Bài 1: a) Chứng minh rằng: b) Cho tam giác ABC có: . Hãy tính các góc của tam giác. Bài 2: Cho dãy số thực: với là hằng số cho trước. a) Chứng minh rằng: với b) Chứng minh minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy. Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy M tùy ý. Gọi B’ và D’ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A tới MB và MD. Đặt AM = m. a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a, m b) Gọi O’ là điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng AB. Chứng minh rằng khi điểm M di động tên Ax, đường thẳng O’B luôn tiếp xúc mặt cầu đường kính AC. Bài 4: Xét số thực thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Hết SỞ GDĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 20032004 Số BD: ………. Chữ ký GT số 1: ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN, BẢNG B Ngày thi: 3032004 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Chứng minh rằng: b) Giải hệ phương trình: Bài 2: Dãy số được cho như sau: với Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cố định, cho nửa đường tròn đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy một điểm C tùy ý (C khác A và B). Kẻ Ch vuông góc với AB (H thuộc AB). Gọi I là trung điểm của CH. Trên một nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng (P) tại I lấy điểm S sao cho AS vuông góc với SB. a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (P). b) Chứng minh rằng khi điểm C chạy trên nửa đường tròn đã cho thì tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy trên một đường thẳng cố định. Bài 4: Chứng minh rằng: với mọi . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hết SỞ GDĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 20042005 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Số BD Chữ ký GT số 1: MÔN: TOÁN, BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Chứng minh rằng với mọi số phương trình: luôn có nghiệm. b) Giải hệ phương trình: Bài 2: Cho dãy số xác định như sau: với . Chứng minh dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn của dãy số đó. Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại C. Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P). Trên Ax lấy một điểm S (S khác A). Gọi D và E tương ứng là hình chiếu của A lên SC và SB. Cho S chạy trên Ax. Chứng minh rằng: a) Tồn tại một điểm cố định cách đều A, B, C, D, E. b) Đường thẳng nối D, E luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4: Cho các số thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M
SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH - @ - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2002-2003 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN, BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29/3/2003 Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: a) Chứng minh rằng: 2sin o sin 2o 4sin 4o 6sin 6o 178sin178o 108sin108o 90 cot g1o b) Cho tam giác ABC có: sin A sin B cosC Hãy tính góc tam giác Bài 2: Cho dãy số thực: u1 c , u2 c c , u3 c c c , với c số cho trước a) Chứng minh rằng: un c với n 1, 2, 3, b) Chứng minh minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn dãy Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Trên tia Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy M tùy ý Gọi B’ D’ chân đường vng góc hạ từ A tới MB MD Đặt AM = m a) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AB’D’) theo a, m b) Gọi O’ điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng AB Chứng minh điểm M di động tên Ax, đường thẳng O’B ln tiếp xúc mặt cầu đường kính AC Bài 4: Xét số thực x thỏa mãn: x � 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P x 29 x Hết SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2003-2004 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN, BẢNG B Ngày thi: 30/3/2004 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD: ……… Chữ ký GT số 1: Bài 1: a) Chứng minh rằng: 8sin 18o 8sin 18o � � � sin x sin �y � � � � 4� b) Giải hệ phương trình: � � � � sin y sin �x � � � 4� � Bài 2: 30sin n 3cos n với n 1, 2, 3, n 2004 Chứng minh dãy số cho có giới hạn Tìm giới hạn Dãy số un cho sau: un Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cố