2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn) Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
CHUYÊN ĐỀ III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a ' x + b ' y = c ' a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R • Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: • Minh họa tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có (d) // (d’) hệ vơ nghiệm { A} hệ có nghiệm (d) ∩ (d’) = (d) ≡ (d’) hệ có vơ số nghiệm • Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm Giải hệ phương trình phương pháp Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình có phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho Ví dụ Giải hệ phương trình phương pháp 3 x − 10 + x = 7 x = 14 x = x = 3 x − y = 3 x − ( − x ) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y = − 2x y = − 2x y = − 2.2 y =1 x + y = y = − x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) Ví dụ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 3 x − y = 3x − y = 7 x = 14 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 2 x + y = 4 x + y = 10 2 x + y = 2.2 + y = y =1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Giải hệ phương trình sau: − x + y = −10 x − y = 16 19 3 x + y = 2 x − y = −12 37 2 x + y = 2 x + y − = 2 x + y = − x + y = 10 20 2 x + y = x + y = 38 x − y = 2 x − y = 3 x − y = −18 x + y = 21 5 x + y = −7 3x − y = −8 39 3 x + y − = 9 x + y − = x + y = −6 2 x − y = 16 22 −2 x + y = −3 3 x + y = 10 40 2 x − y = 4 x − y − = 2 x − y = x + y + 3 x − y = 23 x + y = x + 3y = 41 x + y = 2 x + y = 18 2 x − y = − x + y = 24 x − y = −5 3x + y = −5 42 −2 x + y = −3 x + y = x + y = −2( x − 1) 7 x + y = x + y + 25 3 x − y = 12 4 x + y = 43 x − y = x + y = −5 x + y = −( x + y ) 6 x + y = y − 10 26 x − y = 10 5 x + y = 44 2 x + y = x − y = 3 x + y = −2 −9 x − y = 27 5 x − y = 10 5 x − y = 45 − x + y = x + y = 10 2 x + y = x − y = −1 28 3 x + y = 4 x − y = −12 46 x − y = 3 x − y = 11 − x + y = −10 x + y = −1 29 x + y = −3x − 20 x + y = x − y − 12 47 3 x + y = 6 x + y = 12 x + y = −2 3 x − y = −3 30 5 x − y = 10 x − y = 48 2 x − y = 4 x − y = 12 13 2 x − y = 3x + y = 31 3 x + y = − x 5( x + y ) = −3x + y − 49 3 x + y = 2 x − y = 14 2 x + y = − x + y = −5 32 2 x − y = 4 x − 10 y = 50 x + y = −2 2 x − y = 15 x − y = −5 3x + y = 33 2 x + y = x − y = 51 2 x + y = 3 x − y = 15 16 3 x − y = 12 x + y = −1 34 − x + y = −4( x − 1) 5 x + y = −( x + y ) + 52 3 x + y = 5 x + y = 12 17 −5 x + y = 22 3 x + y = 22 35 x + y = −1 3x − y = −8 53 2 x + y = 2 x + y = 18 3x + y = x + y = 0 x + y = x − y = −4 36 54 2 x − y = 4 x − y = 10 Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: 4x + y = 8x + 3y = 3x − 2y = 11 4x − 5y = 5x − 4y = 2x + y = 4x − x+ y = x + 3y = 15− 9y 14 x+ y x− y = x = y +1 5x 2y − = 19 4x + 3y = 21 Bài Giải hệ phương trình phương phép thế: x = y x + y − 10 = 2x − 3y = x + y = −7 2 x + y = −8 x − y = −1 3x − y + = 5 x + y = 14 2 x + y = 3x − y = 14 2x + 3y = 5 x + y = −10 x + y = 2x − y = x + y = 2x − y = Bài Giải hệ phương trình sau: ( x + 5)( y − ) = xy ; ( )( ) x − y + 12 = xy (3 x + 2)( y − 3) = xy (4 x + 5)( y − 5) = xy y + 27 y − 5x + = − 2x x + + y = y − 5x (2 x − 3)( y + 4) = x( y − 3) + 54 ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 1 ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = ( x + )( y − ) = xy ( x + )( y − 3) = xy + ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy ( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18 ( x − 1)( y − ) = ( x + 1)( y − 3) ( x − 5)( y + 4) = ( x − 4)( y + 1) 10 ( x − 1) + ( y − 2) = ( x + 1) + ( y + 1) ( x − y − 3) = ( x − y − 1) 11 