Chủ đề: VECTƠ Vấn đề 1. Các định nghĩa của vectơ

A. Các kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu (gốc) là , điểm cuối (ngọn) là được ký hiệu là ⃗ (đọc là vectơ ). Một vectơ xác định còn được ký hiệu là ⃗, ⃗, ⃗, ⃗,...  Chú ý: ⃗ ≠ ⃗. Vectơ – không: là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. II Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng III Hai vectơ bằng nhau Để xác định vectơ a  0   ta cần biết điểm đầu và điểm cuối của vectơ a  Bài 2. A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác 0  có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác là: A. 12 B. 6 C. 8 D. 12 Bài 4. Cho tam giác ABC , có thể xác định bao nhiêu vectơ khác vectơ 0  có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, , B C A. 3 B. 6 C. 4 D. 9 Bài 5. Số các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 6 điểm phân biệt cho trước là: Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Mọi đường thẳng đi qua điểm đều là giá của vectơ – không ⃗. Hướng của vectơ là hướng từ điểm đầu đến điểm cuối của vectơ. Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.  Chú ý:  Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng.  Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.  Vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ ⃗ và ⃗ cùng phương. Độ dài của vectơ: là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ ⃗ ký hiệu là | ⃗|, độ dài của vectơ ⃗ là ⃗ và ⃗ = = . Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài. Nếu ⃗ bằng ⃗ thì ta viết ⃗ = ⃗. ⃗ = ⃗ = 0⃗, 0⃗ = 0. B. Bài tập trắc nghiệm Dạng 1. Xác định vectơ  Phương pháp: Bài 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không đúng? A. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng B. Vectơ là một đoạn thẳng không phân biệt thứ tự của hai điểm mút C. Vectơ là một đoạn thẳng xác định điểm đầu, điểm cuối D. Vectơ là một đoạn thẳng phân biệt thứ tự hai điểm mút Với hai điểm phân biệt A, B ta có được bao nhiêu vectơ khác vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là A hoặc B . Chuyên đề: Vecto Tọa độ Page 2 A. 12 B. 21 C. 27 D. 30

Chuyên đề: Vecto- Tọa độ Chủ đề: VECTƠ Vấn đề Các định nghĩa vectơ A Các kiến thức cần nhớ Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng - Vectơ có điểm đầu (gốc) , điểm cuối (ngọn) hiệu ⃗ (đọc vectơ ) - Một vectơ xác định ký hiệu ⃗, ⃗, ⃗, ⃗,…  Chú ý: ⃗ ≠ ⃗ - ký Vectơ – khơng: vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng II/ Vectơ phương, vectơ hướng - Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Mọi đường thẳng qua điểm giá vectơ – không ⃗ - Hướng vectơ hướng từ điểm đầu đến điểm cuối vectơ Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng  Chú ý:  Hai vectơ hướng phương Điều ngược lại không  Hai vectơ phương hướng ngược hướng  Vectơ – không phương, hướng với vectơ  Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng hai vectơ ⃗ ⃗ phương III/ Hai vectơ - Độ dài vectơ: khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ ⃗ ký ⃗ = hiệu | ⃗|, độ dài vectơ ⃗ ⃗ = - Hai vectơ chúng có hướng độ dài - Nếu ⃗ ⃗ ta viết ⃗ = ⃗ - ⃗= ⃗ = 0⃗, 0⃗ = B Bài tập trắc nghiệm Dạng Xác định vectơ  Phương pháp:    Để xác định vectơ a  ta cần biết điểm đầu điểm cuối vectơ a Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề không đúng? A Vectơ đoạn thẳng có hướng B Vectơ đoạn thẳng khơng phân biệt thứ tự hai điểm mút C Vectơ đoạn thẳng xác định điểm đầu, điểm cuối D Vectơ đoạn thẳng phân biệt thứ tự hai điểm mút Bài Với hai điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác vectơ – khơng có điểm đầu điểm cuối A B A B C D  Bài Cho tứ giác ABCD Số vectơ khác có điểm đầu điểm cuối đỉnh tứ giác là: A 12 B C D 12  Bài Cho tam giác ABC , xác định vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C A B C D Bài Số vectơ có điểm đầu điểm cuối điểm phân biệt cho trước là: Page 1 Bài Bài A 12 B 21 C 27  D 30 Cho điểm phân biệt A, B, C , D E Có vectơ khác có điểm đầu điểm cuối điểm cho? A 12 B 20 C 24 D 30 Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên d1 lấy điểm phân biệt, d lấy điểm phân biệt Số vectơ có điểm đầu d1 điểm cuối d là: A 30 B 25 C 24 D 15 Dạng Phương hướng vectơ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề không đúng? A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương  B Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác phương C Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng  D Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ hướng Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có vectơ phương với vectơ thứ ba phương B Có hai vectơ phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ D Khơng có vectơ phương với vectơ Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai vectơ có giá vng góc phương B Hai vectơ phương giá chúng song song C Hai vectơ phương hướng D Hai vectơ ngược hướng với vectơ thứ ba hướng Bài Cho ba điểm phân biệt A, B, C Khi khẳng định sau nhất?    A A, B, C thẳng hàng A B AC phương   B A, B, C thẳng hàng A B BC phương  Bài  C A, B, C thẳng hàng AC BC phương D Cả A, B, C Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Tìm mệnh đề đúng?   A AB AC ngược hướng A không nằm B, C   B AB AC hướng A không nằm B, C   C AB BC hướng A không nằm B, C   D AB CA ngược hướng A không nằm B, C  Cho tam giác ABC Gọi A ', B ', C ' trung điểm cạnh BC , CA, AB Vectơ A ' B ' ph ương với vectơ tron g vectơ sau đây?     