TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cho hàm số y f x  ( ) có đồ thị C ; M x y C  0 0 ;     Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M x y  0 0 ;  là d y f x x x y :     0 0 0    Trong đó: o M x y  0 0 ;  gọi là tọa độ của tiếp điểm. o k f x   0  là hệ số góc của tiếp tuyến. 2. Ghi nhớ:  Đường thẳng d: y a x b a    ( 0) thì có hệ số góc là k a  .  Cho đường thẳng d y ax b a d y a x b a : 0 ; : 0           . Khi đó: o d d k k a a d d b b b b             . o . 1 . 1 d d d d k k a a        .  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b a     0 thì hệ số góc của tiếp tuyến là k a  .(nhớ thử lại).  Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b a     0 thì hệ số góc của tiếp tuyến là 1 k a   .  Trục hoành (trục Ox ): y  0 .  Trục tung (trục Oy ): x  0 . B. KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài toán 1: Các dạng phƣơng trình tiếp tuyến thƣờng gặp. Cho hàm số y f x    , gọi đồ thị của hàm số là C. Dạng 1. Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C y f x :    tại M x y  o o ; . Phƣơng pháp o Bƣớc 1. Tính đạo hàm y f x      hệ số góc tiếp tuyến k y x   0 . o Bƣớc 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M x y  0 0 ;  có dạng: d y y x x x y :     0 0 0   . Chú ý: (C): y = f(x) M x y C  0 0 ;   o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 0 x thì khi đó ta tìm 0 y bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y f x 0 0   . Nếu đề cho 0 y ta thay vào hàm số để giải ra 0 x . o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị C y f x :    và đường thẳng d y ax b : .   Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C.  Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d y ax b : .   o Bƣớc 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k y x   0  . Nhập   0 ( ) x x d f x dx  bằng cách nhấn SHIFT  sau đó nhấn  ta được a. o Bƣớc 2: Sau đó nhân với X tiếp tục nhấn phím  f x  CALC X x  o nhấn phím  ta được b. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Cho hàm số   3 2 C y x x :  3 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1;4 là: A. y x   9 5. B. y x   9 5. C. y x    9 5. D. y x    9 5. Hƣớng dẫn giải Ta có: 2 y 3x 6   x    k y1 9  . Phương trình tiếp tuyến tại M 1;2 là: d y y x x x y y x y x : 9 1 4 9 5            0  o o    .  Sử dụng máy tính: o Nhập   3 2 1 3 x d X X dx   nhấn dấu  ta được 9. o Sau đó nhân với  X  nhấn dấu  3 2 X X 3 CALC X 1 nhấn dấu  ta được 5 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y x   9 5 . Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 y x x     2 6 5 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M thuộc C và có hoành độ bằng 3. A. y x    18 49. B. y x    18 49. C. y x   18 49. D. y x   18 49. Hƣớng dẫn giải Ta có: 2 y x x     6 12 x y M k y 0 0           3 5 3; 5 3 18     . Phương trình tiếp tuyến tại M là: y x y x         18 3 5 18 49   . HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  Sử dụng máy tính: o Nhập   3 2 3 2 6 5 x d X X dx     nhấn dấu  ta được 18. o Sau đó nhân với  X  nhấn dấu  3 2    2 6 5 X X CALC X  3 nhấn dấu  ta được 49 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là: y x    18 49. Ví dụ 3. Cho hàm số   1 4 2 : 2 4 C y x x   . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M có hoành độ 0 x  0, biết   1 o y x    là: A. 5 3 . 4 y x    B. y x    3 1. C. y x    3 2. D. 1 3 . 4 y x    Hƣớng dẫn giải Ta có: 3 y x x    4 , 2 y x    3 4. Mà   1 o y x    2 0 3 4 1 x    2 0  x 1 0  x 1 (vì 0 x  0 ). 0   7 1 3 4        y k y . Phương trình tiếp tuyến tại M là: d : y x y x            7 5 3 1 3 4 4  Sử dụng máy tính: o Nhập 4 2 x 1 d 1 2 dx 4 X X         nhấn dấu  ta được 3 . o Sau đó nhân với  X  nhấn dấu  1 4 2 2 4 X X  CALC X 1 nhấn dấu  ta được 5 4 . Vậy phương trình tiếp tuyến là 5 3 4 d : y x    

HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị  C  ; M  x0 ; y0   C   Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M  x0 ; y0  (C): y = f(x) d : y  f '  x0  x  x0   y0  Trong đó: o M  x0 ; y0  gọi tọa độ tiếp điểm o k  f '  x0  hệ số góc tiếp tuyến M  x0 ; y0   C  Ghi nhớ:  Đường thẳng d: y  a x  b (a  0) có hệ số góc k  a  Cho đường thẳng d : y  ax  b  a  0 ; d ' : y  a ' x  b '  a '   Khi đó: o  k  kd ' a  a ' d / /d '   d  b  b ' b  b ' o d  d '  kd kd '  1  a.a '  1  Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b  a  0 hệ số góc tiếp tuyến k  a (nhớ thử lại)  Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  ax  b  a  0 hệ số góc tiếp tuyến k   a  Trục hoành (trục Ox ): y   Trục tung (trục Oy ): x  B KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài toán 1: Các dạng phƣơng trình tiếp tuyến thƣờng gặp Cho hàm số y  f  x  , gọi đồ thị hàm số  C  Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  M  xo ; yo  Phƣơng pháp o Bƣớc Tính đạo hàm y  f   x  hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  o Bƣớc Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M  x0 ; y0  có dạng: d : y  y  x0  x  x0   y0 Chú ý: o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0  f  x0  Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị  C  : y  f  x  đường thẳng d : y  ax  b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d  C   Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y  ax  b o Bƣớc 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  Nhập nhấn SHIFT o  d  f ( x)  x  x0 dx cách sau nhấn  ta a Bƣớc 2: Sau nhân với  X tiếp tục nhấn phím  f  x CALC X  xo nhấn phím  ta b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số  C  : y  x3  3x Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M 1;  là: A y  x  B y  x  C y  9 x  D y  9 x  Hƣớng dẫn giải Ta có: y'  3x  6x  k  y 1  Phương trình tiếp tuyến M 1;  là: d : y  y '  x0  x  xo   yo  y   x  1   y  x   Sử dụng máy tính: d  X  3X  x  dx o Nhập o Sau nhân với  X  nhấn dấu  ta nhấn dấu  X  X CALC X  nhấn dấu  ta 5 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y  x  Ví dụ Cho hàm số y  2 x3  x2  Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M thuộc  C  có hồnh độ A y  18x  49 B y  18x  49 C y  18x  49 Hƣớng dẫn giải Ta có: y  6 x2  12 x x0   y0  5  M  3; 5  k  y  3  18 Phương trình tiếp tuyến M là: y  18  x  3   y  18x  49 D y  18x  49 HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  Sử dụng máy tính: d 2 X  X  5  x 3 dx o Nhập o Sau nhân với nhấn dấu  ta 18   X  nhấn dấu  2 X  X  CALC X  nhấn dấu  ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y  18x  49 x  x Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M có hồnh độ x0  0, biết y  xo   1 là: Ví dụ Cho hàm số  C  : y  A y  3x  B y  3x  1 D y  3x  C y  3x  Hƣớng dẫn giải Ta có: y  x3  x , y  3x  Mà y  xo   1  3x02   1  x0   x0  (vì x0  )  y0    k  y 1  3 Phương trình tiếp tuyến M là: d : y  3  x  1   y  3x    Sử dụng máy tính: d 1 2 nhấn dấu  ta 3  X  2X  dx  x1 o Nhập o Sau nhân với  X  nhấn dấu  X  2X CALC X  nhấn dấu  ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y  3x   Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  có hệ số góc k cho trƣớc Phƣơng pháp o Bƣớc Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tính y  f   x  o Bƣớc Hệ số góc tiếp tuyến k  f '  x0  Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bƣớc Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y  y  x0  x  x0   y0 Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau:  Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  hệ số góc