Phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình và hệ bất phương trình của tác giả Trịnh Xuân Tình trình bày các dạng giải bài tập về phương trình, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình và hệ bất phương trình qua các bài tập ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết.
Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A PHƯƠNG TRÌNH I Phương trình phương trình bậc cao: Phương pháp: Đối với phương trình bản: ta sử dụng máy tính để bấm, giải nghiệm ln phương trình từ bậc trở xuống Đối với phương trình bậc cao: ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm máy tính, sau sử dụng lược đồ hoocner chia cho cụm nhân tử để chuyển phương trình tích cụm nhân tử có bậc nhỏ ( thường bậc bậc 3) Sau ta giải phương trình bậc cao phương trình Ví dụ: giải phương trình: a 𝑥 − 5𝑥 + = [𝑥=1 𝑥=4 b 2𝑥 − 7𝑥 − 3𝑥 + = (x-1)( 2𝑥 − 5𝑥 − 8) = 𝑥=1 𝑥= [𝑥 = II 5+√89 5−√89 Bài tập tự luyên: a 𝑥 − 5𝑥 − = b 2𝑥 − 𝑥 − = c 𝑥 − 3𝑥 + = d 3𝑥 − 2𝑥 − 53𝑥 − 4𝑥 + 12 = e (x+3)(x+12)(x-4)(x-16)=-20𝑥 f (5 − 2𝑥)4 + (2 − 3𝑥)4 = (7 − 5𝑥)4 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Phương pháp: Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta phải đặt điều kiện phá dấu giá trị tuyệt đối Ta đặt điều kiện sau bình phương vế để giải cách gặp khó khăn phương trình sau bình phương trở thành phương trình bậc cao Ví dụ: giải phương trình: |𝑥 + 2𝑥 − 4| = −2𝑥 − ĐK:x ≤ −3 𝑥 = −2 − √2 = −2 + √2 𝑥 = ±√10 Thử lại kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm: x=-2-√2 x=-√10 𝑥 +4𝑥+2=0 [𝑥𝑥 2+2𝑥−4=−2𝑥−6 [ [𝑥 +2𝑥−4=2𝑥+6 𝑥 =10 III Bài tập tự luyện: a |𝑥 − 5𝑥 + 4| = 𝑥 + 6𝑥 + b 4𝑥 + 4𝑥 − |2𝑥 + 1| = c 𝑥 + 4𝑥 + 2|𝑥 − 2𝑥| = 4𝑥 + Phương trình vơ tỉ: Dạng tốn 1: đặt điều kiện bình phương hai vế: Đối với dạng tốn này, thường có dạng: √𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) hay √𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) hay √𝑓(𝑥) = |𝑔(𝑥)| Ta phải đặt điều kiện bình phương hai vế để giải Ví dụ: √𝑥 − 4𝑥 + = 𝑥 + 𝑥 − 4𝑥 + = (𝑥 + 4)2 ĐK: x≥ −4 −4 12x=-16 x= Bài tập tự luyện: a √𝑥 − 2𝑥 + 4=√2 − 𝑥 b √3𝑥 − 9𝑥 + = 𝑥 − c √3𝑥 − 9𝑥 + = |𝑥 − 2| d (x-3)√𝑥 − = 𝑥 − e √𝑥 − 3𝑥 + − − 𝑥 = Dạng tốn 2: đưa phương trình bản, bình phương vế Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Đối với dạng toán ta phải sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, tách ghép đối xứng, nhân với biểu thức liên