A AB B AB ' C BA D C ' B Bài Cho ba điểm M , N , P thẳng hàng, N nằm hai điểm M P Khi cặp vectơ sau hướng?         A MN PN B MN MP C MP PN D NM NP   Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O Số vectơ khác phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác bằng: A B C D Dạng Quan hệ vectơ  Phương pháp Bài Page 2 Bài  Sử dụng  định nghĩa hai vectơ phương, hai vectơ  Vectơ phương với vectơ, hướng với vectơ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?   A Hai vectơ a b gọi chúng có hướng độ dài   B Hai vectơ a b gọi chúng có phương độ dài   C Hai vectơ AB CD gọi tứ giác ABCD hình bình hành  Bài Bài Bài Bài  D Hai vectơ a b gọi chúng có độ dài Nếu hai vectơ chúng: B Cùng phương A Có độ dài D Cùng hướng C Cùng điểm gốc Hãy tìm khẳng định sai Chọn câu sai câu sau Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi là: B Vectơ có phương tùy ý A Vectơ có hướng tùy ý D Vectơ có độ dài khơng xác định C Vectơ – không Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Vectơ đoạn thẳng định hướng B Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng C Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài D Hai vectơ phương chúng có giá song song Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khi đó:   A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB phương với AC  B Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng với điểm M MA phương với  C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng với điểm M MA phương với  Bài   MB  AB D Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB  AC Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Mỗi vectơ có độ dài khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ   B Độ dài a ký hiệu a    C  , PQ  PQ    D AB  AB  BA Cho ba điểm A, B, C phân biệt Nếu AB  BC có nhận xét ba điểm A, B, C ? A B trung điểm AC B B nằm ngồi AC C B nằm AC D Khơng tồn  Bài Cho lục giác ABCDEF có tâm O Số vectơ vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác bằng: A B C D ABCD hình bình hành khi: Bài          A AB CD B BC  DA C BA  CD D AC  BD     Bài 10 Cho AB  điểm C , có điểm D thỏa mãn AB  DC A B C D Vô số     Bài 11 Cho AB  điểm C , có điểm D thỏa mãn AB  CD Bài A B C D Vô số   Bài 12 Điều kiện điều kiện cần đủ để AB  CD A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành C AD BC có trung điểm D AB  CD AB  CD Page 3 Bài 13 Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A AD  CB B AD  CB C AB  DC D AB  CD Bài 14 Cho lục giác ABCDEF tâm O Khẳng định sau nhất?       A AB  EF B AB  OC C AB  FO D Cả A,B,C Bài 15 Cho hình vng ABCD Khi đó:         A AC  BD B AB  CD C AB  BC D AB, AC tùy ý Bài 16 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ năm điểm A, B, C , D, O   AB, OB         A AB  AC , OB  AO B AB  OC , OB  DO         C AB  DC , OB  AO D AB  DC , OB  DO Bài 17 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ năm điểm điểm A, B, C , D, O có  độ dài OB          A BC , DO, OD B BO, DC , OD C BO, DO, OD Bài 18 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai?   A AB  CD   B BC  DA   C AC  BD    D BO, DO, AD   D AD  BC Bài 19 Cho hình bình hành ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A AD  CB B AD  CB C AB  DC D AB  CD Bài 20 Cho lục giác ABCDEF , tâm O Khẳng định sau nhất?       A AB  ED B AB  OC C AB  FO D Cả A, B, C Bài 21 Cho hình vng ABCD Khi đó:         A AC  BD B AB  CD C AB  BC D AB, CD hướng Bài 22 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M điểm Mệnh đề sau đúng?      A M , MA  MB B M , MA  MB  MC      C M , MA  MB  MC D M , MA  MB Bài 23 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC, CD DA Trong khẳng định sau, khẳng định sai?         A MN  QP B MQ  NP C MN  PQ D MN  AC Bài 24 Cho tam giác ABC , mệnh đề sau sai?     B AC  BC A AB  BC     C AB  BC D AC , BC không phương Bài 25 Cho tam giác ABC cạnh a Mệnh đề sau đúng?     A AC  a B AC  BD C AB  a   D AB, BC phương Bài 26 Gọi C trung điểm đường thẳng AB Hãy chọn khẳng định khẳng định sau?     A CA  CB B AB AC phương   C AB AC ngược hướng   D AB  CB Dạng Các toán chứng minh vectơ  Phương pháp Để chứng minh hai vectơ ta dùng ba cách sau: Page 4    Bài Bài Bài     a b a b phương    Tứ giác ABCD hình bình hành  AB DC BC  AD a b        Nếu a  b, b  c a  c Cho tam giác ABC có trực tâm H D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau khẳng định đúng?         A HA  CD, AD  CH B HA  CD, AD  HC           C HA  CD, AC  CH D HA  CD, AD  HC , OB  OD Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Điểm I giao điểm AM BN , K giao điểm DM CN Khẳng định sau sai?         A AM  NC , DK  NI B AM  NC , DK  IN         C BI  KD, NI  DK D AI  NK , NK  KC Cho tam giác ABC điểm M tam giác Gọi A', B ', C ' trung điểm BC, CA, AB N , P, Q điểm đối xứng với M qua A', B ', C ' Khẳng định sau sai?         B AC  QN , AM  PC A AM  PC , QB  MN         D AB '  BN , MN  BC C AB  CN , AP  QN Bài Cho đường tròn  O  ngoại tiếp tam giác ABC , gọi H trực tâm tam giác ABC K trung Bài điểm BC Đường thẳng HK cắt  O  D cho H , D nằm khác phía so với BC Khẳng định sau đúng?         B CD  AB A BD  AC C HK  AB D HC  BD Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AD, BC , O giao điểm AC BD Điều kiệnnào s au để ABCD hình bình hành?          