định, cho nửa đường tròn đường kính AB, nửa đường tròn lấy điểm C tùy ý (C khác A B) Kẻ Ch vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng It vng góc với mặt phẳng (P) I lấy điểm S cho AS vng góc với SB a) Tính góc hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (P) b) Chứng minh điểm C chạy nửa đường tròn cho tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI chạy đường thẳng cố định Bài 4: Chứng minh rằng: x y z �1 xyz với x, y, z Dấu đẳng thức xảy nào? - Hết - SỞ GD-ĐT QUẢNG NINH - @ - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2004-2005 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN, BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: a) Chứng minh với số a, b, c phương trình: x +ax bx c ln có nghiệm 2sin x sin y � b) Giải hệ phương trình: � cos x cos y � Bài 2: u0 u1 � � Cho dãy số un xác định sau: � với n �N * Chứng minh dãy số có un 1 un un 1 � giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn dãy số Bài 3: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông C Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (P) Trên Ax lấy điểm S (S khác A) Gọi D E tương ứng hình chiếu A lên SC SB Cho S chạy Ax Chứng minh rằng: a) Tồn điểm cố định cách A, B, C, D, E b) Đường thẳng nối D, E qua điểm cố định Bài 4: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x �0; y �0; z �0; x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: M xy yz zx - Hết - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2004-2005 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 15/12/2004 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: 2 Giải phương trình: x x x 16 x Bài 2: Cho dáy số xác định bởi: x1 e ; x2 e ; xn 1 xn 1 xn với n N , n n a) Chứng minh rằng: x ecos với n N , n n b) Lập dãy số yn sau: y1 x1 ; yn n x1 x2 xn với n N , n Tìm giới hạn dãy số yn n � � Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB a , CD b , cạnh lại c Gọi E, F trung điểm cạnh AB, CD Hãy tìm hệ thức liên hệ giưa a, b, c để mặt cầu đường kính EF tiếp xúc với cạnh tứ diện ABCD Bài 4: Cho đa thức P ( x) x3 x x a) Chứng minh P ( x ) có ba nghiệm thực phân biệt b) Gọi x1 , x2 , x3 nghiệm P ( x ) 1 Tính tổng S x1 3x1 x2 3x2 x3 3x3 - Hết - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2004-2005 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN (BẢNG B) Ngày thi: 15/12/2004 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: 2 Giải phương trình: x x x 16 x Bài 2: sin x x �� x Tính giới hạn: lim Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB a , CD b , cạnh lại c Gọi E, F trung điểm cạnh AB, CD a) Chứng minh EF đường vng góc chung AB CD Tính độ dài EF theo a, b, c b) Giả sử a b 2c Chứng minh mặt cầu đường kính EF tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD Bài 4: Cho hai số a, b với a thỏa mãn: đa thức P ( x) x3 ax a x b có ba nghiệm thực phân 3 biệt Chứng minh rằng: 27b 11a 16a - Hết - SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2005-2006 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN, BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21/03/2006 Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: Giải phương trình: sin x sin y s inx sin y sin x sin y Rút gọn biểu thức: M sin x sin 2 x sin x sin nx với x �k , k �Z Bài 2: Cho dãy số (un ) xác định u1 với n �N * , un 1 2un un Tìm u1 để (un ) dãy số có số hạng Cho u1 , chứng minh dãy số (un ) bị chặn có giới hạn Tìm giới hạn Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với BC, AB vng góc với BD, tam giác BCD khơng phải tam giác cân có ba góc nhọn Gọi E, F hình chiếu B AC AD Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD B cắt DC K Chứng minh rằng: K, E, F thẳng hàng KE.KF = KC.KD Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức: 3(2 x 1) x x �2 - Hết - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2005-2006 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 15/12/2005 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: Tính giới hạn: 1) lim x �� x sin x x cos x x 2005 2) lim x �0 x 2005 x Bài 2: 1) Cho f ( x ) x 3x với x �R Hãy tính số nghiệm phương trình: f f ( x) 2) Tìm m để phương trình: x x m( x 2) có bốn nghiệm thực