tiếp tuyến k  a  Tiếp tuyến d   : y  ax  b  hệ số góc tiếp tuyến k    a  Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc  hệ số góc tiếp tuyến d k   tan   Sử dụng máy tính: Nhập: k   X   f  x  CALC X  x0 nhấn dấu  ta b Phương trình tiếp tuyến d : y  kx  b Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số  C  : y  x3  3x  Phương trình tiếp tuyến  C  biết hệ số góc tiếp tuyến là:  y  x  14 A   y  x  18  y  x  15 B   y  x  11  y  9x  C   y  9x   y  9x  D   y  9x  Hƣớng dẫn giải Ta có y  3x  , k  y  x0    3x02    x02   x0   + Với x0   y0  ta có tiếp điểm M  2;  Phương trình tiếp tuyến M là: y   x     y  x  14 + Với x0  2  y0  ta có tiếp điểm N  2;0  Phương trình tiếp tuyến N là: y   x     y  x  18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y  x  14 y  x  18  Sử dụng máy tính: + Với x0  ta nhập   X   X  X  CALC X  nhấn dấu  ta 14  y  x  14 + Với x0  2 ta nhập   X   X  X  CALC X  2 nhấn dấu  ta 18  y  x  18 2x 1  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song x2 song với đường thẳng có phương trình  : 3x  y   Ví dụ Cho hàm số  C  : y  A y  3x  14 Hƣớng dẫn giải B y  3x  C y  3x  D y  3x  HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai Ta có y '  nên k  +  x  2  x0  2 ,  : 3x  y    y  3x  Do tiếp tuyến song song với đường thẳng   x0    x0  1    x0        x0   1  x0  3 Với x0  1 nhập   X   X 1 X 2 CALC X  1 nhấn dấu  ta  d1 : y  3x  ( loại trùng với  ) + Với x0  3 CALC X  3 nhấn dấu  ta 14  d : y  3x  14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y  3x  14 Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến qua A  xA ; y A  Phƣơng pháp Cách o Bƣớc 1: Phương trình tiếp tuyến qua A  xA ; y A  hệ số góc k có dạng: d : y  k  x  xA   y A () o Bƣớc 2: d tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm:   f  x   k  x  xA   y A    f  x  k o Bƣớc 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình () , ta tiếp tuyến cần tìm Cách o Bƣớc Gọi M  x0 ; f  x0   tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0   f   x0  theo x0 o Bƣớc Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y  y  x0   x  x0   y0 () Do điểm A  xA ; y A   d nên yA  y  x0   xA  x0   y0 giải phương trình tìm x0 o Bƣớc Thế x0 vào () ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f  x  kết đáp án Vào MODE   nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hàm số  C  : y  4 x3  3x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua điểm A  1;   y  9 x  A  y   y  4x  B   y  x 1 y  x 7 C   y  3x   y  x  D   y  2x  Hƣớng dẫn giải Ta có: y'  12x2  + Gọi d phương trình tiếp tuyến  C  qua A  1;  với hệ số góc k có phương trình là: d : y  k  x  1  + d tiếp tuyến  C  hệ sau có nghiệm:  4 x  3x   k  x  1    12 x   k 1  2 Thay k từ   vào 1 ta 4 x3  3x    12 x  3  x  1   x  1 1   x  12 x     x    x  1    x  2   + Với x  1  k  9 Phương trình tiếp tuyến là: y  9 x  + Với x   k  Phương trình tiếp tuyến là: y  2 Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số  C1  : y  f  x   C2  : y  g  x  Phƣơng pháp o Bƣớc Gọi d tiếp tuyến chung  C1  ,  C2  x0 hoành độ tiếp điểm d  C1  phương trình d có dạng: y  f   x0   x  x0   f  x0  *** o Bƣớc Dùng điều kiện tiếp xúc d  C2  , tìm x0 o Bƣớc Thế x0 vào *** ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho hai hàm số:  C1  : y  f  x   x , x   C2  : y  g  x   Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là:  x ,   x  HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai A y  x  2 B y  x  C y  x  D y  x  Hƣớng dẫn giải + Gọi d phương trình tiếp tuyến chung  C1  ,  C2  x0 hoành độ tiếp điểm d với  C1  phương trình d là: y  f   x  x  x0   y0  + d tiếp xúc với  C2   x  x0   x0 x0 x 1   x  x  x0 hệ sau có nghiệm:   x  2 8 x x0  1  2 Thay   