A MN  AB, MN  DC B MN  AB, O trung điểm AC BD         C MN  BN , DN  AB D MB  DC , DN  AB Page 5 Vấn đề Tổng – hiệu hai vectơ A Các kiến thức cần nhớ I/ Tổng vectơ - Định nghĩa: Cho hai vectơ ⃗ ⃗ Lấy điểm A tùy ý, dựng ⃗ = ⃗, ⃗ = ⃗ Khi đó: ⃗ + ⃗ = ⃗ - Quy tắc ba điểm: Cho A, B, C tùy ý, ta có: ⃗+ ⃗= ⃗ - Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành thì: ⃗+ ⃗= ⃗ II/ Vectơ đối - Cho vectơ ⃗ Vectơ có độ dài ngược hướng ⃗ gọi vectơ đối vectơ ⃗, kí hiệu − ⃗ Ta có ⃗ + (− ⃗) = 0⃗ - Mọi vectơ có vectơ đối, ví dụ ⃗ có vectơ đối ⃗, nghĩa là: ⃗ = − ⃗ - Vectơ đối 0⃗ 0⃗ III/ Hiệu vectơ (phép trừ) Quy tắc hiệu vectơ: với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước, ta có: IV/ Tính chất Với ⃗, ⃗, ⃗ bất kì, ta có: - Giao hoán: ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ - Kết hợp: ⃗ + ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ - ⃗− ⃗= ⃗ ⃗ + 0⃗ = 0⃗ + ⃗ = ⃗ ⃗ + ( − ⃗ ) = − ⃗ + ⃗ = 0⃗ ⃗ + ⃗ ≤ | ⃗| + ⃗ , dấu “=” xảy ⃗, ⃗ hướng ⃗ = ⃗⇔ ⃗+ ⃗= ⃗+ ⃗  Chú ý:   trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác ⇔ ⇔ ⃗ + ⃗ = 0⃗ ⃗ + ⃗ + ⃗ = 0⃗ B Bài tập trắc nghiệm Dạng Tổng hai vetơ tổng nhiều vectơ  Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng hai vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính chất tổng vectơ Bài Cộng vectơ có độ dài giá ta kết sau:  A Cộng vectơ ta kết  B Cộng vectơ đôi ngược hướng ta  C Cộng 121 vectơ ta vectơ  D Cộng 25 vectơ ta vectơ      Bài Cho a, b vectơ khác a  b Xét phát biểu sau:      (1) Nếu a b phương a  b phương với a      (2) Nếu a b hướng a  b hướng với a Page 6  Bài Bài Bài Bài Bài     (3) Nếu a b ngược hướng a  b hướng với a      (4) Nếu a b ngược hướng a  b ngược hướng với a Số phát biểu là? A B C Cho điểm phân biệt A, B, C Đẳng thức sau đúng?      D  A AB  AC  BC B AB  CA  CB       C CA  BA  CB D AA  BB  AB      Vectơ tổng MN  PQ  RN  NP  QR bằng:     A MR B MN C PR D MP Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD     MC  NC AM  CD bằng:         A MN , AC B AC , NC C AC , BM D CD, MD Cho hình bình hành ABCD với tâm O Đẳng thức sau đúng?       A AB  AD  BD B AB  AD  AC       C AB  AD  DB D AB  AD  CA Cho hình bình hành ABCD với tâm O Đẳng thức sau sai?       A AB  OA  OB B OA  OC  AC         C OA  OB  OC  OD  D A B CD  Bài Cho điểm M , N , P, Q Đẳng thức sau sai?         A PQ  NP  MN  MQ B NP  MN  QP  MQ         C MN  PQ  MQ  PN D PQ  NP  MN  MQ Bài Cho tam giác ABC , I trung điểm BC Xét mệnh đề sau:          (1) AB  AI  IB (2) A I A B AC (3) AC  BI  AI Mệnh đề là: A Chỉ (1) B (1) (2) C (3) D (2) (3) Bài 10 Với bốn điểm A, B, C, D khơng có ba điểm thẳng hàng Chọn câu đúng:    A ABCD hình bình hành A BDC        B ABCD hình bình hành A BA D A C C ABCD hình bình hành AD  BC D Cả ba câu Bài 11 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?    A Với ba điểm I , J , K ta có: IJ  JK  IK    B Nếu A B AC A D ABCD hình bình hành   C Nếu OA  OB O trung điểm AB      D Nếu G trọng tâm ABC G A G B G C  Bài 12 Cho tam giác ABC Tìm khẳng định đúng:     A BA  AC  BC B AB  BC  CA      C AB  BC  AB  BC    D AB  AC  BC Bài 13 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Khẳng định sau đúng?     A OA  OB OC  OE phương     B OA  OB OC  OE hướng Page 7   C AB EC không phương   D OA OC phương Dạng Vectơ đối hiệu hai vectơ  Phương pháp:    Theo định nghĩa, để tìm hiệu a  b , ta làm hai bước sau:   Tìm vectơ đối b    Tính tổng a  b    Bài Bài Bài    Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O, A, B    Nếu a b vectơ khác a vectơ đối b chúng: A Cùng phương B Cùng độ dài C Ngược hướng Hãy chọn khẳng định sai? Cho mệnh đề sau:   (1) Vectơ đối vectơ  a vectơ a   (2) Vectơ đối vectơ vectơ     (3) Vectơ đối vectơ a  b a  b     (4) Vectơ đối vectơ a  b a  b Số mệnh đề là: A B C Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?     D  A a vectơ đối b a  b  D Có chung điểm đầu   Bài B a b ngược hướng điều kiện cần để b vectơ đối a     C b vectơ đối a  b  a     D a b hai vectơ đối  a  b  Nếu MN vectơ cho với điểm O ta ln có:       A MN  OM  ON B MN  ON  OM       C MN  MO  NO D MN  OM  ON Hãy chọn đẳng thức đúng?       A AB  AC  BC B AM  BM  AB       C PM  PN  NM D AA  BB  AB Cho hai điểm phân biệt A B Điều kiện để I trung điểm đoạn thẳng AB là:       A IA  IB B IA  IB C IA   IB D AI  BI Cho hình bình hành ABCD với tâm O Cho khẳng định sau: Bài (1) OA  OB  AB (2) CO  OB  BA (3) AB  AD  AC        (4) AB  AD  BD (5) CD  CO  BD  BO Có khẳng định đúng, khẳng định sai? A sai B đúng, sai C đúng, sai D đúng, sai Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức đúng? Bài A AB  CB  CA B BC  AB  AC       C AC  CB  BA D CA  CB  AB Cho ba điểm A, B, C Đẳng thức sai? Bài Bài Bài          A CA  BA  BC    C BC  AC  BA          B AB  CB  CA    D AB  BC  CA Page 8 Bài 10 Cho tam giác ABC , I , J , K trung điểm AB, BC , CA Mệnh đề sau sai?    A JK , BI , IA ba vectơ    B Vectơ đối IK CJ JB    C Trong ba vectơ I J , AK , KC có hai vectơ đối    D IA  KJ  Bài 11 Cho ba điểm I , J , K Đẳng thức sau sai?       A IJ  JK  IK B JK  IK  IJ   C Nếu I trung điểm JK I J vectơ đối IK    D KJ  KI  I J K tia đối I J Bài 12 Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?          A AB  BC  BD  B AC  BD  CB  DA     C AD  DA      Dạng Tính độ dài a  b, a  b  Phương pháp:      D OA  BC  DO     Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB : AB  BA  AB       Tính a  b  AB , a  b  CD Sau tính độ dài đoạn thẳng AB CD cách gắn vào đa giác mà ta tính độ dài cạnh phương pháp tính trực tiếp khác  Cho hình chữ nhật ABCD có AB  3, BC  Độ dài vectơ AC là: A B C D   Cho tam giác ABC có cạnh a Độ dài tổng hai vectơ AB AC bao nhiêu? a A 2a B a C a D   Cho tam giác vng cân ABC có AB  AC  a Độ dài tổng hai vectơ AB AC bao nhiêu? a A a B C 2a D a   Cho tam giác ABC vuông A AB  3, AC  Vectơ CB  AB có độ dài bao nhiêu? A B 13 C D 13  Bài Bài Bài Bài   Bài Bài Cho tam giác ABC có cạnh a , H trung điểm cạnh BC Vectơ CA  HC có độ dài bao nhiêu? 