếp E I F C D B tuyến A với đường thẳng BC Tọa độ điểm F nghiệm hệ phương trình: x y x F 5;1 x y y Kẻ AD phân giác góc A tam giác ABC FAD FAC CAD; FDA ABC BAD BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Và FAC ABC sdAC; CAD BAD đó: FAD FDA FDA cân F nên FA FD Lại có AD AF phân giác góc A nên AE AD Do F trung điểm DE Tìm A: Là giao điểm đường tròn đường kính ED tiếp tuyến A Do ta viết phương trình đường tròn đường kính ED: FE 42 22 20 nên Đường tròn tâm F là: x 5 y 1 20 2 x y x y x y Tọa độ điểm A nghiệm hệ: y 2 x y 1 20 y 1 y 1 Do điểm A có tung độ dương nên A 1; 3 x y x y x y Điểm D nghiệm hệ: y 1 D 1; 1 2 x y 1 20 5 y 1 20 y 3 Đường thẳng AD: x Gọi M điểm đối xứng với B qua đường AD M ; 5 2 x y 7 C ; Phương trình đường AM là: x y Tọa độ C nghiệm hệ: 3 x y Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường tròn I K giao hai điểm phân biệt có điểm A Gọi : x y đường thẳng qua A cắt hai đường tròn điểm C D Gọi F trung điểm IK, gọi H 5; 1 điểm đối xứng với A qua F Biết tọa độ điểm C 1; 1 , K 5;1 Viết phương trình đường tròn I Gọi M , N , E hình chiếu I , F , K lên đường thẳng CD Ta dễ dàng chứng minh M , N , E trung điểm AC , ME, AD Như MFE cân F HCD cân H Do tọa độ D nghiệm H ; HC : x 2 y 12 36 D 5; hệ: : x y 0, C D Do tọa độ A nghiệm hệ phương trình: K ; KD : x 2 y 12 16 A 1;1 : x y 0, A D C M A N E D I F K H Do đó: F 3;0 I 1; 1 I : x 1 y 1 2 Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông B với đường cao BM Gọi D điểm đối xứng với A qua M Gọi I hình chiếu vuông góc D cạnh BC Biết tọa độ điểm B 2;1 , I 4; 5 điểm M nằm đường thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh A C BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Tứ giác BMDI nội tiếp đó: BIM BDM mà tam giác ABD cân B B BAD BDM MBI BDM Vậy: MBI MIB MI MB Mặt khác trung trực IB là: x y x y M 7;1 tọa độ M nghiệm hệ: x y Phương trình đường thẳng AC : x Phương trình đường I A M D C 3 thẳng IB : 2x y C 7;11 , A 7; 2 Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng cạnh là: AB : 2x y 0, AC : x 2y Trên đường thẳng AC lấy điểm E Gọi CF tiếp tuyến với đường tròn tâm E bán kính EA F tiếp điểm thỏa mãn đường thẳng AF cắt đoạn thẳng BC 5 điểm D ; Biết ED BC , tìm tọa độ điểm F 2 Các tứ giác AEDB EFDC nội tiếp đó: FCE EDA EBA Do kết hợp với EA FE ta có: ABE FCE EB EC Tam giác EBC cân E có đường cao ED D trung điểm BC Gọi B b; 2b , C 2c 1; c Vì D trung điểm BC A E b 2c B 0; , C 5; Tọa độ A ta có hệ: 3 2b c AB : x y A 1;1 nghiệm hệ phương trình: AC : x y F B D C ED : x 5 7 E ; Phương trình đường thẳng ED : 2x , tọa độ E nghiệm hệ: 2 4 AC : x y 2 5 45 E; EA : x y 14 17 Đường thẳng AD : 4x 3y Do đó: 2 16 F ; 5 AD : x y 0, F A Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn đường kính AI Đường tròn tâm I bán kính IB cắt đường thẳng qua B song song với AC J Đường thẳng JA cắt I 3 1 điểm E Đường thẳng BE kéo dài cắt đường thẳng AC điểm K ; Biết phương trình đường 2 2 thẳng AB : x 3y 0, BC : x y Tìm tọa độ đỉnh ABC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 A Ta thấy AB AC tiếp tuyến kẻ từ A tới I ABE BJE EAK; KCE EBK AEK ∽ BAK đồng thời CEK ∽ BCK nên KA2 KE.KB KC Do K trung điểm AC Ta có tọa độ B nghiệm hệ phương trình: AB : x 3y B 4;0 BC : x y Ta có: A 3a;a ,C c; c K trung điểm AC nên ta E K B C có hệ phương trình: 3a c a a c 1 c I Do ta có: A 1;1 , C 2; 2 J Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi P 5; điểm nằm cung nhỏ AC đường tròn tâm B bán kính AB Đoạn thẳng BP cắt