Viện Toán ứng dụng & Tin học ĐỀ I Đại học Bách khoa Hà Nội ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ - HỌC KỲ 20163 Viện Toán ứng dụng & Tin học ĐỀ II Đại học Bách khoa Hà Nội ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ - HỌC KỲ 20163 Thời gian: 90 phút Thời gian: 90 phút Câu Cho ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝐴 ⊂ 𝑋 Chứng minh 𝐴 ⊂ 𝑓 −1 [𝑓(𝐴)] Câu Cho ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝐵 ⊂ 𝑌 Chứng minh 𝑓[𝑓 −1 (𝐵)] ⊂ 𝐵 Câu Cho phương trình 𝑧 − (5 + 3𝑖)𝑧 + (8 + 4𝑖) = có hai nghiệm Câu Cho phương trình 𝑧 − (5 − 3𝑖)𝑧 + (8 − 4𝑖) = có hai nghiệm 𝑧1 , 𝑧2 𝑧1 , 𝑧2 với điểm biểu diễn 𝐴, 𝐵 Tính độ dài đoạn 𝐴𝐵 1+𝑚 2+𝑚 −𝑚 Câu Tìm điều kiện 𝑚 để ma trận [ + 𝑚 −1 + 𝑚 − 𝑚] khả −1 + 𝑚 𝑚 1−𝑚 nghịch 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 = Câu Tìm 𝑚 để hệ phương trình { 𝑥1 + 3𝑥2 − 3𝑥3 − 2𝑥4 = 2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑚𝑥4 = với điểm biểu diễn 𝐴, 𝐵 Tính độ dài đoạn 𝐴𝐵 1−𝑚 2+𝑚 𝑚 Câu Tìm 𝑚 để ma trận [ − 𝑚 −1 + 𝑚 + 𝑚] không khả nghịch −1 − 𝑚 𝑚 1+𝑚 có nghiệm khơng tầm thường tìm cơng thức nghiệm có vơ số nghiệm tìm cơng thức nghiệm Câu Trong khơng gian 𝑃2 [𝑥], cho véc tơ 𝑢1 = + 𝑥 − 𝑥 , Câu Trong không gian 𝑃2 [𝑥], cho véc tơ 𝑢1 = + 𝑥 + 𝑥 , 𝑢2 = 3𝑥 − 𝑥 , 𝑢3 = − 2𝑥 + 𝑥 , 𝑢4 = + 2𝑥 + 2𝑥 Chứng minh hệ 𝑢2 = − 𝑥 , 𝑢3 = + 2𝑥 − 2𝑥 , 𝑢4 = −4𝑥 + 3𝑥 Tìm hệ gồm gồm véc tơ kể sở không gian 𝑃2 [𝑥] véc tơ kể mà chúng không sở khơng gian 𝑃2 [𝑥] Câu Cho tốn tử tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định : Câu Cho tốn tử tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định : 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (−7𝑥1 − 12𝑥2 + 4𝑥3 , 4𝑥1 + 7𝑥2 − 2𝑥3 , −𝑥1 − 2𝑥2 ) 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (9𝑥1 − 12𝑥2 + 4𝑥3 , 4𝑥1 − 5𝑥2 + 2𝑥3 , −8𝑥1 + 10𝑥2 − 4𝑥3 ) a) Xác định ma trận f sở 𝐵 = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (0; 0; 1)} a) Xác định ma trận f sở 𝐵 = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (0; 0; 1)} b) Tìm sở ℝ3 để ma trận 𝑓 theo sở có dạng chéo b) Tìm sở ℝ3 để ma trận 𝑓 theo sở có dạng chéo Câu Trên khơng gian Euclide ℝ3 với tích vơ hướng tắc Câu Trên không gian Euclide ℝ3 với tích vơ hướng tắc sở sở tắc 𝐸 = {𝑒1 = (1; 0; 0), 𝑒2 = (0; 1; 0), 𝑒3 = (0; 0; 1)} tắc 𝐸 = {𝑒1 = (1; 0; 0), 𝑒2 = (0; 1; 0), 𝑒3 = (0; 0; 1)} 𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 4𝑥4 = Câu Tìm 𝑚 để hệ phương trình { 𝑥1 − 3𝑥2 + 3𝑥2 − 2𝑥4 = 2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 − 𝑚𝑥4 = a) Cho biến đổi tuyến tính 𝑓 : ℝ → ℝ xác định 𝑓(𝑒1 ) = 𝑒2 , a) Cho biến đổi tuyến tính 𝑓 : ℝ3 → ℝ3 xác định 𝑓(𝑒1 ) = 𝑒3 , 𝑓(𝑒2 ) = 𝑒3 , 𝑓(𝑒3 ) = 𝑒1 Chứng minh < 𝑓(𝑢), 𝑓(𝑣) > =< 𝑢, 𝑣 > với 𝑓(𝑒2 ) = 𝑒1 , 𝑓(𝑒3 ) = 𝑒2 Chứng minh < 𝑓(𝑢), 𝑓(𝑣) > =< 𝑢, 𝑣 > với 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ3 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ3 b) Ma trận 𝑓 sở trực chuẩn có chéo hóa trực giao b) Ma trận 𝑓 sở trực chuẩn có chéo hóa trực giao khơng ? Tại ? không ? Tại ? 3 Câu Cho 𝐴 ma trận vuông thực cấp 𝑛 thỏa mãn 𝐴 + 2017𝐸 = Câu Cho 𝐴 ma trận vuông thực cấp 𝑛 thỏa mãn 𝐴2 + 2017𝐸 = Chứng minh det(𝐴) > Chứng minh det(𝐴) > Viện Toán ứng dụng & Tin học Đại học Bách khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng & Tin học Đại học Bách khoa Hà Nội