2a a a 3a A B C D 2   Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 Tổng hai vectơ GA  GC có độ dài bao nhiêu? A B C D   Bài Cho tam giác vuông cân ABC đỉnh C , AB  Tính độ dài AB  AC A B C D Page 9   Bài Cho hình thang ABCD có AB  CD Cho AB  3a , CD  6a Khi đó, AB  CD bao Bài nhiêu? A 9a B 3a C 3a D Cho hình thang ABCD có AB  CD Cho AB  2a , CD  a O trung điểm AD Khi   đó, tổng hai vectơ OB OC có độ dài bao nhiêu? 3a A B a C 2a D 3a    Bài 10 Cho hai vectơ a b khác Tìm khẳng định khẳng định sau:     A a  b  a  b                   B a  b  a  b  a b phương C a  b  a  b  a b hướng D a  b  a  b  a b ngược hướng BAD  600 cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Bài 11 Cho hình thoi ABCD có  Khẳng định sau sai?     A AB  AD  a B BA  BC  a   a C OB  DC  Bài 12 Cho khẳng định sau:   D OB  AD  a          (1) Nếu a b hướng a  b  a  b      (2) Nếu a b ngược hướng b  a a  b  a  b       (3) a  b  a  b , dấu xảy a b phương Khẳng định là: A (1) (2)   B (2) (3) C (1) (3) D Cả (1), (2), (3) Bài 13 Cho a  b  Khẳng định sau đúng?   A a b có độ dài phương   B a b có độ dài hướng   C a b có độ dài ngược hướng   D a b có độ dài Dạng Đẳng thức vectơ  Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức ta làm theo cách sau:  Biến đổi vế thành vế  Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đươngvới đẳng thức biết  Đưa vế biến đổi đẳng thức  Phối hợp quy tắc tổng, hiệu vectơ tính chất, kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc:                AB  BC  AC , MN  MX  XN  M X  XY  YN , OA  OB  BC , MN  AN  AM Bài Cho bốn điểm ABCD Đẳng thức đúng?         A AB  CD  AC  BD B AB  CD  AD  BC Page 10 1 B k   C k  D k  5  Bài Cho vectơ a số k Kết luận sau đúng?     A ka vectơ hướng với a B ka vectơ ngược hướng với a     C ka vectơ phương với a D ka vectơ đối vectơ a   Bài Điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  MA  k MB Lúc đó, M chia đoạn thẳng BA theo tỉ số nào? 1 A B k C k D  k k Bài Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  B chia đoạn thẳng MB theo tỉ số: k k A B C D 1 k k 1 1 k k 1 Bài Nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  1, k  B chia đoạn thẳng MA theo tỉ số: k k A B C D 1 k k 1 k 1 1 k Bài Cho tam giác ABC , cặp vectơ sau phương?         A 2BC  AC BC  AC B 5BC  AC 10 BC  AC         C BC  AC 2BC  AC D BC  AC BC  AC Dạng Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ với số  Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tích vectơ với số quy tắc phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích vectơ với số, kết hợp với định lí pitago hệ thức lượng tam giác vng để tính độ dài chúng   Bài Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC  12 Tổng hai vectơ GB  GC có độ dài bao nhiêu? A B C D   Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài CB  MA : A a B 2a C 3a D 4a   Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài BA  BC : a a a a A B C D Bài Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài   MA  2,5MB : a 127 a 127 a 127 a 127 A B C D  21   Bài Cho tam giác vuông cân ABC với OA  OB  a Độ dài u  OA  2,5OB là: a 321 a 541 a 140 a 321 A B C D 4  11   Bài Cho tam giác vuông cân ABC với OA  OB  a Độ dài u  OA  OB là: 4 A k  Page 15 6073 5785 C D a a a 28 28 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức sau sai? A 2a Bài   A AB  AC  a Bài B   B AB  AC  a    C GA  GB  GC    D GB  GC  a Cho tam giác ABC cạnh a Điểm M trung điểm BC Tính độ dài   AB  AC : a 21 a 21 a 21 a 21 B C D Dạng Phân tích (biểu diễn) vectơ theo hai vectơ không phương  Phương pháp: Phối hợp linh hoạt quy tắc:  Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu vectơ tính chất, kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc  Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB     MA  MB      OA  OB  2OM với O điểm tùy ý  Tínhchất trọng tâm:      G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG với O điểm tùy ý Bài Cho tam giác ABC , E điểm cạnh BC , cho BE  BC Hãy chọn đẳng thức đúng:       A AE  AB  AC B AE  AB  AC 4       C AE  AB  AC D AE  AB  AC 4      Bài Cho tam giác ABC điểm I cho I A  IB Biểu thị vectơ CI theo hai vectơ CA CB sau:    CA  2CB    A CI  B CI  CA  2CB      CA  2CB  CA  2CB C CI  D CI  3      Bài Cho tam giác ABC điểm I cho I A  IB  Biểu thị vectơ CI theo hai vectơ CA  CB sau:       CA  2CB A CI  B CI  CA  2CB      CA  2CB  CA  2CB C CI  D CI      3   Bài Cho tam giác ABC với trọng tâm G Đặt CA  a, CB  b Biểu thị vectơ AG theo hai vectơ a  b sau:          a  b  2a  b  a  2b  2 a  b A AG  B AG  C AG  D AG  3       Bài Cho G trọng tâm tam giác ABC Đặt CA  a , CB  b , biểu thị vectơ CG theo hai vectơ a b sau: A Page 16             Bài  a  b  a  b  a  b ab A CG  B CG  C CG  D CG  3 3 Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC  NA Gọi K trung điểm MN Khi đó:       A AK  AB  AC B AK  AB  AC 4       C AK  AB  AC D AK  AB  AC 6   Cho tam giác ABC , N điểm xác định CN  BC , G trọng tâm tam giác ABC Hệ    thức AC theo AG AN là:       A AC  AG  AN B AC  AG  AN 3       C AC  AG  AN D AC  AG  AN 