ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm 1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm TrþĆc khi đến vĆi bài học, chúng ta cæn hiểu đþợc khái niệm cûa đäo hàm. Đðnh nghïa. GiĆi hän hĂu hän (nếu có) cûa tî số    0  0 f x f x x x   khi x dæn đến 0 x đþợc gọi là đäo hàm cûa hàm số đã cho täi điểm 0 x , kí hiệu là f x  0  hoặc y x  0  , nghïa là       0 0 0 0 lim x x f x f x f x  x x    . Trong đðnh nghïa trên, nếu đặt:  Số gia biến số là 0    x x x .  Số gia tþĄng Āng cûa hàm số là    y f x f x    0  . Lúc đó ta sẽ có       0 0 0 0 0 lim lim x x x f x x f x y f x    x x         . Quy tắc tính đạo hàm theo đðnh nghïa. Muốn tính đäo hàm cûa hàm số y f x    täi điểm 0 x , theo đðnh nghïa trên ta thăc hiện các bþĆc sau: 1. Tính y theo công thĀc      y f x x f x  0 0    . 2. Tính giĆi hän 0 lim x y   x   . Nhận xét. Nhóm 9 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2 | N h ó m 9 o Nếu hàm số y f x    có đäo hàm täi điểm 0 x thì nó liên týc täi điểm đó. o Đâo läi không đúng, nghïa là một hàm số liên tục tại điểm 0 x có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 1.2 Ý nghïa hình học của đạo hàm a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng. Cho đþąng cong C và một điểm cố đðnh M trên C, M là điểm di động trên C . Khi đó MM là một cát tuyến cûa C. Đðnh nghïa. Nếu cát tuyến MM có vð trí giĆi hän M T khi M di chuyển trên C và dæn tĆi điểm M thì đþąng thẳng M T đþợc gọi là tiếp tuyến cûa đþąng cong täi điểm . Điểm M đþợc gọi là tiếp điểm. Sau đåy ta không xét trþąng hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng vĆi Oy . Ở đồ thị trên, MM chính là cát tuyến của (C) b) Ý nghïa hình học của đạo hàm. Cho hàm số y f x    xác đðnh trên khoâng a b;  và có đäo hàm täi x a b  ;  , gọi C là đồ thð hàm số đó.  Đäo hàm cûa hàm số f x  täi điểm M là hệ góc cûa tiếp tuyến M T cûa C täi điểm M.

Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Nhóm Nguyễn Đức Thắng, Dương Diễm Thi, Du Hiền Vinh Đạo hàm hàm số điểm 1.1 Khái nim o hm ca hm s ti mt im Trỵc n vi bi hc, chỳng ta cổn hiu ỵc khái niệm cûa đäo hàm Đðnh nghïa GiĆi hän hĂu hän (nếu có) cûa tỵ số f  x   f  x0  x  x0 x dổn n x0 ỵc gi l ọo hm cỷa hm số cho täi điểm x0 , kí hiệu f '  x0  y '  x0  , nghïa f '  x0   lim xx0 f  x   f  x0  x  x0 Trong đðnh nghïa trên, đặt:  Số gia biến số x  x x0 S gia tỵng ng cỷa hm số y  f  x   f  x0  Lúc ta có f '  x0   lim f  x0  x   f  x0  x x  x0 y x 0 x  lim Quy tắc tính đạo hàm theo đðnh nghïa Muốn tính đäo hàm cûa hàm số y  f  x  täi điểm x0 , theo đðnh nghïa ta thăc cỏc bỵc sau: Tớnh y theo cụng thc y  f  x0  x   f  x0  Tính giĆi hän lim x 0 y x Nhận xét | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] o Nếu hàm số y  f  x  có đäo hàm täi điểm x0 liên týc täi điểm o Đâo läi khơng đúng, nghïa hàm số liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm điểm 1.2 Ý nghïa hình học đạo hàm a) Tiếp tuyến đường cong phng Cho ỵng cong C v mt im cố đðnh M '  C  , M điểm di động  