9x y − = −28 3x 12 y + = 15 12 4x − x + y = 15 − y x + y = 14 13 x + 2x − y + =4 12 x − y 3x − y − = −55 11 14 2x − y −1 x − y + = 16 11 x + y 2( x − 1) + = 31 15 Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 1 1 x + y = 12 + 15 = Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: x y 1 = a; = b y Điều kiện: x; y ≠ Đặt x Ta có hệ phương trình sau: 1 1 1 = b = b = b = x = 28 x 28 a + b = 8a + 8b = 21 21 ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ 12 ⇔ 12 ⇔ y = 21 a + = a = 1 = 8a + 15b = 8a + 15b = a + b = 21 12 28 y 21 12 (thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 28; 21) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải hệ phương trình sau: Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x − y = 2 + = x y 1) x + + + x +1 2) x − + − x−2 4) + x + y x − y = − =1 x + y x − y 5) =2 y −1 =1 y −1 =1 y =1 y x − + − x−2 3) =2 y −1 =1 y −1 + x − y x + y = 1,1 − = 0,1 x− y x+ y 6) y 2x + x + y + = x + y = −1 x +1 y +1 7) 1 x + y = 1 + = x y 15 8) 1 x − y − = 3 + =1 x y − 9 x x + y + x + y = 2x − = x + y x + y 10) −3 x − y + x + y = −2 − 10 = x − y 2x + y 11) 2 x + y = 6 − =1 14) x y x x y − y + 12 = x − x =2 x − 12 y 12) 15) 2 ( x + y ) = ( x − y ) 20 20 x+ y + x− y = 2 x + y-2 = 4 - =1 13) x y - x−2 + + 16) x − 2 11 = y +1 3 =3 y +1 Bài Giải hệ phương trình ( x + 2)( y − 2) = xy a ( x + 4)( y − 3) = xy + ( x − 1)( y − 2) − ( x + 1)( y − 3) = b ( x − 3)( y + 1) − ( x − 3)( y − 5) = 18 ( x + 5)( y − 2) = xy c ( x − 5)( y + 12) = xy x − y −1 x − y + = 16 11 x + y + 2( x − 1) = 31 d 9x y − = −28 x + 12 y = 15 e 4x − x + y = x + y = 15 − y 14 f x −1 + + g x − 1 x + 2y − x − 2y =1 20 + = h x + y x − y i x−7 − + x−7 l x + y − − x − y −1 = + = 1,5 x + y − x − y + m = 10 y −1 = 18 y −1 3x − y − x − y = + =3 k x − y x − y 5 = y+6 3 13 = y+6 13 + = x y 36 10 + =1 x y Bài Giải hệ phương trình x − + y − = x −1 + y = a x + 10 x + 25 = x + x − 10 x + 25 = − x b x − + y − = x + y − = −1 c x + y = 2( xy + 2) d x + y = x + y + xy + = 2 e x + y − x − y = 22 x + y + xy = 2 f x + y + xy = 13 x + y = 10 g x + y = x + y = 65 h ( x − 1)( y − 1) = 18 x y + xy = i xy + x + y = x3 + y = x + y5 = x2 + y k x + y = 3 2 l x + y = x + y ( x + 1)( y + 1) = 10 m ( x + y )( xy + 1) = 25 x + y = x y 13 y + x = n 2 x − y = −1 + = − r x y p 3 x + y = 2 x y + xy = q 1 1 + 3x 3y = +1=2 6x y s 4 x + y = 97 2 xy ( x + y ) = 78 2x x +1 + x + x +1 t y =3 y +1 3y = −1 y +1 Bài Giải hệ phương trình x + y + y + 2x = − =1 x + y y + x − =1 x + 2y x − 2y ; 20 + =1 x + y x − y 10 + =5 2x + y 2x − 3y ; 15 + =5 x + y x − y 21 3x x +1 − y + = 2x − = x + y + 12 − = 63 x −3 y + ; 15 + = −13 x − y + 11 12 − = 63 x−3 y + 15 + = −13 x−3 y +2 10 + =1 4y +1 12 x − ; + =1 12 x − y + 22 7 x + 13 y = −39 ; x − 11 y = 33 12 16 + x2 8 2+ x 23 − =8 x + y − x − y +1 + = 1,5 x + y − x − y +1 2 x + y = 10 ; x − 2y2 = 13 ( x + 3) − y = ; ( ) x + + y = 14 x −1 − y + = 2 x − + y + = 15 2( x − 1) − y = ; 5( x − 1) + y = 15 x + − y +1 = 2 x + + y + = ( x − 1) − ( y + 1) = ; x + y − = 16 x + − y + = 5 x + + y + = 31 − = y+6 x−7 13 + = y+6 x−7 xy − x − y + = ; x + y = 17 18 ( x + y ) − 4( x + y ) = 12 ; ( ) ( ) x − y − x − y = =1 y2 ; =1 y2 100 27 − =1 x2 y ; y = 25 24 x 3 x + y = 16 2 x − y = −11 25 x + y = 18 3 x + y = 10 26 27 2( x − x) + y + = 3( x − x) − y + = −7 28 5 x − − y + = 2 x − x + + y + y + = 13 + x −1 − x − = 10 y −1 ; = 18 y −1 x + y = 13 3x − y = −6 x −1 + y + = x −1 + y = 29 ( x + 3) − y = 3( x + 3) + y = 20 x +1 + y −1 = x +1 − y + = 30 19 Bài Giải hệ phương trình sau x − y = 3x − 4y = x −1 y + = x + − y −1 = 1 x + y = 3 − = x y 17 x + + 2y − = − =3 18 x + 2y − 4x + 2y = 7x − 3y = 1 1 + = x y 10 x + y = 4x + 4y = 16 4x − 3y = −24 2x + y − − = 12 x + − y + = −4 11 x + y + y −1 = − = −1 x + y y −1 19 2x − 3y = −5 −3x + 4y = 2 x − y = x +y=3 12 x − 3y = 3x + 2y = 2( x + y ) + x + = ( x + y ) − x + = −5 13 − = 2x + 3− y 13 + = 2x + 3− y 20 3x − x − y + = 2x + = x −1 y + 21 2 ( x − ) + ( + y ) = −2 3 ( x − ) − ( + y ) = −3 + 2x + y 2x − y = 74 + = 32 2x + y 2x − y 14 − = x −7 y +6 + = 21 x −7 y +6 22 7 1 x + 2y + = 2 + = x 2y + 15 3 x − + y = 13 2 x − − y = 23 1 x−y= 3 x + 3y = 2 x − + x + y = x − + 2x + 2y = 16 6x + 6y = 5xy 4 x − y =1 24 x + − y + = 2 x + + y + = 17 ( x − ) − 2y3 = 3 ( x − ) + 5y = 25 x − y + x + y = 1,1 − = 0,1 x − y x + y ( x + 1) ( y − ) = ( x − 1) ( y + 3) ( x − 3) ( y + 1) = ( x + 1) ( y − 3) ( x + 1) ( y − 1) = xy − ( x − 3) ( y − ) = xy − 18 2 ( x + y ) + x + = ( x + y ) − x + = −5 10 MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A (1; 2) B (0; 1) Giải: Gọi phương trình đường thẳng ( d ) : y = ax + b 2 = 1.a + b a = ⇔ b = Vì đường thẳng d qua hai điểm A B nên ta có: 1 = a.0 + b Thay a = b = vào phương trình đường thẳng d ta có Bài Xác định a, b để đường thẳng a A ( 2;1) B ( −1; −5 ) Bài Tìm a b để a M ( 2; ) ( d ) : y = ax + b b A ( 4; −1) ( d ) : y = x +1 qua hai điểm: B ( 3; ) c A ( 2;5) B ( 1; ) ( d ) : y = ( 2b − a ) x − ( a + 5b ) qua điểm: N ( −1;3) b M ( 2;1) N ( 1; −2 ) Bài 3 A −1; ÷ B ( 3; −5 ) a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm d : mx − ( 3n + ) y = 18 ( d ) : ( 3m − 1) x + 2ny = −37 Tìm m b) Cho hai đường thẳng ( ) d d I −5;2 ) n để ( ) cắt ( ) điểm ( Bài Lập phương trình đường thẳng qua điểm a) A ( 2;1) B ( −2;3) c) P ( −2; −4 ) Q ( −1; −1) e) A ( −3;2 ) B ( 1;2 ) b) M ( 3; −2 ) N ( 1;2 ) d) C ( −2;3) D ( 1; −3) f) A ( 1;3) B ( 1; −2 ) 2 x + ay = b + Bài Xác định a, b để hệ phương trình ax + by = + 9a có nghiệm x = 3; y = −1 ( a − ) x + 5by = 25 2ax − ( b − ) y = ( x; y ) = ( 3;1) Bài Tìm a b biết hệ có nghiệm Bài Cho ba điểm: A ( 2;1) , B ( −1; −2 ) , C ( 0; −1) a Viết phương trình đường thẳng AB b Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng c Tìm a, b để ( d ) : ( 2a − b ) x + 3a − qua điểm B C ax + by = ( x; y ) = ( 3; −2 ) Bài a Tìm a, b để hệ phương trình: 2ax − 3by = 36 có nghiệm 2ax + by = 12 ( x; y ) = ( −2;1) b Với giá trị a, b hệ phương trình ax − 2by = −6 có nghiệm Bài Chứng minh đường thẳng sau qua điểm cố định m thay đổi: a ( d ) : mx − y = 3m + b ( d ) : 2mx + y = ( 3m − ) − x c ( d ) : ( m − 3) x − y = m + 2010 Bài 10 Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng quy điểm mặt phẳng tọa độ: a ( d1 ) : 3x + y = 5; ( d ) : x − y = 4; ( d3 ) : mx + y = 11 b ( d1 ) : y = x + 3; ( d ) : y = x + 4; ( d3 ) : y = ( − 5m ) x − 5m c ( d1 ) : 3x + y = 5; ( d2 ) : x + y = −4; ( d3 ) : ( 4m − 1) x + y = −1 Bài 11 Cho đường thẳng đồng quy ( d1 ) : y = 2; ( d ) : y = 3x − 7; ( d3 ) : y = ( 2m + 1) x − 13 Tìm m để đường thẳng B GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: - Từ phương trìn hệ tìm y theo x, vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x - Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = b (1) - Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ + Nếu a = (1) trở thành 0x = b • • Nếu b = hệ có vơ số nghiệm Nếu b # hệ vơ nghiệm + Nếu a # ( 1) ⇒ x = b a Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ phương trình có nghiệm mx − y = 2m Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình: 4 x − my = m + ( 1) ( 2) x − m ( mx − 2m ) = m + ⇔ ( m − ) x = ( 2m + ) ( m − ) 1) ⇒ y = mx − 2m ( Từ , thay vào (2) ta được: + Nếu m − ≠ ⇔ m ≠ ±2 → Hệ có nghiệm nhất: x= ( 