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N trung điểm AD BC Hãy tìm m, n để Bài MN  m AB  nDC 1 1 1 1 A m  , n  B m   , n  C m  , n   D m   , n   2 2  2 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi I điểm xác định BI  k BC  k  1 Hệ thức AI ,  Bài Bài      AB, AC k là:    A AI  (k  1) AB  k AC          D AI  (k  1) AB  k AC B AI  (1  k) AB  k AC C AI  (k  1) AB  k AC Bài 10 Cho tam giác ABC , biết AC  9, M trung điểm BC , N điểm đoạn AC cho AN  x   x   Tìm hệ thức hệ thức sau:   x    A MN     AC  AB 2 9   x    C MN     AC  AB 2 9   x    B MN     AC  AB 9 2   x    D MN     AC  AB 9 2   Bài 11 Điểm M gọi chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  MA  k MB Lúc đó, với điểm O thì:          kOA  OB  OA  kOB  OA  kOB  kOA  OB A OM  B OM  C OM  D OM  k 1 1 k k 1 1 k Bài 12 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Nếu có điểm I số t cho    IA  t IB  1  t  IC với điểm I ' bất kì, hệ thức sau đúng?    A I ' A  t I ' B  1  t  I 'C    C I ' A  t I ' B  t I 'C       B I ' A  1  t  I ' B  t I 'C D I ' A  1  t  I ' B  t I 'C Dạng Đẳng thức vectơ  Phương pháp Để chứng minh đẳng thức ta làm theo cách sau:  Biến đổi vế thành vế  Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết Page 17  Đưa vế biến đổi đẳng thức Phối hợp quy tắc:  Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, hiệu vectơ tính chất, kỹ thuật tách, gộp, chọn gốc  Tính chất trung điểm: M trung điểm đoạn thẳng AB     MA  MB      OA  OB  2OM với O điểm tùy ý G trọng tâm tam giác ABC   Tính chất    trọng  tâm:   GA  GB  GC       OA  OB  OC  3OG với O điểm tùy ý Cho hai tam giác ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G ' Đẳng thức sau sai?       A 3GG '  AA '  BB '  CC ' B 3GG '  AB '  BC '  CA '       C 3GG '  AC '  BA '  CB ' D 3GG '  A ' A  BB '  CC ' Cho tam giác ABC có G trọng tâm, I trung điểm đoạn BC Đẳng thức sau đúng?            C G B G C  2GI A GA  2GI B IG   IA D GB  GC  GA Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng?             C AC  BD  2CD A AC  BD  BC B AC  BC  AB D AC  AD  CD Gọi AM trung tuyến tam giác ABC I trung điểm AM Đẳng thức sau đúng?                 B IA  IB  IC  C IA  IB  IC  A IA  IB  IC  D IA  IB  IC  Cho hình chữ nhật ABCD , I K trung điểm BC CD Hệ thức sau đúng?        A AI  AK  AC B AI  AK  AB  AD       C AI  AK  IK D AI  AK  AC Cho tứ giác ABCD I, J trung điểm BC, CD Hãy chọn hệ thức đúng?   Bài Bài Bài Bài Bài Bài              AB  AI  JA  AD   3DB A AB  AI  AJ  AD  3DB C Bài Bài Bài             D  AB  IA  AJ  AD   3DB B BA  IA  JA DA  3DB Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Hãy chọn hệ thức đúng?             A MA  MB MC  AC  2B C B MA  MB  3MC  AC  BC              C 2MA  MB  3MC  2CA  CB D MA  MB  3MC  2CB  CA Cho tam giác ABC , tâm O M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba     cạnh tam giác D, E, F Hệ thức vectơ M D, ME, MF, MO là:         A M D  ME  MF  MO B M D  ME  MF  MO         C M D  ME  MF  MO D M D  ME  MF  MO Cho tam giác ABC có trực tâm H , O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng:         A HA  HB  HC  HO B HA  HB  HC  HO Page 18         HO D HA  HB  HC  3HO Bài 10 Cho tam giác ABC có trực tâm H , O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng:         A OA  OB  OC  OH B OA  OB  OC  OH         C OA  OB  OC  OH D OA  OB  OC  2OH Bài 11 Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Đẳng thức sau đúng?         A aI A  bIB  cIC  B I A  IB  IC  a b  c      C bI A  cIB  aIC  D aI A  bIB  cIC  Dạng Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức cho trước  Phương pháp Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm Thông thường ta biến đổi đẳng    thức vectơ cho dạng OM  a, O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về:  Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k  Hình bình hành  Trung điểm đoạn thẳng  Trọng tâm tam giác…     Bài Cho tam giác ABC I điểm IA  IB  IC  A Trung điểm AB B Trọng tâm tam giác ABC C Đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI D Đỉnh thứ tư hình bình hành ABCI     Bài Cho hình bình hành ABCD , điểm M thỏa mãn 4AM  AB  AC  AD Khi đó, điểm M là: A Trung điểm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD   Bài Cho ba điểm A, B, C thỏa AB  2 AC Chọn câu trả lời sai: A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B Điểm B nằm AC đoạn AC C Điểm C trung điểm đoạn thẳng AB D Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC     Bài Cho tam giác ABC Điểm N thỏa mãn 2NA  NB  NC  là: A Trọng tâm ABC B Trung điểm đoạn BC C Trung điểm đoạn AK với K trung điểm đoạn BC D Đỉnh thứ tư hình bình hành nhận AB AC làm haic ạnh     Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm I thỏa mãn 2IB  3IC  A I trung điểm BC B I khơng thuộc BC C I nằm BC ngồi đoạn BC D I thuộc đoạn BC BI  IC     Bài Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thỏa mãn MA  MB  MC  A Trọng tâm ABC B Đỉnh hình bình hành ABCM C Trùng điểm B D Trung điểm BC Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Trên cạnh BC lấy hai điểm M , N cho BM  MN  NC Điểm G điểm tam giác AMN ? A Trực tâm B Tâm đường tròn ngoại tiếp C Tâm đường tròn nội tiếp D Trọng tâm Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E , F trung điểm AB CD Điểm G thỏa mãn      GA  GB  GC  GD  Xét mệnh đề: C HA  HB  HC  Page 19 I G trung điểm AC II G trung điểm EF Mệnh đề đúng: A Chỉ I B I, II C Chỉ II D I, II sai     Bài Cho tứ giác ABCD Điểm P