KHÔNG GIAN UNITA VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLIDE

1 Chương I KHÔNG GIAN UNITA VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLIDE §1 ĐỊNH NGHĨA 1.1 Định nghĩa Cho khơng gian véctơ V trường số phức C Một ánh xạ: → C VxV     x, y (x , y)  thỏa mãn tiên đề sau: đgl tích vơ hướng V, U1:   x, y U2:       x1 + x , y = x1 , y + x , y ,∀ U3:     kx , y = k x , y ∈ V, ∀ k ∈ C U4:  x, x =   y, x ≥   x,y ,∀ ∀   x,y∈ ∀ ,  x ∈ V, V   y , x1  ,x ∈ V Dấu “ =” xảy ⇔  x  = Khơng gian véctơ V trang bị tích vơ hướng gọi khơng gian Unita Ký hiệu: VU , VUn Nếu V không gian véctơ trường số thực R khơng gian Unita gọi không gian véctơ Euclide Ký hiệu: VE , VEn dim V = n Khi tích vơ hướng khơng gian véctơ Euclide thường rr ký hiệu x y tiên đề tích vơ hướng ký hiệu : E1 ; E2 ; E3 ; E 1.2 Một số tính chất suy từ tiên đề i) ii)        x , y1 + y = x , y1 + x , y     x , ly = l x , y ∀ iii) iv)        x1 − x2 , y = x1 , y − x , y v)    x , y1 , y ∈ VU ∈ VU, ∀ l ∈ C  x ,0 =   0, x   x,y ∀ =0 ∀        x , y1 − y = x , y1 − x , y  x ∈ VU    ∀x1 , x , y ∈ VU    ∀x , y1 , y1 ∈ VU 1.3 Ví dụ   x, y n i) C khơng gian Unita n chiều với tích vơ hướng n R không gian véctơ Euclide n chiều, với n xi y i =∑ i =1 n   x.y = ∑x y i =1 i i ii) Khơng gian véctơ phức hàm số liên tục, có giá trị phức, xác định [a,b], với r r f = f (t ); g = g (t ) tích vơ hướng: b r r f , g = ∫ f (t ) g (t )dt a không gian Unita Đặc biệt C[a,b] - tập hợp hàm số thực xác định, liên tục [a,b] khơng gian véctơ Euclide, với tích vơ hướng thông thường hai véctơ : r r rr x = x(t), y = y(t) x.y b = ∫ x(t ) y(t )dt a 1.4 Modul véctơ 1.4.1.Định nghĩa  Với véctơ x thuộc VU ( VE), giá trị   gọi modul x Ký hiệu: | x |  Nếu | x | =  x  x, x (hoặc gọi véctơ đơn vị 1.4.2.Tính chất  i) | x | ≥ Dấu “ = “ xảy ⇔ ii) |k x | = |k|| x |, ∀ k ∈ C   x =   ii) Bất đẳng thức Cauchy –Bunhiacopsky: |   x, y   | ≤ | x |.| y |   Dấu xảy ⇔ { x , y } phụ thuộc tuyến tính Chứng minh iii) Bất đẳng thức tam giác: Dấu xảy ⇔ Chứng minh       |x + y| ≤ |x| + |y| ∀ x,y  x = k  y với   y ≠ 0, k ≥  x2 ) 1.5 Góc hai véctơ không gian véctơ Euclide 1.5.1.Định nghĩa    Số đo góc hai véctơ a , b ≠ không gian véctơ Euclide     số thực, ký hiệu ϕ( a , b ) ( a , b ) xác định bởi:   a.b cos ϕ (a , b ) =   | a |.| b |   với 0≤ ϕ( a , b )≤ π 1.5.2 Tính chất     i) ϕ ( a , b ) = ϕ ( b , a ) ii ii)    ϕ (a, b) ϕ(la, kb) =   π − ϕ ( a , b)   kl > kl <  iii) ϕ(a, b ) = ⇔ a = k.b với k >   ϕ(a, b ) = π ⇔ a = k.b với k <   iv) ϕ( a , b ) = π ⇔  a  b =0 §2 TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 2.1.Hai véc tơ trực giao   a, b Hai véctơ thuộc không gian VU ( VE) gọi trực giao với nhau, hay gọi vng góc với tích vơ hướng cuả chúng không ký hiệu a⊥b 2.2.Hệ véc tơ trực giao, hệ véc tơ trực chuẩn 2.2.1.Định nghĩa    Hệ véctơ { a } gồm véctơ a ≠ thuộc không gian VU ( VE) gọi hệ trực giao chúng đôi trực giao với       nghĩa : 〈 a , a 〉 = với i ≠ j 〈 a , a 〉 ≠ với i, j = 1, m ( a a = với   i ≠ j a a ≠ với i, j = 1, m ) i 1, m i i j i i i i i j Hệ trực giao gồm vectơ đơn vị gọi hệ trực chuẩn, tức     hệ trực chuẩn ⇔ 〈 a , a 〉 = δij ( a a = δij) , với i, j = 1, ,m { ai } 1, m i j i j 2.2.2 Định lý Mọi hệ trực giao hệ độc lập tuyến tính Chứng minh 2.3 Cơ sở trực chuẩn 2.3.1.Định nghĩa Một sở VUn (hoặcVnE ) gọi sở trực chuẩn hệ véctơ hệ trực chuẩn  Vậy hệ { e } i, j = 1, ,n sở trực chuẩn ⇔ i 1, n   〈 ei , e j 〉 = δ i j   ei e j = δ i j ); (hoặc với Như vậy, hệ n véctơ trực chuẩn không gian Unita (hoặc không gian véctơ Euclide) n chiều sở trực chuẩn 2.3.2 Định lý Mọi không gian Unita VUn (hoặc không gian véctơ Euclide VnE) (n≥ 1) tồn sở trực chuẩn Chứng minh 2.4 Tọa độ trực chuẩn 2.4.1.Định nghĩa  Tọa độ vectơ x ∈ VUn (hoặc VnE ) sở trực chuẩn gọi tọa độ trực chuẩn VUn (hoặc VnE ) 2.4.1 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Giả sử : r r x = ( x1 , , xn ), y = ( y1 , , yn ) đối +Trong V U n E +Trong Vn : : n   〈 x , y 〉 = ∑ xi y i i =1  với sở trực chuẩn { e } Khi đó: i 1, n = [x] [ ] ;   n x x y = ∑ xi y i = [ x ] [ y ] ; i =1  |x x y  x = n |= ∑ | x ∑x i =1 n i =1 i i |2 n r r cos( x , y ) = ∑x y i =1 n i i n ∑x ∑y i =1 i i =1 i 2.4.3.Ý nghĩa hình học tọa độ trực chuẩn r r x = ( x1 , , xn ) / { ei } 1,n VUn(hoặc VEn) ⇔ x i  = 〈 x , ei 〉 (hoặc  xi = x.ei ); i=1, n §3 SỰ TRỰC GIAO CỦA CÁC KHƠNG GIAN CON 3.1 Khơng gian Unita con, không gian véctơ Euclide Giả sử P khơng gian véctơ VUn Ta lấy tích vô hướng định nghĩa VUn trang bị cho P, P xác định tích vô hướng nên P không gian Unita Ta gọi P không gian VUn ( VnE ) 3.2 Định nghĩa ♦ P Q trực giao với véctơ P trực giao với véctơ Q Ký hiệu: P⊥ Q ♦ P Q trực giao với V = P + Q P Q đgl bù trực giao với Khi P gọi phần bù trực giao Q ngược lại Ký hiệu: P = Q⊥ Q = P⊥ 3.3 Tính chất i) {0} trực giao với không gian  ii) P Q kgc trực giao với P ∩ Q = {0}  Do đó, P bù trực giao với Q V = P ⊕ Q iii) Nếu P ⊥ Q dimP + dim Q ≤ dimV iv) Nếu P bù trực giao với Q dim P + dim Q = dimV 6 v) Đk cần đủ để hai kg P Q VUn trực giao với   { e { } e P tìm cstc i 1, p Q tìm cstc ' j }1, p cho {e , e } i ' i =1 , p j j =1 , q hệ trực chuẩn VUn Chứng minh Hệ Đk cần đủ để hai kg P Q VUn bù trực giao với  r' P tìm cstc { ei } 1, p Q tìm cstc {e j }1,q cho {e , e } i ' i =1 , p j j =1 , q cstc VUn vi) Giả sử P, Q, R khơng gian VUn Khi P trực giao với Q, P phần bù trực giao R Q khơng gian R Chứng minh §4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP 4.1 Dạng song tuyến tính liên hợp 4.1.1.