2m + ) ( m − ) m −4 = ( 3) 2m + m y=− m+2 m + Khi đó: 2m + m ;− ÷ m+2 m+2 ( x; y ) = + Nếu m = (3) thỏa mãn với x, đó: y = mx − 2m = x − → Hệ có vô số nghiệm ( x; x − ) ∀x ∈ R + Nếu m = - (3) trở trình 0x = → Hệ vơ nghiệm Kết luận: - Nếu m ≠ ±2 hệ có nghiệm 2m + m ;− ÷ m+2 m+2 ( x; y ) = - Nếu m = hệ có vơ số nghiệm ∀x ∈ R - Nếu m = - hệ vô nghiệm BÀI TẬP Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: ( m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + mx + y = 3m − x + my = m + mx + y = 10 − m x + my = x + my = 3m mx − y = m − x − my = + m2 mx + y = + m2 2 x − y = + 2m mx + y = ( m + 1) 10 2x − y d Tìm giá trị m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên x = − y Bài Tìm giá trị m p để hệ phương trình: mx = y + p a Có nghiệm b Có vơ số nghiệm 3 x + y = −8 −3mx + ( m + 5) y = ( m − 1) ( m + 1) Bài Cho hệ phương trình: mãn: x − y = −6 c Vơ nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm ( x; y ) thỏa mx + y = Bài Cho hệ phương trình: 2mx + y = Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn: Bài Cho hệ phương trình: ( 2m − 1) x + ( m + 1) y = m ( m + ) x + y = mx − y = Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên ( m − 3) x + y = mx + y = Tìm m ngun để hệ có nghiệm nguyên Bài 10 Cho hệ phương trình: x + my = Bài 11 Cho hệ phương trình: nx + y = −3 a Tìm m,n để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( −2;3) b Tìm m, n để phương trình có vơ số nghiệm 3x − y = − m x − m y = −3 Bài 12 Tìm m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm: mx − y = m x + ( m − 1) y = Bài 13 Tìm giá trị m để hệ phương trình: vơ nghiệm, vơ số nghiệm 3x + ( m − 1) y = 12 ( m − 1) x + 12 y = 24 Bài 14 Cho hệ phương trình: a Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y = −1 b Tìm m ngun để hệ có nghiệm nghiệm nguyên Bài 15 Cho hệ phương trình: mx − y = m 2 x + my = m + 2m + a Chứng minh hệ có nghiệm với m 13 b Tìm m để biểu thức: x + y + nhận GTLN Tìm giá trị Bài 16 Biết cặp số thức ( x; y ) P = xy + ( x + y ) nghiệm hệ phương trình: x + y = 2 x + y = −m + Hãy tìm giá trị m để biểu đạt giá trị nhỏ ( m + 1) x − y = m + x + ( m − 1) y = Bài 17 Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y có giá trị nhỏ mx + y = Bài 18 Cho hệ phương trình: x + my = a Giải hệ phương trình theo tham số m b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn x − y = c Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m 2 x + y = m Bài 19 Cho hệ phương trình: 25 x − y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0; y < kx − y = Bài 20 Cho hệ phương trình: x + ky = a Giải hệ phương trình k = b Gọi nghiệm hệ phương trình ( x; y ) Tìm số tự nhiên k để x + y = −1 2 x + my = m ( m − 1) x + y = m − Bài 21 Cho hệ phương trình: a Giải hệ phương trình m = - b Tìm m để hệ phương trình có nghiênh ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x + y = ( m + 1) x + y = m − m x − y = m + 2m Bài 22 Tìm m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: 2mx − ( m + 1) y = m − n ( m + ) x + 3ny = 2m − Bài 24 Tìm m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; - 1): ( m − 1) x + y = m x + ( m − 1) y = ( x; y ) Bài 25 Cho hệ phương trình: có nghiệm a Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m b Giải biện luận hệ theo m 14 c Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, tìm giá trị m thỏa mãn: x − y = 2mx + y = Bài 26 Cho hệ phương trình: − x + 3my = a Cmr hệ ln có nghiệm b Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào m Bài 27 Cho hệ phương trình: 3mx − y = 3m − 2m + x + my = 2m Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m mx + y = 2m Bài 28 Cho hệ phương trình: x + my = m + a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm b Giả sử ( x; y ) nghiệm hệ Tìm hệ thức liên hệ x, y độc lập vớới m c Tìm x nguyên để x, y nguyên d Chứng tỏ ( x; y ) nằm đường thẳng cố định (với x, y nghiệm hệ phương trình) Bài 29 Cho hai hệ phương trình: x + y = a ax − y = ( II ) : x + y = x − y = ( I) : a Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tương đương b Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình khơng tương đương x + my = Bài 30 Cho hệ phương trình: mx − y = Với giá trị m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: x − 3y = 28 −3 m2 + mx − y = Bài 31 Cho hệ phương trình: 3x + my = Với giá trị m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức: x + y = 1− m2 m2 + Bài 32 Tìm giá trị m để: mx − y = a Hệ phương trình 2 x + 3my = có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0; y < mx + y = b Hệ phương trình 4 x + my = có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 1; y > 15 mx + y = 2m Bài 33 Cho phương trình x + my = m + Tìm giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên 16 ÔN TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải hệ phương trình sau: x − y = 2 x + y = x − y = x + y = x − y = 2 x − y = x − y = x + y = x + y = 2 x + y = x + y = 4 x + y = 2 x − y = 2 x + y = 2 x − y = 2 x − y = x + y = − x + y = ( x + 1) − 3( y − 6) = 10 2( x + 1) − 3( y − 6) = 3( x + 2) − 3( y − 3) = 11 x + − y + = 2 x + y = − + y = 12 x 3 x − − y + = x−2 + y+2 = 13 1 x − 2 + 14 x x + − y = + 4y = 15 x + 1 x − 2 − 16 x 2 3x − y = 2 + y = 17 x x + − + 18 x + x −1 4 y − y = 2 x − + y = 19 y =1 y −1 =5 y −1 =4 y =5 y +3= y −3 = y 3 x − y = Bài Cho hệ phương trình: 9 x − my = m a Với giá trị m hệ phương trình vơ nghiệm b Với giá trị m hệ phương trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm hệ phương trình c Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm mx + y = Bài Với giá trị m hệ phương trình: x − my = Có nghiệm thỏa mãn điều kiện x+ y = m + Khi tìm giá trị x y 17 2mx + y = m Bài Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình: x + y = m + có nghiệm ngun, tìm nghiệm ngun Bài Cho ba đường thẳng: đường thẳng đồng quy ( d1 ) : y = x − 5; ( d ) : y = 1; ( d3 ) : y = ( 2m − 3) x − Tìm giá trị m để ba x + ay = Bài Cho hệ phương trình ax − y = Tìm giá trị a để hệ phương trình cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài Tìm giá trị a b để đồ thị hàm số ( d ) : y = ax + b qua điểm A(- 5; - 3) điểm B(3; 1) Bài Tìm giá trị m để mx − y = x + 3my = có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < a Hệ phương trình: mx + y = x + my = có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > b Hệ phương trình: mx + y = 2m Bài Cho hệ phương trình x + my = m + Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên (m + 1) x + my = 2m − Bài 10 Cho hệ phương trình mx − y = m − Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn (m + 1) x − y = m + Bài 11 Cho hệ phương trình x + (m − 1) y = Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn mx + my = m Bài 12 Cho hệ phương trình mx + y = 2m m, n tham số a Giải biện luận hệ phương trình b Trong trường hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài 13 Tìm a b để hệ phương trình sau có nghiệm với giá trị tham số m: 18 ( m + 3) x + y = 5a + 3b + m x + my = am − 2b + 3m − Bài 14 Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: y = x − x + a.x x = y − y + ay x + y = m 2 Bài 15 Biết cặp số (x, y) nghiệm hệ phương trình: y + x = − m + Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy + 2(x + y) x + y = 2a − 2 Bài 16 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: y + x = a + 2a − Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ xy = a 1 1 x + y = b Bài 17 Cho hệ phương trình: Giải biện luận hệ phương trình biết x, y độ dài cạnh hình chữ x + my = Bài 18 Cho hệ phương trình: mx +2 y = a Giải biện luận theo tham số m b Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên x + my = Bài 19 Cho hệ phương trình: mx +4 y = 10 − m (m tham số) a Giải biện luận theo m b Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương ( m − 1) x − my = 3m − Bài 20 Cho hệ phương trình: 2 x − y = m + Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (m + 1) x + my = 2m − Bài 21 Cho hệ phương trình: mx − y = m − Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT 19 + 2( x + y ) = x x(3x − 1) + 3xy = Bài Giải hpt: 4( x + y ) = 5( x − y ) 40 40 x+ y − x− y =9 Bài Giải hpt: 1 + +1 = xy x y 2 x + y + xy = 13 Bài Giải hpt: x + y +3xy = ( x + y )( x + y + 1) + xy = Bài Giải hpt: Bài Giải hpt: y − 2x+1 + = −2 2x + y − x+ y=5 x + y + = 4( x + 1)( y + 1) −3 x + y + xy = Bài Giải hpt: x + + y − = −1 − =5 Bài Giải hpt: x + y − Bài Giải hpt: x −1 + y = 2 x − − y = −4 Bài Giải hpt: x + y + =0 x + y2 + = Bài 10 Giải hpt: x + y = x + y − xy = Bài 11 Giải hpt: ( x + 3)( y − 5) = xy Bài 12 Giải hpt: ( x − 2)( y + 5) = xy x + 3x − xy = xy + x + = Bài 13 Giải hpt: 2 x − + y + = x −1 − y + = Bài 14 Giải hpt: xy − ( x − 1)( y − 3) = −4 Bài 15 Giải hpt: ( x + 1)( x − 4) − y = −3 −2 x − 3y = x y + xy = Bài 16 Giải hpt: x + 3y = x − + y =1 Bài 17 Giải hpt: y − 2x 2x x +1 − y = 2(3 y − 2x) + 2x = y Bài 18 Giải hpt: x + ( Bài 19 Giải hpt: ) +1 x + y = +1 x + y = +1 ( x − y ) + x − = y x + y = −2 x −1 + y = 2x − y = Bài 20 Giải hpt: x + 2( x − y + 3) = y x + ( x + 3)(2x − y + 5) = x + 16 Bài 21 Giải hpt: 20 ÔN TẬP Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x + y = x ( 1+ y ) + y = x − xy + y = 13 x − xy − y = −6 17 x − + y +1 = x − + y + = 26 x − y − x + y + xy = 2 x + xy + y = x + 3xy + y = 2 x − xy + y = x + x + = y y + y + = 3x x + = y y + y + = 3x x3 + y + xy = x + y2 + x + y = x + xy − y = x + xy − y = 10 x + xy + y = 19 x − xy + y = −1 11 1 =1 + x y +1 3 y − = xy Bài Tìm giá trị m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ ( m + 1) x − y = m + x + ( m − 1) y = 2 x + by = −4 Bài Xác định a b để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm: bx − ay = −5 x − + y − = ( x − y ) + m ( x − y − 1) − x + y = Bài Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm: a + 2b − 4b + = 2 a + a 2b − 2b = Bài Tính a + b biết a b thỏa mãn hệ phương trình: Bài Cho hệ phương trình: ( a + 1) x − y = ax + y = a a Giải hệ phương trình a = − b Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn x + y > x + my = m + mx + y = 2m Bài Cho hệ phương trình a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhất, có vơ số nghiệm, vơ nghiệm b) Tìm giá trị m nguyên để hệ có nghiêm (x; y) với x, y số nguyên c) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc m 3x − y = − m x − m y = −3 Bài Cho hệ phương trình: a) Với giá trị m hệ phương trình vơ nghiệm 21 b) Với giá trị m hệ phương trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm hệ phương trình c) Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm 2mx + y = m Bài 10 Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình: x + y = m + Có nghiệm ngun, tìm nghiệm ngun Bài 11 Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = (d2): 7x - 5y = -5 Tìm giá trị a để đường thẳng y = ax qua giao điểm hai đường thẳng (d 1) (d2) Bài 12 Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x - (d2): y = (d3): y = (2m - 3)x - Tìm giá trị m để ba