Thống kê lượng tử và áp dụng một số bài toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ  PHẠM THỊ HÀ THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S LÊ KHẮC QUYNH Hà Nội, 2014 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi LỜI CẢM ƠN Qua thời gian thực đề tài bƣớc đầu hiểu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hiểu đƣợc số vấn đề vật lý thống kê áp dụng giải đƣợc số toán Mặc dù cố gắng nhƣng khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi chân thành cảm ơn thầy cô bạn đọc ý kiến đóng góp để khóa luận ngày hồn thiện Trong thời gian thực đề tài tơi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô khoa Vật lý bạn bè đặc biệt thầy giáo Th.S Lê Khắc Quynh giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Khóa luận đƣợc hoàn thành với nỗ lực thân hƣớng dẫn tận tình Th.S LÊ KHẮC QUYNH Khóa luận kết nghiên cứu tơi, khơng trùng với đề tài khác Tất kết trình bày khóa luận hồn tồn trung thực Tơi xin chịu trách nhiệm kết nghiên cứu Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Hà Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 1.1 Áp dụng phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử 1.2 Phân bố tắc lƣợng tử 1.3 Thống kê Bose - Einstein 12 1.4 Thống kê Fecmi - Đirac 13 1.5 Thống kê Maxweell - Boltzmann 13 1.6 So sánh phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein Fecmi - Đirac 14 CHƢƠNG ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU 17 HỆ LƢỢNG TỬ 17 2.1 Dao động tử lƣợng tử 17 2.1.1 Phổ lượng dao động tử 17 2.1.2 Tổng trạng thái nội dao động tử 17 2.2 Hệ rotato lƣợng tử 19 2.2.1 Phổ lượng rotato 19 2.2.2 Tổng trạng thái nội rotato 20 2.3 Nhiệt dung chất khí nhiệt độ đặc trƣng 22 2.3.1 Nhiệt dung gắn với chuyển động tịnh tiến 22 2.3.2 Nhiệt dung gắn với chuyển động quay: 23 2.4 Nhiệt dung vật rắn 25 2.4.1 Nhiệt dung vật rắn theo thuyết Einstein 25 2.4.2 Nhiệt dung vật rắn theo thuyết Debye 26 2.5 Áp dụng thống kê Bose - Einsten để nghiên cứu hệ lƣợng tử 29 2.5.1 Nghiên cứu pha ngưng tụ ngưng tụ Bozơ 29 2.5.2 Một số tính chất khác khí Bozơ 32 2.6 Lý thuyết xạ cân xem nhƣ khí photon 33 2.7 Áp dụng thống kê Fecmi - Dirac để nghiên cứu hệ lƣợng tử 36 2.8 Khí electron tính chất từ 38 2.8.1 Khí electron 38 2.8.2 Tính chất từ khí electron 40 CHƢƠNG ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 43 Dạng toán: Các thống kê lƣợng tử 43 Dạng tốn: Tìm hàm phân bố lƣợng tử 48 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mơ nói chung lý thuyết trƣờng lƣợng tử nói riêng tạo nên sở giới quan vật lý để lý giải chất hạt vi mơ mặt cấu trúc tính chất Cùng với phát triển lịch sử loài ngƣời vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng Từ học cổ điển Niuton đến thuyết trƣờng từ điện Macxoen Faraday, ngày vật lý học đại với khuynh hƣớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất ta thấy ngồi quy luật tìm thấy vật lý cổ điển xuất quy luật quy luật thống kê Vật lý thống kê phận vật lý đại nghiên cứu hệ nhiều hạt phƣơng pháp thống kê Khi khảo sát hệ lƣợng tử nhƣ khảo sát hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất trạng thái riêng rẽ Để tìm định luật ngƣời ta đƣa thống kê lƣợng tử Từ việc tìm hiểu thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất hệ lƣợng tử Trên sở đó, tơi lựa chọn đề tài “ Thống kê lượng tử và áp dụng để