Chuyên đề lượng giác (lí thuyết + bài tập)

 Hàm số ysinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.. x y  Hàm số ycosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng... PHẦN I: ĐỀ BÀI

 Hàm số ysinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2

 Đồ thị hàm số ysinx

x y

 Hàm số ycosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

 Hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2

 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ; k

 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng xk, k làm một đường tiệm cận

 Đồ thị

x y

PHẦN I: ĐỀ BÀI

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ,

CHU KỲ CỦA HÀM SỐ Phương pháp

 Hàm số f x( )asinuxbcosvxc ( với u v,  ) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2





x y

x là:

x

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin 3x B yx.cosx C ycos tan 2x x D tan

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin 3x B yx.cosx C ycos tan 2x x D tan

D Hàm số ysinx2 là hàm số không chẵn, không lẻ

Câu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin2xsinx B  2;5

C ysin2xtanx D ysin2xcosx

Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó

Câu 11: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?

C Hàm số không lẻ trên D Hàm số không chẵn

Câu 14: Hàm số ysinx5 cosxlà:

C Hàm số không chẵn, không lẻ trên D Cả A, B, C đều sai

Câu 15: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?

C ysin 2xcos 2x D y 2 sin 3 2 x

Câu 16: Hàm số ysinx5 cosxlà:

C Hàm số không chẵn, không lẻ trên D Cả A, B, C đều sai

Câu 17: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?

C ysin 2xcos 2x D y 2 sin 3 2 x

Câu 18: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

A y5sin tan 2x x B y3sinxcosx

C y2 sin 3x5 D ytanx2 sinx

Câu 19: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ:

C ysin 2xcos 2x D y 2 sin 3 2 x

Câu 20: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ?

A ysin2x B ycosx C y cosx D ysinx

Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sinx B ycosxsinx C ycosxsin2 x D ycos sinx x

Câu 22: Trong các hàm số dưới đây có bao nhiêu hàm số là hàm số chẵn:

x

Câu 25: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A ysinxx B ycosx C yxsinx D

21



 x

y

x

Câu 26: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A yxcosx B yxtanx C ytanx D y1

DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp

Cho hàm số y f x( ) tuần hoàn với chu kì T

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn

có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k v (với v( ;0), T k ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số

* Số nghiệm của phương trình f x( )k, (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị

Câu 3: Hàm số: y 32cosx tăng trên khoảng:

A ycosx B ycot 2x C ysinx D ycos2x

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số ysinx tăng trong khoảng 0;

C Nghịch biến  0; D Các khẳng định trên đều sai

Câu 10: Hàm số ycosx đồng biến trên đoạn nào dưới đây:

A ysinx B ycosx C ytanx D y cotx

Câu 13: Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng:

Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số ysinx đồng biến trong khoảng ;3

D Hàm số ycosx đồng biến trong khoảng 3 ;

A ysinx B ycosx C ytanx D y cotx

Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x

A miny 2; maxy5 B miny 1; maxy4

C miny 1; maxy5 D miny 5; maxy5

Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 4sin 22 x

A miny 2; maxy1 B miny 3; maxy5

C miny 5; maxy1 D miny 3; maxy1

3



A miny2,maxy5 B miny1,maxy4

C miny1,maxy5 D miny1,maxy3

Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2sin 2 2 x4

A miny6,maxy 4 3 B miny5,maxy 4 2 3

C miny5,maxy 4 3 3 D miny5,maxy 4 3

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sinx3

A maxy 5,miny1 B maxy 5,miny2 5

C maxy 5,miny2 D maxy 5,miny3

Câu 11: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos2x1

A maxy1,miny 1 3 B maxy3,miny 1 3

C maxy2,miny 1 3 D maxy0,miny 1 3

Câu 12: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 1 3sin 2

A miny 2,maxy4 B miny2,maxy4

C miny 2,maxy3 D miny 1,maxy4

Câu 13: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2 cos 32 x

A miny1,maxy2 B miny1,maxy3

C miny2,maxy3 D miny 1,maxy3

Câu 14: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 sin 2 x

A miny2,maxy 1 3 B miny2,maxy 2 3

C miny1,maxy 1 3 D miny1,maxy2

Câu 17: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3sinx4 cosx1

A maxy6,miny 2 B maxy4,miny 4

C maxy6,miny 4 D maxy6,miny 1

Câu 18: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y3sinx4 cosx1

A miny 6; maxy4 B miny 6; maxy5

C miny 3; maxy4D miny 6; maxy6

Câu 19: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2sin2 x3sin 2x4 cos2x

