Thông tin tài liệu
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG HAY NHẤT ( Tài liệu để ôn thi đại học ) Bài Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 1;0 , B 2; , C 1; , D 3;5 đường thẳng d : 3x y Tìm điểm M d cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích Giải - M thuộc d thi M(a;3a-5 ) uuu r x 1 y � 4x 3y 3 uuur x 1 y � CD 4;1 � CD 17; CD : � x y 17 4a 3a 13a 19 a 3a 17 11a , h2 - Tính : h1 M , AB 5 17 17 - Mặt khác : AB 3; � AB 5, AB : - Nếu diện tich tam giác : � 11 13a 19 11a 13a 19 17 11a a � 1 AB.h1 CD.h2 � �� � � 12 � 13a 19 11a 2 17 � a 8 � �11 27 � - Vậy d có điểm : M � ; �, M 8;19 12 12 � � � Bài Cho hình tam giác ABC có diện tích Biết A(1;0), B(0;2) trung điểm I AC nằm đường thẳng y = x Tìm toạ độ đỉnh C Giải - Nếu C nằm d : y=x A(a;a) suy C(2a-1;2a) - Ta có : d B, d 02 2 - Theo giả thiết : S AC.d B, d � AC 2 2a 2a � 1 a � 2 � � 8a 8a � a a � � 1 a � � � 1 1 � � 1 1 � ; , C - Vậy ta có điểm C : C1 � � � � � � ; � � � � � � Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B( 2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y 0 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Giải AB � uuu r � - Tọa độ C có dạng : C(4;a) , AB 3; � � x 1 y 1 � 4x y AB : 3 � x x x � � 1 xG A B C x 1 � � � �G 3 �� - Theo tính chát trọng tâm ; � �y y A yB yC �y a a G �G � 3 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �a � � � a �3 � 4.4 3.2 1 15 � S ABC AB.d C , AB 5.3 - Vậy M(4;2) d C , AB (đvdt) 2 16 - Do G nằm : 2x-3y+6=0 , : � 2.1 Bi Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2; 1) , B (1; 2) , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam gi¸c ABC b»ng 13,5 Giải - Ta có : M trung điểm AB �3 � 1� A(2;1) M � ; � Gọi C(a;b) , theo tính chất 2 � a3 � xG � � trọng tam tam giác : � �y b �G M() G d:x+y-2=0 C B(1;-2) - Do G nằm d : a 3 b3 � a b 1 3 uuu r 3a b x y 1 � x y � h C , AB - Ta có : AB 1;3 � AB : 10 2a b 2a b 1 13,5 - Từ giả thiết : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 2a b 27 2a b 32 � � � 2a b 27 � � �� 2a b 27 2a b 22 � � - Kết hợp với (1) ta có hệ : � 20 � b � � � ab � a b � � � � � � � � � 2a b 32 3a 38 38 � � � �38 20 � � a �� �� �� � C1 � ; � , C2 6;12 � � � 3 ab a b � � � � � � � � � b 12 � � a b 22 a 18 � � � � � � a 6 � � Bài Trong mặt phẳng oxy cho ABC có A(2;1) Đường cao qua đỉnh B có phương trình x- 3y - = Đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình : x + y +1 = Xác định tọa độ B C Tính diện tích ABC Giải - Đường thẳng (AC) qua A(2;1) vng B góc với đường cao kẻ qua B , nên có véc tơ phương x+y+1=0 r �x t n 1; 3 � AC : � t �R �y 3t M C A(2;1) x-3y-7=0 Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �x t � - Tọa độ C giao (AC) với đường trung tuyến kẻ qua C : � �y 3t �x y � Giải ta : t=2 C(4;-5) Vì B nằm đường cao kẻ qua B suy B(3a+7;a) M �3a a � ; � � � trung điểm AB � M � - Mặt khác M nằm đường trung tuyến kẻ qua C : 3a a � a 3 � B 1; 2 2 uuu r 12 x y 1 � 3x y 0, h C; AB - Ta có : AB 1; 3 � AB 10, AB : 10 1 12 (đvdt) - Vậy : S ABC AB.h C , AB 10 2 10 � Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ x + y – = 2x – y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Giải �a b � ; � M nằm � �2 - Gọi B(a;b) suy M � trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1) - B,B đối xứng qua đường trung trực cho �x a t t �R nên : BC : � �y b t A(5;2) 2x-y+3=0 M Từ suy tọa độ N : � 6a b B t � �x a t � � � 3a b � �x �y b t �x y � � � 6ba �y � �3a b 6 b a � � N� ; Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a ) � � � N C x+y-6=0 - Do C nằm đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2) 2a b 14 a 37 � � �� � B 37;88 , C 20; 31 5a 2b b 88 � � - Từ (1) (2) : � � Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y , ' :3 x y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ Giải Bài �x 2 3t � I 2 3t ; 2 t �y 2 t - Gọi tâm đường tròn I , I thuộc : � - A thuộc đường tròn � IA 3t t R (1) Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 2 3t t 10 13t 12 - Đường tròn tiếp xúc với ' � R� R (2) 5 13t 12 2 2 � 25 � 13t 12 - Từ (1) (2) : 3t t �3t t � � Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB Giải * Cách r �x at �y bt - Gọi d đường thẳng qua M có véc tơ phương u a; b � d : � - Đường tròn C1 : I1 1;1 , R1 C2 : I 2;0 , R2 , suy : C1 : x 1 y 1 1, C2 : x y 2 t 0�M � � 2ab 2b � � � A ; - Nếu d cắt C1 A : � a b t 2bt � � 2b � 2 2 � t � a b a b � � a b t 0�M � � 6a 6ab � 2 � � B 1 ; - Nếu d cắt C2 B : � a b t 6at � � 6a � � a b2 � t � a b � a b 2 - Theo giả thiết : MA=2MB � MA 4MB * 2 2 2 2 � 6a � � 6ab �� � 2ab � � 2b � � - Ta có : � 2 � � 2 � � �2 � � �� a b � �a b �� �a