hợp… để chuyển phương trình phương trình bản, sau bình phương vế Ví dụ: giải phương trình: 3x-3√3𝑥 − = 53√3𝑥 − 1=3x-5 ĐK: x≥ 9(3x-1)=(3𝑥 − 5) 9𝑥 − 57𝑥 + 34 = [ 17 𝑥= 3 𝑥= 17 Thử lại kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm là:x= Bài tập tự luyện: a √4 − √1 − 𝑥 = √2 − 𝑥 b √𝑥 + − √7 − 𝑥 = √2𝑥 − c √𝑥 + − √3 − 𝑥=√5 − 2𝑥 d √5𝑥 − − √3𝑥 − − √𝑥 − = 3 e √𝑥 + + √𝑥 − = √5𝑥 Dạng toán 3: làm xuất đẳng thức Đối với dạng toán ta phải làm xuất đẳng thức thức Với mục đích làm thức, làm đơn giản tốn đưa dạng đơn giản Ví dụ: √𝑥 + 2√𝑥 − + √𝑥 − 2√𝑥 − = 𝑥+3 √(√𝑥 − + 1)2 + √(√𝑥 − − 1)2 = 𝑥+3 (1) ĐK: x≥1 (1) √𝑥 − + + |√𝑥 − − 1| = [ 𝑥+3 𝑥+3 2√𝑥−1= 𝑥+3 2= [𝑥=5 𝑥=1 Thử lạ kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm x=1 x=5 Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Bài tập tự luyện: a √𝑥 + + 3√2𝑥 − + √𝑥 − − √2𝑥 − = 2√2 b √𝑥 − √4𝑥 − + √𝑥 + √4𝑥 − = c √𝑥 + + 2√𝑥 + + √𝑥 + − √𝑥 + 7=4 Dạng toán 4: đặt ẩn phụ: Đối với toán này, ta đặt biểu thức lặp lại nhiều lần thành ẩn sau chuyển phương trình ẩn (có thể ẩn cũ) Ví dụ: √5𝑥 + 10𝑥 + = − 𝑥 − 2𝑥 ĐK: 5𝑥 + 10𝑥 + ≥ Đặt √5𝑥 + 10𝑥 + 1=t ; t≥ Phương trình trở thành: t=7- 𝑡 2−1 𝑡=4 [𝑡=−9(𝑙𝑜ạ𝑖) t=4 với t=4 ta có √5𝑥 + 10𝑥 + 1=4 5𝑥 + 10𝑥 − 15 = 𝑥=1 [𝑥=−3 Thử lại kiểm tra điều kiện, phương trình có nghiệm x=1 x=-3 Bài tập tự luyện: a (x+1)(x+4)=5√𝑥 + 5𝑥 + 28 b x(x+5)=2√𝑥 + 5𝑥 − − c √(4 + 𝑥)(6 − 𝑥)=𝑥 − 2𝑥 − 12 d √sin 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + cos 𝑥 = e 𝑥 + 𝑥 + 12√𝑥 + = 36 f (4x-1)√𝑥 + 1=2𝑥 + 2𝑥 + Dạng toán 5: phương trình tích, đặt ẩn phụ: Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Đối với tốn này, ta dễ nhận thấy có thức tích thức lại ta đặt lại ẩn u,v sau chuyển hệ phương trình để giải Ta đặt ẩn phụ tốn khơng phải dạng tích, sau chuyển hệ giải bình thường ví dụ: √𝑥 + 10𝑥 + 21=3√𝑥 + + 2√𝑥 + − ĐK: x≥ −3 Đặt u=√𝑥 + 3, u≥0 V=√𝑥 + 7,v≥0 𝑣 − 𝑢2 = Ta có hệ: (𝑢 − 2)(𝑣 − 3) = 𝑢𝑣 = 3𝑢 + 2𝑣 − { { 2 𝑣 −𝑢 =4 𝑣 − 𝑢2 = [𝑢=2 𝑣=3 { 𝑣 − 𝑢2 = 𝑢=2 { 𝑣=2√2 [ 𝑣=3 { 𝑢=√5 𝑢=2 𝑥+3=2 Với { { √ 𝑥 = 𝑣 = 2√2 √𝑥 + = 2√2 𝑣=3 √𝑥 + = Với { { 𝑥 = 𝑢 = √5 √𝑥 + = √5 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=2 Bài tập tự luyện: a √𝑥 + 8𝑥 + 15 = 3√𝑥 + + 2√𝑥 + − b √𝑥 − 𝑥 − − 2√𝑥 − + = √𝑥 + c x-2√𝑥 − 1-(x-1) √𝑥 + √𝑥 − 𝑥=0 d √(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) − 3√𝑥 + = − √(𝑥 + 6)(2𝑥 − 1) + √𝑥 + Dạng toán 6: nhân với biểu thức liên hợp: Đối với dạng