Định nghĩa Cho không gian vectơ V trường số phức C, ánh xạ S:VxV→ (   x, y ) C   S ( x, y )  gọi song tuyến tính liên hợp, r r r r r r i ) S (λ x1 + µ x2 , y ) = λ S ( x1 , y ) + µ S ( x2 , y ) r r r r r r r ii ) S ( x , λ y1 + µ y2 ) = λS ( x , y1 ) + µS ( x , y2 )       ∀ λ , µ ∈ C ; x1 , x2 , y1 , y2 , x , y ∈ V 4.1.2.Biểu thức tọa độ  Trong Vn cho sở { ei } 1,n S dạng song tuyến tính liên hợp r   r  Giả sử S( ei , e j ) = a ij i, j =1, n x = ( x1 , , xn ), y = ( y1 , , yn ) / { ei } 1,n Ta có: n n r r r n r r r S ( x , y ) = S (∑ xi ei , ∑ y j e j ) = ∑ xi y j S (ei , e j ) = i =1 (1) i , j =1   A = [ aij ] = S (ei , e j ) Ký hiệu: Và j =1 ⇔   S ( x, y) = [ x] A x [y] ( 2) n ∑xy a i , j =1 i j ij (1) 4.2 Sự liên hệ dạng song tuyến tính liên hợp phép biến đổi tuyến tính khơng gian Unita 4.2.1.Cho phép biến đổi tuyến tính: ϕ : VUn → V Un Xét ánh xạ S: V Un x V Un → C ( x, y)    Dễ dàng nhận thấy S dạng song tuyến tính liên hợp n   Giả sử: ϕ(ei ) = ∑a ki e k k =1 Ta có r r r r bij = S (ei , e j ) =< ϕ(ei ), e j > =< n r r r r a e e >= a < e ∑ ki k , j ∑ ki k ,e j >= a ji n k =1 k =1 Nên B = AX với A = [aki], B = [bij] Như vậy, với phép biến đổi tuyến tính ϕ VUn xác định r r r r dạng song tuyến tính liên hợp S( x , y )= < ϕ ( x ), y > có ma trận ma trận chuyển vị ϕ sở trực chuẩn     Định lý: Công thức S ( x , y ) = < ϕ ( x ) , y > (1) thiết lập V Un tương ứng 1- dạng song tuyến tính liên hợp phép biến đổi tuyến tính 4.2.2.Mặt khác, ta xác định liên hệ dạng song tuyến tính liên hợp với phép biến đổi tuyến tính VUn sau:   Cho dạng song tuyến tính liên hợp S ( x , y ) , ta xác định phép biến đổi     tuyến tính ϕ * điều kiện: S ( x , y ) = < x , ϕ * ( y ) > (2) n r r Đặt ϕ (ei ) = ∑ cije j mà số cji số cần xác định * i =1 Ta có: r r r * r r n r bij = S (ei , e j ) =< ei , ϕ (e j ) >=< ei , ∑ ckjek >= cij Nên cij = bij = aji Nên ma trận ϕ * A x k =1 Như vậy, ϕ * phép biến đổi tuyến tính V Un thõa mãn điều   kiện (2) ma trận ϕ * ma trận liên hợp S ( x , y ) sở trực chuẩn chọn (là ma trận liên hợp chuyển vị ϕ sở trực chuẩn chọn) Kết luận: Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : V Un→ V Un tồn phép biến đổi tuyến tính ϕ *: V Un→ V Un thõa mãn:     < ϕ ( x ), y > = < x , ϕ * ( y ) > ngược lại Nếu A ma trận phép biến đổi tuyến tính ma trận dạng song tuyến tính liên hợp với phép biến đổi tuyến tính liên hợp gì? 4.3 Định nghĩa Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ: V Un→ V Un phép biến đổi     tuyến tính ϕ*: V Un→ V Un thõa mãn: < ϕ ( x ), y > = < x , ϕ * ( y ) > gọi phép biến đổi tuyến tính liên hợp ϕ 4.4 Tính chất i) ( ϕ *)* = ϕ ii).(id)* = id iii) (ϕ + ψ )* = ϕ * + ψ * v) (k ϕ) * = k ϕ * ∀ k ∈ C iv) (ϕ oψ )* = ψ * o ϕ * §5 PHÉP BIẾN ĐỔI UNITA -PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 5.1 Đẳng cấu Unita, đẳng cấu trực giao 5.1.1 Định nghĩa Đẳng cấu tuyến tính ϕ : V U→ V’U gọi đẳng cấu Unita r r r r   với x , y thuộc V U ta có: < ϕ( x ), ϕ( y ) >=< x , y > Đẳng cấu trực giao ? Khi ta nói V u đẳng cấu với V’u Ký hiệu: V U ≅ V’U 5.1.2 Tính chất i)Quan hệ đẳng cấu không gian Unita quan hệ tương đương 9 ii)Hai không gian Unita đẳng cấu với chúng có số chiều 5.2 Định nghĩa Đẳng cấu Unita ϕ : V U→ V U gọi phép biến đổi Unita Vậy phép biến đổi Unita ? Và phép biển đổi trực giao? Nhận xét: ♦Cho ϕ : V → V U U phép biến đổi Unita Khi ta có: Suy ϕ * oϕ = idV      < x , y >= = Tương tự ϕ  ϕ * = idV Vì vậy: ϕ * ϕ = ϕ  ϕ * = idV, nên ϕ * = ϕ −1 ♦Ngược lại, ϕ * = ϕ −1 ta có:         < x , y >= = = Nên ϕ bảo tồn tích vô hướng, tức ϕ phép biến đổi Unita Vậy phép biến đổi tuyến tính phép biến đổi Unita ϕ * = ϕ −1 5.3 Ma trận Unita, ma trận trực giao 5.3.1.