GIáO VIÊN : LÊ THANH TRƯờNG THPT ĐÔNG SƠN 1 GiảIbài toán định tính của hình không mẫu mực Bài 1: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ hai tia Bb, Cc cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Trêb Bb và Cc lấy BM = u, CN = v. Gọi P là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng tam giác AMN chỉ có thể vuông góc tại M hoặc N. Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để tam giác AMN vuông tại M. b) Chứng minh rằng khi M và N thay đổi trên Bb và Cc sao cho CN = 2BM thì giao tuyến ( D) của ( AMN) và ( ABC) là một đờng thẳng cố định. Bài 2: Trong hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD cùng đáy CD = 2x và những cạnh khác có độ dài bằng a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của AB và CD. b) Tính theo a và x độ dài của AB và MN. c) Với giá trị nào của x thì nhị diện cạnh AB là vuông. Trong trờng hợp đó tính độ dài đoạn AB và chỉ rõ vị trí của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D. Tính độ dài IA. Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I. Trên hai tia Ax, Cy cùng chiều và vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) lần lợt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y. a) Tính thể tích hình chóp ABCMN. b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để MIN = 90 0 là 2 2 axy = Bài 4: Đờng thẳng ( d) tạo với 3 đờng thẳng vuông góc với nhau tong đôi một ( d 1 ), ( d 2 ), ( d 3 ) các góc ,, . Chứng minh rằng: 1coscoscos 222 =++ Bài 5: Đờng thẳng ( d) tạo với hai đờng thẳng ( d 1 ) và ( d 2 ) cắt nhau các góc bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng chứa các đờng thẳng này. Chứng minh rằng hình chiếu ( d) của đờng thẳng ( d) lên mặt phẳng ( ) cũng tạo thành những góc bằng nhau với hai đờng thẳng ( d 1 ) và ( d 2 ). Bài 6: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ 3 tia Aa, Bb, Cc cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Trên tia Aa, Bb lấy các điểm A 1 , B 1 sao cho AA 1 = 2a, BB 1 = a. Xác định vị trí của điểm C 1 trên Cc sao cho tam giác A 1 B 1 C 1 có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Vẽ hai tia Aa, Bb cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC). Gọi A 1 , B 1 là hai điểm di động trên Aa, Bb sao cho AA 1 + BB 1 = 1 ( 1 là độ dài cho sẵn). xác định vị trí của A 1 B 1 sao cho tam giác A 1 B 1 C có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 8: Hai hình vuông ABCD và ABEF có cạnh a ở trong hai mặt phẳng vuông góc. a) Chứng tỏ rằng DE vuông góc với AC và BF. b) Giả sử đờng thẳng D song song với AC cắt AB tại A 1 , đờng thẳng qua E song song với BF cắt AB tại B 1 . Tính độ dài đoạn vuông góc chung của A 1 D và B 1 E. c) Hai điểm I, J di động theo thứ tự thuộc các đờng thẳng A 1 D và B 1 E sao cho A 1 I = B 1 J = x. Tính IJ theo a và x và tìm giá trị nhỏ nhất của IJ. Bài 9: Trong mặt phẳng cho đờng tròn ( C) đờng kính AB = 2R, SA = h ( 0 < h < 2R) và vuông góc với mặt phẳng . Gọi M là điểm di động trên đờng tròn ( C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên ( C) để đoạn nối trung điểm hai đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của đoạn vuông góc chung này. Bài 10: Cho hình trụ có hai đáy là hai đờng tròn tâm O và O 1 , bán kính R, chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đờng tròn ( O) và ( O 1 ) có hai điểm di động A, B. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm OO 1 và AB. 1) Chứng minh rằng IK là đờng vuông góc chung của OO 1 và AB. 2) Tính độ dài IK trong các trờng hợp: a) +<<= 2 2 4 11,. h R khkAB b) ( ) = BOOA 1 , Bài 11: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( ) 10: <= kkBMAM Bài 12: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cố định có hình chiếu trên (P) là A 1 , B 1 . Giả sử aBABBaAA === 1111 ,2 . Điểm M biến thiên trong mặt phẳng (P) sao cho MA và MB tạo những góc bằng nhau với mặt phẳng (P). Tìm quỹ tích điểm M. Bài 13: Cho hai đờng thẳng d 1 và d 2 cố định chéo nhau và vuông góc với nhau. Đoạn thẳng MN có độ dài không đổi với hai đầu mút tựa trên hai đờng thẳng d 1 và d 2 . a) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. GIáO VIÊN : LÊ THANH TRƯờNG THPT ĐÔNG SƠN 1 b) Tìm quỹ tích giao tuyến của các mặt phẳng dựng vuông góc với d 1 và d 2 tại M và N. Bài 14: Cho đờng thẳng ( ) cố định và một điểm A cố định nằm ngoài ( ) . Một đờng thẳng ( d) biến thiên luôn đi qua A. a) Tìm quỹ tích chân N trên (d) của đờng vuông góc chung MN của ( ) và ( d) b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN. Bài 15: Trên hai nửa đờng thẳng Ax và Bt nhận AB làm đoạn vuông góc chung lấy các điểm biến thiên M và N sao cho AM = BN. a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. b) Chứng minh rằng MN hợp với Ax và By những góc bằng nhau. c) Chứng minh rằng đờng vuông góc chung của AB và MN đi qua trung điểm I của MN. d) Tìm quỹ tích giao tuyến của các mặt phẳng dựng vuông góc với Ax và By tại M và N. Bài 16: Cho 3 điểm A, B, C cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: dCMcBMbAMa =++ 222 . với Rdcba ,., cho trớc thoả mãn a + b + c = 0. Bài 17: Cho mặt phẳng cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, 0 60 = ACB . Dựng hai đoạn BB 1 = a, CC 1 = 2a cùng vuông góc với và ở cùng một phía đối với . Tính khoảng cách từ: a) B 1 đến mặt phẳng ( ABC 1 ). b) C 1 đến mặt phẳng ( ACB 1 ). c) Trung điểm của B 1 C đến mặt phẳng ( ACC 1 ). d) Trung điểm của BC đến mặt phẳng (AB 1 C 1 ). Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại C có AB = 2a, đờng cao CH = a chứa trong mặt phẳng (P). Trên các đờng thẳng vuông góc với (P) vẽ từ A, B, C lấy các đoạn AA 1 = a, BB 1 = 3a, CC 1 = 2a nằm cùng một bên đối với (P). Tính diện tích tam giác A 1 B 1 C 1 . Bài 19: Trong mặt phẳng cho đờng tròn ( C) tâm O, bán kính R. Trên đờng thẳng vuông góc với tại O lấy điểm S sao cho OS = R. Gọi M, N là hai điểm trên ( C), a và b là hai tiếp tuyến với ( C) tại M, N. Tính góc giữa hai mặt phẳng ( S, a) và ( S, b) trong mỗi trờng hợp sau: b) MON = 30 0 c) MON = 60 0 d) MON = 90 0 Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC), S là một điểm di động trên (P) sao cho hình chóp SABC có hai mặt bên ( SAB) và ( SAC) hợp với đáy ( ABC) hai góc có số đo lần lợt là và 2 . Gọi H, I, J lần lợt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC. a) Chứng minh rằng: HJHISH . 2 = b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy chỉ ra giá trị của .