A miny 3 2 1; max y3 2 1 B miny 3 2 1; max y3 2 1

C miny 3 2; maxy3 2 1 D miny 3 22; maxy3 2 1

Câu 20: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ysin2x3sin 2x3cos2x

A maxy 2 10; miny 2 10 B maxy 2 5; miny 2 5

C maxy 2 2; miny 2 2 D maxy 2 7; miny 2 7

Câu 21: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2 sin 3x1

A miny 2, maxy3 B miny 1, maxy2

C miny 1, maxy3 D miny 3, maxy3

Câu 22: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 4 cos 22 x

A miny 1, maxy4 B miny 1, maxy7

C miny 1, maxy3 D miny 2, maxy7

Câu 23: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 4 cos 3 x

A miny 1 2 3, maxy 1 2 5 B miny2 3, maxy2 5

C miny 1 2 3, maxy 1 2 5 D miny  1 2 3, maxy  1 2 5

Câu 24: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y4 sin 6x3cos 6x

A miny 5, maxy5 B miny 4, maxy4

C miny 3, maxy5 D miny 6, max y6

Câu 25: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

A miny0,maxy3 B miny0,maxy4

C miny0,maxy6 D miny0,maxy2

Câu 28: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ytan2 x4 tanx1

A miny 2 B miny 3 C miny 4 D miny 1

Câu 29: Tìm tập giá trị nhỏ nhất của hàm số sau ytan2xcot2x3(tanxcot ) 1x 

A miny 5 B miny 3 C miny 2 D miny 4

Câu 30: Tìm m để hàm số y 5sin 4x6cos 4x2m1 xác định với mọi x

Câu 31: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 3 2sin x

A miny 2; maxy 1 5 B miny2; maxy 5

C miny2; maxy 1 5 D miny2; maxy4

Câu 32: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y4 sin 3x3cos 3x1

A miny 3; maxy6 B miny 4; maxy6

C miny 4; maxy4 D miny 2; maxy6

Câu 33: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 cosxsinx4

A miny2; maxy4 B miny2; maxy6

C miny4; maxy6 D miny2; maxy8

Câu 34: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau sin 2 2 cos 2 3

A miny  2 5; maxy  2 5 B miny  2 7; maxy  2 7

C miny  2 3; maxy  2 3 D miny  2 10; maxy  2 10

Câu 37: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau

2 2

PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI:

DẠNG 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, XÉT TÍNH CHẴN LẺ,

CHU KỲ CỦA HÀM SỐ Phương pháp

 Hàm số f x( )asinuxbcosvxc ( với u v,  ) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

x là

xxác định khi và chỉ khi 2

1 sin x0cos2x0cosx0 ,

sin 0cos 0

xxác định khi và chỉ khi 2

1 cos x0 sin2x0sinx0 x k

sin 0cos 0

x là:

A \ 1 B 1;1

Câu 31: Hàm số nào sau đây có tập xác định

3sin





x y

Khi m0 thì (*) luôn đúng nên nhận giá trị m0

Khi m0 thì mcosx   1  m 1;m1 nên  * đúng khi      m 1 0 0 m 1

Khi m0 thì mcosx 1 m  1; m 1 nên  * đúng khi m     1 0 1 m 0

Vậy giá trị m thoả   1 m 1

Câu 35: Tập xác định của hàm số tan

cos 1





x y

Hàm số ycotx xác định khi sinx  0 x k,k

1 cos





x y

x

Câu 45: Tìm tập xác định của hàm số sau tan( ).cot( )

f x x x f x nên ycosx làm số chẵn trên

Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

f x x x f x nên ycos 3x là hàm số chẵn trên

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin 3x B yx.cosx C ycos tan 2x x D tan

  cos  cos cos   

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A ysin 3x B yx.cosx C ycos tan 2x x D tan

Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai?

f f nên y f x sinx2 là hàm số không chẵn không lẻ trên

Câu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

Kết luận: hàm số ysin2xcosx là hàm số chẵn

Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó cot 2 ,

g g nên hàm số không chẵn không lẻ trên

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là sai?

Do đó: y f x  sinx x sinxx là hàm số chẵn trên

Câu 11: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ ?

Kết luận: ytanx2 sinx là hàm số lẻ trên tập xác định của nó

Câu 13: Hàm số ysin cosx 3x là:

Kết luận: ysin cosx 3x là hàm số lẻ

Câu 14: Hàm số ysinx5 cosxlà:

nên hàm số không chẵn, không lẻ trên

Câu 15: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?

nên hàm số không chẳn, không lẻ trên

Câu 16: Hàm số ysinx5 cosxlà:

C Hàm số không chẵn, không lẻ trên D Cả A, B, C đều sai

nên hàm số không chẵn, không lẻ trên

Câu 17: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ ?

nên hàm số không chẳn, không lẻ trên

Câu 18: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn:

A y5sin tan 2x x B y3sinxcosx

C y2 sin 3x5 D ytanx2 sinx

    x D x D và f   x 5sin x tan2x5sin tan 2x x f x  

Vậy y f x 5sin tan 2x x là hàm số chẵn trên tập xác định của nó

Câu 19: Hàm số nào sau đây không chẵn, không lẻ:

Nhận xét: Tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ là một hàm không chẵn không lẻ

Câu 20: Trong các hàm số sau đây hàm số nào là hàm số lẻ?