vào 1 ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d  C2    x    x  2   x  x   x2     x   x   x  2 x  x2   x2  2x      x 8  x    x  8  x  Thay x  2 vào   ta 1   x0  x0 Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là: y  x2 Bài tốn 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết ax  b cx  d d   c  0, x    có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến c   M thuộc  C  I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có: Bài toán 2.1: Cho hàm số y  (I) Nếu   IM tồn điểm M thuộc nhánh đồ thị  C  đối xứng qua I xM  (II)  ad  bc  d c M trung điểm AB (với A, B giao điểm  với tiệm cận) bc  ad (III) Diện tích tam giác IAB không đổi với điểm M SIAB  (IV) Nếu E , F thuộc nhánh đồ thị  C  E , F đối xứng qua I tiếp tuyến c2 E, F song song với (suy đường thẳng d qua E, F qua tâm I ) Chứng minh: ad  bc  d a ; I   ;  giao điểm tiệm cận  c c  Ta có: y    a x b  d  Gọi M  xM ; M   (C )  xM    Phương trình tiếp tuyến M có dạng: cxM  d  c   : y   cx  d  ax  b ad  bc ( x  xM )  M (c xM  d ) cxM  d Chứng minh (I):    d bc  ad  ad  bc    ; u 1; IM  xM  ;      c c cx  d   cx  d   M   M      IM  IM u    xM   cxM  d    ad  bc   c  cxM  d   Cách nhớ: cxM  d mẫ u số củ a hà m số d bc  ad ad  bc  0 c c  cxM  d   cxM  d 2    xM   ad  bc  d c ad  bc tử số củ a đạ o hà m Chứng minh (II):  d a  Giao điểm  với tiệm cận ngang là: A  xM  ;  c c    d ac xM  2bc  ad  Giao điểm  với tiệm cận đứng là: B   ;   c c  c xM  d    HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  d d   xA  xB  xM  c  c  xM Xét  axM  b a ac xM  2bc  ad  y A  yB     yM c c  c xM  d  cxM  d   Vậy M trung điểm AB Chứng minh (III):    bc  ad     cxM  d   IA  ; c  IB  0;  c  c x  d   c M       IAB vuông I  SIAB   bc  ad 1  cxM  d   bc  ad  IA IB  2  số 2 c c  c xM  d  c2 Vậy diện tích  IAB khơng đổi với điểm M Chứng minh (IV):    2d a x b  d 2a axE  b    xE ;  Gọi E  xE ; E   (C )  xE     F    cxE  d  c c cxE  d     c ( E , F đối xứng qua I )  Phương trình tiếp tuyến E có hệ số góc: k E   Phương trình tiếp tuyến F có hệ số góc: kF   ad  bc   2d    c   c  xE   d       ad  bc  2d  cxE  d   ad  bc  cxE  d  ad  bc  d  cxE  (1)  ad  bc  cxE  d  (2) Từ (1, 2) suy kE  kF ax  b có đồ thị  C  ,  c  0, ad  bc   Gọi điểm cx  d  C  , biết tiếp tuyến  C  điểm M cắt trục Ox, Oy Bài toán 2.2: Cho hàm số: y  M  x ; y0  A, B cho OA  n.OB Khi x0 thoả: cx0  d   n ad  bc Hướng dẫn giải:  Xét hàm số y  ad  bc ax  b ,  c  0, ad  bc   Ta có y '  cx  d  cx  d     ax  b  Gọi M  x ;    C  điểm cần tìm Gọi  tiếp tuyến với  C  M ta có cx0  d   ax  b ax  b ad  bc y ( x  x0 )  phương trình  : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  cx0  d cx0  d  cx0  d   acx02  2bcx0  bd  Gọi A    Ox  A   ;0  ad  bc    acx  2bcx  bd  0 B    Oy  B  0;    cx  d      Ta có acx02  2bcx0  bd acx02  2bcx0  bd OA   ad  bc ad  bc OB  acx02  2bcx0  bd  cx0  d   acx02  2bcx0  bd  cx0  d  (vì A, B khơng trùng O nên acx02  2bcx0  bd  )  Ta có OA  n.OB   acx02  2bcx0  bd ad  bc  n acx02  2bcx0  bd  cx0  d  1  n   cx0  d   n ad  bc  cx0  d   n ad  bc ad  bc  cx0  d  Các em bắt đầu theo dõi phần trắc nghiệm Bắt đầu làm từ dễ đến khó C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI I NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  3x  điểm A  3;1 A y  x  26 B y  9 x  26 C y  9 x  D y  x  Hƣớng dẫn giải: Tính y '  3x  x  y '  3   pttt : y  x  26 Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm B 1; 2  A y  4 x  B y  x  C y  4 x  D y  x  Hướng dẫn giải: Tính y '  x3  x  y ' 1  4  pttt : y  4 x  HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai Hƣớng dẫn giải 2 1 5  Ta có y  3x  x   3( x  x  )    x      y ,  3 3  x  x0  , Câu 36 Cho hàm số y  3x