đường tròn đường kính AB điểm 17 14 K ; Biết hình chiếu F P đường thẳng AB nằm đường thẳng : x y 11 có 5 hoành độ nhỏ Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD Kéo dài AK cắt đường tròn B; AB điểm E Ta dễ dàng chứng minh K trung điểm AE BK AK Khi APE cân P đó: PAK PEA ABP Mặt khác theo tính chất góc tiếp tuyến dây cung ta có FAP ABP AP phân giác FAK ta có FAP KAP PF PK Do ta tìm F 5;6 A F D P K Do ta có: AD : y 6, AK : 4x 3y 22 A 1;6 Vậy: AB : x 1, KP : 3x y B 1;1 FA FA 4 Ta có: AF AD D 6;6 AD AB 5 Vì ABCD hình vuông nên: AB DC C 6;1 C B E Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H phương trình đường thẳng AB : 4x y Trung điểm BC M 4;1 Đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt đường 16 13 thẳng AB AC E F ; Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết E có hoành độ nhỏ 3 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Gọi D điểm đối xứng với A qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC, ta có M trung điểm HD Ta có BHCD hình bình hành Nên HBD HCD Các tứ giác BHDE DHFC nội tiếp HBD HED, HCD HFD hay HED HFD Vậy DEF tam giác cân D Có DH vuông góc EF nên H trung điểm FE ME = MF Đường tròn tâm M bán kính MF cắt đường thẳng AB E H trung điểm FE nên tìm H Viết đường thẳng HC qua H vuông góc AB Gọi B b AB, C c CH Giải phương trình M trung điểm BC tìm B C Đường thẳng BE đường thẳng CF cắt A A F H B C M E D Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I 6;6 tâm đường tròn nội tiếp J 4; BJ CJ cắt đường tròn I M N Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình x y 59 đỉnh B có hoành độ nhỏ hoành độ điểm C A M K N J I B C Do NJA NAJ NJA cân N lại có NM phân giác ANC nên A J đối xứng với qua đường thẳng MN Do dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN sau: 6 xA y A 88 116 A ; xA yA 25 25 6 59 8 2 Đường thẳng AJ: 3x y Gọi D giao điểm AJ với đường tròn(I) Phương trình đường tròn (I) là: x y D Toa độ D nghiệm hệ: 4y 3 x y x D 8;8 2 x y 25y 316 y 928 Phương trình đường tròn tâm J bán kinh JD là: x y 5 25 2 Do DJ= DB =DC nên B C giao điểm đường tâm J bán kính JD với đường tròn (I) x 2 y 2 y 24 x 44 32 B 8;8 ; C ; Do tọa độ B C nghiệm hệ: 2 5 x y 25 5x 84 x 352 Bài 20: Trong mặt phẳng với trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A 1; AB BD Gọi N 11 điểm đối xứng C qua D H ; hình chiếu vuông góc N BC Tìm tọa độ đỉnh B, C, 5 10 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 D biết D thuộc đường thẳng x y A Ta thấy tứ giác ABDN hình chữ nhật điểm A;B;H;D:N thuộc đường tròn đường kính AD Do AH DH Phương trình đường thẳng DH qua H vuông góc với Ah nên có phương trình: x y B 4 x y D 1; 1 D nghiệm hệ: 2 x y Đường tròn đường kính AD có phương trình: H x2 y 1 C D N Đường thẳng BC qua H song song với AD nên có phương trình: x y x2 y 12 y x B 1; Tọa độ điểm B nghiệm hệ: 5x 16 x 11 2 x y Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn có tâm I 2;0 Một đường tròn có tâm K tiếp xúc với AB B qua C cắt đường thẳng AC điểm D Biết đường thẳng BD : 5x y 20 điểm A nằm đường thẳng : x y 10 Tìm tọa độ đỉnh A B biết đỉnh B có hoành độ số nguyên tố Ta có: IAB 900 DCB , mặt khác AB tiếp tuyến K ABD DCB A IAB ABD 900 IA BD Do IA : x 5y A 7;1 D Vậy tọa độ B nghiệm hệ phương trình: I ; IA : x 2 y 26 B 3; BD : 5x y 20 E I B C K Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn : x y 1 25 có tâm I Gọi D E hình chiếu A B lên BC AI Biết phương trình đường thẳng DE : 2x y đường thẳng AC qua điểm P 9; Tìm tọa độ đỉnh B