giải mợt số bài tốn” để nghiên cứu sâu tính chất hệ nhiều hạt Mục đích nghiên cứu - Các thống kê lƣợng tử - Tính chất hệ lƣợng tử - Bài tốn có liên quan Đối tƣợng nghiên cứu - Các thống kê lƣợng tử theo phƣơng pháp Gipxo Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Vật lý lý thuyết Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chƣơng 1: Các thống kê lƣợng tử Chƣơng : Áp dụng thống kê lƣợng tử vào hệ lƣợng tử Chƣơng Áp dụng giải số tập Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 1.1 Áp dụng phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử Trƣớc nghiên cứu việc áp dụng phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử ta xét xem: Các hệ lƣợng tử đƣợc mô tả nhƣ nào? Để mô tả đại lƣợng vật lý khác mối liên hệ chúng , học lƣợng tử ngƣời ta dùng tốn tử tuyến tính tự liên hợp Lˆ tác dụng lên hàm  gọi hàm sóng Tốn tử biểu diễn đại lƣợng định cho ta biết, tác dụng cần phải tiến hành hàm sóng VD: Tốn tử tọa độ  X rõ hàm sóng đƣợc nhân cách đơn giản với tọa độ  X  x  Tốn tử hình chiếu xung lƣợng  rõ cần phải lấy vi px  i x phân hàm sóng theo x  tƣơng ứng với lƣợng toàn phần Trong học lƣợng tử toán tử H hệ 2 2   T  U            U  x H   2m  x y z  Trong học lƣợng tử để diễn tả trạng thái hệ vật lý ngƣời ta dùng phƣơng trình Schrodinger : i    H t Đối với trạng thái dừng phƣơng trình Schrodinger đƣợc viết dƣới dạng sau:   E  H n n Mỗi giá trị riêng En lƣợng tƣơng ứng với hay nhiều trạng thái xác định hệ, diễn tả hay nhiều hàm riêng Nếu mức lƣợng tƣơng ứng với nhiều hàm riêng mức lƣợng nhƣ gọi suy biến, trạng thái ứng với lƣợng E cho gọi độ suy biến hay trọng thống kê g(E) Hàm sóng diễn tả trạng thái hệ phụ thuộc vào tọa độ   q1, q2 , , qN  phụ thuộc vào xung lƣợng   p1, p2 , , pN  Nếu hàm sóng   q1, q2 , , qN  thỏa mãn phƣơng trình Schodinger hàm sóng   q2 , q1, , qN  thứ tự hạt thay đổi, thỏa mãn phƣơng trình đó, đặc tính phản ánh tọa độ riêng lẻ đổi chỗ cho ta không thấy xuất tƣợng Tuy nhiên hạt hoán vị hai hạt đƣợc gọi hàm đối xứng Tính đối xứng hàm sóng hệ lƣợng tử phụ thuộc vào spin hạt cấu thành hệ Nếu hạt cấu thành hệ có spin ngun trạng thái hệ đƣợc diễn tả hàm sóng đối xứng Nếu hạt cấu thành hệ có spin bán ngun trạng thái hệ đƣợc diễn tả hàm sóng phản đối xứng Tính đối xứng hàm sóng xác định trạng thái khả hữu hệ, dẫn tới hai loại thống kê lƣợng tử: Thống kê Fecmi - Dirac, thống kê Bose Einstein Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Các hạt có spin bán ngun tn theo ngun lí Pauli, hệ khơng thể có hai hạt nằm trạng thái lƣợng tử Nhiệm vụ vật lý thống kê lƣợng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt mô tả phƣơng pháp học lƣợng tử.cũng nhƣ trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển,trạng thái vi mô hệ lƣợng tử thực tế chƣa biết với Phƣơng trình Srodingo cho phép ta tìm đƣợc phổ trạng thái khả hữu hệ Còn trả lời câu hỏi: thời điểm cho, hệ lƣợng tử nằm trạng thái nào? Cũng nhƣ trƣờng hợp cổ điển, để trả lời câu hỏi ta phải xét tập hợp trạng thái vi mơ khác tƣơng thích với điều kiện bên định (tập hợp thống kê lƣợng tử) Sau đó, dựa vào trạng thái khả hữu hệ phƣơng pháp thống kê, ta xác định đƣợc xác suất trạng thái, đó, xác định đƣợc trị trung bình thông số trạng thái thông số vi mơ khác hệ Nói khác đi, khảo sát hệ lƣợng tử nhƣ khảo sát hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất trạng thái riêng lẻ Để tìm định luật phân bố thống kê lƣợng tử, ngƣời ta dùng phƣơng pháp: phƣơng pháp Gipxo 1.2 Phân bố tắc lƣợng tử Phƣơng pháp Gipxo mà ta xét vật lý thống kê cổ điển áp dụng để nghiên cứu hệ lƣợng tử, nhiên, đặc tính hạt vi mơ hệ lƣợng tử, nên áp dụng phƣơng pháp ta cần có thay đổi thích hợp Lập luận giống nhƣ trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển, ta tìm thấy rằng, hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm trạng thái có lƣợng Ek   Ek  Wk  exp      (1.1) Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Ta biết thống kê Bose - Einstein, Fecmi - Dirac chuyển thành thống kê Maxwell - Boltzmann thỏa mãn điều kiện     exp     kT  Với giá trị lƣợng electron  dẫn đến điều kiện e   kT  Ta tính đƣợc số hạt tồn phần: 4Vm  / kT  kT N   dn  e  e  d h3    2 mkT  kT  Ve   h  3/2 ta có: e   / kT  2 mkT     h  3/2 V N Nghĩa điều kiện ứng dụng thống kê cổ điển có dạng:  2 mkT     h  3/2 V  N Khoảng cách trung bình hạt d  n1/3 với n   2 mkT  n     h  N V 3/2 hay d  Vì h  2kTm h   bƣớc sóng Đơ Broi, điều kiện nhận đƣợc có ý mv nghĩa: thống kê cổ điển ứng dụng đƣợc trƣờng hợp khoảng cách trung bình hạt lớn bƣớc sóng Đơ Broi nhiều 45 Bài tập Giả sử chất khí lí tƣởng lƣợng tử (gồm N hạt đựng thể tích V) tuân theo thống kê Maxweell - Einstein       n( )  exp     exp   kT    kT  Hãy tìm số pha ngun tố không gian  phần tử, tức số trạng thái vi mơ phân tử đó, tƣơng ứng với khoảng lƣợng từ  đến +d, biết thể tích pha ngun tố h3 Tìm số hạt có lƣợng khoảng d dựa vào biểu thức số hạt tổng cộng N, tìm α Tìm lƣợng tồn phần (trung bình) chất khí, từ suy lƣợng trung bình phân tử Giải Ta tích pha phân tử khí lí tƣởng là: 0  4 (2m)3/2V  3/2 Do thể tích khơng gian pha  ứng với khoảng lƣợng d là: 0  4Vm 2m d Và số ô pha d 0 4Vm 2m d   h3 h3 Số hạt có lƣợng khoảng d là: 2V (2m)3/2 1/2    dn   exp    d h kT   Số hạt tổng cộng là:   2V (2m)3/2    N   dn  exp    1/2 exp   d  h  kT  0 Áp dụng tích phân Pốtxong 46 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi    x2   3/2 x exp dx   ,   0    ta đƣợc (2mkT )3/2 N exp V , h3 từ  V  2 mkT 3/2    ln   N h   Ta có 2V  2m  E    dn  h3  3/2     exp   3/2 exp   d   kT  biết    y2   x 5/2 0 x exp    dx  20 y exp    dy    3/2 ta đƣợc: 2V (2m)3/2 3( KT )5/2 h3 N  E  NkT 4h3 (2 mkT )3/2V Từ đó, phân tử ta có = kT , nghĩa trùng với kết cổ điển     Bài tập Nhận xét điều kiện exp    hay     kT đƣợc thỏa mãn  kT  nhƣ    exp    exp   1,  kT  dựa vào kết tập chứng minh điều kiện 47 V  2 mkT    M  h2  3/2 1 Giải Theo tập ta có đƣợc:  V  2 mkT 3/2    ln   N h   V  2 mkT  exp    N h3 3/2 từ V  2 mkT  exp    N h3 3/2 1 (đpcm) Dạng tốn: Tìm hàm phân bố lƣợng tử Bài tập Tính tổng thống kê quay lƣợng tử (rotato) Xét trƣờng hợp giới hạn nhiệt độ thấp nhiệt độ cao h2 T  Td  8 Ik Giải: Năng lƣợng ứng với trạng thái l Rotato El  h2 8 I l (l  1) Vì trạng thái Rotato bị suy biến (2l+1) lần, nên theo công thức     Z   exp  i g ( i ) nên tổng trạng thái Rotato  kT  i 0   h 2l (l  1)   E   Z q    2l  1 exp  l     2l  1 exp     kT  l 0 l o  8 IkT  48 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Đối với nhiệt độ thấp momen quán tính I nhỏ, tổng thu số hạng: lim Z q  3c  h 4 IkT 1 T 0 Còn với T >> Td = h 8 Ik mức lƣợng coi nhƣ liên tục, ta thay đổi tổng tích phân:  Zq=  (2l  1)e  h 2l ( l 1) 8 IkT dl  8 IkT T  h2 Td Bài tập Tìm lƣợng trung bình nhiệt dung hệ N hạt không tƣơng tác hai trạng thái lƣợng tử khơng suy biến  o  i Giải Tổng thống kê 0       i     kT   kT0  kT Z   e  e   e 1  e kT      N TC  Đặt 1   k , ta có Z  e  N kT      N Tc   T 1  e    N Vậy T  c  ln Z E  kT  N   NkTe T T e Tc T 1  C 2  T   C  CV  Nk0  C  e T 1  e T  T    T T Bài tập Chứng minh nhiệt độ cao T>>Tc, nội vật rắn tuân theo công thức U Nhmax  3NkT  NkTc 49      a  4  1/3 max Giải Ta biết tổng trạng thái dao động tử có tần số dao động  có dạng  h  exp   2kT   Z     h   exp    kT  Trong vật rắn có 3N sóng đứng độc lập có tần số từ đến max Vậy: ln Z  max  ln Z   dn Ta biết dn  Còn v3  x  v dv, 4V 3max 3N ln Z     Đổi biến số 12V h   h    ln 1  2exp    2kT  kT    h h đặt TC  max k kT thay vào tích phân, ta đƣợc T  ln Z  N    TC  3/2 TC T   x3 x     x n l 1  e  dx   Tích phân thứ ta tính đƣợc: T  N  Tc  ln Z    N     T   Tc  TC Đối với nhiệt độ cao, cách gần ta có: 50 T  x 2nl (1  e x )dx Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi TC T  TC x nl (1  e x )dx  T  x nlxdx 1T  T 1T    C  ln C   C  3 T  T 9 T  Từ nội U  kT  ln Z NkTc  3NkT  T Nếu kể đến phần lƣợng Eo vật rắn Eo  NkTc Nhmax  3NkT  ta có: U Nhmax  3NkT  NkTc Bài tập Tính lƣợng tự do, nội Entropi hệ rotato lƣợng tử T >> Td Giải Năng lƣợng ứng với trạng thái l rotato là: El  h 2l (l  1) 8 2l Vì trạng thái rotato bị suy biến (2l+1) lần, nên theo thống kê Maxweell - Boltzmann tổng trạng thái là:  h2l (l  1)   El   Z q    2l  1 exp      2l  1 exp     kT  l 0 l o  8 IkT   h2 Với T  Td  , phân bố lƣợng rotato theo mức có 8 Ik thể xem liên tục theo l nên ta thay tổng tích phân 51   h2l (l  1)  8 IkT T Z q    2l  1 exp    dl  h2 Td  8 IkT  Năng lƣợng tự do: 8 2lkT    NkT ln Z q   NkT ln h2 Entropi:   h2 S    ( NkT ln Z q )  Nk (1  ln ) T T 8 lkT Nội năng: U    TS  8 IkT 8 IkT  U   NkT ln  NkT 1  ln  h2 h2    U  NkT Bài tập Hãy tính nhiệt độ đặc trƣng quay phân tử HF có momen qn tính I = 1,37.10-47 kgm2 Giải Áp dụng công thức: Tq  h2 8 Ik với: h = 6,625.10-34 J.s I = 1.37.10-47 kg.m2 k = 1.38.10-23 Thay số ta có: Tq = 29K 52 J K Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Bài tập Hãy tính nhiệt độ đặc trƣng dao động phân tử HCl có tần số dao động riêng   0,875.1014 Hz Giải Áp dụng công thức: Tdd  h 6,625.1034.0,875.1014   4200 K k 1,38.1023 Bài tập Hãy xác định cách gần vận tốc âm kim cƣơng Biết nhiệt độ Debye kim cƣơng Tc= 1860K, a = 1,54Ao Giải Áp dụng công thức: h h   Tc ka Tc  m      k ka  4   3 h   4  Thay số :  Tc ka   h   4   1860.1,38.1023.1,54.1010   6,625.1034    4   12.103 m/s Bài tập Tính tổng thống kê quay lƣợng tử (rotato) Xét trƣờng hợp giới hạn nhiệt độ thấp nhiệt độ cao h2 T  Td  8 Ik Giải: Năng lƣợng ứng với trạng thái l Rotato El  h2 8 I l (l  1) Vì trạng thái Rotato bị suy biến (2l+1) lần, nên theo công thức 53     Z   exp  i g ( i ) nên tổng trạng thái Rotato  kT  i 0   h2l (l  1)   E   Z q    2l  1 exp  l     2l  1 exp     kT  l 0 l o  8 IkT  Đối với nhiệt độ thấp momen quán tính I nhỏ, tổng thu số hạng: lim Z q  3c  h 4 IkT 1 T 0 Còn với T >> Td = h 8 Ik mức lƣợng coi nhƣ liên tục, ta thay đổi tổng tích phân:  Zq=  (2l  1)e  h 2l ( l 1) 8 IkT 8 IkT T dl   h2 Td Bài tập Chứng minh nhiệt độ cao T>>Tc, nội vật rắn tuân theo công thức U Nhmax  3NkT  NkTc      a  