b � �a b � � � � � 2 b 6a � d : x y � 4b 36a � � b 36a � � 2 b 6a � d : x y a b a b � * Cách 2 - Sử dụng phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k= ( Học sinh tự làm ) Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình cạnh tam giác ABC biết trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B K (0; 2) , trung điểm cạnh AB M (3;1) Giải - Theo tính chất đường cao : HK vng góc với AC (AC) qua K(0;2) có véc tơ pháp tuyến uuur KH 1; 2 � AC : x y � x y A K(0;2 - B nằm u (BH) qua H(1;0) có véc tơ uur ) M(3;1) H(1;0) phương KH 1; 2 � B t ; 2t - M(3;1) trung điểm AB A(5-t;2+2t) - Mặt khác A thuộc (AC) : 5-t-2(2+2t)+4=0 , B C suy t=1 Do A(4;4),B(2;-2) - uVì C thuộc (AC) suy C(2t;2+t) , uur uuur BC 2t 2; t , HA 3; Theo tính chất đường cao kẻ từ A : Trang Chuyên uuur uuđề ur : HÌNH HỌC PHẲNG � HA.BC � 2t t � t 1 Vậy : C(-2;1) uuu r r x4 y4 - (AB) qua A(4;4) có véc tơ phương BA 2;6 // u 1;3 � AB : � 3x y uuur - (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA 3; � BC : x y � 3x y Bài 10 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình C1 : x y y C2 : x y x y 16 Lập phương trình tiếp tuyến chung C1 C2 Giải - Ta có : C1 : x y C2 : x y � I 3; 4 , R2 - Nhận xét : I1 I 13 � C1 không cắt C2 - Gọi d : ax+by+c =0 ( a b �0 ) tiếp tuyến chung , : d I1 , d R1 , d I , d R2 � I1 0; , R1 3, 2 � 2b c 1 � 3a 4b c 2b c 2b c 3a 4b c � � a b2 �� � � 2b c 3a 4b c � � 3a 4b c 2b c a b2 a b2 � �3a 4b c � a b2 � a 2b � �� Mặt khác từ (1) : 2b c a b � 3a 2b 2c � - Trường hợp : a=2b thay vào (1) : 2b c 4b b � 2b 5c b � 2 2 � 41b 4bc c 0. 'b 4c 41c 45c � � � 23 c � b � - Do ta có hai đường thẳng cần tìm : x y 1 � 2 x y x y 1 � 2 x y d : d1 : 2b 3a 2b 2b 3a - Trường hợp : c , thay vào (1) : � 2b a a b 2 2 a b a � b 0, a 2c b �c � � 2 2 � 2b a a b � 3b 4ab � � � � 4a � a a b , a 6c � b �c � � - Vậy có đường thẳng : d3 : x , d : x y Bài 11 Trong hệ tọa độ Oxy, viết phương trình hyperbol (H) dạng tắc biết (H) tiếp xúc với đường thẳng d : x y điểm A có hồnh độ Giải Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG - Do A thuộc d : A(4;2) - Giả sử (H) : x2 y 16 1 * � A � H � 1 1 a b a b - Mặt khác d tiếp xúc với (H) hệ sau có 12 nghiệm : � � b a x 4a x 4a a b � b x a y a 2b b x a x a 2b � � �� �� �� �y x �y x �y x 2 2 2 2 4 � 'a 4a b a 4a a b 4a b a b a b � a 2b b a � a b � � � 16b 4a a 2b b 8b 16 b2 x2 y � � � H : 1 - Kết hợp với (1) : � 2 �2 �2 a b2 a 8 �a b � � Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật Giải - Dễ nhận thấy B giao BD với AB tọa dộ B nghiệm x-2y+1=0 �x y �21 13 � � B� ; � hệ : � �5 � �x y 14 - Đường thẳng (BC) qua B(7;3) vng góc với (AB) có véc tơ phương: B A I D C x-7y+14=0 M(2;1) � 21 x t r � � u 1; 2 � BC : � �y 13 2t � - Ta có : R AC , BD R BIC 2R ABD 2 2R AB, BD uu r uu r uu r ur n1.n2 14 15 - (AB) có n1 1; 2 , (BD) có n2 1; 7 � cos = ur uur 50 10 10 n1 n2 r - Gọi (AC) có n a, b � cos AC,BD cos2 = a-7b �9 � cos � � 10 � � 50 a b - Do : � a 7b 50 a b � a 7b 32 a b � 31a 14ab 17b 17 17 � a b � AC : x y 1 � 17 x 31y � 31 31 - Suy : � a b � AC : x y � x y � � 21 �x t � 14 � � 13 � - (AC) cắt (BC) C � �y 2t � t � C � ; � 15 �3 � � �x y � � �x y �x �� � A 7; - (AC) cắt (AB) A : � � �x y �y Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �x t �y 2t - (AD) vng góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy (AD) : � �x t � �98 46 � � t � D� ; � - (AD) cắt (BD) D : �y 2t 15 �15 15 � �x y 14 � - Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 em làm tương tự Bài 13 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giải �x t , C thuộc d' �y 5 t �x 2m C: � �y m - B thuộc d suy B : � A(2;3) x+2y-7=0 G(2;0) - Theo tính chất trọng tâm : t 2m mt 2 0 3 mt m 1 � � �� - Ta có hệ : � t m 3 � t 1 � � xG 2, yG B x+y+5=0 C M r - Vậy : B(-1;-4) C(5;1) Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ phương u 3; , 20 15 13 x2 y � x y � d C; BG R 5 13 169 2 - Vậy đường tròn có tâm C(5;1) có bán kính R= � C : x y 1 25 (BG): Bài 14 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) Giải 2x y 1 � 12 x y 23 � - Đường (AB) cắt (BC) B � A 12x-y-23=0 Suy : B(2;-1) (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k'= , ta có : M(3;1) H 12 B C 2 2x-5y+1=0 tan B Gọi (AC) có hệ số góc m 12 m 5m ta có : tan C Vì tam giác ABC cân A tanB=tanC, hay ta có : 2m m 1 � 5m 4m 10 m � 5m � � 5m 2 m � � � � 5m 4m 10 2m � m 12 � Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 9 - Trường hợp : m � AC : y x 3 � x y 35 8 - Trường hợp : m=12 suy (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại //AB ) - Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn : (C1) : (x - 5)2 + (y + 12)2 = 225 (C2) : (x – 1)2 + ( y – 2)2 = 25 Giải : - Ta có (C) với tâm I(5;-12) ,R=15 (C') có J(1;2) R'=5 Gọi d tiếp tuyến chung có phương trình : ax+by+c=0 ( a b �0 ) - Khi ta có : h I , d 5a 12b c a 2b c 2 a b2 5a 12b c 3a 6b 3c � - Từ (1) (2) suy : 5a 12b c a 2b c � � 5a 12b c 3a 6b 3c � a 9b c � � � Thay vào (1) : a 2b c a b ta có hai trường hợp : � 2a b c � 2 - Trường hợp : c=a-9b thay vào (1) : 2a 7b 25 a b2 � 21a 28ab 24b a b2 15 1 , h J , d � 14 10 � 14 10 � 175 10 a � d :� x y 0 � � � 21 � 21 21 � � � Suy : � � 14 10 14 10 � 175 10 � a � d :� x y 0 � � 21 � � 21 21 � � � - Trường hợp : c 2a b � 1 : 7b 2a 100 a b2 � 96a 28ab 51b Vô nghiệm ( Phù hợp : IJ 16 196 212 R R ' 15 20 400 Hai đường tròn cắt ) Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x y 2x 8y Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 cắt đường tròn theo dây cung có độ dài Giải - Đường thẳng d' song song với d : 3x+y+m=0 B 3 m m 5 �AB � 2 - Xét tam giác vuông IHB : IH IB � � 25 16 �4 � - IH khoảng cách từ I đến d' : IH Trang H A I(-1;4) Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG m 19 � d ' : x y 19 m 1 � � 16 � m 20 � � m 21 � d ' : x y 21 25 � Bài 17 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; -1), đường cao đường phân giác qua đỉnh A, C : (d1) : 3x – 4y + 27 = (d2) : x + 2y– 5=0 Giải - Đường thẳng (BC) qua B(2;-1) vng góc A K x+2y-5=0 �x 3t B(2;-1) với (AH) suy (BC): � , hay : y t � r x y 1 � � x y n 4;3 4 �x 3t � - (BC) cắt (CK) C : � �y 1 4t � t 1 � C 1;3 �x y � r - (AC) qua C(-1;3) có véc tơ pháp tuyến n a; b H 3x-4y+27=0 Suy (AC): a(x+1)+b(y-3)=0 (*) Gọi R KCB R KCA � cos = - Tương tự : cos = a+2b � a+2b C 46 10 16 5 2 � a 2b a b 5 a b2 a b2 a � b y 3 � y � � � 3a 4ab � 4b � a � x 1 y 3 � x y � 3 � �y � � � �y �x 5 � � � x y 27 � 31 582 � � 31 � A 5;3 , A � � �� ; - (AC) cắt (AH) A : � � � x � � 4x 3y � 25 25 � � � 25 � � � � � x y 27 � � �y 582 � � 25 � - Lập (AB) qua B(2;-1) điểm A tìm ( học sinh tự lập ) Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vng A, phương trình đường thẳng BC : x – y - = 0, đỉnh A B thuộc trục hồnh bán kính đường tròn nội tiếptam giác ABC Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Giải - Đường thẳng (BC) cắt Ox B : Cho y=0 suy x=1 , B(1;0) Gọi A(a;0) thuộc Ox đỉnh góc vng ( a khác ) Đường thẳng x=a cắt (BC) C : a; a 1 2 - Độ dài cạnh : AB a , AC a � BC AB AC � BC a - Chu vi tam giác : 2p= a a a a � p a 1 Trang Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG S 1 - Ta có : S=pr suy p= (*) Nhưng S= AB AC a a a 1 Cho nên r 2 � a 3 3 3 a 1 a 1 � a � � (*) trở thành : a 1 � - Trọng tâm G : � 1 2a � �xG x G � �7 3 � � � 3 �� �� � G1 � � ; � � a 22 � � �y � �G �yG � 3 � � 1 2a � 1 �xG x G � � 1 3 � � � 3 �� �� � G2 � � � ; � a 2 � � �y � 36 G y � � G � 3 � Bài 19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường tròn (C) : x y x y đường thẳng d : x y Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho từ điểm M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến hợp với góc 900 Giải - M thuộc d suy M(t;-1-t) Nếu tiếp tuyến vng góc với MAIB hình vng ( A,B tiếp điểm ) Do AB=MI= IA =R = t - Ta có : MI A t 2t - Do : � t � M 2; 2t 12 � t � � � t � M 2; � 2 M x+y+1=0 * Chú ý : Ta cách khác - Gọi d' đường thẳng qua M có hệ số góc k suy d' có phương trình : y=k(x-t)-t-1, hay : kx-y-kt-t-1=0 (1) - Nếu d' tiếp tuyến (C) kẻ từ M d(I;d')=R � I(2;1) 2k kt t 1 k B 2 2 �� t k t 2� � � k � t 4t k t t k t 4t � � t 4t �0 � � 2 - Từ giả thiết ta có điều kiện : � � ' t t 4t t 4t �2 �t 4t 1 � �t 4t � t �2 � � � k1 k2 � � � 2 � k1; k2 � M - � � ' t 19 t � t � � � �2 � k1k2 1 � t 2 � Trang 10 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Gọi G trọng tâm tam giác tọ độ G �x y � G 1;1 E(x;y) �y nghiệm hệ � thuộc (BC),utheo tính chất trọnguuu tâm taucó : uuu r uur r uur GA 0; , GE x 1; y 1 � GA 2GE � 2 x 1 � �� � E 1;0 C thuộc (CN) cho 2 y 1 � nên C(t;1), B thuộc (BM) B(2m-1;m) Do B,C đối xứng qua E ta có hệ A(1;3) N y-1=0 B M x-2y+1=0 G C E A' 2m t t 5 � � �� � B 5;1 , C 3; 1 Vậy (BC) qua E(1;0) có véc tơ m 1 m 1 � � uuur r x 1 y � x y Tương tự : phương BC 8; 2 // u 4;1 � BC : uuu r r x 1 y � x 2y 7 (AB) qua A(1;3) có AB 4; 2 // u 2; 1 � AB : 1 uuur r x 1 y � x y2 0 (AC) qua A(1;3) có AC 4; 4 // u 1;1 � AC : 1 phương trình : � * Chý ý : Hoặc gọi A' đối xứng với A qua G suy A'(1;-1) BGCA' hình bình hành , từ ta tìm tọa độ đỉnh B,C cách lập cạnh Bài 73 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = 8x a Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P) b Viết p.trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ c Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng x2, x2 Chứng minh:AB = x1 +x2 + Giải a/ Tiêu điểm (P) F(2;0) , đường chuẩn (P) có phương trình : x=-2 b/ M thuộc (P) có tung độ hồnh độ x=2 M(2;4) Vậy tiếp tuyến d (P) M ta áp dụng công thức : yy0 p x x0 x0 2; y0 � d : y x � y x c/ Áp dụng cơng thức bán kính qua tiêu : MF= x+ x1 p Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 với giá trị y12 y2 , x2 Ta có : AF=x1 2, BF x2 � AB AF+BF=x1 x2 ( đpcm) 8 Bài 74 Trong maët phaúng Oxy cho Elip (E) : 9x2 + 25y2 = 225 a Viết phương trình tắc xác đònh tiêu điểm, tâm sai (E) Trang 35 Chun đề : HÌNH HỌC PHẲNG b Một đường tròn (T) có tâm I(0 ; 1) qua điểm A(4 ; 2) Viết phương trình đường tròn chứng tỏ (T) qua hai tiêu điểm (E) c Gọi A, B điểm thuộc (E) cho OA OB.chứng minh diện tích tam giác OAB khơng đổi Giải x2 y � a 5, b 3, c � F1 4;0 , F2 4;0 , e 25 b/ Vì (E) chẵn x,y Ox,Oy hai trục đối xứng IF1 IF2 17 (1) Đường tròn a/ (E) : (T) tâm I(0;1) có bán kính R=IA= 42 1 17 (2) Từ (1) (2) chứng tỏ (T) qua 2 tiêu điểm (E) x12 y12 x22 y22 c/ Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y2 � E � 1, 1 * Và góc hợp OA chiều 25 25 dương Ox � R xOB OA OB Khi : � � � � � � � A OAcos ;OAsin , B � OBcos � � ; OB sin � � � OB sin ; OBcos �2 � �2 � � � OA2 cos 2 OA2 sin OB sin OA2 cos 2 1, Từ ta suy : Thay vào (*) : 25 25 25.9 25.9 25 34 15 OA2 , OB � � OH 2 2 25sin cos 25cos 9sin OH 25.9 225 34 Vậy A,B thay đổi khoảng cách từ O đến AB không đổi AB không đổi ( ví OA ln vng góc với OB) diện tích tam giác OAB khơng đổi Bài 75 Cho ABC có đỉnh A(2 ; –1) hai đường phân giác góc B, góc C có phương trình (d B) : x – 2y + = vaø (dC) : x + y + = Lập phương trình cạnh BC Giải d - Gọi A' đối xứng với A qua B A'' đối xứng với A qua dC A' A'' nằm BC uuurr � x 1 y 1 � 2x y � AA'u � � �x �� � A ' 0;3 +/ Tìm tọa độ A' (x;y): � � �y � �x y 6 �I �d B � � � � � � uuuurr � x 1 y 1 � �x y AA''u � � �x �y � �� � A '' 2; 5 +/ Tìm tọa độ A'' (x;y) : � � �x y 7 �I �d B � � � � � � uuuuur r x y 3 +/ (BC) qua A'(0;3) có véc tơ phương A ' A '' 2; 8 // u 1; � BC : Bài 76 Tìm điểm M (H) : 5x2 – 4y2 = 20 (1) nhìn hai tiêu điểm góc 120 Giải - Ta có : (H) : Trang 36 x2 y x2 y � F1 3;0 , F2 3;0 � F1F2 6, M x; y � H � 1 5 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 2 � uuuu r uuuur ruuuur �MF1 x 3 y uuuu 2 MF x 3; y , MF x 3; y � , MF � - Và : MF2 x y (*) 2 � �MF2 x 3 y 4 - Mặt khác : MF1 x , MF2 x � MF1MF2 x x x 2 - Tam giác M F1 F2 : F1F2 MF12 MF22 2MF1MF2 cos1200 � x2 � x2 x2 � 36 x x x � x x � � � �2 � x x x � � � �x y 10 � 10 � � 10 � � 10 � � 10 � � �� � � 10 � M � 6; , M 6; , M 6; , M 6; � � � � � � � 20 � � � � � � � � � y �y � � � � � � � � � � 2 2 Bài 77 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : x2 + 3y2 = 12 a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Cho đường thẳng (D) : mx – 3y + = Tính m để (D) tiếp xúc với (E) c Viết phương trình Parabol có đỉnh trùng với gốc tọa độ có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái (E) cho Giải x2 y � a 3, b 2, c 2 � F1 2 2;0 , F2 2;0 12 b/ Điều kiện cần đủ để d tiếp xúc với (E) : a A2 b2 B C 45 15 15 � 12m 4.9 81 � 12m 45 � m � m 12 p c/ (P) có dạng : y px � F 2 2;0 � 2 � p 4 2 - Vậy (P) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên trái (E) : y 8 x a/ (E) : Bài 78 Trong mp Oxy, cho Cho (H) có phương trình : 24x – 25y2 = 600 (1) M điểm tùy ý (H) a) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm tính tâm sai (H) b) Tìm tọa độ điểM thuộc (H) có hoành độ x = 10 tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c) Chứng minh : OM2 – MF1.MF2 số không đổi d) Tìm giá trò k để đường thẳng y = kx – có điểm chung với (H) Giải x2 y � a 5, b 6, c � F1 7;0 , F2 7;0 a/ (H) : 25 24 b/ Khi x=10 thay vào (1) ta có y 72 � y �6 � M 0; 6 , M 10;6 7 - Tính khoảng cách : MF1 x 10 19, MF2 10 Trang 37 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 49 � 7 � MF1MF2 x 25 : x MF x , MF x : x � � 25 5 �� c/ Ta có : � 7 � 49 � � MF1MF2 � 25 x �: x MF1 5 x, MF2 x : x � � � 5 � � 25 � � � �x y � 49 �2 25 � � :x0 x y x 25 : x � � 25 �25 24 � � OM MF1MF2 � 24 � �x y � � 49 � � 2 x y � 25 x � :x0 � 25 � � :x0 � � 25 � � 25 24 � � � � d/ Tìm k để phương trình : 24 x 25 kx 1 600 ( có nghiệm x ) � 24 25k � 24 25k � � 24 25k �0 x 50kx 575 : x � � � � � ' 252 575 24 25k � � � k � � � � � �� k �� � � � � � �k � 577 � � � � 23 Bài 79 Trong mặt phẳng Oxy cho Hyperbol (H) : 12x2 – 16y2 = 192 điểm P(2 ; 1) Viết phương trình đường thẳng qua P cắt (H) điểm M, N cho P trung điểm cuûa MN Giải (H): x2 y � a 4, b 3, c � F1 2 7;0 , F2 7;0 Gọi M(x;y) thuộc (H) 16 12 N đối xứng với M qua P(2;1) N(4-x; 