MÔ HÌNH HÓA VÀ TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM

u yếu tố mà bản chất qui luật của quá trình xảy ra bên trong đối tượng chưa được biết rõ. Dựa vào những hiểu biết ban đầu về đối tượng, trước khi tiến hành thực nghiệm chúng ta cần xác định sơ bộ mô hình toán học của đối tượng, cần giải thích những yếu tố nào phải thay đổi trong quá trình làm thí nghiệm, những yếu tố nào giữ ở mức cố định và mục tiêu cần đạt được tối ưu. Phương pháp mô hình hóa toán học là phương pháp tính toán và phân tích các quá trình kỹ thuật, là vấn đề chọn công thức thực nghiệm và ước lượng các tham số của công thức đó. Để ước lượng giá trị thực của các đại lượng được khảo sát và độ chính xác của các ước lượng cần phải tiến hành xử lý các số liệu thực nghiệm. Phương pháp xử lý số liệu được sử dụng là phương pháp phân tích hồi qui. Đối tượng trong công nghệ hóa học phụ thuộc vào các yếu tố công nghệ có thể điều chỉnh như nồng độ, áp suất, nhiệt độ,u yếu tố mà bản chất qui luật của quá trình xảy ra bên trong đối tượng chưa được biết rõ. Dựa vào những hiểu biết ban đầu về đối tượng, trước khi tiến hành thực nghiệm chúng ta cần xác định sơ bộ mô hình toán học của đối tượng, cần giải thích những yếu tố nào phải thay đổi trong quá trình làm thí nghiệm, những yếu tố nào giữ ở mức cố định và mục tiêu cần đạt được tối ưu. Phương pháp mô hình hóa toán học là phương pháp tính toán và phân tích các quá trình kỹ thuật, là vấn đề chọn công thức thực nghiệm và ước lượng các tham số của công thức đó. Để ước lượng giá trị thực của các đại lượng được khảo sát và độ chính xác của các ước lượng cần phải tiến hành xử lý các số liệu thực nghiệm. Phương pháp xử lý số liệu được sử dụng là phương pháp phân tích hồi qui. Đối tượng trong công nghệ hóa học phụ thuộc vào các yếu tố công nghệ có thể điều chỉnh như nồng độ, áp suất, nhiệt độ,

1

Chương 6: MÔ HÌNH HÓA VÀ TỐI ƯU HÓA THỰC NGHIỆM

6.1 Các phương pháp qui hoạch thực nghiệm

Trong công nghệ hóa học, chúng ta nghiên cứu một đối tượng công nghệ thường phụ thuộc đồng thời vào nhiều yếu tố mà bản chất qui luật của quá trình xảy ra bên trong đối tượng chưa được biết rõ Dựa vào những hiểu biết ban đầu về đối tượng, trước khi tiến hành thực nghiệm chúng ta cần xác định sơ bộ mô hình toán học của đối tượng, cần giải thích những yếu tố nào phải thay đổi trong quá trình làm thí nghiệm, những yếu tố nào giữ ở mức cố định và mục tiêu cần đạt được tối ưu

Phương pháp mô hình hóa toán học là phương pháp tính toán và phân tích các quá trình kỹ thuật, là vấn đề chọn công thức thực nghiệm và ước lượng các tham số của công thức đó Để ước lượng giá trị thực của các đại lượng được khảo sát và độ chính xác của các ước lượng cần phải tiến hành xử lý các số liệu thực nghiệm Phương pháp xử lý số liệu được sử dụng là phương pháp phân tích hồi qui

Đối tượng trong công nghệ hóa học phụ thuộc vào các yếu tố công nghệ có thể điều chỉnh như nồng độ, áp suất, nhiệt độ, độ pH,… và các yếu tố của biến ngẫu nhiên không điều khiển được Hàm mục tiêu của đối tượng là hiệu suất, chất lượng sản phẩm, chi phí sản xuất,… Để tìm mối quan hệ giữa hàm mục tiêu y và các yếu tố đầu vào xi bằng thực nghiệm, chúng ta cho thay đổi tác động các biến đầu vào xi (đại lượng có thể đo và điều khiển được) và đo hàm đáp ứng đầu ra y (đại lượng đo được nhưng không điều khiển được) theo mô hình thực nghiệm như hình 6.1

xi – biến đầu vào (1 ≤ i ≤ k)

y – thông số đầu ra (biến bị điều khiển)

x - biến ngẫu nhiên không điều khiển được

Hình 6.1 Mô hình nghiên cứu thực nghiệm các đối tượng công nghệ

Nếu loại trừ được ảnh hưởng của nhiễu (x = 0) thì ta thu được các dạng mô hình thống kê như sau:

- Nếu mô hình thống kê với các biến đầu vào chứa yếu tố thời gian thì gọi là mô hình động, không chứa yếu tố thời gian là mô hình tĩnh

- Nếu mô hình chỉ áp dụng cho một miền giới hạn nhất định của biến (điều kiện ràng buộc của biến) gọi là mô hình cục bộ (địa phương)

Với mô hình địa phương, triển khai hàm f(x1, x2,…,xk) dưới dạng chuỗi Taylor:

Ma trận các hệ số hồi qui tuyến tính có dạng: [ ] (6.8)

Ma trận chuyển vị của ma trận X có dạng: (ma trận (k + 1) dòng, n cột)

Với (XTX)-1 là ma trận nghịch của ma trận XTX khi định thức của ma trận XTX khác không hay

ma trận XTX không suy biến

]

Khi đó ma trận các hệ số hồi qui được tính theo công thức (6.11)

Trường hợp tổng quát, nếu các số liệu thực nghiệm được biểu diễn bằng đa thức bậc

α thì số hệ số hồi qui trong phương trình hồi qui bằng Sử dụng một số phép biến đổi, chúng ta biến đổi phương trình hồi qui đa thức bậc α về phương trình hồi qui tuyến tính bằng cách thay các số hạng phi tuyến của thức bằng các số hạng tuyến tính Phương trình này được gọi là phương trình tuyến tính hóa theo thông số Nếu bậc của đa thức chưa biết trước thì việc tính toán thường phải tiến hành vài lần, tăng dần bậc của đa thức đến khi nào phương trình hồi qui nhận được tương thích với thực nghiệm Mỗi lần tăng bậc đa thức, toàn

bộ việc tính toán liên quan đến phân tích hồi qui đều phải tính toán lại Sự thay đổi bậc của

đa thức hoặc loại bỏ một phần các số hạng trong phương trình hồi qui dẫn đến thay đổi các giá trị tính toán các hệ số còn lại trong đa thức Khi đó xuất hiện sự không xác định trong việc ước lượng các hệ số hồi qui, gây khó khăn cho việc giải thích ảnh hưởng của các biến độc lập vào đại lượng nghiên cứu

Để loại bỏ các khó khăn nói trên, chúng ta tiến hành thực nghiệm theo qui hoạch trực giao và ma trận thực nghiệm trực giao phải thỏa mãn các điều kiện sau:

- Công thức tính các hệ số phương trình hồi qui bj

- Hệ số bj là ước lượng trúng của các hệ số βj

- Phương trình hồi qui ̂ là ước lượng trúng của y

6.1.1 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần 2 k

Qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần là thực nghiệm mà mọi tổ hợp các mức của các yếu tố đều được thực hiện để nghiên cứu Bố trí thực nghiệm yếu tố toàn phần theo ma trận trực giao và phân bố đối xứng các biến độc lập với tâm đối xứng Ma trận X thỏa mãn điều kiện trực giao và có thêm tính chất chuẩn hóa:

Tổng bình phương các phần tử của một cột bằng số thí nghiệm

Với k là các yếu tố, n là số mức thì số thí nghiệm N = nk

Nếu các thí nghiệm chỉ thực hiện ở hai mức, thường là hai giá trị biến của mỗi yếu tố khảo sát thì N = k Giả sử khảo sát biến Zj với hai giá trị biên là aj < bj (1 ≤ j ≤ k), chúng ta thực hiện một số phép biến đổi sau:

Các hệ số bij được xác định theo công thức sau:

6.1.2 Qui hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần 2 k - p

Khi số biến k trong mô hình qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần k càng lớn thì làm cho số thí nghiệm N càng lớn Điều này làm cho qui hoạch trở nên cồng kềnh, chi phí lớn, kém hiệu quả Để khắc phục điều đó, người ta dùng qui hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần N = k – p, với p là giá trị đặc trưng cho độ từng phần, là số hiệu ứng tương tác được thay bằng số hiệu ứng tuyến tính

Thực chất đây là qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần bớt đi p cột của k thông số độc lập, số thí nghiệm giảm đi p lần nhưng vẫn đảm bảo tính trực giao của ma trận X