4  1/3 max Giải Ta biết tổng trạng thái dao động tử có tần số dao động  có dạng  h  exp   2kT   Z     h   exp    kT  Trong vật rắn có 3N sóng đứng độc lập có tần số từ đến max Vậy: 54 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi ln Z  max  ln Z   dn Ta biết dn  Còn v3  ln Z      v dv, 4V 3max 3N h   h    ln 1  2exp    2kT  kT    h h đặt TC  max k kT x Đổi biến số 12V thay vào tích phân, ta đƣợc T  ln Z  N    TC  3/2 TC T   x3 x     x n l 1  e  dx   Tích phân thứ ta tính đƣợc: T  N  Tc  ln Z    N     T   Tc  TC T  x 2nl (1  e x )dx Đối với nhiệt độ cao, cách gần ta có: TC T  TC x nl (1  e x )dx  T  x nlxdx 1T  T 1T    C  ln C   C  3 T  T 9 T  Từ nội U  kT  ln Z NkTc  3NkT  T Nếu kể đến phần lƣợng Eo vật rắn 55 Eo  NkTc Nhmax  3NkT  U Nhmax  3NkT  NkTc ta có: Bài tập 10 Tính tổng thống kê hệ N dao động tử điều hòa chiều độc lập Giải Ta có Z = (Zdđ)N,  Zdđ=  E  exp  kT ; E n 1   h  n   2   h  exp   2kT   Zdđ   h   exp    kT  Ở ta tính tổng cấp số nhân vô hạn giảm dần   h   exp  kT n n 0  h  Công bội q  exp   , số hạng a = theo công thức:  kT  S a 1 q Bài tập 11 Phổ lƣợng photon có dạng: E (q)  cq   Trong q vecto sóng ; q  q Tính lƣợng tự entropi khí photon Giải Thế hóa học  khí photon không nên 56 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi F=  N  pV   pV h    pV  kT  ln 1  e kT  i   Ta lại có Tổng theo i thực chất tổng theo tất giá trị vecto sóng q thay tích phân 4Vp dp 4V 3 p 2dp 4Vp 2dp dN (q)    h3 h3  2  Nếu kể đến hai phƣơng phân cực photon, ta có  cq   4 q kT pV  kT  ln 1  e  Vdq      KT  V    ln 1  e x  x3dx,    c  KT  V  x3   dx,  x   c  e  x cq kT 4 Giá trị tích phân nên ta có 15 pV   F  V Trong    2k 153c3  (kT )  45(c)  VT số Stephan - Bonxoman 4 VT  F  Ta tìm đƣợc entropi S       T V 57 KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài: “Các thống kê lượng tử áp dụng để giải số toán ” hoàn thành nhiệm vụ đề Nghiên cứu thống kê lƣợng tử Áp dụng thống kê lƣợng tử để nghiên cứu tính chất hệ lƣợng tử Đặc biệt từ việc nghiên cứu thống kê lƣợng tử, đề tài đƣa số ứng dụng vật lý nhƣ: Cơ học lƣợng tử, vật lý chất rắn… 58 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1999), Vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Đỗ Xuân Hội (2005), Vật lý thống kê Nhiệt động lực học thống kê, NXB ĐHSP HCM [3] Vũ Thanh Khiết (1996), Giáo trình nhiệt động lực học vật lý thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Mình (1998), Bài tập vật lí lí thuyết tập 2, NXB ĐHQG Hà Nội [5] Landao L D and Lifshitz E M (1973), Statistical Physics ( Bản dịch tiếng Việt), Nxb KH&KT Hà Nội [6] Kompanheetx A X (1981), Giáo trình Vật lý lý thuyết tập 2-Các định luật thống kê, NXB ĐH&THCN Hà Nội 59 ... CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 1.1 Áp dụng phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử Trƣớc nghiên cứu việc áp dụng phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử ta xét xem: Các hệ lƣợng tử đƣợc mô tả nhƣ nào?... Các thống kê lƣợng tử Chƣơng : Áp dụng thống kê lƣợng tử vào hệ lƣợng tử Chƣơng Áp dụng giải số tập Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG... phi phi CHƢƠNG ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU HỆ LƢỢNG TỬ 2.1 Dao động tử lƣợng tử 2.1.1 Phổ lượng dao động tử Năng lƣợng dao động tử điều hòa tuyến tính với tần số  lấy trị số: En  h (n