phân biệt Bài 3: � 60o , Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC, BAD SA=2BD, SA (ABCD) Kẻ AH SB, AK SD (H, K chân đường vng góc) Hãy tính góc hai mặt phẳng (AHK) (ABCD) Bài 4: 13 2 Cho x, y , z �0 thỏa mãn x y z Chứng minh rằng: x y z xyz � 27 Dấu “=” xảy nào? - Hết - SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2005-2006 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 15/12/2005 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Số BD Chữ ký GT số 1: Bài 1: x7 x3 x �1 x 3x 2x � � x �� 0; � 2) Chứng minh rằng: sin x � � 2� 1) Tìm giới hạn: C lim Bài 2: Giải phương trình: 1) 21 log2 x.log2 x 224 x log2 x 2) 2004 x 2.2005 x 2006 x � , BDC � 45o Bài 3: Cho tứ diện ABCD có (DBC) (DBA), tam giác ADC vuông A, BDA 1) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD o 2) Xác định để góc phẳng nhị diện ( BDC ), DC , ( ADC ) 60 Bài 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y x100 10 x10 10 - Hết - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 27/3/2007 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài 1: Tìm giới hạn sau: lim x �1 x 1 x 1 Bài 2: � �x y 2 Giải hệ phương trình: � �x y xy Bài 3: Cho tam giác ABC với BC a , CA b , AB c A B C Chứng minh tg tg tg a b 2c 2 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = a ; DA = DB = DC Gọi M, N, K theo thứ tự trung điểm cạnh DB, DC, BC Cho biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (DBC) Chứng minh AK = AD Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (DBC) theo a Bài 5: Chứng minh phương trình: (m m 1) x x3 có nghiệm với giá trị tham số m Bài 6: Cho x, y thỏa mãn: x y ; y �0 Chứng minh rằng: xy � 27 Dấu đẳng thức xảy nào? Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… Chữ ký giám thị Chữ lý giám thị SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 26/11/2006 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài 1: Tính đạo hàm cấp hàm số y x x 1 Bài 2: �x y � Giải hệ phương trình: � 2006 x 2006 y (log 2006 y log 2006 x)( xy 1) � Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M tùy ý cạnh AD Mặt phẳng (A’MB) cắt đường chéo AC’ hình hộp điểm H Chứng minh điểm M thay đổi cạnh AD (M khác A) đường thẳng MH ln qua điểm cố định Giả sử AB < AD AA’ = AB Tìm vị trí điểm M cạnh AD để H trực tâm tam giác A’MB Bài 4: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x x Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… Chữ ký giám thị Chữ lý giám thị SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007-2008 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 13/11/2007 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài 1: � ( x 1)e x x � Tìm a để hàm số f( x ) � có đạo hàm điểm x x ax x �0 � Bài 2: Giải phương trình: x 1 x x x x x Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d ) có phương trình: x cos sin 2cos Chứng minh thay đổi đường thẳng (d ) ln tiếp xúc với đường tròn cố định Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi H trực tâm tam giác ABC I trung điểm đoạn thẳng HD Điểm M di động cạnh AB vad điểm N di động cạnh AC cho mặt phẳng (DMN) ln vng góc với mặt phẳng (ABC) Chứng minh mặt phẳng (DMN) qua điểm H Chứng minh IA, IB, IC đơi vng góc với Bài 5: Chứng minh với x �R, ta có: cos3 x cos x Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 24/11/2008 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài 1: �x y m � Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: � � 32 � ( y 1) x xy m �x � � � 99 � � Bài 2: Cho hàm số: f ( x) 19 x 248 (x 24)(x 11)(x 8) 1) Hãy xác định hệ số A, B, C cho hàm số: f ( x ) hàm cấp hai f "( x) 2) Chứng minh rằng: f (2008) ( x ) f (2009) ( x) với x 24 (Trong f (n) ( x) đạo hàm cấp thứ n hàm số f ( x) ) A B C tính đạo x 24 x 11 x Bài 3: Trong không gian cho tam giác vuông ABC cố định A; AB a ; AC 3a Điểm S di động đường thẳng d qua A vng góc với (ABC); (S �A) Các điểm M; N thuộc 1 cạnh AB AC cho AM AB ; AN AC ; P hình chiếu vng góc M SC 1) Chứng minh tam giác AMN tam giác vuông 2) Chứng minh rằng: Khi S di động d, mặt phẳng (MNP) (SBC) ln vng góc với tích SC.CP khơng đổi 3) Với vị trí S thỏa mãn SA 3a , gọi Q giao điểm SB với (MNP) Tính thể tích khối đa diện SAMNPQ theo a Bài 4: Chứng