C 2 biết điểm A D có hoành độ âm Kẻ đường cao BK tam giác ABC Ta có tứ giác AEDB tứ A giác nội tiếp nên BAD BED Mặt khác tứ giác ABEK nội tiếp K nên EAK KBE 90 ABC BAD BED KBE DE // BK Vậy DE AC Do đó: AC : x y Tọa độ A C nghiệm hệ phương trình: : x 2 y 12 25 A 1; 3 AC : x y 0, xA C 7;1 Phương trình đường tròn đường kính AC là: : x 3 y 1 2 E P I B D 20 11 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 C : x 2 y 12 20 D 1;1 Tọa độ D: DE : x y 0, xD CD : x 0, B C B 1; Phương trình đường thẳng CD : x tọa độ B: 2 : x y 25 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D E tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh AB AC Biết DE : x y 35 11 trung điểm cạnh BC M 11; Tìm tọa độ đỉnh B C biết trung 2 bình cộng giá trị hoành độ tung độ B lớn 10 Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi H giao điểm A AB : 4x 3y 65 BI DE Tứ giác ADIE nội tiếp nên: EAI EDI EHI 1800 HDB DBH 1800 900 EDI A B C B 900 2 E H D Do đó: EHI ECI tứ giác EHCI nội tiếp Vậy: IHC 90 Vậy: MH MB MC IHM IBM IBA MH // AB Do ta có: MH : 8x y 55 I 7 9 MH : 8x y 55 Tọa độ H nghiệm hệ: H ; 2 2 DE : x y 35 Do tọa độ B nghiệm hệ phương trình: B C M 11 625 M; MH : x 11 y 2 B 23;9 Vì M trung điểm BC nên ta tìm C 1; AB : 4x 3y 65 0, x y 20 B B Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, đường cao AK CD Biết : x y đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK, trung điểm AC điểm P 7; đường thẳng BC qua điểm Q 1; Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm D có hoành độ lớn tung độ Ta có I P tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHK, AKC tam giác IBK APK cân I A P Do đó: IKB IBK , AKP PAK Mặt khác: KAP IBK (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Do đó: IKB AKP Mà IKB IKH 900 AKP IKH 900 IK PK Theo định lý Pithagore: PK IP IK Do tọa độ D K nghiệm hệ phương trình: : x 2 y 5, x y D 4; 1 D D 2 P ; PK : x y 45 K 1; P D H I B K Q C 12 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 : x 2 y B 1; 2 Do đo ta có: KQ : x Tọa độ B nghiệm hệ: KQ : x 0, B K KQ : x 0, C K C 1;8 P trung điểm AC nên A 13; Tọa độ C nghiệm hệ: 2 P; PK : x y 45 Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có E;F chân đường vuông góc hạ từ B C lên đường phân giác góc A, điểm K giao điểm đường FB CE Tìm tọa độ đỉnh A có 1 hoành độ nguyên nằm đường thẳng: x y E 2; 1 ; K 1; 2 Ta chứng minh AK BE sau: BE AD KB KE BE CF BE (1) Do KF KC CF CF AD Lại có ABE đồng dạng với ACF (g.g) BE AE (2) CF AF KB AE Từ (1);(2) AK BE KF AF Mà BE AD AK AD A K E C B D F Do A nằm đường thẳng x y nên A a; 2a 3 Do AK AE AK.AE 5 5 Có: AK 1 a; 2a ; AE a; 2a AK.AE 1 a a 2a 2a 2 2 a 1 a a a a 5a a Do A có hoành độ nguyên nên A 1; 1 a 3 Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn I có AC AB 3 Gọi D 2; chân đường phân giác góc A E 1;0 điểm thuộc đoạn AC cho AB AE Tìm 2 tọa độ đỉnh tam giác ABC biết I có phương trình: x2 y x y 30 A có hoành độ dương Gọi H giao điểm AI với đường DE A Ta có ABD ADE(c.g.c) nên ABC AED Mà tam giác IAC cân I nên: HAE ACI E I 1800 AIC 900 ABC AHE 1800 AED HAE 1800 900 900 H B D M C Do AI vuông góc với đường thẳng DE Đây tính chất hình học quan trọng cần phải tìm toán Đến công việc trở nên đơn giản sau: F 13 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ;1 ; R Phương trình đường thẳng (DE): x y Đường thẳng AI qua I vuông góc với đường DE: (AI): 2 x y A giao điểm AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tọa độ A nghiệm hệ phương y 2x 2 x y trình: x1 2 x y x y 30 5x 5x 30 x2 3 Do điểm A có hoành độ dương nên A 2;6 Đường thẳng (AD): x Do AD phân giác góc BAC mà AB AE E đối xứng với B qua đường thẳng AD yB Do EB.AD trung điểm EB thuộc đường AD : 1 xB B 5;0 Phương trình đường thẳng (AE): x y Gọi F giao điểm AD với đường tròn (I) nên tọa độ điểm x x y Do A 2;6 nên F 2; 4 F nghiệm hệ: 2 x y x y 30 y 4 Phương trình đường (BC) qua F vuông góc với IF (BC): x y 10 x y 10 14 22 C ; C giao điểm BC AE nên tọa độ C nghiệm hệ: 2 x y Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh C 4; 3 M điểm nằm cạnh AB M A, M B Gọi E, F hình chiếu vuông góc A, C lên DM I giao điểm CE BF Tìm tọa độ đỉnh A, B, D biết I 2; 3 đỉnh B nằm đường thẳng x y 10 M A B E I G J F D Ta có: ADE DCF ( phụ với góc FDC) AED DFC AE DF MAE EAC 450 Ta có: BDF MDA 450 EAC BDF lại có BD AC MAE MDA EAC FDB FBD ECA tứ giác BIGC nội tiếp Mà BGC 900 BIC 900 IB IC Ta có phương trình đường thẳng (IB): x y C x y 20 B ; Do B nghiệm hệ: 3 x y 10 14 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 4 7 25 Gọi J trung điểm BC J ; Phương trình đường thẳng (JG) có phương trình: 8x y 0 3 3 2 4 7 260 Đường tròn đường kính BC có phương trình: x y G giao điểm đường thẳng JG 3 3 với đường tròn đường kính BC nên tọa độ G nghiệm hệ: 2 4 7 260 x y 3 3 G 2; 23 ; G ; 1 23 25 8 x y 2 Do G I nằm phía so với đường thẳng BC nên G ; 3 16 16 23 Do G trung điểm AC BD nên A ;9 ; D ; 3 Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh CD I điểm cạnh AB cho AB = 4IB Gọi H hình chiếu C BM, K trung điểm HM Đường 39 23 thẳng CK kéo dài cắt AD J Biết K ; , J ; , phương trình đường thẳng DI: x y 20 Tìm 9 10 10 tọa độ đỉnh hình vuông biết D có tọa độ nguyên I A B Gọi E trung điểm HC Ta có KE // MC, IB // MC KE = IB = MC nên KEBI hình bình hành IK // BE Vì EK // MC, MC BC nên KE BC Ta lại có CE BK nên E trực tâm tam giác BCK Vậy BE CK Vậy IK JK 5 5 11x y 45 I ; Tọa độ I nghiệm hệ 7 x y 20 2 2 J K E C D a AD cos ̂ = DI H AD AD2 AI Đặt nAD a; b 31 7a b nAD nDI a b 17 n n a2 b2 50 a b AD DI 31 266 b AD : 31x 17 y Vì tọa độ D nguyên nên đường thẳng không thỏa mãn 17 x y D 3; 1 Với a b nAD 1;1 AD : x y Tọa độ D nghiệm hệ: 7 x y 20 x y AB : x y Tọa độ A là: x y A 1;1 AI 43 AB B 3; 3 ; AD BC C 5;1 15 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông A D 2; 22 14 CD 2AB Gọi H hình chiếu vuông góc D đường chéo AC Điểm M ; trung điểm HC 5 Xác định tọa độ đỉnh A, B, C biết đỉnh B nằm đường thẳng x y Gọi G trung điểm DH Ta có Tứ giác ABME B A hình bình hành AE DM MD BM MD.BM a4 Do B x y B a; Do đó: x-2y+4=0 H I M G C D 12 22 5a 5a a B 4; 10 IB AB ID 2IB Đương thẳng ID CD BD: y x Do I nằm đường thẳng BD nên I b; b Có: AB CD 10 10 Do ID BI I ; Đường thẳng AC qua điểm I M có pt: x y 10 Đường thẳng DH 3 qua D vuông góc với AC có phương trình: 2 x y Điểm H giao điểm AC DH tọa độ H nghiệm hệ: 2 x y 14 18 H ; Do M trung điểm CH nên C 6; Do 5 x y 10 DC AB A 2; Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; hình chiếu vuông góc 9 A lên BD Điểm M ; trung điểm cạnh BC Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A 2 tam giác ADH x y Xác định tọa độ đỉnh D A D K F H B M C Gọi K trung điểm AH Ta có KF đường trung bình tam giác HAD 1 KF AD lại có BM BC AD nên tứ giác 2 KFMB hình bình hành Do BM AB nên KF AB suy K trực tâm tam giác ABF BK AF MF AF 15 Do đường thẳng MF có phương trình: x y 15 1 x y F ;2 Điểm F nghiệm hệ: 2 4 x y Do F trung điểm DH nên D 0; Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M 