có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục hồnh góc 600 có x 1 phương trình  y   3x  A   y   3x  y  3x  B   y  3x  y   3x  C   y  3x  y   3x  D   y   3x Hƣớng dẫn giải Ta có y ,    0, x  Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 )  (C ) tạo với Ox góc 600 ( x  1)2 y 0  y , ( x0 )   tan 60     y , ( x0 )    ,     ( x0  1)2  ( x0  1)  y   3x   x   y0     x0   y0   y   3x Câu 37 Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  (1) , m tham số Kí hiệu (Cm ) đồ thị hàm số (1) K điểm thuộc (Cm ) , có hồnh độ 1 Tìm tất giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm ) điểm K song song với đường thẳng d : 3x  y  A m  B m  1 C m  1 m   D m   Hƣớng dẫn giải Ta có y ,  3x  6mx  3(m  1) Do K  (Cm ) có hồnh độ -1, suy K  1; 6m  3 Khi tiếp tuyến K có phương trình:  : y  y, (1)( x  1)  6m    : y  (9m  6) x  3m  Đường thẳng  song song với đường thẳng d 9m   3 m  1  3x  y   y  3x     m  3m   m  1 mx  m  có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ -1 vng góc với đường thẳng có phương trình x  y   Khi giá m Câu 38 Cho hàm số y  x  A m  1 B m  C m   13 D m   11 Hƣớng dẫn giải Ta có: y '  x  mx đường thẳng x  y   viết thành y  1 x 3 Theo ta có: y '  1  3  4  m  3  m  1 Câu 39 Cho hàm số y  x  có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến d đồ thị (C) vng góc với đường thẳng y  3x  2017 Hỏi hoành độ tiếp điểm d (C) ? A 4 C  B D - Hƣớng dẫn giải Ta có: y '  Gọi x0 hoành độ tiếp điểm d (C) 2x  Theo ta có: y '  x0   1    x0    x0  x0  Câu 40 Cho hàm số y  3x  x có đồ thị (C) Từ điểm M 1;3 kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A B C D Hƣớng dẫn giải Đường thẳng qua M 1;3 có hệ số góc k có dạng: y  k  x  1  d  Điều kiện để  d  tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  3x  x  k  x  1  1 Thay vào ta được:   3  12 x  k   x  k  3x  x    12 x   x  1   x  12 x    3 x   k  24  Vậy có tiếp tuyến HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai Câu 41 Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N 1;  (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M Khi tọa độ điểm M A M  2; 8 C M  0;  B M  1;0  D M  2;12  Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận] Ta có y '  3x   y ' 1  , suy tiếp tuyến N 1;  là:  : y  x Phương trình hồnh độ giao điểm  (C) là: x  x  x   x  x  3x      x  2  y  8 [Phƣơng pháp trắc nghiệm] b xN  xM   (Với y  ax  bx  cx  d hàm số ban đầu) a   xM   xM  2  M  2; 8 Câu 42 Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M  1; 2  Khi tọa độ điểm N A 1;  B  2;5  C  1; 4  D  0;1 Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận] Đường thẳng  qua điểm M  1; 2  có hệ số góc k có dạng  : y  k  x  1   tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:   x  x  x   k  x  1  1 Thay vào ta được:  x  x   k      x  1 x3  x  x    3x  x  1  x  1    x  1  x  1    x  1 y   N 1;  [Phƣơng pháp trắc nghiệm] x N  xM   b (Với y  ax  bx  cx  d hàm số ban đầu) a  xN  (1)   xN   N 1;  Câu 43 Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x  có đồ thị (C) Với giá trị m tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 qua A 1;3 ? 7 B m  C m   D m   9 Hƣớng dẫn giải Ta có: y '  3x  6mx  m  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến cần lập A m   y '  1   5m  Khi x0  1   suy phương trình tiếp tuyến là:   y0  m   : y    5m  x  1  2m  Do A 1;3       5m 1  1  2m   m  xm có đồ thị (C) Với giá trị m thi tiếp tuyến (C) x 1 điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y  3x  Câu 44 Cho hàm số y  A m  B m  C m  2 Hƣớng dẫn giải Ta có: y '  1 m  x  1 y '  0    m   m  D m  HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai III CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO x có đồ thị (C) gốc