C  Khi MM ' cát tuyến cûa  C  Đðnh nghïa Nếu cát tuyến MM ' có vð trí giĆi hän M ' T M di chuyển  C  dæn tĆi điểm M ' thỡ ỵng thng M ' T ỵc gi l tip tuyn cỷa ỵng cong tọi im im M ' ỵc gi l tip im Sau ồy ta khụng xột trỵng hp tip tuyn song song hoc trựng vi Oy 10 M 15 10 M' 5 10 15 Ở đồ thị trên, MM ' cát tuyến (C) b) Ý nghïa hình học đạo hàm Cho hàm số y  f  x  xác đðnh khoâng  a; b  có đäo hàm täi x   a; b  , gọi  C  đồ thð hàm số  Đäo hàm cûa hàm số f  x  täi điểm M ' hệ góc cûa tiếp tuyến M ' T cûa  C  täi điểm M ' | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA O HM] Phỵng trỡnh tip tuyn cỷa th C  cûa hàm số y  f  x  täi điểm    M ' x0 ; f  x0  có däng: y  y0  f '  x0  x  x0  10 x M 15 10 M' 5 10 15 Ở đồ thị trên, đường thẳng x tiếp tuyến (C) Các quy tắc tính đạo hàm 2.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số Đðnh lý Nếu hai hàm số u  u  x  v  v  x  có đäo hàm J hàm số y  u  v , y  u  v , y  u.v v y u (vi trỵng hp cui ta v cæn điều kiện v  x   vĆi x  J ) cüng có đäo hàm   u  v  ,  u,  v ,   u.v ,  u,v  uv,  ,  u  u,v  uv , v  v2   2.2 Bâng đạo hàm số hàm số thường gặp  x    x u    u    u   ,  1 , x  x  ,  1 , u, u, u | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] , , 1 x  x   1 u,   u u2    sin x   cos x  sin u   sin x  cos u cos x  tan u ,  cos x  ,  tan x   cot x  ,  ,  sin x ,  cot u ,  u, cos u  u, sin u u, cos2 u ,  ,  u, sin u e   e  a   a ln a  e   u e  a   u a ln a  ln x  u,  ln u  u x x , x , u x ,  x  log a x   , u , , , u , u , u,  log a u  u.ln a x.ln a , 2.3 Đạo hàm số phân thức hữu tỵ thường gặp a1 b1 ,   a x  b1  a2 b2 y,      a2 x  b2   a2 x  b2  ,  a1 b1 x2  a1 c1 x  a x  b x  c1  a2 b2 a2 c2 y,      a2 x  b2 x  c2  a2 x  b2 x  c2 Với ý sau:  a b c d  b1 c1 b2 c2  ad  bc 2.4 Bài tập đề nghð Do cơng thĀc đäo hàm bän nắm rõ nên nhóm chỵ nêu lên hai tập đề nghð để bän luyện tập thêm Bài tập đề nghð Bài tập | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Tính đäo hàm cûa hàm số sau: a) y  x4 11  2x3  x2  6x  b) y  c) y   x2 d) y  4x2   2x Bài tập Bài tập đề nghð Câu 13x  12 22 x  12 Tìm số gia cûa hàm số y  x2  täi điểm x0  Āng vĆi số gia x , biết: a) x  A y  b) x   C y  D y  B y  0,15 C y  0,1 D y  0,1 10 A y  0,19 Câu B y Phỵng trỡnh tip tuyn cỷa ỵng hypebol y  x täi điểm 1  M  ;  là: 2  A y   4x Câu B y   4x C y   2x D y   2x Phỵng trỡnh tip tuyn cỷa th hm s y  x3 täi điểm có hồnh độ 1 là: A y  3x  B y  2x  C y  3x  D y  2x  Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu hàm số 3.1 Khái niệm đðnh lý Giâ sā I khoâng, độn nāa không f hàm xỏc nh trờn I Khi ú Hm f ỵc gọi đồng biến I x1 , x2  I , x1  x2 , ta có f  x1   f  x2  Hàm f ỵc gi l nghch bin trờn I nu | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] x1 , x2  I , x1  x2 , ta có f  x1   f  x2  Ta có đðnh lý sau: Đðnh lý Giâ sā hàm số f có đäo hàm không I Khi   nghðch biến trờn I tỵng ỵng vi f ' x  vĆi x  I có giá tr khụng i trờn I tỵng ỵng vi f '  x   vĆi  f đồng bin trờn I tỵng ỵng vi