Một số công thức và phương pháp tính nhanh trắc nghiệm Chuyên đề HÀM SỐ Người đăng: Nguyễn Huyền Ngày: 06052017 Trong bài viết này, mình đã sưu tầm và tổng kết lại một số công thức và phương pháp tính nhanh trắc nghiệm trong chuyên đề hàm số. A. Hàm số y=ax3+bx2+cx+d(a≠0). Bài toán 1: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Khi nào hàm số có hai điểm cực trị. Phương pháp: y′=3ax2+2bx+c Để hàm số có cực trị thì phương trình y′=0 có hai nghiệm phân biệt ⇔Δ>0 (Δ′>0) hay b2−3ac>0 Bài toán 2: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị. Phương pháp: Bước 1: Tính y, giải phương trình bằng chức năng EQN và lưu hai nghiệm vào ô nhớ A, B bằng cách nhấn SHIFT RCL. Bước 2: Tính giá trị cực trị bằng cách nhập hàm số ax3+bx2+cx+d vào máy và sử dụng phím CALC để lưu vào ô nhớ C và D. Bước 3: Tính d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 hay d2=(A−B)2+(C−D)2. Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số y=x3−4x2+3x−5 Giải: Bài toán 3: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. Phương pháp: Cách 1: Gọi M(x,y) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số. Ta có y′=3ax2+2bx+c=0. Hơn nữa, y=ax3+bx2+cx+d=(13x+b9a)(3ax2+2bx+c)+(23c−2.b29a)x+d−bc9a =(23c−2.b29a)x+d−bc9a. Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=(23c−2.b29a)x+d−bc9a Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó. Bước 1: Giải phương trình y′=0 bằng chức năng EQN và lưu vào ô nhớ A, B. Bước 2: Tính tung độ tương ứng bằng cách nhập hàm và nhấn CALC. Bước 3: Giải hệ phương trình tìm các hệ số a và b của đường thẳng {Aa+b=CBa+b=D Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y=x3−4x2+3x−5. Giải: Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y=(23.3−2.(−4)29)x+(−5)−−4.39=−119x−113. Cách 2: Bài toán 4: Bài toán về đồng biến, nghịch biến. Cách 1: Tính y Cách 2: Sử dụng máy tính. Ví dụ 1: Hàm số y=x2−2x−5x−2 đồng biến trên A. (−∞,0)∪(3,+∞). B. R. C. (0,2)∪(2,4). D. (−∞,2)∪(2,+∞). Cách 1: y=x2−2x−5x−2=x−5x−2⇒y′=1+5(x−2)2>0 với ∀x≠2. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞,2)∪(2,+∞). Chọn D. Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án. Ta có định lí sau: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). Nếu f′(x)>0 với mọi x∈(a,b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a,b). Nếu f′(x)0 thì hàm số đã cho đồng biến. Nếu kết quả S0 nên loại A. Nhập thu được kết quả 1,556>0 nên loại C. Ví dụ 2: Để hàm số y=x3+3mx2−4mx+4 đồng biến trên R thì A. 0≤m≤43. B. −43≤m≤0. C. 0≤m≤34. D. −34≤m≤0. Giải: Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y. Bước 2: Gán giá trị Gán giá trị cho biến X: Ta gán một giá trị nào đó trong tập xác định cho trước. Gán giá trị cho biến Y: Chúng ta quan sát vào các đáp án để gán gia trị cho biến Y. Cụ thể: Nhập dữ liệu Gán giá trị (ấn nút CALC) Vì tập xác định bằng R nên gán giá trị X=0. Quan sát đáp án thấy m=0 đáp án nào cũng có nên ta không gán m=Y=0. Hai đáp án A và C