đường thẳng đồng quy x + ay = Bài 13 Cho hệ phương trình: ax − y = Tìm giá trị a để hệ phương trình cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < Bài 14 Tìm giá trị a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(- 5; - 3) điểm B (3; 1) Bài 15 Tìm giá trị m để mx − y = x + 3my = có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < c Hệ phương trình: mx + y = x + my = có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > d Hệ phương trình: mx + y = 2m Bài 16 Cho hệ phương trình: x + my = m + Tìm giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên (m + 1) x + my = 2m − Bài 17 Cho hệ phương trình: mx − y = m − Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn (m + 1) x − y = m + Bài 18 Cho hệ phương trình: x + (m − 1) y = Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn mx + my = m Bài 19 Cho hệ phương trình: mx + y = 2m m, n tham số a Giải biện luận hệ phương trình b Trong trường hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y = m y + x = −m2 + Bài 20 Biết cặp số (x, y) nghiệm hệ phương trình: 22 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy + 2(x + y) x + y = 2a − 2 Bài 21 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: y + x = a + 2a − Xác định giá trị tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ Bài 22 Cho hệ phương trình: xy = a 1 1 x + y = b Giải biện luận hệ phương trình biết x, y độ dài cạnh hình chữ nhật x + my = Bài 23 Cho hệ phương trình: mx +2 y = c Giải biện luận theo tham số m d Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên x + my = Bài 24 Cho hệ phương trình: mx +4 y = 10 − m (m tham số) c Giải biện luận theo m d Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương ( m − 1) x − my = 3m − Bài 25 Cho hệ phương trình: 2 x − y = m + Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (m + 1) x + my = 2m − Bài 26 Cho hệ phương trình: mx − y = m − Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn mx + y = m + Bài 27 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m: 2 x + my = x + my = Bài 28 Cho hệ phương trình: mx − y = a Giải hệ m = b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mà x > y < c Tìm số nguyên n để có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên x + my = Bài 29 Cho hệ phương trình: mx − 3my = 2m + a Giải hệ m = - b Giải biện luận hệ cho theo m mx + 2my = m + Bài 30 Cho hệ phương trình: x + (m + 1) y = 23 a Chứng minh hệ có nghiệm (x; y) điểm M(x; y) ln ln thuộc đường thẳng cố định m thay đổi b Xác định m để M thuộc góc vng phần tư thứ c Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính mx + y = m + Bài 31 Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình: x + my = m có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên x + my = Bài 32 Cho hệ phương trình: mx + y = a Giải biện luận theo m b Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên c Chứng minh hệ có nghiệm (x; y), điểm M(x; y) luôn chạy đường thẳng cố định d Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính x + y = 25 Bài 33 Với giá trị m, hệ phương trình: mx − y = 3m − có nghiệm? xy + x + y = 71 x y + xy = 880 Bài 34 Cho x, y hai số nguyên dương cho: Tìm giá trị biểu thức: M = x2 + y2 (a + 1) x − y = a + Bài 35 Cho hệ phương trình: x + ( a − 1) y = (a tham số) a Giải hệ phương trình với a = b Giải biện luận hệ phương trình c Tìm giá trị nguyên a để hệ phương trình có nghiệm ngun d Tìm giá trị a để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ 2(m + 1) x + (m + 2) y = m − Bài 36 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vơ nghiệm, vơ số nghiệm: (m + 1) x + my = 3m + ( m − 1) x + 2my + = Bài 37 Cho hệ phương trình: 2mx + ( m − 1) y − ( m − 1) = (m tham số) a Giải hệ phương trình b Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x < 0, y < (m − 1) x + y = 3m − Bài 38 Cho hệ phương trình: x + ( m − 1) y = m (m tham số) a Giải hệ phương trình b Tìm giá trị ngun m để hệ có nghiệm nguyên c Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương 24 x + my = m + Bài 39 Cho hệ phương trình: mx + y = 3m − (m tham số) a Giải hệ phương trình b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy nhỏ ìï ax - by = - ï í ï bx + y + = ( - 2;1) b Bài 40 a Xác định a , để hệ phương trình ïỵ có nghiệm ìï ax + 2y = ï í ï bx - ay = b Xác định a , b để hệ phương trình ïỵ có nghiệm ( 2;- ) ìï 2mx - ( n + 1) y = m - n ï í ï ( m + 2) x + 3ny = 2m + 10 ( 2;- 1) c Xác định m , n để hệ phương trình ïïỵ có nghiệm ìï 3x - 2y = ï í ï mx + y = Bài 41 a Cho hệ phương trình ïỵ Tìm giá trị m để hệ có nghiệm ìï ax - y = ï í ï - x + 2ay = b Cho hệ phương trình ïỵ Tìm giá trị a để hệ có nghiệm ìï 2x + my = - ï í ï mx - 3y = c Cho hệ phương trình ïỵ Tìm giá trị m để hệ có nghiệm ìï ( m + 2) x + ( m + 1) y = ï í ï x + 3y = d Cho hệ phương trình ïïỵ Tìm giá trị m để hệ vơ nghiệm ìï mx + 2y = 18 ï í ïx- y =- Bài 42 a Cho hệ phương trình ïỵ ( x;y) thỏa mãn 2x + y = Tìm giá trị m để hệ có nghiệm ìï x + y = 3m - ï í ï 2x - y = b Cho hệ phương trình ïỵ x2 - y - ( x;y) thỏa mãn y + = Tìm giá trị m để hệ có nghiệm ìï 2x + y = 5m - ï í ï x - 2y = c Cho hệ phương trình ïỵ ( x;y) thỏa mãn x2 - 2y2 = - Tìm giá trị m để hệ có nghiệm 25 ìï 2y - x = m + ï í ï 2x - y = m - d Cho hệ phương trình ïỵ ( x;y) thỏa mãn x2 + y2 nhỏ Tìm giá trị m để hệ có nghiệm BÀI TẬP QUA CÁC KÌ THI Giải hệ phương trình sau: x+3 2y + =8 y−2 x x + + y = 13 x y−2 1) 3 ( x − y ) − ( x + y ) = −25 2 ( x − y ) + ( x + y ) = 2) 3 x − + y = 18 x −1 − y = 3) 3 x − − y + = −1 x −1 + y + = 4) x − + 2( x + y) = x − − 3( x + y ) = −5 5) 48 80 x+ y + x− y =7 100 − 32 = 6) x + y x − y x − − y + = − y +1 +1 = 7) x − x + + y − = − y − = −7 8) x + x + + y − = x + − y −1 = 9) ( x − 1) + ( y − 3) = ( x + ) − ( y − ) 2 2 ( x + 1) − ( y − 1) = ( x + 3) − ( y − 3) 10) 3 x − + ( x − y ) = 11 x − − ( x − y ) = −15 12) x x +1 + x + 15) x + 2y =8 y −1 y =5 y −1 x + + =9 y − 2 x + − = y −3 18) 2x +1 + − 13) x + 3 x + − y − = x +1 + y − = 11) = 11 y −1 13 = y −1 2 ( x − x ) + y + = 3 ( x − x ) − y + = −7 14) 4( x + y) − y + = 10 3( x + y) − y + = 16) x −1 + − 17) x − x +1 + + x +1 19) x − + = 15 − y 2 x − + =3 15 − y 20) =4 y −2 =3 y −2 =7 y +1 =4 y +1 26 x + y + y − = 3( x + y ) − y −1 = 21) 22) x −1 y − x + − y + = −1 3x − + y − = 2x +1 y + 2 x+ y − x− y =4 + =5 x+ y x− y 23) x − + x − y = 3x − + ( x − y ) = 24) x + − y − = −2 x + + y − = 10 25) 1 + = x y + = x y 26) x − y + = x+2 y+2 =3 27) x − y + x + y = −2 − = −1 28) x − y x + y x−2 + y = − =1 x−2 y 29) 2x + y = −3 x+ − y−1 = 30) 2x −1 + y − = + = 11 2x −1 − y 31) 21 2x − y − x + y = 7− x− y + =1 x − y x+ y 32) 3x + − x − y = 2 3x + + = y − 2x 33) x − y − y −1 = + y −1 = 34) x − y 27 ... B GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: - Từ phương trìn hệ tìm y theo x, vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x - Giả sử phương trình bậc... 19 Cho hệ phương trình: 25 x − y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x > 0; y < kx − y = Bài 20 Cho hệ phương trình: x + ky = a Giải hệ phương trình k = b Gọi nghiệm hệ phương trình (... Cho hệ phương trình: 9 x − my = m a Với giá trị m hệ phương trình vơ nghiệm b Với giá trị m hệ phương trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng quát nghiệm hệ phương trình c Với giá trị m hệ phương