A ysin2x B ycosx C y cosx D ysinx

Vậy y f x sinx là hàm số lẻ trên tập xác định của nó

Câu 21: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y sinx B ycosxsinx C ycosxsin2 x D ycos sinx x

x

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số: D

Với mọi xD , k ta có x k 2D và x k 2D , sinxk2sinx

Vậy ysinxlà hàm số tuần hoàn

Câu 25: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A ysinxx B ycosx C yxsinx D

21

Với mọi xD , k ta có x k 2D và x k 2D , cosxk2cosx

Vậy ycosx là hàm số tuần hoàn

Câu 26: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A yxcosx B yxtanx C ytanx D y1

Với mọi xD , k ta có x k D và x k D , tanxktanx

Vậy ytanx là hàm số tuần hoàn

Câu 27: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

Với mọi xD , k ta có x k D và x k D , cotxkcotx

Vậy ycotx là hàm tuần hoàn

Câu 29: Chu kỳ của hàm số ysinx là:

Với mọi xD , k ta có x k 2D và x k 2D , sinxk2sinx

Vậy ysin xlà hàm số tuần hoàn với chu kì 2 (ứng với k1) là số dương nhỏ nhất thỏa

Với mọi xD , k ta có x k 2D và x k 2D , cosxk2cosx

Vậy ycosxlà hàm số tuần hoàn với chu kì 2 (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa

Với mọi xD , k ta có x k D và x k D , tanxktanx

Vậy ytanx là hàm số tuần hoàn với chu kì  (ứng với k 1) là số dương nhỏ nhất thỏa

Với mọi xD , k ta có x k D và x k D , cotxkcotx

Vậy ycotx là hàm số tuần hoàn với chu kì (ứng với k1) là số dương nhỏ nhất thỏa

cot xk cot x

DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp

Cho hàm số y f x( ) tuần hoàn với chu kì T

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn

có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ k v (với v( ;0), T k ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số

* Số nghiệm của phương trình f x( )k, (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị

C Đồng biến trên mỗi khoảng 2 ;3 2

Vì hàm số ycosx đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k , k nên hàm số y 32cosx

cũng đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k , k

Quan sát trên đường tr n lượng giác,

ta thấy trên khoảng ;

2

 đến 1

2)

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai?

A Hàm số ysinx tăng trong khoảng 0;

D Hàm số ycosxtăng trong khoảng 0;

  ta thấy: ycosx giảm dần

Câu 7: Hàm số ysinxđồng biến trên:

Quan sát trên đường tr n lượng giác,

ta thấy: trên khoảng  0; hàm ycosx giảm dần

(giảm từ giá trị 1 đến 1)

Chú ý: Hàm số ycosx tăng trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k và giảm trên mỗi khoảng

Do hàm số ycosx đồng biến trên mỗi khoảng   k2 ; 2 k , cho k 1  ; 2 

Câu 12: Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu trên khoảng 0;

Câu 14: Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số ysinx đồng biến trong khoảng ;3

  x   3 3sin 2x3   3 5 3sin 2x  5 3 5   8 y 3sin 2x  5 2

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 8 và 2

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 5 và 9

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y4 sinx 3 1 lần lượt là:

    2 sinx+3 4  2 s inx+32 4 2 1  y 4 s inx+3 1 4.2 1 7   

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 4 2 1 và7

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin2 x4sinx5 là:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y 1 2cosxcos2x là:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2

Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2 3sin 3x

A miny 2; maxy5 B miny 1; maxy4

C miny 1; maxy5 D miny 5; maxy5

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  1 sin 3x    1 1 y 5 Suy ra: miny 1; maxy5

Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 4sin 22 x

A miny 2; maxy1 B miny 3; maxy5

C miny 5; maxy1 D miny 3; maxy1

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: 0sin 22 x    1 3 y 1 Suy ra: miny 3; maxy1

3



A miny2,maxy5 B miny1,maxy4

C miny1,maxy5 D miny1,maxy3

Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 3 2sin 2 2 x4

A miny6,maxy 4 3 B miny5,maxy 4 2 3

C miny5,maxy 4 3 3 D miny5,maxy 4 3

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 2sinx3

A maxy 5,miny1 B maxy 5,miny2 5

C maxy 5,miny2 D maxy 5,miny3

Câu 11: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y 1 2 cos2x1

A maxy1,miny 1 3 B maxy3,miny 1 3

C maxy2,miny 1 3 D maxy0,miny 1 3