thỏa mãn hệ thức 3PA  PB  PC  A P trung điểm AG , G trọng tâm ACD B P trung điểm AG , G trọng tâm BAD C P trung điểm AG , G trọng tâm BCD D P trung điểm AG , G trọng tâm ABC Dạng Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ  Phương pháp Phân tích định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết, lưu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác, dấu hiệu nhận biết hình… Bài Tứ giác ABCD hình thoi có đáy AB CD khi:   C AB  kCD với k  Tứ giác ABCD hình thoi khi:   A AB  DC AC  BD D AB  kCD với k  B BC  AD AC phân giác BAD C BA  CD BA  BC D Các kết A, B, C        Bài  B AB  kCD với k   \ 0  Bài  A AD  BC     Cho tam giác ABC có AB  AC  AB  AC tam giác ABC : A Cân B Đều C Vuông A D Vuông B    Bài Tứ giác ABCD hình thỏa hệ thức AD  BD  DC ? A Hình thang B Hình chữ nhật D Hình vng     C Hình bình hành Bài Tứ giác ABCD thỏa hệ thức AC  k AD  AB tứ giác hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D Hình thoi Bài Gọi M , N trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng     AN BM cắt P Biết PM  BM ; AP  AN Tứ giác ABCD hình gì? 5 A Hình bình hành B Hình thang C Hình chữ nhật D Hình vng Bài Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c trọng tâm G thỏa mãn     a GA  b2 GB  c GC  Tam giác ABC tam giác gì? A Đều B Cân A C Thường D Vng B Dạng Quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức cho trước  Phương pháp Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện vectơ ta quy dạng sau:        MA  MB : tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB   MA  k BC : tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song BC   AM  k AB : tập hợp điểm M đường thẳng AB  AM  k  : tập hợp điểm M đường tròn tâm A , bán kính k Biến đổi hệ thức vectơ dạng Bài    Cho tam giác ABC cố định, M điểm di động thỏa MA  MB  MC  Lúc đó, quỹ tích điểm M là: A Đoạn thẳng B Đường thẳng C Đường tròn D Các kết a, b, c sai Page 20 Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I trung điểm BC Quỹ tích điểm M di động thỏa      mãn NA  NB  NC  NB  NC là: Bài A Đường trung trực IG B Đường thẳng qua G vng góc IG C Đường thẳng qua G song song với IG D Đường trịn tâm G , bán kính IG    Cho ba điểm cố định O, A, B Tập hợp điểm M thỏa OM  mOA  1  m  OB là: A Đường thẳng qua A B B Trung trực đoạn thẳng AB C Đường thẳng vng góc AB A D Đường thẳng vng góc AB A Bài Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện sau: MA  MB  MA  MC Bài A Tập hợp điểm M đường trung trực EF , E, F trung điểm AB, AC B Tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song với BC AB C Tập hợp điểm M đường tròn tâm I , bán kính D Tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với AC     Cho hai điểm cố định A, B Tập hợp điểm M thỏa mãn MA  MB  MA  MB :   A Đường trịn đường kính AB C Đường trịn tâm I , bán kính AB Bài B Trung trực đoạn thẳng AB D Nửa đường trịn đường kính AB      Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC  AB  AC là: A Đường trịn tâm G đường kính BC Bài   B Đường tròn tâm G đường kính BC BC C Đường trịn tâm G bán kính D Đường trịn tâm G đường kính 3MG        Cho hai vectơ a b không phương cho a  b  1, a  b  Khi đó, vectơ a  b có giá: A Trùng B Song song với C Vng góc với D Cắt khơng vng góc với Page 21 Vấn đề Hệ trục tọa độ A Các kiến thức cần nhớ I/ Trục tọa độ:  Trục tọa độ (trục, trục số) đường thẳng xác định điểm O gọi điểm gốc vectơ   đơn vị e Kí hiệu trục O; i x ' Ox    Tọa độ vectơ điểm trục:    Cho điểm M nằm trục O, e Khi có số k cho OM  ke Số k gọi  tọa độ điểm M trục cho (nó tọa độ OM )      Cho điểm u nằm trục O, e Khi có số k cho u  ke Số k gọi tọa  độ vectơ u trục cho  Độ dài đại số vectơ trục     Cho hai điểm A B trục O, e Khi có số a cho AB  ae Số a gọi    độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a  AB Như AB  AB.e  Nhận xét:    Nếu AB hướng i AB  AB    Nếu AB ngược hướng i AB   AB   Nếu hai điểm A B trục O, e có tọa độ a b thì: AB  a  b          II/ Hệ trục tọa độ:  Định nghĩa    Hệ trục tọa độ Oxy hay O; i, j hệ trục tọa độ vng góc Ox, Oy    Trục Ox gọi trục hoành có vectơ đơn vị i , trục Oy gọi trục tung có vectơ đơn vị j  Mặt phẳng tọa độ Oxy mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy  Tọa độ vectơ hệ trục tọa độ           Đối với hệ trục tọa độ O;i, j , a  a1 i  a2 j  a   a1 ; a2   a1 gọi hoành độ, a2 gọi tung độ a     a1  b1  Tọa độ hai vectơ nhau: Cho a   a1 ; a2  ; b   b2 ; b2  Ta có: a  b   a2  b2   Điểm M mặt phẳng tọa độ O;i, j Cặp số  x; y  gọi tọa độ điểm M , kí hiệu M  x; y          OM  xi  y j Vậy: M  x; y   OM  xi  y j  Chú ý:  x; y  tọa độ vectơ OM   Cho hai điểm A  xA ; y A  B  xB ; yB  Ta có: AB   xB  x A ; yB  y A        Tọa độ vectơ u  v, u  v, ku   Cho u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  Khi đó:   u  v   u1  v1 ; u2  v2    u  v   u1  v1 ; u2  v2  Page 22     Hai vectơ u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  ku   ku1 ;k u2  , k     với v  phương có số k cho u1  kv1 u2  kv2  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác  Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I  xI ; yI  đoạn thẳng AB là: x x y  yB xI  A B ; y I  A 2  Cho tam giác ABC có A  x A ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  Khi đó, tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC là: xG  x A  xB  xC y  yB  yC ;yG  A 3 B Bài tập trắc nghiệm  Dạng Tìm tọa độ điểm độ dài đại số vectơ trục O, e    Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:    Điểm M có tọa độ a  OM  ae     Vectơ AB có độ dài đại số m  AB  AB  me  Nếu a, b tọa độ A, B AB  b  a  Các tính chất:   AB   BA    AB  CD  AB  CD  Bài    A; B; C  O, e : AB  BC  AC (hệ thức Sa-lơ)    Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm  M cho MA  k MB  k  1 Bài kb  a kb  a kb  a kb  a B xM  C xM  D xM  2k  k 2 k 1 k 1  Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm Bài trung điểm I AB a b 2a  b ab ab A xI  B xI  C xI  D xI  2  Trên trục tọa độ O, e Cho hai điểm A B có tọa độ a b Tìm tọa độ điểm A xM  Bài     N cho 2NA  5NB 4a  2b 5a  2b 5a  4b 5a  3b A xN  B xN  C xN  D xN  7 7  Trên trục tọa độ O, e cho ba điểm A, B, C có tọa độ a, b, c Tìm điểm I cho     IA  IB  IC  a  b  c abc abc a bc A xI  B xI  C xI  D xI  3   Page 23    Bài Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e có tọa độ 2;  6; Hệ thức sau Bài sai?      A OA  2e B CA  6 C BC  10 D AB  BC     Trên trục, cho ba điểm A, B, I có tọa độ 4;  m Nếu IA  IB  m bằng: A 1 B C 2 D Bài Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e Bài thỏa mãn 2MA  3MB  MC  tọa độ điểm M là: 9 A B C D  Cho ba điểm A, B, C trục tọa độ O, e có tọa độ a, b, c Xét mệnh đề sau:    có tọa độ 5;   I AB  b  a II MA  MB   2OM  a  b III MA  MB  MC   OM  a  b  c Mệnh đề đúng? A Chỉ I II B Chỉ I III C Chỉ II III  Bài  2;  Nếu điểm M   D Cả I, II III Trên trục O, e cho điểm M có tọa độ 2 Mệnh đề sau sai?     A OM  2e B OM  C OM e ngược hướng  D OM  Dạng Xác định tọa độ vectơ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy  Phương pháp Sử dụng định nghĩa tọa độ tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ Oxy  a ta làm sau:  Để tìm tọa độvect   Vẽ vectơ OM  a Gọi M M hình chiếu vng góc M Ox Oy Khi đó,      a   a1 ; a2  a1  OM , a2  OM   Bài  Để tìm tọa độ điểm A ta tìm tọa độ vectơ OA Như A có tọa độ  x; y  x  OA1, y  OA2 ; A1 A2 tương ứng chân đường vng góc hạ từ A xuống Ox Oy  Nếu biết tọa độ hai điểm A, B ta tính tọa độ vectơ AB theo công thức  AB   x B  x A ; y B  y A      Trong hệ trục O;i, j , cho OA   x; y  Mệnh đề sau sai?  A OA  x  y B A  x; y  C A  y ' Oy  x  D A  x ' Ox  y  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua trục hoành là: A M '  x; y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua trục tung là: A M '   x;  y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y  Page 24 Bài Bài Bài Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M  x; y  Tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ là: A M '   x;  y  B M '  x; y  C M '  x;  y  D M '   x; y   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  1;4  B  3; 5 Khi đó, tọa độ vectơ BA cặp số nào? A  2; 1 B  4;9  C  4; 9  D  4;9  Cho tam giác ABC có B  9;7  ; C 11; 1 ; M N trung điểm AB AC  Tọa độ MN A  2; 8 B 1; 4  C 10;6  D  5;3   Cho hình vng ABCD tâm I có A 1;3 Biết điểm B thuộc trục O; i BC  phương với i Khẳng định sau đúng:    A AB   0; 3 ; I  2;1 B AB   0;3 ; BC   3;0       C BC   3;0  ; AC   3; 3 Bài Bài D AC   3;3 ; I  2;1    Cho hình vng ABCD tâm I có cạnh a  Chọn hệ trục A;i, j i AD     hướng, j AB hướng Tọa độ đỉnh tâm hình vng là:  5 A A  0;0  , B  0; 5 , C  5;5 , D  5;0  , I   ;   2 5 5 B A  0;0  , B  0;5 , C  5;5 , D  5;0  , I  ;  2 2  5 C A  0;0  , B  5;0  , C  5;5 , D  0;5 , I  ;  2 2 5 5 D A  0;0  , B  5;0  , C  5;5 , D  0;5 , I  ;   2 2 Cho hình bình hành ABCD có AD  chiều cao ứng với cạnh AD , góc     BAD  600 Chọn hệ trục tọa độ A;i, j cho i AD phương Lúc đó:        3;3 , BC  4;0 , CD  3;  , AC 4;3  AB    3;3 , BC   4;0  , CD    3;   , AC    3;3     AB   3;3 , BC   4;0  , CD    3; 3 , AC    3;3     AB   3;3 , BC   4;0  , CD    3; 3 , AC   3;3 A AB  B C D Bài 10 Cho hình thoi ABCD cạnh a  BAD  600 Biết A trùng với gốc tọa độ O , C thuộc Ox xb  0, yb  Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD a a a a A A  0;0  , B  ; , C a 3; a , D  ;   2   2      a a  a a B A  0;0  , B   ;  , C a 3; a , D   ;    2 2         Page 25 a a a a C A  0;0  , B  ;  , C a 3; a , D  ;    2   2  a a a a ;  , C a 3; a , D  ;  D A  0;0  , B   2  2          Dạng Tìm tọa độ vectơ u  v, u  v, ku Phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương  Phương pháp:       Dùng công thức tính tọa độ u  v, u  v, ku       u  v   u1  v1 ; u2  v2   ku   ku1 ;k u2  , k     Bài Bài  Bài Bài Bài C u   9;5  B  3;4   D u   1;5  C  2;1   D 0;  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba vectơ a   3;2  , b   1;5 , c   2;5 Tọa độ     u   a  2b  5c là:     A u   15; 17  B u   9;13 C u   17; 15 D u   13; 9          Cho a  1;2  , b   3;4  , c   1;3 Tìm tọa độ u biết 2u  3a  b    A u   2;1 Bài   B u   9; 11 Cho M  5; 3 Kẻ MM1 vng góc với Ox , MM vng góc với Oy Khẳng định sau đúng?      