tọa độ O Gọi  tiếp tuyến (C), biết x 1  cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân Phương trình  A y  x  B y  x  C y  x  D y  x Câu 45 Cho hàm số y  Hƣớng dẫn giải Ta có y '   x  1  0, x  1 Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy y ' 0 y '  x0   1   y '  x0     x0  1  x0  1   x0  2  Với x0   y0  ( Loại M  0;0   O )  Với x0  2  y0  , suy phương trình tiếp tuyến  : y  x  Câu 46 Cho hàm số y   x  x  có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình  y  36 x  58 A   y  36 x  58  x  36 y   C   x  36 y    y  36 x  86 B   y  36 x  86  x  36 y  14  D   x  36 y  14  Hƣớng dẫn giải Do OB  36  y , ( x0 )  36 OA  Với y, ( x0 )  36  4 x3  x0  36  x03  x0  36   x0   y0  y(2)  14 Suy tiếp tuyến y = -36x + 58  Với y, ( x0 )  36  4 x3  x0  36  x03  x0  36   x0  2  y0  y(2)  14 Suy tiếp tuyến y = 36x + 58 Câu 47 Cho hàm số y  x 1 có đồ thị  C  Gọi điểm M  x ; y0  với x0  1 điểm  x  1 thuộc  C  , biết tiếp tuyến  C  điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x  y  Hỏi giá trị x0  y0 ? A  B C D  Hƣớng dẫn giải  x 1   Gọi M  x ;    C  điểm cần tìm   x0  1    Gọi  tiếp tuyến  C  M ta có phương trình  : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  x0  x 1 y ( x  x0 )  2( x0  1) 2( x0  1)  x0  1  x  x0    x  x0   ;0  B    Oy  B  0;  Gọi A    Ox  A       2( x0  1)   Khi  tạo với hai trục tọa độ  OAB có trọng tâm là:  x  x0  x02  x0   G ;  6( x  1)    Do G  đường thẳng: x  y   4 4  x0  1 x02  x0  x02  x0   0 6( x0  1)2 (vì A, B khơng trùng O nên x02  x0   ) 1    x0    x0     x    x    2   Với x0   1  M ( ;  ) 2  Với x0   3  M ( ; ) 2 Chọn M (  ;  )  x  y0   2 Câu 48 Cho hàm số y  x  2mx  m (1) , m tham số thực Kí hiệu (C) đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách 3  từ điểm B  ; 1 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn 4  A m  B m  1 C m  D m  2 HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai Hƣớng dẫn giải  A   Cm  nên A 1;1  m  y '  x  4mx  y ' 1   4m  Phương trình tiếp tuyến  Cm  A: y   m  y  1  x  1    4m  x  y  1  m   1  Khi d  B;    16 1  m    , Dấu ‘=’ xảy  m   Do d  B;   lớn m  2x  có đồ thị  C  Có tiếp tuyến đồ thị  C  x 1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x  y   Câu 49 Cho hàm số y  A B.3 C D Hƣớng dẫn giải  Giả sử M  x0 ; y0   C   y0   Ta có: x0  x0  d  M , d1    3x0  y0  32  42   3x0  y0  12  3x0  y0    2x    Với 3x0  y0  12   3x0     12    x0    x0   M  0;3   x   M  ; 11     3  7    x0  5  M  5;   x0    Với 3x0  y0    3x0   8   x  4       x0    M   ; 1 Suy có tiếp tuyến 2x  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận  C  Tìm x 1 điểm M thuộc  C  có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến  C  M vng góc với Câu 50 Cho hàm số y  đường thẳng MI A M  2;3  5 B M  3;   2 Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận  7 C M  4;   3 D M  5;3 2a  ,  a  1 a 1 2a   Phương trình tiếp tuyến  C  M y   x  a   (a  1) a 1  Giao điểm hai tiệm cận I 1;  Gọi M  a; b    C   b   Phương trình đường thẳng MI : y  ( x  1)  (a  1)2  Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có:   a  1  a  1 2 a   b   1   a   b  Vậy điểm cần tìm M  2;3 [Phƣơng pháp trắc nghiệm] Gọi M  x0 ; y0   C  , điểm M thoả u cầu tốn có hồnh độ tính sau:  x0   y0  Vậy M  2;3  x0     1   1  x0   1    x0  ( L) x  có đồ thị  C  , đường thẳng d : y  x  m Với m ta 2x  ln có d cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến Câu 51 Cho hàm số y  với  C  A, B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn A m  1 B m  2 C m  D m  5 Hƣớng dẫn giải  Phương trình hồnh độ giao điểm d (C):  x  x   xm   2x   g  x   x  2mx  m   (*)   Theo định lí Viet ta có: x1  x2  m; x1 x2   Ta có y  1  x  1 m  Giả sử: A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   Tiếp tuyến  C  A B có hệ số góc là: k1    k1  k2  k1  k2    x1  1 ; k2    x2  1 4( x12  x22 )  4( x1  x2 )  1    (2 x1  1)2 (2 x2  1) 4 x1 x2  2( x1  x2 )  1    4m  8m    4  m  1   2 2 HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  Dấu "=" xảy  m  1 Vậy: k1  k2 đạt GTLN 2 m  1 x2 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 , biết 2x  tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O A y   x  B y   x C y   x  D y   x  Câu 52 Cho hàm số y  Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]  Gọi M  x0 ; y0  toạ độ tiếp điểm  y ( x0 )  1  x0  3   OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng y   x (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm Nghĩa là: y  x0   1  x0  3  x0  1  y0    1   x0  2  y0   Với x0  1; y0   : y     x  1  y   x (loại)  Với x0  2; y0   : y     x    y   x  (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  [Phƣơng pháp trắc nghiệm]  Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA  OB  n  acx02  2bcx0  bd   x02  x0    x0  1; x0  3  x0  1  L  cx0  d   n ad  bc  x0    1    x0  2  N   Với x0  2; y0   : y     x    y   x  (nhận) 2x  ,  C  Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  cho tiếp x 1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA  4OB Câu 53 Cho hàm số y   y   x  A  13 y   x   4  y   x  B  13 y   x    y   x  C  13 y   x    y   x  D  13 y   x   4 Hƣớng dẫn giải  Giả sử tiếp tuyến d  C  M ( x0 ; y0 )  (C ) cắt Ox A , Oy B cho OA  4OB  Do tam giác OAB vuông O nên tan A  OB 1   Hệ số góc d OA 4   Hệ số góc d y  x0     x0  1 0  x0  1    x0  1  y0    x   y      y    x  1  y   x   Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:    y    x  3   y   x  13  4  Câu 54 Cho hàm số y  x có đồ thị  C  Gọi  tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0  (với x 1 x0  ) thuộc đồ thị  C  Để khoảng cách từ tâm đối xứng I đồ thị  C  đến tiếp tuyến  lớn tung độ điểm M gần giá trị ? A  B 3 C 5 D 7 Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận] 1  Ta có: y  ; I 1;1  x  1  x   Gọi M  x0 ;    C  ,  x0  1 Phương trình tiếp tuyến M có dạng:  x0   : y   x ( x  x0 )   x  ( x0  1)2 y  x02  ( x0  1) x0  HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  d  I ,   x0  1   x0  1   x0  1    x0  1 2  2  Dấu "  " xảy khi:  x0  1  x0   y0   N    x0  1  x0     x  L    [Phƣơng pháp trắc nghiệm]  x0   y0   N  Ta có IM    cx0  d   ad  bc  x0    1     x0   L  2x 1 có đồ thị  C  Biết khoảng cách từ I (1; 2) đến tiếp tuyến x 1  C  M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai gần giá trị ? Câu 55 Cho hàm số y  A e B 2e C 3e D 4e Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]  Ta có: y   x  1  2x 1   Gọi M  x0 ;    C  ,  x0  1 Phương trình tiếp tuyến M là: x0    y  d  I ,   2x 1 ( x  x0 )   3x  ( x0  1)2 y  x02  x0   ( x0  1) x0  x0   ( x0  1)   ( x0  1)2 ( x0  1)    Dấu "  " xảy khi:  x0  1   y0    L  2   ( x  1)  x      0 ( x0  1)2  x0  1   y0    N  [Phƣơng pháp trắc nghiệm] Ta có IM    cx0  d   ad  bc  x0      x0  1   y    L    x0  1   y    N  Câu 56 Cho hàm số y  2x  có đồ thị  C  Biết tiếp tuyến M  C  cắt hai tiệm cận x2  C  A , B cho AB ngắn Khi độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? A B C D Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]  2x    Gọi M  x0 ;    C  ,  x0   Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0    1 : y   ( x  x0 )   ( x0  2) x0     Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  2;   x     Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B  x0  2;2    1 2  Ta có: AB   x0     Dấu "  " xảy  x0    2  x0     x0     x0   y0   OM  3;3  OM   N    x   y   OM 1;1  OM   L   [Phƣơng pháp trắc nghiệm]  AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến  M ngắn  xM   yM   IM    cxM  d   ad  bc  xM    4     xM   yM   OM  x2 có đồ thị  C  Phương trình tiếp tuyến  đồ thị hàm số  C  x 1 tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn Khi Câu 57 Cho hàm số y  khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C  đến  ? A B C D Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]  x 2  Gọi M  x0 ;    C  ,  x0  1 , I  1;1 Phương trình tiếp tuyến M có x0    x 2 dạng:  : y  ( x  x0 )  x0   x0  1 HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai  x 5  Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  1;  x0     Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B  x0  1;1  Ta có: IA  , IB  x0   IA.IB  12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp x0   IAB là: SIAB  pr r  S IAB IA.IB IA.IB IA.IB    2 3 p IA  IB  IC IA  IB  IA2  IB 2 IA.IB  2.IA.IB  x  1   y0    Suy rmax    IA  IB  x0     M  xM  1   y0    IM   3;   IM  [Phƣơng pháp trắc nghiệm]  IA  IB   IAB vuông cân I  IM    x  1   yM    cxM  d   ad  bc  xM       M  xM  1   yM    IM  Câu 58 Cho hàm số y  2x 1 có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến x 1   C  cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến  gần giá trị ? A.5 B C D Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]    Gọi M  ;     C  ,  x0  1 Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0    3 : y  ( x  x0 )   x0   x0  1    Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A 1;   x0     Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B  x0  1;   Ta có: SIAB  1 IA.IB    x0   2.3  2 x0    IAB vuông I có diện tích khơng đổi  chu vi  IAB đạt giá trị nhỏ IA  IB   x0    x0    x0   x0    Với x0   phương trình tiếp tuyến  : y   x    d  O,    3 N  Với x0   phương trình tiếp tuyến  : y   x    d  O,    3   L [Phƣơng pháp trắc nghiệm] x  1  y    IA  IB  cxM  d   ad  bc  xM    2    M  xM    y   3 N 2x 1 Câu 59 Cho hàm số y  có đồ thị  C  Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp x2 tuyến   C  M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam  d  O,    giác IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến   C  tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng ? A  27; 28 B  28; 29  C  26; 27  D  29; 30  Hƣớng dẫn giải [Phƣơng pháp tự luận]  2x 1   Gọi M  x0 ;    C  ,  x0   Phương trình tiếp tuyến M có dạng: x0    2x 1 : y   ( x  x0 )  ( x0  2) x0   2x    Giao điểm  với tiệm cận đứng là: A  2;  x0     Giao điểm  với tiệm cận ngang là: B  x0  2;   xA  xB   x0   x0   Xét   M trung điểm AB x0  2 x0  y  y     y A B  x0  x0     IAB vuông I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai   x0       S   R   IM   ( x0  2)        ( x0  2)2   6 2 ( x0  2)    x0      x0    y0  32  Dấu "  " xảy ( x0  2)2    ( x0  2)  x0     y0    2  Với x0      : y   x   cắt trục tọa độ    E 0;  , F  4;  SOEF  OE.OF  14   27,8564  Với x0      : y   x   cắt trục tọa độ     E 0;   , F   4;  SOEF  OE.OF  14   0,1435 [Phƣơng pháp trắc nghiệm]  IM lớn  IM    cx0  d   ad  bc  x0    4   x0    y0  32 Giải tương tự   x0     y0    ... góc tiếp tuyến dạng sau:  Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  hệ số góc tiếp tuyến k  a  Tiếp tuyến d   : y  ax  b  hệ số góc tiếp tuyến k    a  Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc  hệ số. .. phương trình tiếp tuyến d : y  3x  14 Dạng Viết phƣơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  f  x  biết tiếp tuyến qua A  xA ; y A  Phƣơng pháp Cách o Bƣớc 1: Phương trình tiếp tuyến qua...  y  x     ab  36 b  Câu 35 Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến (C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A B C D HỌC LIVE STREAM TẠI FB thayhoanghai