1; trung điểm cạnh BC, 1 N ; điểm cạnh AC cho AC = 4AN Xác định tọa độ đỉnh hình vuông biết D nằm 2 đường thẳng x y 16 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 A B G N M I K x-y-3=0 D C Gọi K trung điểm ID Chưng minh tương tự tập ta tứ giác NKCM hình bình hành nên MN // CK Mà CK DN Do DN MN 1 5 DN.MN D ; 2 2 Kéo dài MN cắt AD G, ta có: GA NA NG 1 1 GA CM DA, NG NM CM NC NM 3 1 Do NG MN G ; 3 169 53 Do AG GD A ; 36 36 Do AN 241 29 143 14 AC C ; AB DC B ; 12 12 9 Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Biết điểm C nằm đường thẳng x y A 4;8 Gọi M điểm đối xứng B qua C, N 5; 4 hình chiếu vuông góc B DM Tìm tọa độ đỉnh B C A Ta có điểm A;B;C;N:D thuộc đường tròn đường kính AC nên AN CN Phương trình đường (CN): 3x y 31 B 2x+y+5=0 D C Do điểm C nghiệm hệ: 3x y 31 C 1; 7 2x y Do tứ giác ACMD hình bình hành AC DM đường thẳng DM có phương trình: 3x y 11 Đường N tròn M đường kính AC: 3 125 x y 2 2 Điểm D giao điểm DM đường tròn đường kính AC nên D nghiệm hệ: 2 3 125 x y 2 2 D 1;8 3x y 11 Do AB DC B 4; 7 Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I M 5; điểm thuộc đường tròn I Qua M kẻ đường vuông góc MD, ME, MF tới AB, BC, CA Biết tọa độ điểm D 1;6 , E 1,2 điểm F thuộc đường thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh A, B, C 17 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Tứ giác BEMD, CFEM nội tiếp nên: DBM DEM , MCF 1800 FEM A Tứ giác ABMC nội tiếp đó: DBM MCF Vậy: DEM 1800 FEM , đó: D, E, F thẳng hàng DE : x Ta có: DE : x F: F 1; 2 x y Phương trình đường thẳng AB : 2x y , AC : 2x 3y , BC : 2x y Do ta tìm tọa độ điểm: A 2;0 , B 0; , C 4; 4 F E B C D M Bài toán ngược: Chứng minh FD cắt BC E ME BC Chứng minh: Tứ giác ADMF nội tiếp MAB MFD Vì chắn cung BM MAB MCE Vậy MFD MCE Do tứ giác MEFC nội tiếp Do vậy: MEC MFC 900 hay ME BC Bài 34: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I Điểm M thuộc 11 cung BC không chứa A không trùng với B C Gọi H 1; K ; hình chiếu M 5 AB AC Phương trình đường thẳng BC : x y khoảng cách từ M đến BC 2 Tìm tọa độ đỉnh A biết M có hoành độ dương Gọi E hình chiếu M BC nên ME 2 Do tứ giác HMEB A nội tiếp nên HEM HBM Tứ giác ABMC nội tiếp nên HBM MCA HEM MCA 1 Mà tứ giác EMCK nội tiếp nên MEK MCK 1800 Từ 1 K MEK HEM 1800 điểm H, E K thẳng hàng Ta có: Phương trình đường thẳng HK : 3x y Tọa độ điểm E HK : 3x y nghiệm hệ phương trình: E 0;1 BC : x y Đường thẳng ME qua E vuông góc với BC nên phương trình đường thẳng ME : x y E B C H M a M 2; Do M thuộc đường thẳng ME nên M a; a 1 , a Do ME 2 nên a2 a2 a2 2 Đường thẳng AB đ i qua H vuông góc HM nên: AB : x y Đường thẳng AC qua K vuông góc AB : x y KM nên AC : 2x y Tọa độ Điểm A nghiệm hệ: A 0; 3 AC : 2x y Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D E hình chiếu vuông góc B C AC AB Gọi N P hình chiếu E BC AC Gọi M giao điểm NP BD Biết 11 19 19 tọa độ điểm E ; , M ; C 4;1 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC 5 10 10 18 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Tứ giác EPCN nội tiếp ENP ECP Tứ giác EBCD nội tiếp A ECP EBM Vậy ENP EBM nên tứ giác EBNM nội tiếp P D Do EMB ENB 900 hay ME BD Đường thẳng BD qua M vuông góc EM là: BD : x y E Đường thẳng AC qua C vuông góc BD là: AC : x y Đường thẳng AB qua E vuông góc CE là: AB : 2x y M B C N AB : 2x y Tọa độ A nghiệm hệ: A 2; 3 Tương tự ta tìm tọa độ đỉnh B 1;1 AC : x y Bài toán tư duy: Tại ta chứng minh được: ME BD ? Trả lời: Vì điểm E, D, C , B thuộc đường tròn, N P hình chiếu E