có chiều như nhau. B và D cũng vậy. + Gán m=Y=34 ta có Kết quả 0 nên loại D. Ví dụ 3: Hàm số y=m3x3−(m−1)x2+(m−2)x+13 đồng biến trên 2,+∞). A. m>0. B. m≥0. C. m>8. D. m≤−2. Giải: Đồng biến trên 2,+∞) nên gán X=2. Gán Y=0, kết quả >0 thì chỉ có B đúng. Bài tập áp dụng Bài 1: Hàm số y=(m−x)x2−m đồng biến trên (1,2) khi A. a>−3. B. a127. D. a0 (Δ′>0) hay b2−3ac>0 Bài toán 2: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d Tính khoảng cách hai điểm cực trị Phương pháp: Bước 1: Tính y', giải phương trình chức EQN lưu hai nghiệm vào ô nhớ A, B cách nhấn SHIFT RCL Bước 2: Tính giá trị cực trị cách nhập hàm số phím CALC để lưu vào ô nhớ C D Bước 3: Tính d2=(x2−x1)2+(y2−y1)2 hay d2=(A−B)2+(C−D)2 Ví dụ: Tìm khoảng cách hai điểm cực trị hàm số Giải: ax3+bx2+cx+d vào máy sử dụng y=x3−4x2+3x−5 Bài toán 3: Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Phương pháp: Cách 1: Gọi M(x,y) điểm cực trị đồ thị hàm số Ta có y′=3ax2+2bx+c=0 Hơn nữa, y=ax3+bx2+cx+d=(13x+b9a)(3ax2+2bx+c)+(23c−2.b29a)x+d−bc9a =(23c−2.b29a)x+d−bc9a Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y=(23c−2.b29a)x+d−bc9a Cách 2: Tìm hai điểm cực trị viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Bước 1: Giải phương trình y′=0 chức EQN lưu vào ô nhớ A, B Bước 2: Tính tung độ tương ứng cách nhập hàm nhấn CALC Bước 3: Giải hệ phương trình tìm hệ số a b đường thẳng {Aa+b=CBa+b=D Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y=x3−4x2+3x−5 Giải: Cách 1: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y=(23.3−2.(−4)29)x+(−5)− −4.39=−119x−113 Cách 2: Bài toán 4: Bài tốn đồng biến, nghịch biến Cách 1: Tính y' Cách 2: Sử dụng máy tính Ví dụ 1: Hàm số y=x2−2x−5x−2 đồng biến A (−∞,0)∪(3,+∞) B R C (0,2)∪(2,4) D (−∞,2)∪(2,+∞) Cách 1: y=x2−2x−5x−2=x−5x−2⇒y′=1+5(x−2)2>0 với ∀x≠2 Vậy hàm số cho đồng biến khoảng (−∞,2)∪(2,+∞) Chọn D Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án Ta có định lí sau: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a,b) Nếu f′(x)>0 với x∈(a,b) hàm số đồng biến khoảng (a,b) Nếu f′(x)0 hàm số cho đồng biến Nếu kết S0 nên loại A Nhập thu kết 1,556>0 nên loại C Ví dụ 2: Để hàm số y=x3+3mx2−4mx+4 đồng biến R A 0≤m≤43 B −43≤m≤0 C 0≤m≤34 D −34≤m≤0 Giải: Bước 1: Nhập liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số kèm ta gán vào biến Y Bước 2: Gán giá trị Gán giá trị cho biến X: Ta gán giá trị tập xác định cho trước Gán giá trị cho biến Y: Chúng ta quan sát vào đáp án để gán gia trị cho biến Y Cụ thể: - Nhập liệu - Gán giá trị (ấn nút CALC) Vì tập xác định R nên gán giá trị X=0 Quan sát đáp án thấy m=0 đáp án có nên ta khơng gán có chiều B D m=Y=0 Hai đáp án A C + Gán m=Y=34 ta có Kết nên loại D Ví dụ 3: Hàm số y=m3x3−(m−1)x2+(m−2)x+13 đồng biến [2,+∞) A m>0 Giải: B m≥0 C m>8 D m≤−2 Đồng biến [2,+∞) nên gán X=2 Gán Y=0, kết >0 có B Bài tập áp dụng Bài 1: Hàm số y=(m−x)x2−m đồng biến (1,2) A a>−3 B a127 D a0 với x∈(a,b) hàm số đồng biến khoảng (a,b) Nếu f′(x)