minh với số thực x thỏa mãn x 6cos x 8sin x cos x 16sin x �0 ta có: Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 26/11/2009 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng: tan x.tan(60o x).tan(60o x) tan x Áp dụng tính: A tan 4o.tan16o.tan 24o.tan 36o.tan 44o.tan 54o.tan 56o.tan 64o.tan 76o.tan 84o Bài 2: (3 điểm) Tính giới hạn: lim x �1 Bài 3: (3 điểm) x 211 x x x 1 �x y cot x e � � � cot y 0; � Giải hệ phương trình: � với x, y �� � 2� �2 x xy y � Bài 4: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD, M điểm tùy ý khơng gian nằm ngồi khối tứ diện a) Chứng minh rằng: Nếu tứ diện ABCD tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) Tìm vị trí điểm M để tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện lỡn nhất, nhỏ Bài 5: (3 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: a b 2c �4(1 a)(1 b)(1 c) Bài 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm M nằm đường tròn không trùng với đỉnh ΔABC Các điểm E F đối xứng với M qua đường thẳng AB AC Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định M di động trên đường tròn tâm O khơng trùng với đỉnh ΔABC Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009-2010 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN (BẢNG B) Ngày thi: 26/11/2009 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4 điểm) Tìm giá trị m để hàm số: y x x m có ba điểm cực trị x Bài 2: (4 điểm) Tìm nghiệm thực hệ phương trình: � e x e y log y log x x y 1 � � �x y Bài 3: (7 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với H tâm đáy, I trung điểm đoạn SH Biết khoảng cách từ đến mặt phẳng (SBC) a mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc Tính thể tích khối chóp S.ABCD x2 y 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): Giả sử đường thẳng Δ: y m cắt đường elip (E) hai điểm M N Xác định m để OM ON k Bài (2 điểm) Kí hiệu Cn tổ hợp chập k n phần tử, tính tổng: 2006 2008 S C2009 C2009 C2009 C2009 C2009 Bài 5: (3 điểm) Cho a, b số thực thỏa mãn: 256b �27 a Chứng minh: x +ax b �0 với x �R Dấu đẳng thức xảy nào? Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 26/10/2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (3 điểm): 1 x2 5x x 1 m b) Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau có nghiệm: a) Tìm nghiệm thực phương trình: (5 x 6) x x �m x x 1 Bài (3 điểm): � � � Giả sử M điểm tam giác ABC cho MAB=MBC=MCA= Chứng minh rằng: cot cotA cotB cotC Bài (6 điểm): Cho điểm O cố định số thực dương a khơng đổi Một hình chóp S.ABC thay đổi thỏa mãn đồng thời điều kiện: OA = OB = OC = a , SA OA, SB OB, SC OC, ASB=90o , BSC=60o , CSA=120o Chứng minh: Tam giác ABC tam giác vuông Điểm S cách O khoảng khơng đổi Bài (3 điểm): k Kí hiệu Cn tổ hợp chập k n phần tử (0 �k �n) , tính tổng sau: 2009 2010 S C2010 2C2010 3C2010 2010C2010 2011C2010 Bài (3 điểm): Các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: x y 3xy 3x 3y 1 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: M y ( x 1) x ( y 1) x y Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 26/10/2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (3 điểm): Tính giới hạn: lim x �0 x 1 x 1 x Bài (3 điểm): Chứng minh: cot x tan x cot x Áp dụng tính giá trị biểu thức sau: 31 tan tan tan tan A= tan 64 16 32 64 Bài (4 điểm): Tìm nghiệm thực phương trình: x x 1 Bài (7 điểm): Hình chóp S.ABCD có đáy hình chóp ABCD cố định, đỉnh S thay đổi thỏa mãn � � 90o Chứng minh S thuộc đường tròn cố định điều kiện: ASB=ASD Cho tam giác ABC Giả sử điểm M thay đổi cạnh BC Gọi R R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM ACM Chứng minh: R + R2 đạt giá trị nhỏ M hình chiếu vng góc A BC Bài (3 điểm): Xét biểu thức F x y xy với x, y số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu x y xy thức F Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Ngày thi: 15/11/2010 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (5,0 điểm): �1 2 �x y x y � Giải hệ phương trình: � với x, y �R �1 y x � �x y Bài (3,0 điểm): Cho dãy số xn xác định sau: x0 2010; xn 1 ; n 0;1; 2; xn2 a) Đặt un x2 n với n 0;1; 2; Chứng minh dãy un có giới hạn hữu hạn b) Chứng minh dãy xn có giới hạn hữu hạn Bài (4,0 điểm): � � Cho số thực x, y, z , t