f ' x vĆi x  I  f  f xI 3.2 Ví dụ tập đề nghð Ví dụ Xét chiều biến thiên cûa hàm số x2 y  x Lời giâi / 0 Ta có Tập xác đðnh cûa y y'  x   x  x    x  1 x2  3 , nên y '   x  Ta có bâng biến thiên x  y' y         Vậy hàm số cho nghðch biến khoâng  ;   0; 2 , đồng biến  2;   Bài tập đề nghð | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Xét chiều biến thiên cûa hàm số sau a) y  x3  x  6x  c) y   x2 b) y  3x   x d) y  x 1993  1995  x2  Ứng dụng đạo hàm khâo sát biến thiên vẽ đồ thð hàm số 4.1 Các bước khâo sát biến thiên vẽ đồ thð hàm số 4.1.1 Các bước thực Để khâo sát să biến thiên v th cỷa mt hm s bỗt kỡ, ta thc hin cỏc bỵc nhỵ sau: Tỡm xỏc đðnh cûa hàm số Khâo sát să biến thiên cûa hàm số a) Tìm số giĆi hän cûa hàm số: giĆi hän täi vô căc giĆi hän vơ căc Tìm tiệm cận cûa đồ thð b) Lập bâng biến thiên cûa hàm số:  Tìm đäo hm y , cỷa hm s Xột dỗu y , Tÿ suy chiều biến thiên tìm căc trð cûa hàm số  Điền kết quâ vào bâng biến thiên Tìm điểm uốn cûa đồ thð hàm số: Tìm đäo hàm y ,, ; xột dỗu y ,, , t ú suy cỏc điểm uốn cûa đồ thð hàm số Vẽ đồ th hm s V cỏc ỵng tim cn cỷa đồ thð (nếu có) | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM]  Xác đðnh điểm căc trð Tìm điểm đặc biệt khác cûa đồ thð (giao điểm cûa đồ thð vĆi trýc tọa độ )  Vẽ đồ thð hàm số  Nhận xét đồ thð: chỵ trýc đối xĀng tåm đối xĀng cûa đồ thð (nếu có) 4.1.2 Ví dụ tập đề nghð Ví dụ Khâo sát să biến thiên vẽ đồ thð hàm số y  x2  x  Lời giâi  1 Do x  x    x     vĆi x nên hàm số xác đðnh vĆi x 2  thuộc , tĀc D  Ta có lim x2  x    lim x2  x    x Xét y ,  x 2x  1 Ta có y ,   x   x x2  1 Hàm số giâm  ;   tăng 2  Hàm số đät căc tiểu     ;     11 x   2 Ta có bâng biến thiên: x   y' y      11 | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Đồ thð hàm số 12 10 Đồ thð hàm số cắt trýc   tung täi điểm 0; x= Đồ th nhn ỵng thng x lm trýc đối xĀng x2 + x + h(x) = 15 10 5 10 15 Bài tập đề nghð Khâo sát să biến thiên vẽ đồ thð hàm số y  x2  4.2 Khâo sát số hàm số đa thức Sau đåy tóm tắt lý thuyết vi dọng hm s thỵng gp 4.2.1 Hm s bc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Dỵi ồy l mt s c im cỷa hm s bậc ba đồ thð cûa nó:  Hàm số có tập xác đðnh D   Các giĆi hän täi vô căc vô căc  th cỷa hm s khụng cú ỵng tim cn  Đồ thð ln ln có điểm uốn vĆi honh l nghim cỷa phỵng trỡnh y ,, Tựy theo s nghim cỷa phỵng trỡnh y ,  mà đồ thð hàm số có số điểm căc trð khác tÿ m nú cú cỏc dọng khỏc Dỵi ồy l bõng túm tt tỗt cõ cỏc dọng th cỷa hm s bc ba: Cỏc trỵng hp a0 Phỵng trỡnh y  có , a0 8 6 4 2 hai nghiệm phân biệt hay  '  b  3ac  15 10 5 10 15 15 10 5 2 4 6 8 10 15 | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA O HM] Phỵng trỡnh y , cú 8 6 4 nghiệm kép hay 15 10 5 10 15 15 10 5 10 15 10 15 2 4  ' b2 3ac 6 Phỵng trình y ,  vơ nghiệm hay 8 6 4 15 10 5 10 15 15 10 2 4  '  b2  3ac  6 4.2.2 Hàm số bậc bốn dạng trùng phương y  ax4 bx2 c Dỵi ồy l mt s c điểm cûa hàm số đồ thð cûa nó: o Tập xác đðnh cûa hàm số D  o Đåy hàm số chẵn nên đồ thð cûa ln đối xĀng