toán ta sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để làm cho biểu thức trở thành dạng Ví dụ: √𝑥 + + √3𝑥 + = Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 −1 ĐK: x≥- Phương trình trở thành: √𝑥 + − + √3𝑥 + − = 𝑥−1 √𝑥+3+2 + 3(𝑥−1) √3𝑥+1+2 =0 𝑥−1=0 [ + =0 (𝑣ơ 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) √𝑥+3+2 √3𝑥+1+2 x=1 Vậy phương trình có nhiệm x=1 Bài tập tự luyện: a √𝑥 + + √𝑥 + + √2𝑥 − 1=3√2 b √2𝑥 + − √2𝑥 − = 𝑥 c √11𝑥 + + √𝑥 − = √9𝑥 + + √3 − 𝑥 d √3𝑥 + − √6 − 𝑥 + 3𝑥 − 14𝑥 − = Dạng 7: sử dụng phương pháp hàm đặc trưng( phương pháp đạo hàm) Cho phương trình 𝑓(𝑥)=0 Ta xét hàm số 𝑓(𝑥) Tính 𝑓′(𝑥) Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến hay nghịch biến tập xác định Khi phương trình 𝑓(𝑥)=0 có nhiều nghiệm sử dụng máy tính nhẩm nghiệm 𝑥0 phương trình Ví dụ: √𝑥 + + √3𝑥 + = 4f(x)= √𝑥 + + √3𝑥 + − = −1 Đk: x≥ −1 Ta xét hàm số f(x)= √𝑥 + + √3𝑥 + − với x≥ f’(x)= 2√𝑥+3 + 2√3𝑥+1 > 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 > −1 Vậy hàm f(x) đồng biến với x≥ −1 3 Vậy phương trình f(x)=0 có nhiều nghiệm Ta thấy f(1)=0x=1 Vậy phương trình có nghiệm x=1 Bài tập tự luyện: Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 a √𝑥 + + √𝑥 + + √2𝑥 − = + √2 b √2𝑥 + − √2𝑥 − = 𝑥 c 2x+√𝑥 + √𝑥 + + 2√𝑥 + 7𝑥=49 d √𝑥 − 2𝑥 + + √𝑥 − = Dạng 8: sử dụng phương pháp lượng giác hóa: Nếu phương trình chứa thức dạng: √𝑎2 − 𝑥 ta đặt x=a sin 𝑥 x=a.cos 𝑡 sau phá dấu thức giải phương trình lượng giác √𝑎2 + 𝑥 ta đặt x=a.tan 𝑥 x=a.cot 𝑡 sau phá dấu thức giải phương trình lượng giác Ví dụ: 4𝑥 − 3𝑥=√1 − 𝑥 ĐK: -1≤ 𝑥 ≤ Đặt x=sin 𝑡 với −𝜋 ≤𝑡≤ 𝜋 Phương trình trở thành: -sin 3𝑡=cos 𝑡 𝜋 sin(−3𝑡) = sin( − 𝑡) [ 𝜋 𝜋 −3𝑡= +𝑡+𝑘2𝜋 −3𝑡= −𝑡+𝑘2𝜋 [ −𝜋 +𝑘𝜋 −𝜋 𝑘𝜋 𝑡= + 𝑡= (k∈ ) (k∈ ) −𝜋 Kết hợp với điều kiện ta có t= 3𝜋 t= Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 −𝜋 Với t= −√2 x= 3𝜋 3𝜋 8 Với t= x=sin Bài tập tự luyện: a 𝑥 + √(1 − 𝑥 )3 = 𝑥√2 − 2𝑥 b √1 + 𝑥 = − 𝑥 Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 B Bất phương trình: I Phương pháp: Để giải bất phương trình ta có hướng giải sau: Giải bất phương trình Trực tiếp Gián tiếp Trực tiếp: ví dụ giải bất phương trình 𝑓(𝑥) > ta giải bất phương trình cách lập hệ bất phương trình có kèm 𝑓(𝑥) > theo điều kiện ví dụ như:{ đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ê𝑛 để 𝑓(𝑥)𝑐ó 𝑛𝑔ℎĩ𝑎 ta sử dụng phương pháp bình phương, nhân liên hợp, đặt ẩn phụ để… để giải bất