A OM  5 B OM  C OM  OM   5;3  D OM  OM   5; 3      i j hai vectơ đơn vị hệ trục tọa độ O;i, j Tọa độ độ vectơ 2i  j là: A 1; 2  Bài     a x  b1 y  c1 ta giả sử c  xa  yb Khi ta quy giải hệ phương trình  a2 x  b2 y  c2      Cho a   2; 4  , b   5;3 Tọa độ vectơ u  a  b là: A u   7; 7  Bài  Để phân tích c   c1 ; c2  qua hai vectơ a   a1 ; a2  b   b1 ; b2  không phương,  B u   3;1 C u   3;1  D u   3;2      Cho ba điểm A  4;0  , B  0;3 , C  2;1 Tìm điểm M cho MA  2MB  3MC  1 3  3 1 3 1 3 A M  ;  B M   ;   C M  ;  D M  ;  2 2  2 3 2 3 4 Cho ba điểm A  2;5 , B 1;1 , C  3;3 , điểm E mặt phẳng tọa độ thỏa    AE  3AB  AC Tọa độ điểm E là: A  3;3 B  3;3 C  3; 3 D  2; 3       Cho a   3; 7  , b   5;4  , c  1;2  Hãy biểu diễn a theo b c :   13  23    13  23  23  13  13  13  b c B a  b  c C a   b  c D a   b  c 14  24 14  24 14 24 14 14     Cho ba vectơ a   2;1 , b   3;4  , c   7;2  Giá trị h; k để c  k a  hb là: A a   Bài A k  2, 5; k  1,3 C k  4, 4; k  0,6 D k  3, 4; k  0,2    Bài 10 Cho ba vectơ a   3;5 , b   2; 4  , c  1;1 Giá trị h; k để 5c  k a  hb là:  B k  4,6; k  5,1   Page 26 15 15 21 11 15 ; n B m  ; n  C m  ; n  D m  ; n  11 11 11 11 11 11 11 Dạng Bài toán liên quan đến phương hai vectơ, ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song tọa độ  Phương pháp        Cho u   u1 ; u2  ; v   v1 ; v2  Vectơ u phương với vectơ v v  A m      Bài  u1  kv1 tồn k cho  u2  kv2   Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB  k AC   Hai vectơ song song u  kv hai vectơ khơng có điểm chung    Để phân tích c   c1 ; c2  qua hai vectơ a   a1 ; a2  ; b   b1 ; b2  không phương, ta    a1 x  b1 y  c1 giả sử c  xa  yb Khi ta quy giải hệ phương trình  a2 x  b2 y  c2   Cho u   3; 2  , v  1;6  Khẳng định sau đúng?         A u  v a   4;4  ngược hướng B u v hướng C u  v b   6; 24  hướng D 2u  v u hướng       Bài Cho a  1;2  , b   2;3 , c   6; 10  Hãy chọn đẳng thức đúng? Bài B a  b a  b hướng A a  b c hướng   C a  b c hướng D a  b c ngược hướng Cho ba điểm A  0;3 , B  1;2  , C  3;3 Chọn khẳng định đúng? Bài A A, B, C không thẳng hàng B A, B, C thẳng hàng   C Điểm B điểm A C D AB AC phương Cho bốn điểm A  0;1 , B  1;2  , C 1;5 , D  1;1 Khẳng định sau đúng? Bài A Ba điểm A, B, C thẳng hàng B Hai đường thẳng AB CD song song C Ba điểm A, B, D thẳng hàng D Hai đường thẳng AD BC song song Cho bốn điểm A  3;2  , B  7;1 , C  0;1 , D  8;5 Khẳng định sau đúng?     A     AB C D đối  Bài   B AB CD phương ngược hướng  C A, B, C , D thẳng hàng Bài      D AB CD phương hướng Cho a   5;0  ,b   4; x  Hai vectơ a b phương số x là: A 5 B C D 1 Khẳng định khẳng định sau đúng:   A Hai vectơ a   5;0  b   4;0  phuơng   B Vectơ c   7;3 vectơ đối d   7;3     C Hai vectơ u   4;2  v   8;3 phương D Hai vectơ a   6;3 b   2;1 ngược hướng Bài Cho ba điểm A  6;3 , B  3;6  Xác định điểm C trục hoành cho ba điểm A, B, C thẳng hàng A C 15;0  B C 1;0  C C  6;0  D C  5;0  Page 27 Dạng Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác  Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác  Cho đoạn thẳng AB có A  x A ; y A  B  xB ; yB  Tọa độ trung điểm I  xI ; yI  đoạn thẳng AB là: x x y  yB xI  A B ; y I  A 2  Cho tam giác ABC có A  xA ; y A  ; B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  Khi đó, tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC là: x A  xB  xC y  yB  yC ;yG  A 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm A  0;5 , B  2; 7  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB cặp số nào? A  2; 2  B  2;12  C  1;6  D 1; 1 xG  Bài Bài Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm M  8; 1 , N  3;2  Nếu P điểm đối xứng với điểm M qua điểm N tọa độ điểm P cặp số nào?  11  A  2;5 B  ;  C 13; 3 D 11; 1  2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A  5; 2  , B  0;3 , C  5; 1 Khi đó, trọng tâm tam giác ABC cặp số nào? A 1; 1 B  0;0  Bài Trong mặt phẳng tọa độ C  0;11 D 10;0  Oxy , cho tam giác ABC trọng tâm G Biết A  1;4  , B  2;5 , G  0;7  Hỏi tọa độ điểm C cặp số nào? A Bài  2;12  B  1;12  C  3;1 D 1;12  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho bốn điểm A  3;1 , B  2;2  , C 1;6  , D 1;6  Hỏi điểm G  2;1 trọng tâm tam giác nào? Bài A Tam giác ABC B Tam giác ABD C Tam giác ACD Cho hai điểm A  3;5 , B 1;7  Chọn khẳng định đúng? D Tam giác BCD A Trung điểm đoạn thẳng AB điểm  4;2    B Tọa độ vectơ A Blà  2; 12    C Tọa độ vectơ A Blà  2;12  D Trung điểm đoạn thẳng AB điểm  2;1 Bài Cho tam giác ABC , trọng tâm gốc tọa độ, biết tọa độ hai đỉnh A  3;5 , B  0;4  Tọa độ đỉnh C là: A  5;1 B  3;7  C  3; 9  D 5;0   Dạng Xác định tọa độ điểm hình  Phương pháp: dựa vào tính chất hình cơng thức tính tọa độ Bài Cho M 1; 1 , N  3;2  , P  0; 5 trung điểm cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Tọa độ đỉnh A là: A  2; 2  B  5;1 C  5;0   D 2;  Page 28 Bài Cho hình bình hành ABCD có A  2;3 , B  0;4  , C  5; 4  Tọa độ đỉnh D là: A Bài Bài  7;2  B  3; 5 C  3;7   D 3;  Cho điểm A  3; 1 , B  1;2  , I 1; 1 Xác định tọa độ điểm C , D cho tứ giác ABCD hình bình hành biết I trọng tâm tam giác ABC Tâm O hình bình hành ABCD là: 7 5 5     5 A O  0;   B O  2;   C O  2;   D O  2;  2 2 2     2 Cho tam giác ABC có A  3;4  , B  1;2  , C  4;1 A ' điểm đối xứng A qua B , B ' điểm đối xứng B qua C , C ' điểm đối xứng C qua A Tọa độ A ', B ', C ' là: A A '  5;0  , B '  0;9  , C '  2;7  B A '  5;0  , B '  9;0  , C '  2;7  C A '  5;0  , B '  0;9  , C '  2;7  Liên h l p nhóm t i Hà N i-ĐT: 0985.368.767 D A '  5;0  , B '  9;0  , C '  7;2  Page 29 ... Hai vectơ hướng với vectơ thứ ba khác vectơ hướng Bài Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có vectơ phương với vectơ thứ ba phương B Có hai vectơ phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ. .. gọi là: B Vectơ có phương tùy ý A Vectơ có hướng tùy ý D Vectơ có độ dài khơng xác định C Vectơ – không Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Vectơ đoạn thẳng định hướng B Vectơ – khơng vectơ có điểm... ⃗ II/ Vectơ đối - Cho vectơ ⃗ Vectơ có độ dài ngược hướng ⃗ gọi vectơ đối vectơ ⃗, kí hiệu − ⃗ Ta có ⃗ + (− ⃗) = 0⃗ - Mọi vectơ có vectơ đối, ví dụ ⃗ có vectơ đối ⃗, nghĩa là: ⃗ = − ⃗ - Vectơ