qua trýc tung o Do phỵng trỡnh y ' luụn cú nghim nờn đồ thð ln có điểm căc trð o Đồ thð hàm số có hai điểm uốn khơng cú im un no Dỵi ồy l bõng túm tt tỗt cõ cỏc dọng cỷa th hm trựng phỵng: a0 a0 10 y '  có nghiệm 10 5 10 4 phân biệt  ab  10 5 10 10 12 8 6 y '  chỵ có nghiệm  ab  4 2 10 10 5 5 10 10 2 4 6 4.3 Khâo sát số hàm số phân thức Ở đåy ta chỵ xét hàm số phân thĀc có däng y  ax  b , c  , ad bc  (còn cx  d gi l hm s bỗt bin) o Tp xỏc nh cûa hàm số D   d    c 10 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] o GiĆi hän cûa hàm số täi vô căc a a nờn ỵng thng y l tim c c cận ngang cûa đồ thð o GiĆi hän bên phâi, bên trái täi  thẳng x   d cỷa hm s l vụ cc nờn ỵng c d tiệm cận đĀng cûa đồ thð c o Nếu ad  bc  hàm số nghðch biến, ad  bc  hàm số đồng biến, tĀc hàm số ln đĄn điệu tÿng không xác đðnh  d a o Đồ thð cûa hàm số nhận giao điểm cûa hai tiệm cân I   ;  làm  c c tåm đối xng Dỵi ồy l cỏc dọng cỷa th ny: ad  bc  10 5 10 ad  bc  10 5 10 Ứng dụng đạo hàm tìm giá trð lớn giá trð nhỏ hàm số Trong phỉn này, ta Āng dýng tính đĄn điệu căc trð cûa hàm số để tìm giá tr ln nhỗt v giỏ tr nh nhỗt cỷa hm s, cỹng nhỵ ng dýng cỷa nú vo vic chng minh bỗt ng thc, tỡm giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nh nhỗt cỷa mt biu thc 5.1 nh nghùa Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tập hợp I  11 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] a) Nếu tồn täi điểm x0  I cho f  x   f  x0  , x  I M  f x0 ỵc gi l giỏ tr ln nht cûa hàm số f I , kí hiệu M  max f  x  xI b) Nếu tồn täi điểm x0  I cho f  x   f  x0  , x I thỡ m f x0 ỵc gọi giá trị nhỏ cûa hàm số f I , kí hiệu m  f  x  xI Ta xét ví dý nhỏ sau ồy Vớ d Tỡm giỏ tr nh nhỗt cỷa hàm số f  x   4    x vĆi x   ;  x 3  Lời giâi Ta có f '  x    2 x2   x   x2  2x x2  2x 4  Vậy f '  x    x  vĆi x   ;  3   4 98 Ta có f    , f    2 , f    nên giá trð nh nhỗt cỷa hm s l 3 f   2 Bài tập đề nghð Tìm giỏ tr ln nhỗt v giỏ tr nh nhỗt cỷa hàm số f  x   x  5.2 vĆi x  1;  x Kï thuật đưa tốn tìm GTLN, GTNN biến ứng dụng đạo hàm 12 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Ở phỉn này, ta chỵ nêu lên vài ví dý tiêu biểu Ví dụ Cho x , y , z l ba s thc dỵng tha mãn x  y  x  z  y  z   Tìm giá trð nh nhỗt cỷa biu thc P  x  y x  z  y  z 2 Lời giâi Ta có  x  z  y  z    z2  xz  yz   xy Và 1   x  z  y  z Suy P   x2  y  z  xz  yz x  z  y  z 2  x  y   x  y  x  y 2 1 Đặt  x  y   t  P  f  t    4t   f '  t     t t Suy f '  t    t  x Ta có bâng biến thiên  y' y 0     12 1 Dễ thỗy f t f 12 nên P  12 2   x  y  x  y  Đẳng thĀc xây   2  x  y  y  z   y  z    13 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CA O HM] Vy giỏ tr nh nhỗt cỷa P 12 x  y, z    y , vĆi y  0; Bài tập đề nghð 1  Cho số thăc x   ;1 , y , z  thỏa mãn xyz  Tìm giá tr nh nhỗt cỷa biu thc P 5.3 1   1 x 1 y 1 z Kï thuật tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức 5.3.1 Lý thuyết chung Lý thuyết Cho hàm số y  f  x  liên týc có đäo hàm  a; b  , gọi a; b x0 l im bỗt kỡ thuộc Tiếp