Định nghĩa 5.3.2.Tính chất i) A ma trận Unita ⇔ A x A = A A x = E A ma trận trực giao ⇔ Ax A = A Ax = E ii) Công thức đổi tọa độ trực chuẩn V Un (hoặc V En) [x’] = B[x], B ma trận Unita (hoặc ma trận trực giao) cấp n 5.4 Các tính chất phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) i) Phép đồng idV V U ( V E) phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) 10 ii) Tích hai phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) iii) Nghịch đảo phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) iv) Các giá trị riêng phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) có modul Chứng minh v) Cho ϕ phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao), P không gian bất biến ϕ , Q bù trực giao với P Q bất biến ϕ  Hệ 1.Nếu ϕ phép biến đổi Unita VUn có x véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ, tập hợp tất véctơ V Un trực giao  với x không gian bất biến ϕ , có số chiều n - Hệ 2.Nếu ϕ phép biến đổi trực giao V En V En tổng trực tiếp không gian chiều, hai chiều bất biến ϕ đôi trực giao với vi) Cho ϕ phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) khơng gian bất biến ϕ ứng với giá trị riêng phân biệt trực giao với vii) Ánh xạ tuyến tính ϕ : VU→ VU (hoặc ϕ : VE→ VE) phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) ⇔ ϕ bảo tồn module véctơ Chứng minh Hệ Ánh xạ ϕ : VU→ VU (hoặc ϕ : VE → VE) phép biến đổi Unita (hoặc phép biển đổi trực giao) ⇔ ϕ bảo tồn tích vơ hướng viii) Nếu ϕ phép biến đổi Unita V Un tồn sở trực chuẩn mà sở ma trận ϕ có dạng chéo phần tử đường chéo có modul Hệ Cho A ma trận Unita cấp n, tồn ma trận Unita U cấp n cho UAU-1 ma trận chéo với phần tử chéo có modul 11 ix) Cho ϕ phép biến đổi trực giao V En , ta tìm sở trực chuẩn cho sở ma trận ϕ có dạng: 0  A1 0 A 0   0 0   0 Ak  0 ± 0     0 ±   Ai = cos ϕ i  sin ϕ i  − sin ϕ i  cos ϕ i  §6 PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ LIÊN HỢP 6.1.Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính ϕ khơng gian Unita (hay khơng gian véctơ Euclide) gọi phép biến đổi tự liên hợp, ϕ* = ϕ Như vậy, phép biến đổi tuyến tính ϕ phép biến đổi tự liên hợp, r r r r < ϕ ( x ), y >=< x , ϕ ( y ) > Phép biến đổi tự liên hợp V U gọi phép biến đổi Ecmit, phép biến đổi tự liên hợp V E gọi phép biến đổi đối xứng 6.2.