Quá trình qui hoạch thực nghiệm yếu tố từng phần theo các bước sau:

Bước 1: chọn ra r thông số chính ảnh hưởng đến hàm mục tiêu trong k thông số đầu vào: r = k – p Lập qui hoạch thực nghiệm yếu toàn phần r với số thí nghiệm là N = r Tuy nhiên, khi lựa chọn giá trị p phải đảm bảo điều kiện sau:

k + 1 ≤ N = r = 2k-p ≤ k (6.24)

Bước : tiến hành thiết lập các biểu thức tương quan sinh biểu diễn các mối tương quan giữa mỗi thông số p với một tích các thông số trong r thông số chính Các biểu thức tương quan sinh có thể là tích của các thông số trong r thông số chính mang dấu dương hay

âm

Bước : kiểm tra tính tiện lợi của mô hình đã được lập: nếu ma trận X không có các cột giống nhau hoặc ngược dấu nhau thì vẫn đảm bảo tính trực giao, qui hoạch thực nghiệm đạt yêu cầu

Bước 4: tiến hành xác định và kiểm tra ý nghĩa của các hệ số hồi qui bj, kiểm tra sự tương thích của phương trình hồi qui thu được

6.1.3 Qui hoạch trực giao cấp 2

Qui hoạch trực giao cấp là qui hoạch thực nghiệm và xử lý số liệu thực nghiệm theo phương pháp xây dựng mô hình hồi qui cấp với các điều kiện tương tự như qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần (qui hoạch trực giao cấp 1)

Phương trình hồi qui bậc đầy đủ có dạng:

̂ ∑ ∑ ∑

7

Xây dựng ma trận trực giao X bao gồm ba loại thí nghiệm:

- Phần cơ sở gồm n = k thí nghiệm theo qui hoạch thực nghiệm yếu tố toàn phần

- Phần điểm “*” gồm nk = k điểm nằm trên các trục tọa độ của không gian k yếu tố và cách tâm phương án khoảng cách α > 0

- Phần tâm gồm n0 (n0 ≥ 1) thí nghiệm ở tâm phương án dùng để xác định phương sai tái hiện trong công thức kiểm tra ý nghĩa của các hệ số hồi qui

Tổng số thí nghiệm trong phương án là N = k + 2k + n0

Tuy nhiên, những phương án cấu trúc có tâm không trực giao do > 0 nên:

] (6.28)

Đặt (i = 1, ) thì ta có:

[

] (6.29)

Sử dụng các điều kiện trực giao của ma trận X:

Tích vô hướng của vectơ cột 1 và cột 6 bằng 0, tức là ta có đẳng thức sau:

22(1 - ) + α2 – 2.2 - = 0

Hay tổng quát với k yếu tố: k(1 - ) + α2 – 2k - n0 = 0

6.1.4 Qui hoạch thực nghiệm để tìm cực trị

Các phương trình hồi qui thu được là biểu diễn gần đúng đối tượng công nghệ mà ta đang khảo sát Vấn đề đặt ra là tìm , ,…, sao cho:

(6.32)

Khi hàm hồi qui đạt đủ độ chính xác cần thiết, ta dùng qui hoạch toán học để tìm cực trị:

- Nếu hàm tuyến tính ta dùng phương pháp qui hoạch tuyến tính;

- Nếu hàm phi tuyến ta áp dụng phương pháp qui hoạch phi tuyến

Nếu độ chính xác chưa đạt yêu cầu, kết quả còn thô, kém tin cậy thì trước khi sử dụng phương pháp qui hoạch toán học cần thu hẹp vùng chứa điểm cực trị, tức là có thể tìm vùng cực trị bẳng qui hoạch thực nghiệm

Phương pháp qui hoạch thục nghiệm để tìm cực trị được chia làm hai giai đoạn:

- Tìm vùng chứa điểm cực trị bằng qui hoạch trực giao cấp 1

- Tìm phương trình hồi qui cấp bằng qui hoạch trực giao cấp và cuối cùng là dùng phương pháp qui hoạch phi tuyến để tìm cực trị: qui hoạch lồi hoặc qui hoạch toàn phương

Vectơ gradient của hàm y = f(x) tại x* (ký hiệu là grad[f(x*)]) là vectơ có chiều biểu thị sự biến thiên nhanh nhất của hàm y tại x*, giá trị của grad[f(x*)] thay đổi từ điểm này sang điểm khác trong không gian yếu tố Với mô hình tuyến tính k yếu tố:

[ ] (6.33)

Với: +

: đạo hàm riêng của hàm f(x) theo biến xj tại x*

+ ij (j = 1, , …,k) : vectơ đơn vị theo các trục tọa độ

Xét một miền con D0 có tâm Z0 ứng với x0, giả sử phương trình hồi qui có dạng:

Theo thuật toán leo Box – Wilson như sau:

Tính các thành phần của gradient theo triển khai Taylor:

Cách tiến hành: gọi Z0 là tâm miền D0 trong tọa độ biến thật ký hiệu là M0 Điểm M1 có các tọa độ xác định theo: ̅̅̅̅̅ Tại đây ta làm thí nghiệm xác định được

y2 Lặp lại ta sẽ thu được dãy: y0, y1, …, yn

Khi thực hiện: y0 < y1  tiếp tục làm y2

y2 < y3  tiếp tục làm y3

y3 < y4  tiếp tục làm y4

yp-1 > yp  mặt cong bắt đầu

Dừng lại ở Mp-1 với tâm mới Mp-1 = Zp-1

Tại Xp-1 lại tiếp tục quá trình xấp xỉ bằng mặt phẳng Kiểm định sự phù hợp của mô hình bậc nhất, nếu thỏa mãn thì tiếp tục tìm độ dài bước làm thí nghiệm Tiến hành cho đến khi mô hình bậc nhất không phù hợp thì đó là vùng cực trị

6.2 Xác định các hệ số của phương trình hồi qui

Chọn phương án thí nghiệm với k biến độc lập, thực hiện n thí nghiệm, không có thí nghiệm lập lại và bố trí thực nghiệm sao cho ma trận X có tính trực giao

6.2.1 Tính hệ số hồi qui b j của phương trình hồi qui tuyến tính

Áp dụng công thức (6.11), (6.15), (6.16), (6.1 ) ta có:

( )

[

] [ ∑ ∑

∑

]

Suy ra:

[ ∑

∑

∑

]

6.2.2 Tính hệ số hồi qui b j của phương trình hồi qui bậc 2 Tiến hành qui hoạch thực nghiệm theo mô hình qui hoạch trực giao cấp thì các hệ số hồi qui được xác định theo công thức (6.11) sau khi lập được ma trận trực giao X, hay xác định theo các công thức sau: bj=∑ xNi=1 ijyi ∑ xN ij i=1 (6.4 ) ∑

∑

∑

∑

6.3 Kiểm tra sự tương hợp của phương trình hồi qui

Sau khi tính toán được các hệ số của phương trình hồi qui, chúng ta cần tiến hành kiểm định sự tương hợp của phương trình hồi qui với số liệu thực nghiệm Quá trình kiểm định được tiến hành theo hai bước sau:

Bước 1: kiểm tra sự có nghĩa của các hệ số phương trình hồi qui bằng tiêu chuẩn thống kê

(chuẩn số) Student tα (với α: mức ý nghĩa) Bản chất của phương pháp là kiểm tra các hệ số

bj = 0 hay không, hoặc kiểm định xem thực chất có bao nhiêu yếu tố ảnh hưởng đến hàm mục tiêu

Chọn thống kê: | |

sbj: độ lệch quân phương của hệ số thứ i

Phươn sai được xác định theo công thức:

Thông thường chọn mức ý nghĩa α = 0,05 Tra theo chuẩn Student ta có được giá trị tα(fth)

- Nếu tbi > tα(fth) thì hệ số bi được giữ lại trong phương trình hồi qui, ảnh hưởng của yếu

tố xi có ý nghĩa đối với việc thay đổi thông số tối ưu y

- Ngược lại, nếu tbi < tα(fth) thì hệ số bi bị loại khỏi phương trình hồi qui

Bước 2: kiểm tra sự tương thích của phương trình hồi qui theo tiêu chuẩn Fisher:

Phươn sai được xác định theo công thức:

- L: số hệ số có ý nghĩa trong phương trình hồi qui

Tra theo chuẩn Fisher ta có được giá trị Fα(α, ftt, fth), với ftt = N – L , fth = n0 – 1

- Nếu F < Fα thì mô hình thống kê phù hợp với số liệu thực nghiệm

- Nếu F ≥ Fα thì mô hình thống kê không phù hợp với số liệu thực nghiệm

6.4 Ứng dụng Excel để tối ưu hóa thực nghiệm

Để giải bài toán tối ưu hóa thực nghiệm chúng ta cần tiến hành các bước sau:

- Bước 1: chọn phương án tiến hành thí nghiệm

- Bước : lập ma trận thực nghiệm X

- Bước : tiến hành thí nghiệm để xác định giá trị biến đầu ra Y

- Bước 4: xác định các hệ số trong phương trình hồi qui

- Bước 5: đánh giá phương trình hồi qui thu được

- Bước 6: xác định chế độ thực nghiệm tối ưu

Mỗi bước có thể thực hiện phép lặp nếu chưa đạt yêu cầu về mục tiêu của công nghệ, sai số…Các bước 1, và 4, 5 đã được trình bày ở phần trên về phương pháp thực hiện Bước được thực hiện ở phòng thí nghiệm, phụ thuộc vào trang thiết bị, dụng cụ thí nghiệm

và tay nghề của người làm thí nghiệm Bước 6 được tối ưu hóa theo mô hình tìm ra

Khảo sát phương pháp thực hiện bước 4 và 5 bằng phần mềm Microsoft Excel để sử dụng trong tính toán bằng các hàm:

- Nhân hai ma trận: MMULT(array1, array )

- Tính định thức của ma trận: MDETERM(array)

- Tính ma trận nghịch đảo: MINVERSE(array)

- Tính ma trận chuyển vị: TRANPOSE(array)

- Tính giá trị trung bình các số hạng: AVERAGE(number1, number ,…)

- Tính tổng bình phương các số hạng ∑ : SUMSQ(number1, number ,…)

- Tính tổng bình phương độ lệch ∑ ̅ : SUMXMY2(array_x, array_y)

- Tính độ lệch chuẩn của mẫu √∑ ̅

: STDEV(number1, number ,…)

- Tra chuẩn số Student: TINV(p1, p2)

13

- Tra chuẩn số Fisher: FINV(α, p1, p2)

Lưu ý: để thực hiện các phép toán ma trận trong Excel, chúng ta phải chọn các phần

tử của ma trận cần tính (quét khối kích thước ma trận) và ấn giữ đồng thời ba phím Ctrl + Shift + Enter

Ví dụ 1: Tiến hành qui hoạch thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của yếu tố Z1, Z2, Z3 lên hàm mục tiêu y với số liệu thu được như sau:

- Giá trị mức thấp, mức cao của các biến thực lấy từ số liệu đã cho

- Z j0 : mức cơ sở, là trung bình cộng của mức thấp và mức cao nên ta nhập công thức ở cell D2 = AVERAGE(B2:C2)

Sau đó dùng draf kéo chuột xuống các hạng trong cột Zj0

Khoảng biến thiên Z j được tính theo công thức trong cell E = (C -B2)/2

Sau đó dùng draf kéo chuột xuống các hạng trong cột Zj

Bước 2: lập bảng tính chuyển đổi các biến thực sang biến mã hóa:

Nhập giá trị các ô trong cột x0 đều bằng 1

Ma trận hệ số X: do có thí nghiệm được thực hiện ở tâm nên ma trận X là ma trận dòng,

4 cột Để xác định giá trị các phần tử trong ma trận X ta copy giá trị các ô F :I15 vào các ô A21:D28

Ma trận các biến đầu ra y: tương tự như ma trận X, ta copy giá trị các ô J :J15 vào các ô

Ma trận X T X: là ma trận có kích thước 4 dòng, 4 cột Nhân hai ma trận XT với ma trận X: ta quét khối các ô H :K 0 và nhập công thức: =MMULT(H 1:O 4,A 1:D ) và nhấn đồng thời ba phím Ctrl + Shift + Enter

Kiểm tra định thức det (X T X): ta nhập công thức =MDETERM(H :K 0)

Ma trận nghịch đảo (X T X) -1 : quét khối các ô M :P 0, nhập công thức:

=MINVERSE(H :K 0) và nhấn đồng thời ba phím Ctrl + Shift + Enter

Ma trận X T Y: là ma trận có kích thước 4 dòng, 1 cột Ta nhập công thức:

=MMULT(H21:O24,F21:F28)

Ma trận hệ số hồi qui B: ta quét khối các ô D 1:D 4, nhập công thức = MMULT(M :P 0,A 1:A 4) nhấn đồng thời ba phím Ctrl + Shift + Enter