phương trình Lưu ý: cách dễ nhầm dấu bất phương trình kiến thức khơng vững Gián tiếp: ví dụ giải bất phương trình 𝑓(𝑥) > Thực chất cách giải bất phương trình ta gặp từ lớp Các bước giải sau: 𝑏1 : ta đặt điều kiện cho 𝑓(𝑥) có nghĩa 𝑏2 : ta giải phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑏3 : ta lập bảng xét dấu cho hàm 𝑓(𝑥) 𝑏4 : đựa vào bảng xét dấu kết luận tập nghiệm Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Lưu ý: hướng làm, lập bảng xét dấu phải kết hợp điều kiện Hướng làm tương đối tối ưu bạn có kỹ trình bày k tốt muốn khắc phục lỗi sai làm Ví dụ: Giải bất phương trình: √𝑥 − 5𝑥 + < 𝑥 + (1) a Trực tiếp: 𝑥 > −4 𝑥≥3 { (1) { 𝑥≤2 𝑥 − 5𝑥 + < 𝑥 + 8𝑥 + 16 𝑥 > −4 𝑥≥3 { { 𝑥≤2 13𝑥 > −10 𝑥 > −4 𝑥≥3 { 𝑥≤2 −10 {𝑥 > x∈( −10 13 13 ; 2] ∪ [3; +∞) b Gián tiếp: Ta giải phương trình: điều kiện: x≤ x≥ F(x)= √𝑥 − 5𝑥 + − 𝑥 + = 𝑥 > −4 { 𝑥 − 5𝑥 + = 𝑥 + 8𝑥 + 16 𝑥 > −4 {𝑥 = −10 13 Bảng xét dấu F(x): x F(x) −∞ −10 13 -4 + - +∞ - Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy để F(x) b 𝑥 + 2𝑥 + ≤ c 2𝑥 − 5𝑥 + < d 2𝑥 − 7𝑥 − 8𝑥 + 13 ≤ e 5𝑥 + 9𝑥 − 𝑥 − ≥ Giải bất phương trình sau: a b c d ≤1 𝑥−2 5𝑥+3 2𝑥−1 > −2 ≥ 𝑥+1 2𝑥−5 𝑥−4 𝑥−3 𝑥+1 < 𝑥−4 Giải bất phương trình sau: a √2𝑥 − 3𝑥 + ≤ 𝑥 − b √𝑥 − 5𝑥 + < 𝑥 + c √−𝑥 + 2𝑥 + > − 3𝑥 d √𝑥 + 𝑥 + ≥ 𝑥 − Giải bất phương trình sau: a √𝑥 + ≥ √2𝑥 − + √7 − 𝑥 b √5𝑥 − − √𝑥 − > √2𝑥 − c √7𝑥 − 13 − √3𝑥 − ≤ √5𝑥 − 27 d √2(𝑥 −16) √𝑥−3 + √𝑥 − > 7−𝑥 √𝑥−3 Giải bất phương trình sau (nhân liên hợp): a 𝑥2 (1+√1+𝑥)2 >𝑥−4 b 2√𝑥 − − √𝑥 + > 𝑥 − c 2𝑥 (3−√9+2𝑥)2 < 𝑥 + 21 d 4(𝑥 + 1) < (2𝑥 + 10)(1 − √3 + 2𝑥)2 Giải bất phương trình (ẩn phụ): −10 13 ; 2] ∪ [3; +∞) Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 a √ 𝑥 𝑥−1 b 3√𝑥+ +√ 2√𝑥 𝑥−1 𝑥 ≥ √2 < 2𝑥 + 2𝑥 −7 c -4√(4 − 𝑥)(2 + 𝑥) ≤ 𝑥 − 2𝑥 − d 2𝑥 + √𝑥 − 5𝑥 − > 10𝑥 + 15 e √7𝑥 + + √7𝑥 − + 2√49𝑥 + 7𝑥 − 42 < 181 − 14𝑥 f x+1+√𝑥 − 4𝑥 + ≥ 3√𝑥 g 𝑥−√𝑥 1−√2(𝑥 −𝑥+1) ≥1 Giải bất phương trình sau(dạng giản ước): a √𝑥 − 8𝑥 + 15 + √𝑥 + 2𝑥 − 15 ≤ √4𝑥 − 18𝑥 + 18 b √𝑥 − 4𝑥 + − √2𝑥 − 3𝑥 + ≥ 𝑥 − Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 C Hệ phương trình: Dạng 1: hệ bậc ẩn Dạng 2: hệ đối xứng loại Dạng 3: hệ đối xứng loại Dạng 4: hệ đồng bậc (đẳng cấp bậc 2, bậc 3) Dạng 5: hệ sử dụng tính đơn điệu: I Dạng 1: hệ bậc ẩn Lí thuyết: Hệ có dạng: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 (1) với 𝑎2 + 𝑏 ≠ 𝑎′2 + 𝑏′2 ≠ { ′ ′ ′ 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 = 𝑐 (2) Ta rút x y từ phương trình (1) xuống phương trình (2) ta tìm x y sau tìm nghiệm y x lại Ví dụ: giải hệ phương trình: 2𝑥 − 3𝑦 = 13 { 7𝑥 + 4𝑦 = 3𝑦+13 𝑥= { 7𝑥 + 4𝑦 = 𝑥=2 { 𝑦 = −3 𝑥=2 Vậy hệ có nghiệm { 𝑦 = −3 Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau: 2(𝑥 − 1) − 3𝑦 = a { 4𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 − 3𝑦 = b { 𝑥+2=0 2𝑥 − 3𝑦 + = c { 𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 − 2𝑦 − = d { 𝑥 + 4𝑦 + = Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 e 𝑥 {5 𝑥 II − = 18 𝑦 + = 51 𝑦 Hệ phương trình đối xứng loại 1 Lý thuyết: 𝑓(𝑥; 𝑦) = Dạng: (I) { 𝑔(𝑥; 𝑦) = Ta đưa hệ (I) hệ: 𝐹(𝑆; 𝑃) = (II){ với S=x+y P=xy 𝐺(𝑆; 𝑃) = Giải hệ (II) S;P Khi x;y nghiệm phương trình: 𝑡 − 𝑆𝑡 + 𝑃 = Để hệ (I) có nghiệm hệ (II) có nghiệm thỏa mãn 𝑆 − 4𝑃 ≥ Ví dụ: giải hệ phương trình: 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = { 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = Đặt S=x+y P=xy, ta có: 𝑆=−4 { (𝑙𝑜ạ𝑖 𝑣ì 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑆 {𝑆 − 𝑃 = 7[ 𝑃=9 { 𝑆=3 𝑆+𝑃 =5 𝑃=2 −4𝑃≥0 𝑥=1 {𝑦=2 [ 𝑥=2 {𝑦=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) (1;2) (2;1) Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau: 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 = a { 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 = b { 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 𝑥−𝑦 =2 c { 𝑥 + 𝑦 = 164 𝑥𝑦 + 𝑥 + = 7𝑦 d { 2 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + = 13𝑦 Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 III 2𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 = 15 e { 8𝑥 + 𝑦 = 35 𝑦 + 𝑦 𝑥 = 6𝑥 f { + 𝑥 𝑦 = 5𝑥 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Lý thuyết: Là hệ phương trình mà thay x y hay y x phương trình trở thành phương trình ngược lại Cách giải: ta trừ vế với vế phương trình ta phương trình Nhóm phương trình thành phương trình tích dạng (x-y)g(x) Ta xét hai trường hợp x=y g(x)=0 Thế vào phương trình hệ ta nghiệm (x;y) Ví dụ: giải hệ phương trình sau: 𝑥 = 𝑦 − (1) { 𝑦 = 𝑥 − (2) Trừ vế với vế (1) cho (2) ta được: x-y=𝑦 − 𝑥 (x-y)(x+y+1)=0 𝑥=𝑦 [𝑥+𝑦+1=0 Với x=y ta vào phương trình (1) ta được: 𝑥2 − 𝑥 − = 𝑥=𝑦=2 [𝑥=𝑦=−1 Với y=-x-1 vào phương trình (1) ta được: 𝑥2 + 𝑥 − = [ −1+√5 −1−√5 𝑦= 2 −1−√5 −1+√5 𝑥= 𝑦= 2 𝑥= Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) (-1;-1) (2;2) ( −1+√5 −1−√5 ; ) 2 −1−√5 −1+√5 ( ; 2 Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau: ) Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 𝑥 − 2𝑥 = 𝑦 a { 𝑦 − 2𝑦 = 𝑥 𝑦 + 3𝑥 𝑦 = b { 𝑦 + 3𝑦 𝑥 = 𝑦 +2 3𝑦 = 𝑥 c { 𝑥 +2 3𝑥 = 𝑦 (𝑥 log 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 − 5𝑦) = d { log 𝑦 (𝑦 + 2𝑦 − 3𝑦 − 5𝑥) = IV √ 𝑥 + + √7 − 𝑦 = e { √𝑦 + + √ − 𝑥 = Hệ phương trình đồng bậc (đẳng cấp bậc 2, đậc 3): Lý thuyết: Cách giải: Ta chia vế với vế phương trình với phương trình Nhóm phương trình thành phương trình tích Xét trường hợp có phương trình Tìm nghiệm kết luận Ví dụ: giải hệ phương trình: 3𝑥 − 5𝑥𝑦 − 4𝑦 = −3 (1) { 9𝑦 + 11𝑥𝑦 − 8𝑥 = (2) Chia vế với vế (1) cho (2) ta được: 3𝑥 −5𝑥𝑦−4𝑦 9𝑦 +11𝑥𝑦−8𝑥 = −1 2𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦 = (x-y)(2x+y)=0 𝑥=𝑦 [2𝑥=−𝑦 Với x=y ta vào phương trình (1), ta có: Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 -6𝑥 = −3 x=y=± √2 𝑦 Với x=- vào phương trình ta có: −3𝑦 = −3 𝑦 = y=±2 y=2x=-1 y=-2x=1 √2 √2 ) 2 hệ phương trình có nghiệm (x;y) ( ; √2 (- ;- √2 ) (-1;2) (1;-2) V Bài tập tự luyện: Giải hệ phương trình sau: 2𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 = 15 a { 8𝑥 + 𝑦 = 35 𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = b { 𝑥 + 2𝑦 = 𝑦 + 2𝑥 Hệ sử dụng tính đơn điệu: Lý thuyết: Cách giải: Ta chọn phương trình để chuyển dạng f(u)=f(v) Xét hàm f(t), chứng minh hàm f(t) đồng biến nghịch biến suy u=v suy x=g(y) hay y=g(x) Thế x=g(y) hay y=g(x) vào phương trình lại Giải phương trình, tìm nghiệm kết luận Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Toancap3.com – Chia sẻ kiến thức Toán THPT lớp 10, 11, 12 𝑥 + √ 𝑥 − = 𝑦 + √𝑦 − { 𝑥 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑥 − 𝑦 = Giải: Điều kiện: x≥ 1;y≥ Phương trình (1)f(x)=f(y) với hàm f(t)= 𝑡 + √𝑡 − với t≥ Có f’(t)=3𝑡 + 2√𝑡−1 > với t≥ Suy f(t) hàm đồng biến với t≥ Suy x=y Thay x=y vào phương trình (2) ta được: 𝑥3 + 𝑥2 − = x=1y=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) (1;0) Bài tập tự luyện: (4𝑥 + 1)𝑥 + (𝑦 − 3)√5 − 2𝑦 = a { 4𝑥 + 𝑦 + 2√3 − 4𝑥 = 𝑥 + 3𝑦 − 6𝑦 + = b { 𝑥 + 𝑥 𝑦 − 2𝑦 = √𝑥 + 𝑦 − √3𝑥 + 2𝑦 = −1 c { √𝑥 + + 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 = (𝑥 + 2)√𝑦 + d { 𝑥2 + 𝑦2 = ... B Bất phương trình: I Phương pháp: Để giải bất phương trình ta có hướng giải sau: Giải bất phương trình Trực tiếp Gián tiếp Trực tiếp: ví dụ giải bất phương trình