Phương pháp giải nhanh trắc nghiệm cực trị của hàm số

A KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ Khái niệm cực trị hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định tập hợp D (D⊂R) x0∈D a) x0 gọi điểm cực đại hàm số y=f(x) tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b)⊂D f(x)f(x0), ∀x∈(a;b)∖{x0} Khi f(x0) gọi giá trị cực tiểu hàm số f(x) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điều kiện cần để hàm số có cực trị Xét hàm số y=f(x) liên tục khoảng (a;b) x0∈(a;b) Định lí 1: Giả sử hàm số y=f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f(x) có đạo hàm điểm x0 f′(x0)=0 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số y=f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a;x0) (x0;b) Khi đó: a) Nếu f′(x0)0 với x∈(x0;b) hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 b) Nếu f′(x0)>0 với x∈(a;x0) f′(x0)0 xảy hai trường hợp: + Một cực tiểu + Một cực đại hai cực tiểu Do việc lựa chọn đáp án A đắn Nhận xét: Như để lựa chọn đáp án cho tốn thì: + Trong cách giải tự luận sử dụng quy tắc để giải Chú ý rằng, để nhanh chóng lựa chọn đáp án thường thực trích lược tự luận, tức khơng cần thiết phải tính giá trị cực trị mà cần dựa vào bảng xét dấu y′ để đáp án + Trong cách lựa chọn đáp án phép thử em học sinh cần nắm vững kiến thức tính chất cực trị hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương Bài tập Cho hàm số y=x4+2x2+3 Hàm số có: A Một cực đại hai cực tiểu B Một cực tiểu hai cực đại C Một cực đại khơng có cực tiểu D Một cực tiểu khơng có cực đại Chọn D Lời giải tự luận: Ta có: + Tập xác định D=R + Đạo hàm: y′=4x3+4x, y′=0 ⇔x(x2+1)=0 ⇔x=0 + Bảng biến thiên: Vậy hàm số có cực tiểu khơng có cực đại Lựa chọn đáp án phép thử: Nhận xét hàm trùng phương với a>0 xảy hai trường hợp: + Một cực tiểu + Một cực đại hai cực tiểu Suy đáp án B C bị loại Ta có y′=4x3+4x, y′=0 ⇔x(x2+1)=0 ⇔x=0 Tức hàm số có cực trị nên đáp án A bị loại Do việc lựa chọn đáp án D đắn Bài tập Cho hàm số y=x+1x–1 Hàm số có: A Một cực đại B Một cực tiểu C Một cực đại cực tiểu D Không có cực trị Chọn D Lời giải tự luận: + Tập xác định D=R∖{1} + Đạo hàm: y′=–2(x–1)20 ớớ⇒y′={–2x–4vớix≤02x+4vớix>0 + Bảng biến thiên: Vậy tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số (–2;4) Lời giải tự luận sử dụng quy tắc 2: Ta có: + Tập xác định: D=R + Viết lại hàm số dạng: y={–x(x+4)khix≤0x(x+4)khix>0 y′={–2x–4khix≤02x+4khix>0 y”={–2khix≤02khix>0 y′=0 ⇔x=–2 ⇒y”(–2)=–40 Do đó, hàm số đạt cực tiểu x=–π6+kπ, k∈Z Lựa chọn đáp án phép thử: Chọn k=0, ta tính giá trị hàm số x=–π3, x=π3, x=–π6, x=π6 ta có: y(–π3)=–32+π3–2 y(π3)=32–π3–2 y(–π6)=–32+π6–2 (nhỏ nhất) y(π6)=32–π6–2 Nhận xét: Cho dù hàm số cho khơng tuần hồn sử dụng phương pháp lựa chọn đáp án phương pháp thử với k giá trị hàm số kπ Bài tập 17 Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d, a≠0 Khẳng định sau sai? A Đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh B Hàm số ln có cực trị C limx→∞⁡f(x)=∞ D Đồ thị hàm số ln có tâm đối xứng Chọn B Phương pháp tự luận: TXÐ: D=R Ta có y′=3ax2+2bx+c Giải 3ax2+2bx+c=0 (1) Khi phương trình (1) vơ nghiệm hàm số khơng có cực trị Do khẳng định B sai Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn đáp án cho tốn cần nắm vững tính chất hàm đa thức bậc 3, cụ thể: + Đồ thị hàm đa thức bậc (các hàm đa thức bậc lẻ) ln cắt trục hồnh (do hàm số liên tục giới hạn hàm số hai đầu –∞ +∞ trái dấu) + Hàm số ln có cực trị khẳng định sai (đã giải thích trên) + Giới hạn vơ cực ∞ (tính chất với hàm đa thức) + Đồ thị hàm số ln có tâm đối xứng phương trình y”=0 có dạng 6ax+2b=0 ln có nghiệm x=– b3a với a≠0 Bài tập 18 Hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+d đạt cực tiểu điểm x=0, f(0)=0 đạt cực đại x=1, f(1)=1 Các hệ số a, b, c, d bằng? A a=–2, b=3, c=0, d=1 B a=–2, b=3, c=1, d=0 C a=–1, b=1, c=1, d=0 D a=–2, b=3, c=d=0 Phương pháp tự luận: TXÐ: D=R Ta có f′(x)=3ax2+2bx+c, f”(x)=6ax+2b Để hàm số đạt cực tiểu điểm x=0, f(0)=0 đạt cực đại x=1, f(1)=1 điều kiện là: ààà{f(0)=0vàf(1)=1f′(0)=0vàf′(1)=0f”(0)>0vàf”(1)0va6a+2b0 có cực tiểu, cực đại phương trình đường thẳng qua hai điểm có hướng xuống nên hệ số x y phương trình đường thẳng dấu Nhận xét: Để lựa chọn đáp án cho toán thì: + Trong cách giải tự luận cần nhớ phương pháp lập phương trình đường thẳng qua hai điểm + Trong cách giải tự luận kết hợp phép thử tránh việc phải nhớ phương pháp lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cần cẩn thận thử tốt kết hợp với máy tính để thực tốt công đoạn + Trong cách giải tự luận kết hợp tính chất ln lựa chọn tốt không nhớ phương pháp lập phương trình đường thẳng qua hai điểm tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số lẻ + Trong cách lựa chọn đáp án pháp đánh giá sử dụng tính chất thẳng hàng cực đại, cực tiểu điểm uốn hàm số đa thức bậc ba + Trong cách lựa chọn đáp án phép đánh giá cần nhớ dạng đồ thị hàm đa thức bậc ba, từ xác định hướng đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số Bài tập 22 Cho hàm số y=–x2+x–1x–1 Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số có phương trình: A 2x+y−1=0 B 2x+y+1=0 C x−2y−3=0 D x–2y+1=0 Chọn A Phương pháp tự luận: TXĐ: D=R∖{1} Ta có y′=–x2+2x(x–1)2 Giải y′=0 ⇔–x2+2x=0 ⇔[x=0x=2 Đồ thị hàm số có điểm cực trị A(0;1), B(2;3) Do phương trình đường thẳng qua hai điểm A B 2x+y−1=0 Lựa chọn đáp án phép thử: Ta có y′=–x2+2x(x–1)2 Giải y′=0 ⇔–x2+2x=0 ⇔[x=0x=2 Đồ thị hàm số có điểm cực trị A(0;1), B(2;3) Dùng phương pháp thử tọa độ hai điểm A, B vào phương trình Phương pháp tự luận kết hợp tính chất: TXÐ: D=R∖{1} Ta có y′=–x2+2x(x–1)2 Giải y′=0 ⇔–x2+2x=0 ⇔[x=0x=2 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm phân thức bậc hai bậc ln có dạng y=(–x2+x–1)′(x–1)′ ⇔y=–2x+1 Lựa chọn đáp án phép đánh giá 1: + Phương trình đường thẳng qua hai điểm điểm cực trị hàm số phân thức bậc hai bậc phải qua điểm tâm đối xứng đồ thị, tức qua điểm I(1;–1) Loại đáp án B D + Hàm phân thức bậc hai bậc với ad