2-y) Để thỏa mãn yêu cầu toán N phải �x y 1 1 � 16 12 � thuộc (H)., ta có hệ : � Lấy (2)-(1) ta phương trình rút 2 y � x 1 � 12 � 16 gọn : 3x-2y-4=0 Đó phương trình đường thẳng qua P Bài 80 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) : 4x2 + y2 = a Tính độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ hai tiêu điểm, tâm sai (E) b Tìm giá trò m để đường thẳng y = x + m cắt (E) điểm phân biệt M, N m thay đổi Tìm tập hợp trung điểm MN Giải a/ (E): x2 y � a 1, b 2, c � F1 0; , F2 0; Tiêu điểm thuộc Oy b/ Đường thẳng y=x+m cắt (E) điểm M,N có tọ độ nghiệm hệ : � � x 2mx m 1 � x2 y 4x2 x m � � �� �� �� 2 �y x m �y x m �y x m - Như hoành độ M,N nghiệm (1) với điều kiện : ' 4m 20 , hay : Trang 38 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � m * Gọi M x1 ; y1 , N x2 ; y2 I trung điểm MN ta có tọa độ I : � x1 x2 m � �xI m 5 xI � � �xI �� �� �� �yI xI xI 4 xI �y y1 y2 � �yI xI m �I Do I chạy đường thẳng : y=-4x - Giới hạn quỹ tích : Từ (*) : m � 5 xI � xI 5 - Kết luận : Khi m thay đổi I chạy đường thẳng d: y=-4x ( lấy điểm có hồnh � 5� ; � 5 � � � độ nằm khoảng � � Bài 81 Trong mp Oxy cho parabol (P) : y2 = 12x a Tìm tọa độ tiêu điểm F phương trình đường chuẩn () (P) b Một điểm nằm parabol có hoành độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm c Qua điểm I(2 ; 0) vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) A B Chứng minh tích số khoảng cách từ A B đến trục Ox số Giải a/ Với p=6 p/2=3 F(3;0) Đường chuẩn có phương trình : x=-3 b/ Gọi M � (P) có x=2 tung độ M : y 24 � y �2 � M 2; 2 , M 2; - Khoảng cách từ M đến tiêu điểm : MF=x+ p � MF1 6, MF2 c/ Đường thẳng d qua I(2;0) có dạng : x=2 (//Oy ) cắt (P) điểm hiển nhiên khoảng cách từ điểm tới Ox nhay ( chúng đối xứng qua Ox ) Gọi d có hệ số góc k qua I (2;0) d : y=k(x-2)=kx-2k (1) Nếu d cắt (P) điểm hồnh độ điểm 2 nghiệm phương trình : kx 2k 12 x � k x k x 4k 0(1) �y � � � - Hoặc tung độ điểm nghiệm phương trình : y 12 � � k � ky 12 y 2k - Tích khoảng cách từ điểm đến trục Ox tích tung độ hai điểm Vậy từ (2) ta có : y1 y2 2 k 2 số ( đpcm) k Bài 82 Viết phương trình tiếp tuyến (E) : x y2 1 , bieát tieáp 32 18 tuyến qua A(6 ; ) Giải Bài 83 a Cho Parabol (P) có phương trình y2 = x đường thẳng d có phương trình : 2x – y – = Hãy viết phương trình tiếp tuyến (P) giao điểm (P) d b Lập phương trình tiếp tuyến chung (P) : y = 4x (E) : Trang 39 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG x y2 1 Giải a/ Điểm chung d (P) có tọa độ nghiệm hệ : �y x �2 y y �1 � �� � A 1;1 , B � ; � 2x y 1 � x y 1 �4 � � - Phương trình tiếp tuyến có : yy0 p x x0 � d A :1 y x 1 � x y Và 1� 1� d B : y �x �� x y 2� 4� :� � b/ Gọi d tiếp tuyến chung (P) (E) có dạng : ax+by+c=0 - d tiếp tuyến (P) : p B =2AC � b =2ac , hay : b =ac (1) 2 - d tiếp tuyến (E) : 8a 2b c c 2a � c 4a � 2 2 - Thay b từ (1) thay vào (2) : 8a ac c � 8a 2ac c � � - Từ (1) a,c dấu chọn : c=4a hay : b 2a � d : ax+2ay+4a=0 � x+2y+4=0 � � ac= 4a b � � b 2a � d : ax-2ay+4a=0 � x-2y+4=0 � Bài 84 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I(1;3), trung điểm AC J(-3;1) Điểm A thuộc Oy , đường thẳng BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC đường cao vẽ từ B ? Giải - Do A thuộc Oy A(0;m) (BC) qua gốc tọa độ O (BC): ax+by=0 (1) - Vì IJ trung điểm (AB) (AC) IJ //BC suy (BC) có véc tơ phương : ur r � IJ 4; 2 // u 2;1 � BC : x y - B thuộc (BC) suy B(2t;t) A(2-2t;6-t) Nhưng A thuộc Oy : 2-2t=0 , t=1 A(0;5) Tương tự C(-6;-3) ,B(0;1) - Đường cao BH qua B(0;1) vng góc với AC uuur r x có AC 6; 8 // u 3; � BH : A H J(-3;1) I(1;3) B ax+by=0 C y 1 � 4x 3y Bài 85 Cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) đường thẳng d : x-2y-1=0 a Tìm tọa độ điểm C d cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB=6( ĐHKB-04) b Tìm tọa độ trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB ?( ĐHKA-2004) Giải r uuu r x 1 y 1 � 4x 3y 4 2t 1 3t - C thuộc : x-2y-1=0 suy C(2t+1;t ) : � 11t 30 a/ (AB) qua A(1;1) có u AB 3; 4 � AB : Trang 40 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG � t � C1 7;3 � � � 27 � 43 27 � t � C2 � ; � � � 11 11 � � 11 b/ - Đường thẳng qua O vng góc với AB có phương trình : 3x-4y=0 - Đường thẳng qua B vng góc với OA có phương trình : (x-4)+(y+3)=0 - Đường thẳng qua A vng góc với OB có phương trình : 4(x-1)-3(y-1)=0 hay : 4x-3y-1=0 - Vậy tọa độ trực tâm H nghiệm : � � 3x x 3x y � �x � � � �4 � � �x y � �y x �� �H�; � �7 � � � �y x y 1 x y � � � 2 - Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác (C): x y 2ax 2by c - (C) qua O(0;0) suy c=0 (1) - (C) qua A(1;1) suy : 2-2a-2b=0 , hay : a+b=1 (2) - (C) qua B(4;-3) suy : 25-8a+6b=0 , hay : 8a-6b=25 (3) 31 17 � � b 1 b � � a b 1 b 1 a � � � 14 � � 14 �� �� - Từ (2) (3) ta có hệ : � � 8a 6b 25 8a 6(1 a ) 25 31 31 � � � � a a � 14 � 14 31 17 2 - Vậy (C) : x y x y Bài 86 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x+2y-3=0 hai điểm A(1;0) uuur uuur ,B(3;-4) Hãy tìm d điểm M cho : MA 3MB nhỏ Giải uuur uuur uuur - Trên d có M(3-2t;t) suy : MA 2t; t , MB 2t; t � 3MB 6t 3t 12 uuur uuur uuur uuur 2 - Do : MA 3MB 8t; 4t 12 � MA 3MB 8t 4t 12 uuur uuur � � 676 26 - Hay : f(t)= MA 3MB 80t 64t 148 80 �t � � Dấu đẳng thức xảy � 5� 26 19 � � t= � M � ; � Khi min(t)= 5� �5 2 Bài 87 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;-1) đường tròn C1 : x y (1) Hãy viết phương trình đường tròn C2 : có bán kính cắt đường tròn C1 theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Giải Gọi C2 : có tâm I'(a;b) suy : C2 : x a y b 16 � x y 2ax 2by a b 16 1 Lấy (1) -(2) ta : 2ax 2by a b ( đường thẳng trục đẳng phương ) Dây cung hai đường tròn nằm đường thẳng 2 Ví dây cung qua M(2;-1) lên ta có : 4a 2b a b � a b 1 12 2 Trang 41 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Bài 88 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;5),B(5;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A cho khoảng cách từ B đến d Giải r Đường thẳng d qua A(2;5) có n a; b � d : a x b y 1 Theo giả thiết : h B, d a 2 b 5 � 3a 4b a b a b2 b � d : a x 2 � x � � � 7b 24ab � 24a 24 � b � x y � x 24 y 114 � 7 Bài 89 Trong (Oxy) cho A(2;5) đường thẳng d : 2x+3y+4=0 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d' qua A tạo với d góc 450 Giải r Đường thẳng d' qua A(2;5) có n a; b � d : a x b y 1 ur Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ' 2;3 Theo giả thiết : 2a 3b cos450 13 a b 2 � 2a 3b 13 a b2 � 5b2 24ab 5a � b 5a � d ' : x y � x y 23 � Ta có : 'b 169a � � a b � a 5b � d ' : x y � x y 15 � Bài 90 Trong (Oxy) cho hình chữ nhật ABCD , biết phương trình chứa đường chéo d1 : x y d : x y Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật , biết đường thẳng qua điểm M(-3;5) Giải 7x y � �1 � �I�; � �4 � �x y r Gọi d đường thẳng qua M(-3;5 ) có véc tơ pháp tuyến : n a; b Khi - Tâm hình chữ nhật có tọa độ nghiệm hệ : � � d : a x 3 b y 1 Gọi cạnh hình vng (AB) qua M theo tính chất hình chữ rur ruu r nn1 nn2 a 3b 7a b ab � � 7a b a b � � r � nhật : r ur r uu b 3a n n1 n n2 50 a b 2 a2 b2 � � a 3b � d : 3 x 3 y � x y 14 Do : � b 3a � x 3 y 5 � x y 12 � Bài 91 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B( 2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y 0 TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC HD 1 yC y 1, yG 2 C §iĨm G n»m 3 x y y y C (4; 2) đờng thẳng nên , C , tức lµ: C Ta cã C (4; yC ) Khi ®ã täa ®é G lµ xG Ta cã AB ( 3; 4) , AC (3;1) , vËy AB 5 , AC 10 , AB AC Diện tích tam giác ABC S Trang 42 AB AC AB AC 15 25.10 25 = 2 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Bài 92 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2; 1) , B(1; 2) , träng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y Tìm tọa độ đỉnh C biÕt diƯn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 HD Vì G nằm đờng thẳng x y nên G có tọa độ G (t ; t ) Khi ®ã AG (t 2;3 t ) , AB ( 1; 1) Vậy diện tích tam giác ABG 2t 1 S AG AB AG AB 2 (t 2) (3 t ) = 2 NÕu diƯn tÝch tam gi¸c ABC 13,5 diện tích tam giác ABG 13,5 : 4,5 2t 4,5 , suy t 6 hc t VËy cã hai ®iĨm G : G1 (6; 4) , G ( 3; 1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên xC xG ( xa xB ) vµ yC 3 yG ( ya yB ) Víi G1 (6; 4) ta cã C1 (15; 9) , víi G ( 3; 1) ta cã C2 ( 12;18) Bài 93 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng : x y , ' :3 x y 10 điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng ’ VËy Tâm I đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t) HD Theo yc k/c từ I đến ’ k/c IA nên ta có 3(3t 8) 4t 10 4 Giải tiếp t = -3 Khi I(1; -3), R = pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 2 (3t 2) (t 1) Bài 94 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn : (C ) : x y – x – y 0, (C ') : x y x – qua M(1; 0) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn (C ), (C ') A, B cho MA= 2MB HD + Gọi tâm bán kính (C), (C’) I(1; 1) , I’(-2; 0) R 1, R ' , đường thẳng (d) qua M có phương trình a( x 1) b( y 0) � ax by a 0, (a b �0)(*) + Gọi H, H’ trung điểm AM, BM 2 Khi ta có: MA 2MB � IA2 IH I ' A2 I ' H '2 � d ( I ;d ) 4[9 d ( I ';d ) ] , IA IH 9a b2 36a b 35 � 35 � a 36b 2 2 2 a b a b a b a 6 � Dễ thấy b �0 nên chọn b � � �a Kiểm tra điều kiện IA IH thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả m ãn Bài 95 Tam giác cân ABC có đáy BC nằm đường thẳng : 2x – 5y + = 0, cạnh bên AB nằm đường thẳng : 12x – y – 23 = Viết phương trình đường thẳng AC biết qua điểm (3;1) � d ( I ';d ) d ( I ;d ) 35 � 2 HD Đường thẳng AC qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình : a(x – 3) + b( y – 1) = (a2 + b2 �0) 2a 5b 2.12 5.1 Góc tạo với BC góc AB tạo với BC nên : 2 a b2 22 52 12 12 Trang 43 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG a 12b � � � � 2a 5b 29 a b � 9a + 100ab – 96b = � � a b � Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( điểm ( ; 1) khơng thuộc AB) nên cạnh tam giác Vậy lại : 9a = 8b hay a = b = Phương trình cần tìm : 8x + 9y – 33 = 2a 5b 29 2 a b 2 2 Bài 96 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho elip (E) : x y Tìm điểm N elip (E) cho : F1 Nˆ F2 600 ( F1 , F2 hai tiêu điểm elip (E) ) HD + (C) có tâm I(2 , 1) bán kính R = + AMˆ B 900 ( A , B tiếp điểm ) suy : MI MA R 12 Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính R/ = 12 M thuộc d nên M( x , y) có tọa độ thỏa hệ: x y 1 12 x x y y x y Vậy có điểm thỏa u cầu tốn có tọa độ nêu Bài 97 Trong mp (Oxy) cho đường thẳng () có phương trình: x – 2y – = hai điểm A (-1;2); B (3;4) Tìm điểm M () cho 2MA + MB có giá trị nhỏ uuuu r uuuu r HD M � � M (2t 2; t ), AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4) AM BM 15t 4t 43 f (t ) � 2� �26 � �=> M � ; � Min f(t) = f � � 15 � �15 15 � Bài 98 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12 HD Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = Gọi H trung điểm dây cung AB Ta có IH đường cao tam giác IAB IH = d ( I , ) | m 4m | m 16 AH IA2 IH 25 | 5m | m 16 2 (5m) m 16 Diện tích tam giác IAB SIAB A 20 I H B m 16 12 � 2SIAH 12 m �3 � � d ( I , ) AH 12 � 25 | m | 3( m 16) � 16 � m� � Bài 99 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB HD Trang 44 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2) R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB Ta có AH BH AB 2 Có vị trí cho AB đối xứng qua tâm I Gọi A'B' vị trí thứ AB, Gọi H' trung điểm A'B' � 3� Ta có: IH' IH IA AH 3 � , �2 � � MI � � 2 5 1 1 2 Vậy có đường tròn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 hay (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 Bi 100 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 y đờng thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M kẻ tới (E) tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đờng thẳng AB ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh HD Gäi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2) TiÕp tuyÕn t¹i A cã d¹ng : Tiếp tuyến qua M nên : x0 x1 y0 y1 1 xx1 yy1 1 (1) Ta thấy tọa độ A B thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt : xx0 yy0 1 M thuéc nªn 3x0 + 4y0 =12 � 4y0 =12-3x0 � xx0 y (12 x0 ) 4 4 xx0 yy0 4, Gọi F(x;y) điểm cố định mà AB ®i qua víi mäi M th× : (x- y)x + 4y 4=0 x y 0 y 1 � y 40 � x1 VËy AB qua điểm cố định F(1;1) Bi 101 Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng d1 : 4x y 0, d2 : 2x y 0, d3 : x y Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích 15, đỉnh A,C thuộc d3 , B thuộc d1 D thuộc d2 HD Đường chéo (BD) vng góc với (AC) (BD có dạng : x+y+m=0 �x y m �m 4m � � B� ; � 4x y � �3 � �x y m � m 2 m � � D� ; (BD) cắt d D có tọa độ nghiệm hệ : � � 2x y � � � (BD) cắt d1 B có tọa độ nghiệm hệ : � �1 � Trung điểm I BD tâm hình thoi có tọa độ : I � ; 2m � � � Trang 45 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 2m � m 3 � BD : x y tọa độ Theo giả thiết I thuộc (AC) : 2 t t 23 �1 � điểm B(2;1),D(-1;4) I � ; � Gọi A(t;t+2) thuộc (AC) Suy : h A, ( AC ) �2 � t � A 3;5 � C 2;0 � 2t 2t 1 � S BD.h A, AC 15 � � t 2 � A 2;0 � C 3;5 2 � 2 Bài 102 Trong (Oxy) cho đường tròn (C): x y P : y x Tìm (P) điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 600 Giải Gọi M x0 ; y0 � P � y0 x0 d đường thẳng tiếp tuyến (P) M d có phương trình : y0 y x x0 � x y0 y x0 Để d tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) điều kiện cần đủ : Bài 103 Trong (Oxy) cho đ thẳng d: 3x-y+5=0 đường tròn (C): x y x y Tìm điểm M thuộc (C) điểm N thuộc d cho MN có độ dài nhỏ ? Giải 2 (C) : x 1 y 3 � I 1;3 , R - Gọi d' //d d': 3x-y+m=0 d' tiếp xúc với (C) M ( M điểm cách d nhỏ ) , : h I ; d ' R � 3 m 10 � m 10 � d ' : x y 10 � m 10 � � m 10 � d ' : x y 10 � Giả sử N' thuộc d ta ln có : M N ' �M N Dấu xảy N' trùng với N Vậy ta cần lập đường thẳng qua I(-1;3) vng góc với d suy �x 1 3t Khi cắt d' �y t điểm : 1 3t t 10 � t 10 Và 1 3t t 10 � t 10 � �3 Do ta tìm điểm M : M � 1;3 �, 10 � � 10 đường thẳng : � � M �1 d' M I(-1;3) d' M N' N d:3x-y+5=0 � ;3 � Tương tự cắt d N có tọa độ nghiệm : 10 10 � � �x 1 3t � � 29 � �t � N � ; � Ta chọn M cách tính M N , M N , sau so �y t 10 10 10 � � � 3x y � sánh : Nếu M N M N M M Còn M N M N M M �1 � � � 2 Bài 104 Trong (Oxy) cho C : x 1 y 3 điểm M � ; � Tìm (C) điểm N 5 cho MN có độ dài lớn ? Giải Trang 46 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG �x 1 sin t � N � C � N 1 sin t ;3 cost (C) viết dạng tham số : � �y cost 12 16 � � � Khi : MN � sin t � � cost � sin t cos 2t sin t cost+4 � 5 �5 � �5 � 2 12 16 16 �12 � �12 � �16 � sin t cost+5 � sin t cost � * Vì : � � � � , 5 20 �20 � �20 � �20 � 12 16 � cos ;sin = (*) trở thành : 4sin t � 20 20 Dấu đẳng thức xảy : sin t � t k 2 3 � � Do : sin t sin � � cos = � x 1 sin t 1 5 �2 � 4 19 � � � 19 � Tương tự : cost=cos � � sin � y cost=3+ � N � ; � 5 �2 � �5 � x2 y , nhận A(0;2) làm đỉnh trục Bài 105 Tính diện tích tam giác nội tiếp (E): 16 Oy làm trục đối xứng ? Giải Do ABC tam giác , A(0;2) thuộc Oy trục đối xứng B,C phải nằm đường thẳng y=m (//Ox) cắt (E) Vì tọa độ B,C nghiệm hệ : y A(0;2) O H �y m �y m y=m � �2 B C � 2 x 16 y 64 � �x 16 4m �0 �y m � �� 2 �m �0 Ta có : AC x 16 m2 20 m2 , BC 16 m2 � �x � 16 4m 2 2 Do ABC :AC=BC � 20 m 16 m � 20 m 16 m � m x 44 1 1 33 3.4 16 m , suy S ABC BC AH BC.BC BC 2 2 � 44 � 16 � Hay : S ABC � � � Bài 106 Tính diện tích tam giác nội tiếp (P): y x , nhận đỉnh (P) làm đỉnh Vậy : m trục Ox làm trục đối xứng ? Giải �1 �2 � � (P) có tiêu điểm F � ;0 � Nếu Ox làm trục đối xứng B,C nằm đường thẳng : x=m �y x �y 2m � ( song song với Oy) Do tọa độ B,C nghiệm hệ : � � �x m �x m �y � 2m �� � B m; 2m , C m; 2m � BC 2m �x m Trang 47 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG 2 2 Vì OBC tam giác : OB BC � m 2m 2m � m 6m � m m 2 Vậy SOBC BC.OH BC 3 2m 2.6 24 (đvdt) 2 Bài 107 Trong (Oxy) cho điểm M(1;2) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt Ox,Oy A,B cho diện tích tam giác OAB nhỏ Giải Đường thẳng dạng : x=1 y=2 không cắt trục tọa độ Cho nên gọi d đường thẳng qua M(1;2) có hệ số góc k( khác 0) d : y=k(x-1)+2 , hay y=kx+2-k �k � ;0 �và cắt Oy B(0;2-k) �k � k 2 k 4k 4 2k k (1) Do : SOAB k k k 4 Xét f(k)= k � f ' k � k �2 k k Đường thẳng d cắt Ox A � Ta có bảng biến thiên : k f'(k) f(k) -� + -� -2 -16 +� - + +� -6 Căn vào bảng biến thiên ta có macx f (k ) 16 đạt k=-2 Khi đường thẳng d : y=-2(x-1)+2 , hay y=-2x+4 A(2;0) B(0;4) Bài 108 Trong (Oxy) cho tam giác ABC, biết ba chân đường cao tương ứng với đỉnh A,B,C A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh (BC) Giải Do đường cao tứ giác AC'IB' từ giác A nội tiếp đường tròn có đường kính AI , C'B' B'(-2;3) dây cung AA' vng góc với C'B' Vậy C'(2;4) (BC) qua A'(1;1)rvà có véc tơ pháp tuyến uuuuu r I C ' B ' 4; 1 // n 4;1 � BC : x 1 y � 4x y Tương tự lập luận ta tìm phương trình cạnh tam giác ABC : (AB) : 3x-2y+2=0 B A'(1;1) C Bài 109 Trong (Oxy) cho hai điểm A 3; , B 3; 2 a/ Chứng tỏ tam giác OAB tam giác b/ Chứng minh tập hợp điểm M cho : MO MA2 MB 32 đường tròn (C) c/ Chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Giải a/ Ta có : OA 3 2 4, OB 4, AB Chứng tỏ OAB tam giác b/ Gọi M(x;y) đẳng thức giả thiết cho tương đương với biểu thức : Ta có : MO x y , MA2 x y x y 16, MB x y 3x y 16 Trang 48 Chuyên đề : HÌNH HỌC PHẲNG x0 2 �4 � � � �4 � I� ;0 � ,R �� x y Chứng tỏ đường tròn (C) có tâm � � � � � � � � � 3 � �3 � � �3 � � MO MA2 MB 32 � 3x y 3x 32 32 � x y c/ Thay tọa độ O,A,B vào (1) ta thấy thỏa mãn , chứng tỏ (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB Bài 110 Viết phương trình cạnh hình vng ABCD biết AB,CD,lần lượt qua điểm P(2;1) Q(3;5), BC AD qua điểm R(0;1) S(-3;-1) Giải Gọi (AB) có dạng y=kx+b (AD) : y=-1/kx+b' Cho AB AD qua điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) Ta có : h Q, AB 3k b ; h R, AD k kb ' b ' 1 k 2 Theo tính chất hình vng : k 1 k 1 3k b k kb ' h Q, AB h R, AD � � 3k b k kb ' k 1 k 1 � 2k b 1 4� � � �� �� k , b , b ' 10 �� , k 7, b 15, b ' � Từ ta có hệ : �k kb ' 3 7� � �� �3k b k kb ' � AB : x y 0, AD : 3x y 10 0, CD : x y 12 0, BC : x y Do : Hoặc : AB : x y 15 0, AD : x y 0, CD : x y 26 0, BC : x y Trang 49 ... � Bài 12 Trong mặt phẳng to độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm to độ đỉnh... ta tìm : b=3 a= Bài 25 Trong mặt phẳng với hệ to độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0, đường chéo BD: x- 7y +14 = đường chéo AC qua điểm M(2;1) Tìm to độ đỉnh hình chữ nhật... t2 t0 m 5 3 � A 3;8 2 Bài 34 Trong mặt phẳng to độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 = Tìm to độ tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Ngày đăng: 23/01/2019, 08:46
Xem thêm: 110 bai tap ve phep to do trong mat phang tsy