thuộc đoạn � ; � Chứng minh rằng: �2 � �1 1 � 16 � sin x sin y sin z sin t � ��18 �sin x sin y sin z sin t � Các dấu đẳng thức xảy nào? Bài (5,0 điểm): Cho tam giác ABC Tìm tất điểm M tam giác thỏa mãn: O � � � MAB+MBC+MCA=90 Bài (3,0 điểm): Tìm số nguyên tố x, y, z cho: x y z Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 26/10/2011 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (5 điểm): 1 x hai điểm A B cho độ dài đoạn thẳng AB x2 đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y x � � 3x y x y 2) Tìm nghiệm thực hệ phương trình: � � x y x y 1 1) Tìm đồ thị (C) hàm số y Bài (3 điểm): � Tam giác ABC vng A, có ABC= Tính tỉ số bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC theo Xác định để tỉ số đạt giá trị nhỏ Bài (6 điểm): Cho hình vuông ABCD cạnh a , nửa đường thẳng Bm, Dn vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía với mp Lấy điểm M thuộc Bm N thuộc Dn Đặt BM x , DN y a) Tìm hệ thức liên hệ x, y để hai mặt phẳng (ACM) (ACN) vng góc với b) Chứng minh x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện nêu phần a), đoạn vng góc chung AC MN có độ dài khơng đổi Bài (3 điểm): Tìm số nguyên dương n nhỏ cho khai triển nhị thức Newton (1 x ) n có hai số hạng liên tiếp mà tỉ số hệ số 15 Bài (3 điểm): Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy xz yz zx xy �4 Chứng minh rằng: x y z Khi dấu đẳng thức xảy ra? Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 26/10/2011 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số y 2x 1 hai x 1 điểm A B cho AB 2 Bài (3 điểm): Cho hình vng ABCD có cạnh a Các điểm M N thuộc cạnh AD CD � 45o Đặt AM x , CN y diện tích tam giác MBN S hình vng cho cho MBN Chứng minh rằng: S a x y Bài (4 điểm): � ( x 1)3 3( x 1) y y � Tìm nghiệm thực hệ phương trình: � 2 �x x y y Bài (6 điểm): Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC, hai mặt phẳng (ABC) (BCD) vng góc với nhau, o � BDC=90 Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OA = OB = OC = OD Đặt AB a , BC b , tính OA theo a b Bài (3 điểm): Chứng minh: �x x �4 với x � 1;1 Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG NINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (6 điểm): x2 có đồ thị (C), gọi I giao hai tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến x 1 với đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận đồ thị hai điểm A B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn x 2012 x 2012 Tính giới hạn sau: lim x �0 x Cho hàm số y Bài (3 điểm): Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 x x m( x 4) x x 14 m 4 x Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đặt IA x , IB y , IC 1 z Chứng minh rằng: x y y yz Bài (5 điểm): Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính BC cố định M điểm di động đường tròn Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) B lấy điểm A cố định Gọi H, K hình chiếu B AM AC Chứng minh M di động mặt phẳng (BHK) cố định Xác định vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn Bài (3 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b6 b6 c c6 a6 P a b a 2b2 b c b c c a c a Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 -ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): Tính giới hạn sau: lim x �0 x 3x x2 Bài (3 điểm): � , B � với , trung tuyến AM Gọi góc nhọn tạo AM Cho tam giác ABC có C cạnh BC, chứng minh rằng: 2cot cot cot Bài (4 điểm): Giải bất phương trình: x x x 18 Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC cạnh a , đường thẳng (d) qua A vng góc với mặt phẳng (ABC) Trên (d) lấy điểm M Gọi I trực tâm tam giác MBC, H trực tâm tam giác ABC, giao điểm hai đường thẳng HI với (d) N Chứng minh tứ diện MNBC có cặp cạnh đối vng góc với Chứng minh M di chuyển (d) tích AM.AN khơng đổi Bài (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b �a b � a b � � với a, b số thực thỏa b a �b a � b a mãn a �0, b �0 Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 -ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG A) Ngày thi: 03/12/2013 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Bài (4 điểm): x2 , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm x 1 cận đồ thị hàm số A B cho chu vi tam giác IAB nhỏ (I giao hai tiệm cận đồ thị nói trên) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y Bài (3 điểm): Giải phương trình sau: 4 x log ( x x 6) x x 4 log x 1 Bài (3 điểm): Một lớp học có học sinh giỏi Tốn nam, học sinh giỏi Toán nữ học sinh giỏi Lý nam Chọn ngẫu nhiên học sinh 20 học sinh để lập ban cán Tính xác suất để học sinh có nam, có nữ, có học sinh giỏi Tốn học sinh giỏi Lý Bài (5 điểm): o � Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’có đáy hình thoi cạnh a, ABC=120 Các mặt phẳng (ACC’A’) (BDD’B’) cuàng vng góc với (ABCD) Các điểm M, N, P trung điểm CD, B’C’, DD’ a) Tính thể tích khối tứ diện MNBD b) Tính cosin góc tạo (ABCD) (AB’P) Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC với BC a , AC b , AB c góc tam giác A, B, C a) Chứng minh b a ac B = 2A b) Tìm tam giác ABC có B = 2A ba cạnh có số đo ba số nguyên liên tiếp Bài (2 điểm): Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 4c 12 �a �b �c Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab 4bc ca abc b 3b Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 -ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 03/12/2013 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) 2x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến () (C) x 1 biết khoảng cách từ A(3; 0) tới () gấp lần khoảng cách từ O tới (), với O gốc tọa độ Bài (3 điểm): Cho hàm số y Bài (3 điểm): Giải phương trình sau: �8 � log 64 x log � � �x � Bài (3 điểm): Một lớp học có học sinh giỏi Toán nam, học sinh giỏi Toán nữ học sinh giỏi Lý nam Chọn ngẫu nhiên học sinh 20 học sinh để lập ban cán Tính xác suất để học sinh có nam, có nữ, có học sinh giỏi Toán học sinh giỏi Lý R � Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A, ABC= Tính tỉ số theo (với R bán kính r đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó) Xác định để tỉ số đạt giá trị nhỏ Bài (5 điểm): Cho hình vng ABCB cạnh a , tâm H Các nửa đường thẳng Bm, Dn vng góc với mặt phẳng (ABCD) phía so với mặt phẳng (ABCD) Lấy M thuộc Bm N thuộc Dn Đặt BM x , DN y , K trung điểm MN Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Tìm hệ thức liên hệ x, y để mp (ACM) (ACN) vng góc với nhau, xác định vị trí điểm M N cho độ dài HK ngắn Bài (3 điểm): Cho số thưc a, b, c thỏa mãn a b c �a �b �c �a � b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P abc � � �b c a � � � Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐÈ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN (BẢNG B) Ngày thi: 03/12/2014 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ tên, chữ ký giám thị số 1: ………………… (Đề thi có 01 trang) Câu (4 điểm) Cho hàm số y x 3mx m3 điểm M(2; 8) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB qua M (O gốc tọa độ) � e x x y e y 3 � Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình: � � �y x x 6y x 6y x 30 Pn C1 C Cn Với n vừa tìm tính tổng S Cn0 n n n n 1 n 1 Câu (3 điểm): Giải phương trình An 1 Pn 1 Câu (5 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao 2a Gọi H tâm đáy ABCD, đoạn SH lấy điểm M cho HM x x 2a Goi (P) mp qua M vuông góc với SH, (P) cắt cạnh bên SA, SB, SAO CHO, SD điểm E, F, K, N a) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp H.EFKN b) Tìm vị trí M cho thể tích khối chóp H.EFKN lớn Câu 5: (3 điểm) � Tính bán kính đường tròn Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB x, CD y BCD ngoại tiếp hình thang ABCD theo x, y với x y Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn b c 9a Hãy tìm giá trị lớn biểu b c 1 bc thức P a a Hết -Họ tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh:……………… ... lớp học có học sinh giỏi Toán nam, học sinh giỏi Toán nữ học sinh giỏi Lý nam Chọn ngẫu nhiên học sinh 20 học sinh để lập ban cán Tính xác suất để học sinh có nam, có nữ, có học sinh giỏi Toán học. .. lớp học có học sinh giỏi Tốn nam, học sinh giỏi Toán nữ học sinh giỏi Lý nam Chọn ngẫu nhiên học sinh 20 học sinh để lập ban cán Tính xác suất để học sinh có nam, có nữ, có học sinh giỏi Tốn học. .. - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2006-2007 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TOÁN (BẢNG B) Ngày thi: 27/3/2007 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01