BC AC, đồng thời M giao điểm NP BD theo Bài toán ngược Bài 33, ta chứng minh ME BD Mở rộng: Nếu ta dự đoán M , N , O thẳng hàng, ta kẻ đường thẳng a , b, c qua M , N , O vuông góc với LM , LN , LO Khi đường thẳng a , b, c đôi cắt P,Q, R , ta chứng minh tứ giác LQPR tứ giác nội tiếp Khi M , N , O thẳng hàng c a P O b Q N R M L Bài 36: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC x y Gọi D, E hình chiếu vuông góc B lên AC, AI với I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết D 2; , E 1; 4 đỉnh B có hoành độ âm Gọi M trung điểm BC Do tứ giác ADEB BEIM nội tiếp nên: DEB 1800 BAD 1 BEM BIM BM Mặt khác theo tính chất góc tâm: BIM BIC BAD A D E I Từ 1 , ta có: DEB BEM 1800 Vậy: Ba điểm D, E M thẳng hàng Ta có phương trình đường thẳng: DE : 2x y ta tìm tọa độ điểm M 0; 2 Vậy ta viết đường B M C tròn: M; MD : x2 y 20 M ; MD : x2 y 2 20 B 4; 4 ; C 4;0 Ta có tọa độ điểm B C nghiệm hệ phương trình: BC : x y 0, xB phương trình đường thẳng AD qua hai điểm C D là: AD : x y , phương trình đường thẳng AE qua E vuông góc BE: AE : x Từ ta tìm tọa độ điểm A 1; Bài 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh C 3;1 đường cao AH 7 9 Gọi I K điểm đối xứng H qua AB AC Đường thẳng IK cắt đường thẳng AB điểm E ; 5 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B nằm đường thẳng x y đường thẳng chứa cạnh AC qua M 4; 1 19 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Vì AE trung trực IH AIE AHE AI AH A K Vì AC trung trực HK AH AK , AKC AHC 90 E Vậy: AI AK AIK cân A Do vậy: AIE AKE Như vậy: AKE AHE tứ giác AEHK nội tiếp đường tròn đường kính AC Khi điểm: A, E, H , K , C thuộc đường I M tròn đường kính AC Do vậy: AEC AHC 900 Vậy CE AB Khi ta viết phương trình đường thẳng EB qua E vuông B góc CE là: EB : 2x y Từ tìm điểm B 1;1 C H Phương trình đường thẳng AC qua C M là: AC : 2x y Từ tìm tọa độ điểm A 2; 3 Bài toán ngược: Nếu I, K điểm đối xứng với H qua AB, AC, đồng thời F E hình chiếu B C AC AB Khi ta có điểm I , E, F , K nằm đường thẳng Chứng minh: Vì AEC AHC AKC 90 nên điểm: A, E, H , K , C thuộc đường tròn đường kính AC K A F E I Do đó: AEK AHK Mặt khác Vì AE trung trực IH AEI AEH 1800 AKH 1800 AHK B C H Như vậy: AEK AEI 180 Khi điểm I , E, K thẳng hàng Tương tự ta có điểm I , F , K thẳng hàng Do Bài 38: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn Gọi D 2; 4 điểm thuộc cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cho D cách hai đường thẳng AB AC Gọi K 2; 9 tâm đường tròn bàng tiếp góc A, điểm E F hình chiếu D lên hai đường thẳng AB AC Biết EF cắt BC M 1; 2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên theo thích chất A phân giác phân giác ta có góc IBK ICK 900 Như tứ giác IBKC nội tiếp đường tròn đường kính IK Mặt khác DBI DBM IBM , BID IBA IAB đồng thời tứ giác ABDC nội tiếp nên IAB IAC DBM , IBM IBA IBD BID , ta có tam giác IBD cân D Tương tự ta có tam giác ICD cân D Vậy DI DB DC nên D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC hay nói cách khác D trung điểm IK Như ta có tọa độ điểm I 2;1 Mặt khác theo Bài toán ngược Bài 33, ta có MD BC ta viết phương trình đường thẳng BC : x 2y I B E F M C D Ta có phương trình đường tròn: D; DI : x y 25 Tọa độ 2 D; DI : x 2 y 2 25 B 5;0 B C nghiệm hệ: BC : x y 0, xB C 3; 4 K 1 125 Đường tròn ngoại tiếp DBC là: J : x y 1 2 20 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 1 125 J : x y 1 Phương trình đường thẳng AD : x Do tọa độ A nghiệm hệ: 2 A 2;6 AD : x 2, A D Bài 39: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC Đỉnh A thuộc đường thẳng x y A có tọa độ nguyên Đường tròn I ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x 2 y 2 25 Đường thẳng nối tiếp điểm M N tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn đường kính BC x y Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC biết H có hoành độ bé Gọi K , D hình chiếu B A cạnh AC, BC Gọi E trung điểm BC Theo tính chất góc tiếp tuyến dây A cung ta có: ANK ACK ANK ∽ ACN Khi ta có tỷ số tích: AN AK.AC (Đã nêu phần chứng minh định lý Thales) Mặt khác tứ giác DHKC nội tiếp nên AK.AC AH.AD (Đã nêu phần chứng minh định lý Thales) Như vậy: AN AH.AD đó: ANH ∽ ADN K N I H M Do vậy: ANH ADN 1 Mặt khác, điểm A, M , D, E, N thuộc đường tròn đường kính AE Do vậy: ADN AMN 2 B D C E Mặt khác AM, AN hai tiếp tuyến nên AMN cân A ta có: AMN ANM Từ 1 , ta có: ANH ANM nên ba điểm M , H , N F thẳng hàng Như H nằm đường thẳng x y x 2 y 2 25 A 8; 5 Tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x y 0; xA , y A Gọi F điểm đối xứng với A qua I Ta có ABF ACF 900 nên BF AB, CF AC Mặt khác H trực tâm tam giác ABC CH AB, BH AC BHCF hình bình hành Do E trung điểm HF Như vậy: IE đường trung bình tam giác AHF Do đó: kết hợp với định lý Pithagore cho tam giác BIE ta có: AH 2IE IB2 BE2 25 13 Do ta viết phương trình đường tròn: A; AH : x 2 y 2 52 2 H 2; 1 A ; AH : x y 52 Tọa độ H nghiệm hệ: x y 0; xH Bài 40: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D, E, F chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới cạnh BC , CA, AB Gọi I K hình chiếu D BE CF Giả sử 1 1 5 1 I ; , K ; phương trình đường thẳng AB : 3x y Tìm tọa độ đỉnh B C 2 2 2 2 21 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Gọi H trực tâm tam giác ABC; N chân đường vuông góc hạ từ D A xuống AB Tứ giác HFBD nội tiếp nên: ABD AHF DHC Mặt khác tứ giác HKDI nội tiếp nên: DHC DIK ABD DIK E Tứ giác BDIN nội tiếp nên: ABD NID 1800 Vậy: DIK NID 1800 N , I , K thẳng hàng Ta có phương trình đường thẳng: IK : 2y Do tọa độ N 1 IK : y nghiệm hệ phương trình: N ; 2 AB : 3x y F H K I N B D C Đường thẳng DN qua N vuông góc AB: DN : x 3y Phương trình đường thẳng DK qua K vuông góc với DN: DK : 3x y Từ ta tìm D 2; 1 Phương trình đường thẳng BE qua I vuông góc với BE : x y Từ ta tìm B 4; 4 Phương trình đường thẳng CK qua K vuông góc KD: CK : x 3y Phương trình đường thẳng BC qua B D: BC : x 2y Từ ta có C 4;0 DI: Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I Điểm M thuộc cung BC không chứa A không trùng với B C Gọi P Q điểm đối xứng với M qua AB AC 3 5 Giả sử N ; trung điểm BC, phương trình đường thẳng PQ : y , đường thẳng BC vuông góc với 2 2 đường thẳng d : 3x y 2016 Tìm tọa độ đỉnh B C biết B có hoành độ dương Gọi H trực tâm tam giác ABC, D E chân đường cao từ đỉnh A C tam giác ABC Ta có: ABC AMC , EHD AHC AMC AQC Do tứ giác BEHD nội tiếp nên: ABC EHD 1800 Khi đó: AQC AHC 1800 tứ giác AHCQ nội tiếp Vậy: AHQ ACQ Vì: ACM ACQ nên ACM AHQ Chứng minh tương tự ta có: AHP ABM Vậy: AHP AHQ ABM ACM 1800 Khi ba điểm P, H ,Q thẳng hàng Đường thẳng BC qua N vuông góc với d nên BC : x 3y Đường thẳng AH qua A vuông AH : 3x y góc với BC nên AH : 3x y Tọa độ điểm H nghiệm hệ: H 1;6 PQ : y Do B nằm đường thẳng BC nên ta gọi tọa độ tham số B 3a; a với a Vì N trung điểm BC nên ta có tọa độ tham số: C 3a 6; a Vì CH AB CH.AB Khi ta có phương trình: 3a 3a a 1 a a B 6;1 ; C 3; a 22 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 [...]... 