tuyến täi điểm x0 có däng y  f '  x0  x  x0   y0 Nếu f ''  x   x a; b thỡ ta cú bỗt đẳng thĀc: f  x   f '  x0  x  x0   y0 Nếu f ''  x   x   a; b thỡ ta cú bỗt ng thc: f  x   f '  x0  x  x0   y0 Đẳng thĀc xây x  x0 5.3.2 Ví dụ tập đề nghð Ví dụ Cho a , b , c số thăc thỏa mãn điều kiện a  b  c  ChĀng minh   a  b4  c  a3  b3  c Lời giâi Dỗu bng xỏy a b c nờn ta vit phỵng trỡnh tip tuyn vi đồ thð hàm số f  x   x4  2x3 täi điểm x  14 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ NG DNG CA O HM] Ta cú phỵng trỡnh tip tuyến y  8x  16   Và f  x   x  16   x   x2  x   x  Do f  a   f  b   f  c    a  b  c   48    Vì a4  b4  c  a3  b3  c Bài tập đề nghð Cho a , b , c số thăc không nhỏ hĄn  thỏa mãn điều kiện a  b  c  ChĀng minh a b c    a  b  c  10 Sử dụng phương pháp hàm số giâi hệ phương trình, phương trình, bất phương trình 6.1 Lý thuyết chung Lý thuyết Vận dýng nội dung cûa kết quâ sau đåy:  Hàm số f  x  ln đồng biến D f  x   f  a   x  a , a  D  Hàm số f  x  ln nghðch biến D f  x   f  a   x  a , a  D  Hàm số f  x  đồng biến nghðch biến D f  x   f  a   x  a , a  D 6.2 Ví dụ tập đề nghð Ta xét ví dý nhỏ sau đåy Ví dụ 15 | N h ó m Nhóm [O HM V NG DNG CA O HM] Giõi bỗt phỵng trỡnh: 2x3 3x2 6x 16  x  Lời giâi Điều kiện: 2  x  Xét hàm số f  x   2x3  3x2  6x  16   x đoän  2;  có f '  x    x2  x  x  3x  x  16  4x  , x   2;  Do hàm số f  x  ln đồng biến đoän  2;  Ta nhn thỗy f nờn f x   f 1  x  Vớ d Giõi h phỵng trỡnh:   y 4x2   y  y    2  xy  x   y  y     Lời giâi Điều kiện: y  Do y  không phâi nghiệm cûa hệ nên xét y thỡ t phỵng trỡnh th 2, h cú nghim thỡ x Phỵng trỡnh th cỷa h tỵng ỵng 1 2x  2x  2x       1 y y y 1 Ta nhn thỗy f x f v cõ hai v cỷa phỵng trỡnh trờn u có däng y f t   t  t t  16 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Ta xét f  t   t  t t   0;   có f '  t    t   t2 t2   , t  1 Do hàm số f  t  đồng biến  0;   Suy f  x   f    x  y y Th vo phỵng trỡnh ổu tiờn cỷa h ta ỵc y3 y y2    Xét hàm số f  y   y  y  y  Ta có f '  y   3y2  y  y   0;   Nếu y2  y y 6  y   0;    , y  nên f  y  đồng biên y  f  y   f 1  y  f  y   f 1  Tÿ    suy y v nghim cỷa h phỵng trình S   x; y    ;1      Bài tập Bi ngh Giõi bỗt phỵng trỡnh: 3  2x  2x   2x  Bài tập Bài tập đề nghð Giõi h phỵng trỡnh: x x  x   x   y   y     x   14  x  y  Bạn cần tham khâo thêm vui lòng liên hệ “Nhóm 9” để nhận file lời giâi chi tiết ! 17 | N h ó m ... nhỗt cûa hàm số f  x   x  5.2 vĆi x  1;  x Kï thuật đưa tốn tìm GTLN, GTNN biến ứng dụng đạo hàm 12 | N h ó m Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Ở phỉn này, ta chỵ nêu lên vài ví... nghð | Nhóm Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] Xét chiều biến thiên cûa hàm số sau a) y  x3  x  6x  c) y   x2 b) y  3x   x d) y  x 1993  1995  x2  Ứng dụng đạo hàm khâo sát biến...Nhóm [ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM] o Nếu hàm số y  f  x  có đäo hàm täi điểm x0 liên týc täi điểm o Đâo läi khơng đúng, nghïa hàm số liên tục điểm x0 khơng có đạo hàm điểm 1.2 Ý