Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển đại TIỂU LUẬN MÔN HỌC LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI ĐỀ BÀI: Tự đưa mơ hình tốn học Xét tính ổn định hệ thống điểm cân Thiết kế điều khiển hai phương pháp Theo phương pháp tuyến tính hóa xác Theo phương pháp điều khiển trược Mô hệ thống khơng có điều khiển có điều khiển hai phương pháp Kết ln: I MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA HỆ THỐNG Mơ hình tốn học đối tượng Giả sử hệ thống điều khiển có mơ hình đối tượng sau �x& x1 x2 � �x&2 x1 x2 u �y x � Trong đó: Hai biến trạng thái x1, x2 Tín hiệu vào u(t) Tín hiệu y(t) II XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG Xác định điểm cân hệ thống Ta có phương trình trạng thái hệ thống: �x& x1 x2 � �x&2 x1 x2 u �y x � (2.1.1) Mơ hình (2.1.1) có u(t) = trở thành Một điểm trạng thái thỏa mãn (2.1.2) gọi điểm cân hệ thống Tức là, (2.1.2) có nghiệm nghiệm thỏa mãn Như hệ (2.1.1) có điểm cân (0, 0) Kiểm tra tính ổn định điểm cân Sử dụng Lyapunov để kiểm tra tính ổn định điểm cân bằng., V(x) hàm xác định dương tồn khơng gian trạng thái Nguyễn Hữu Việt Siêu Trang Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển đại vecto Grandient gradV, ln vng góc đường cong v k chiều tăng theo giá trị theo giá tri k V(x) = k Với hàm xác định dương V(x) a) theo tiêu chuẩn Lyapunov Trong lân cận điểm cân mơ tả gần mơ hình tuyến tính Mơ hình tốn học khơng bị kích thích (2.1.1) sau: �x&1 x12 x2 � �x&2 x1 x2 (2.2.1) - Các giá trị riêng ma trận A có phần thực âm, nghiệm thực phải nghiệm đơn phương trình det(λI-A)=0 �x&1 x12 x2 � �x&2 x1 x2 u (2.2.2) Khai triển hàm (2.1.2) thành chuỗi Taylor điểm sau: Thay điểm cân dựa vào ma trận Jacobi ta hệ tuyến tính lân cận điểm làm việc x � �� � x& � u �x �� x2 x1 � �� � Thay giá trị điểm cân vào ta hệ tuyến tính sau: (2.2.3) Nếu tồn V(x) xác định dương xác định âm hệ ổn định điểm cân Nếu chọn hàm Suy với mơ hình (2.2.2) ta có Như vậy, để hệ ổn định V(x) xác định dương xác định âm tức a>0, b>0, x10 Vậy hệ điều khiển III THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN Phương pháp tuyến tính hóa lân cận điểm làm việc – Lyapunov: Giả sử hệ có điểm làm việc gốc tọa độ lân cận gốc hệ mô tả gần mơ hình tuyến tính (3.1.1) Theo phương pháp modal, xây dựng điều khiển tĩnh theo nguyên tắc phản hồi trạng thái hoàn toàn, để ma trận A-RB hệ kín có giá trị riêng nằm bên trái trục ảo Và xét hệ phi tuyến ban đầu có thực ổn định gốc tọa độ khơng Khi đó, ta việc kiểm tra V(x) xác định dương với x≠0, xác định âm Như khảo sát mơ hình tuyến tính có hai giá trị riêng λ 1= λ2 = 0, nghiệm nằm bên trái trục ảo nên ta sử dụng phương pháp gán điểm cực (s+1)(s+1)=s2+2s+1 ta tìm điều khiển phản hồi trạng thái hoàn toàn A=[0 1;0 0]; B=[0;1]; C=inv([B A1*B]);% ma trận nghịch đảo a0=1; a1=2; ST=[C(2,1) C(2,2)]; R=a0*ST+a1*ST*A+ST*A2 = [1 2] Như phương pháp tuyến hóa ta có điều khiển phản hồi trạng thái: (3.1.2) Khi đó, A-BR có giá trị riêng λ1 = λ2 = -1 hệ kín ổn định tiệm cận Vậy với điều khiển hệ phi tuyến có phản hồi trạng thái trở thành: �2 x x2 x& f ( x, Rx) � �2 x1 x2 x1 x2 (3.1.3) a) Kiểm tra hệ (3.1.3) có ổn định không sau thiết kế R Nếu ma trận xác định dương ��f%� � x1 � � � ��x � � � � x2 1 � � x1 � T ��f%� ��f%� � q1 q3 � � q1 q3 � x1 x2 � x1 � � � � �Q Q � � � � � � � � ��x � ��x � � x1 � q3 q2 � � q3 q2 � x2 � � � � � � Nguyễn Hữu Việt Siêu Trang � � x1 � Tiểu luận: Lý thuyết điều khiển đại x1q1 x2 q3 2q3 x1q3 x2 q2 q1 q2 2q3 � � � � x1q3 x2 q2 q1 q2 2q3 x1q2 4q2 2q3 � � 3.1.4) Để Q xác định dương