Định lý  { e Nếu i } 1,n sở tùy ý VUn (hay VEn) phép biến đổi tuyến tính 1, n ϕ     i j i j tự liên hợp khi: < ϕ ( e ), e > = < e , ϕ ( e )>, với i = 6.3 Ma trận phép biến đổi tự liên hợp  Nếu V Un (hoặc V En) cho sở trực chuẩn { e } ϕ phép biến đổi tự liên hợp Gọi A ma trận ϕ sở trực chuẩn chọn i 1, n Do: ϕ* = ϕ , nên phép biến đổi Ecmit ta có A = A x ma trận gọi ma trận Ecmit Do: ϕ* = ϕ , nên phép biến đổi đối xứng ta có A = A x, ma trận gọi ma trận đối xứng 12 Phép biến đổi tuyến tính ϕ V Un (hoặc V En) phép biến đổi tự liên hợp ma trận A ϕ sở trực chuẩn ma trận Ecmit (hoặc ma trận đối xứng) 6.4.Tính chất phép biến đổi tự liên hợp i) Cho phép biến đổi tự liên hợp V Un (hoặc V En) W không gian bất biến ϕ ϕ |W : W → W tự liên hợp phần bù trực giao W bất biến ϕ ii) Mọi phép biến đổi tự liên hợp ϕ VUn (hoặc V En) có véctơ riêng iii) Cho ϕ phép biến đổi tự liên hợp véctơ riêng ứng với giá trị riêng khác trực giao với nhau: iv) Nếu ϕ phép biến đổi tự liên hợp V Un (hoặc V En) chúng tồn sở trực chuẩn gồm véctơ riêng ϕ v)Mọi giá trị riêng phép biến đổi Ecmit số thực Định lý: Phép biến đổi tuyến tính ϕ: V Un → V Un phép biến đổi Ecmit tồn sở trực chuẩn V Un mà ma trận ϕ ma trận thực, chéo vi)Nếu A ma trận Ecmit cấp n có ma trận Unita U cấp n để UAU-1 có dạng thực, chéo Nếu A ma trận đối xứng cấp n có ma trận trực giao C cấp n để CAC-1 có dạng chéo 13 §7 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 7.1.Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính ϕ: VE → VE không gian véctơ Euclide VE gọi phép biến đổi tuyến tính đồng dạng (gọi tắt phép biến      đổi đồng dạng) ∃ k≠0 cho ϕ ( x ).ϕ ( y ) = k x y ; ∀ x , y ∈ VE Nếu k =1 phép biến đổi đồng dạng phép biến đổi trực giao 7.2 Tính chất i) k > số k gọi hệ số đồng dạng ii) Tích phép biến đổi đồng dạng phép biến đổi đồng dạng có hệ số tích hệ số đồng dạng iii) Nghịch đảo phép biến đổi đồng dạng hệ số đồng dạng hệ số k k phép biến đổi iv) Mọi phép biến đổi đồng dạng phân tích thành tích phép vị tự phép biến đổi trực giao tích phép biến đổi trực giao phép vị tự v) Phép biến đổi đồng dạng biến sở trực chuẩn thành sở trực giao Chứng minh vi) Ánh xạ ϕ : V E → VE phép biến đổi đồng dạng ⇔ ∃ k >       cho ϕ ( x ) ϕ ( y ) = k x y , ∀ x , y ∈V E Chứng minh vii) Mọi ánh xạ tuyến tính ϕ: V E → V E phép biển đổi đồng dạng    ⇔ ∃ k cho ϕ ( x ) = k x ∀ x ∈ V E Chứng minh viii) Mọi đơn cấu ϕ: VEn → VEn bảo tồn tính trực giao vectơ phép biến đổi đồng dạng 7.3 Phương trình phép biến đổi đồng dạng Tương tự phương trình phép biến đổi trực giao, ta có phương trình phép biến đổi đồng dạng hệ số k là: [x’] = k A[x] , A ma trận trực giao  ... Như vậy, hệ n véctơ trực chuẩn không gian Unita (hoặc không gian véctơ Euclide) n chiều sở trực chuẩn 2.3.2 Định lý Mọi không gian Unita VUn (hoặc không gian véctơ Euclide VnE) (n≥ 1) tồn sở trực... KHƠNG GIAN CON 3.1 Không gian Unita con, không gian véctơ Euclide Giả sử P không gian véctơ VUn Ta lấy tích vơ hướng định nghĩa VUn trang bị cho P, P xác định tích vơ hướng nên P khơng gian Unita. .. cấu không gian Unita quan hệ tương đương 9 ii)Hai không gian Unita đẳng cấu với chúng có số chiều 5.2 Định nghĩa Đẳng cấu Unita ϕ : V U→ V U gọi phép biến đổi Unita Vậy phép biến đổi Unita ? Và