2 AB : x y 0 Tọa độ A là: x y 0 A 1;1 AI 43 AB B 3; 3 ; AD BC C 5;1 15 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D 2; 2 và 22 14 CD 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên đường chéo AC Điểm M ; là trung điểm HC 5 5 Xác định tọa độ các đỉnh... AC : 2x y 3 0 Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và E là các hình chiếu vuông góc của B và C trên AC và AB Gọi N và P là hình chiếu của E trên BC và AC Gọi M là giao điểm của NP và BD Biết 8 11 19 19 rằng tọa độ các điểm E ; , M ; và C 4;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 5 5 10 10 18 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG –... 3 1 N ; là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 4AN Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết D nằm trên 2 2 đường thẳng x y 3 0 16 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 A B G N M I K x-y-3=0 D C Gọi K là trung điểm của ID Chưng minh tương tự bài tập trên ta được tứ giác NKCM là hình bình hành nên MN // CK Mà CK DN Do đó DN MN 1 5 DN.MN 0 D ; 2... y 1 0; xH 3 Bài 40: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là các chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C tới các cạnh BC , CA, AB Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của D trên BE và CF Giả sử 1 1 5 1 I ; , K ; và phương trình đường thẳng AB : 3x y 8 0 Tìm tọa độ các đỉnh B và C 2 2 2 2 21 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG... Q C 12 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 : x 2 2 y 2 5 B 1; 2 Do đo ta có: KQ : x 1 0 Tọa độ của B là nghiệm hệ: KQ : x 1 0, B K KQ : x 1 0, C K C 1;8 P là trung điểm AC nên A 13; 2 Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 2 P; PK : x 7 y 5 45 Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho... 1800 AIC 900 ABC 2 AHE 1800 AED HAE 1800 900 900 H B D M C Do đó AI vuông góc với đường thẳng DE Đây là tính chất hình học quan trọng cần phải tìm ra trong bài toán này Đến đây công việc trở nên đơn giản hơn như sau: F 13 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 1 5 5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ;1 ; R Phương trình đường thẳng (DE):... 1; 5 Bài 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh C 3;1 và đường cao AH 7 9 Gọi I và K là các điểm đối xứng của H qua AB và AC Đường thẳng IK cắt đường thẳng AB tại điểm E ; 5 5 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng x y 2 0 và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua M 4; 1 19 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN... Đường tròn ngoại tiếp DBC là: J : x y 1 2 4 20 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 2 2 1 125 J : x y 1 Phương trình đường thẳng AD : x 2 Do đó tọa độ A là nghiệm hệ: 2 4 A 2;6 AD : x 2, A D Bài 39: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có BC 4 3 Đỉnh A thuộc đường thẳng x 2 y 2... y 1 2 2 E P I B D 20 11 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389 C : x 3 2 y 12 20 D 1;1 Tọa độ D: DE : 2 x y 1 0, xD 0 CD : x 1 0, B C B 1; 5 Phương trình đường thẳng CD : x 1 0 do đó tọa độ B: 2 2 : x 2 y 1 25 Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và... 3 3 3 Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD I là một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 4IB Gọi H là hình chiếu của C trên BM, K là trung điểm của HM Đường 39 3 23 5 thẳng CK kéo dài cắt AD tại J Biết K ; , J ; , phương trình đường thẳng DI: 7 x y 20 0 Tìm 9 10 10 9 tọa độ các đỉnh của hình vuông biết