tailieupro com phân tích sai lầm khi học chương khảo sát hàm số trần trường sinh

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" I Cơ sở lý luận Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - Ban bản) Học sinh cần nắm số vấn đề sau (liên quan đến nội dung phạm vi nghiên cứu đề tài) 1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số:  Hàm số y = f(x) đồng biến khoảng K với x1, x2 thuộc K, x < x2  f(x1) < f(x2)  Hàm số y = f(x) nghịch biến khoảng K với x 1, x2 thuộc K, x < x2  f(x1) > f(x2) 1.2 Tính chất hàm số đồng biến, nghịch biến: http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  Nếu f(x) g(x) hai hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D tổng f(x) + g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với hiệu f(x) - g(x)  Nếu f(x) g(x) hai hàm số dương, đồng biến (hoặc nghịch biến) D tích f(x)g(x) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) D Tính chất nói chung khơng với tích f(x)g(x) f(x) g(x) hai hàm số không dương D 1.3 Cơng thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y  u có đạo hàm y ' = .u1 u ' (*)  công thức (*) với số mũ  số http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  Nếu  khơng ngun cơng thức (*) u nhận giá trị dương 1.4 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số hàm số dựa định lí sau:  Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng K (Kí hiệu K khoảng, đoạn nửa khoảng) a Nếu f '(x) > với x  K hàm số f(x) đồng biến K b Nếu f '(x) < với x  K hàm số f(x) nghịch biến K c Nếu f '(x) = với x  K hàm số f(x) khơng đổi K  Quy tắc để xét tính đơn điệu hàm số điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần 1.5 Quy tắc tìm điểm cực trị hàm số dựa hai định lí sau: Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục khoảng K = (x  h; x  h) có đạo hàm K K \ x  , với h > a Nếu f '(x) > khoảng (x  h; x ) f '(x) < khoảng (x ; x  h) x0 điểm cực đại hàm số f(x) b Nếu f '(x) < khoảng (x  h; x ) f '(x) > khoảng (x ; x  h) x0 điểm cực tiểu hàm số f(x)  Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng (x  h; x  h) , với h > Khi đó: a Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > x0 điểm cực tiểu b Nếu f '(x0) = 0, f ''(x 0) < x0 điểm cực đại http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  Quy tắc để tìm điểm cực trị hàm số điều kiện đủ điều kiện cần Do vậy, điều ngược lại nói chung khơng 1.6 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D: f ( x )  m , x  D  f ( x )  M , x  D , M  max f ( x)   D x  D : f ( x )  m  x  D : f ( x )  M m  f ( x)   D  Nếu f (x)  m , x  D (hay f (x)  M , x  D ) không x  D : f ( x0 )  m (hay x  D : f ( x )  M ) dấu "=" khơng xảy Khi đó, khơng tồn giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D  Khi tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số f(x) miền D mà http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ chuyển sang xét giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) cần chuyển đổi điều kiện để toán tương đương 1.7 Về phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x):  Tiếp tuyến điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0  Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, qua điểm M1(x1;y1) có phương trình:  f ( x )  k(x  x1 )  y1 y = k.(x - x 1) + y1 Trong hệ số góc k thỏa mãn hệ:   f '( x)  k (*,*)  Nếu điểm M1(x1;y1) nói thuộc (C) hệ số góc k thỏa mãn hệ (*,*) Trong trường hợp này, số tiếp tuyến nhiều tiếp tuyến Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Sai lầm thường gặp giải toán 1.1 Sai lầm tốn xét tính đơn điệu hàm số, không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số hay khơng ý tới điểm tới hạn hàm số 1.2 Sai lầm toán chứng minh bất đẳng thức, khơng nhớ xác tính đơn điệu hàm số để vận dụng vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến 1.3 Sai lầm việc giải toán liên quan tới đạo hàm, vận dụng sai cơng thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực 1.4 Sai lầm việc giải toán liên quan tới cực trị hàm số, vận dụng sai điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ khoảng (a;b) 1.5 Sai lầm việc giải tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D, chuyển đổi tốn khơng tương đương 1.6 Sai lầm việc giải tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) hàm số Trong thực tế, học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải khó khăn sau: - Khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số khoảng, không hiểu xác định nghĩa điểm tới hạn hàm số http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị điểm x0 - Không nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số miền D - Không nắm vững chất khác tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đồ thị hàm số cho II Nghiên cứu thực tế Phân tích sai lầm thơng qua số ví dụ minh họa 1.1 Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm khơng nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Ví dụ minh họa 1: x 1 x 1 Xét tính đơn điệu hàm số: y  f (x )  Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D   \ 1 Ta có: y '   0, x  D ( x  1)2 Bảng biến thiên:  x  -1 y' + +  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ y  Suy ra: Hàm số đồng biến (; 1)  (1; ) Phân tích: Lời giải rồi, ta khơng ý đến kết luận tốn ! Chú ý rằng: hàm số y = f(x) đồng biến tập D với x1, x2 thuộc D, x < x2  f(x1) < f(x2) Trong kết luận toán, ta lấy x1 = -  D x =  D x1 < x2 f(x 1) = > - = f(x2) ??? Lời giải là: http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Tập xác định: D   \ 1 Ta có: y '   0, x  D ( x  1)2 Bảng biến thiên:  x y'  -1 + +  y  Suy ra: Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; ) Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu hàm số: y  f (x)  x    x Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D  2;  x Ta có: y '   y'   1  x2 x      x  x   x2  x2    x2  x  x http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) ln giữ ngun dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau:  -2 x y' - 2 + - 2 1 -3 y -1 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng ( 2; 2) nghịch biến khoảng (2;  2) ( 2; 2) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn 2;   giá trị hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực -   điểm tới hạn hàm số Lời giải là: Tập xác định: D  2;  y'   1 Ta có: y '   x  x2 x     x2  x   2  x2 4  x  x x x Trên khoảng hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) giữ nguyên dấu, f '(0) > nên ta có bảng biến thiên sau: Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" -2 x 2 y' + - 2 1 y -3 Suy ra: hàm số đồng biến khoảng (2; 2) nghịch biến khoảng ( 2; 2) 1.2 Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản)   Chứng minh rằng: tanx > x, với x  0;  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  2 Một số học sinh trình bày sau:   Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x  0;   2 Ta có: f '(x) =   1  tan x  , x  0;  , suy hàm số f(x) đồng biến  2 cos x   khoảng 0;   2   Từ x >  f(x) > f(0)  tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x  0;   2 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau kết   luận f(x) đồng biến khoảng 0;  từ x >  f(x) > f(0) ???  2   Sai lầm  0;   2 Nhớ rằng: f(x) đồng biến đoạn  a; b  (tức f(x) liên tục  a; b  f '(x)> với x  a; b  ) với x1 , x   a; b  , x1  x  f (x1 )  f (x ) Lời giải là:   Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x   0;   2 Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thông Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Ta có: f '(x) =   1  tan x  , x   0;  , dấu "=" xảy x = 0, suy   cos x   hàm số f(x) đồng biến nửa khoảng 0;   2   Từ x >  f(x) > f(0)  tanx - x > tan0 - hay tanx > x, với x  0;   2  Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ minh họa 4: e Chứng minh với x   , x > - x.e x  Một số học sinh trình bày sau: http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Xét hàm số f(x) = x, g(x) = ex hàm đồng biến  Suy hàm số h(x) = x.ex tích hai hàm đồng biến nên đồng biến  Suy ra, từ x > -  e f(x) > f(-1) hay x.ex  Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải là: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1)  , x 1 , dấu "=" xảy x= -1 Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng 1;  Từ x > -  f(x) > f(-1) hay http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ x.ex  e 1.3 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm hàm số y = (2x+1)x Một số học sinh trình bày sau: Ta có y' = x(2 x  1)x1 (2x  1) '  2x.(2x 1) x1 Phân tích: Lời giải vận dụng công thức u   '  .u 1.u ' Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ  số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Lời giải là: Điều kiện: x  , x  (khi y > 0) Từ y = (2x+1)x  ln y  x.ln(2x 1)  (ln y ) '   x.ln(2 x 1)'  y' 2x  ln(2x 1)  y 2x   2x    y '  (2x  1)x  ln(2 x 1)   2x 1   Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức u   '  .u 1.u ' ,    , quên  khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hoành độ x = - Một số học sinh trình bày sau: Với x = - ta có y  (1)2  Ta có y = x 13 suy y ' = x y '(-1) = 1    2 2  (1)  (1)   (1)    3 3 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  (x  1)  hay y  x  http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết (1)  khơng (!) Lời giải là: Với x = - ta có y  (1)2  Ta có y3 = x2  (y3)'= (x 2)'  3.y2 y ' = 2x  y ' = 2x 2   y '(-1) = 3y 3 x 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   (x  1)  hay y   x  1.4 Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Quy tắc:  y '  , x  (a; b)  hàm số đồng biến khoảng (a;b)  y '  , x  (a; b)  hàm số nghịch biến khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- đồng biến  Một số học sinh trình bày sau: Tập xác định: D =  a   '  y ' = 3x2 - 2mx + Hàm số đồng biến   y '  , x      0    m  m   http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến  , y ' = 3x2  , x   , dấu "=" xảy x= (!) Nhớ rằng: hàm số y = f(x) xác định khoảng (a;b), f '(x)  , x  (a; b ) dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) hàm số y = f(x) đồng biến khoảng (a;b) Lời giải là: a   '  Hàm số đồng biến   y '  , x       0    m m   http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc: f '(x )     x điểm cực tiểu f ''(x )  f '(x )     x điểm cực đại f ''(x )  Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x = ? Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4mx , f ''(x) = 12mx2 f '(0)  4m.0  Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:  hệ vô nghiệm m   f ''(0)  12m.0  Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x = Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' =  x = Bảng biến thiên: x   y' + 0 y - http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/   Suy hàm số đạt cực đại x = (!) Vậy lời giải sai đâu ??? f '(x )  Nhớ rằng, x0 thỏa mãn   x điểm cực đại hàm số, điều f ''(x )  ngược lại chưa (!) Vì x0 điểm cực đại f ''(x0) = Lí điều kiện f ''(x0) < điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), đó: f '(x)  f '(x )  0, x  (x  h; x )  x điểm cực đại hàm số  f '(x)  f '(x )  0, x  (x ; x  h ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Lời giải là:  Cách 1: Ta có y ' = 4mx3 Để hàm số đạt cực đại x = y '(x) > 0, x  (h; 0) , với h > 4mx Tức là:  0  m < h  x  Thử lại, ta thấy với m < điều kiện cần tìm  Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)  m = 0: Ta có y = f(x) = hàm nên hàm số khơng có cực trị  m > 0: Ta có y ' = 4mx , y ' =  x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực tiểu hàm số Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 10 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  m < 0: Ta có y ' = 4mx , y ' =  x = Lập bảng biến thiên ta thấy x0 điểm cực đại hàm số Kết luận: Hàm số đạt cực đại x = m < Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x + mx 3+ Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x = ? Một số học sinh trình bày sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx 4.03 +3m.0 f '(0)  Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là:      f ''(0)   12m.0  6m.0  hệ vô nghiệm m Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x = http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + y ' = 4x3 , y ' =  x = Bảng biến thiên:  x y'  - +   y http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Suy hàm số đạt cực tiểu x = (!) Lời giải là:  Cách 1: f '(x)  0, x  (h; 0) (1) Để hàm số đạt cực tiểu x =  (với h > 0) f '(x)  0, x  ( ; h ) (2) x  (h; 0) x  (h; 0) (1)     4 x  3mx  4x  3m  x  (0; h ) x  (0; h)   4 x  3mx  4x  3m  (2)   x  (h; 0) 3m     m  (1') 3m    x  4  x  (0; h)  3m     m  (2') 3m    x    Từ (1') (2') suy m = Vậy với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 11 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  Cách 2: xét trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)  m = 0: Ta có y = x4 + có y ' = 4x3 , y ' =  x = Bảng biến thiên: x   y' - +   y Suy hàm số đạt cực tiểu x =  m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' =  x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ có cực trị x =  m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' =  x = x = - 3m Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = (nghiệm bội bậc chẵn) Do hàm số khơng có cực trị x = Kết luận: với m = hàm số cho đạt cực tiểu x = 1.5 Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = f(x) = cos x   1   cosx   1   cos x cosx  Một số học sinh trình bày sau: Đặt t = cosx  1  cos x  = t2 - 2 cosx cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - = (t+1)2 -  4, t   Vậy f (x) 4 , t = - Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ hàm g(t), t   Có thể thấy t = - khơng tồn giá trị x để cosx  = - (!) cosx Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 12 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" f ( x )  m , x  D x  D : f ( x )  m Nhớ rằng, số m  f ( x)   D Đặt t = cosx  Lời giải là:  t  cosx    , với x  D   \   k , k   cosx   1  cosx   Dấu "=" xảy cosx = cosx cosx Khi đó: cos x  = t2 - 2 cos x Ta hàm số: g(t) = t2 + 2t - Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t  ): t  g '(t) -1 -2 - -  + +   http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ g(t) -3 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m  f ( x ) = g( t) = - D t 2 Đạt t = -  cosx   2  cosx 1  x   k 2 , k   cosx 1.6 Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) y biết tiếp tuyến qua điểm A(-1;4) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Một số học sinh trình bày sau: A h x = 4 f '(x) = - 3x2 + 6x Ta có điểm A(-1;4)  đồ thị (C) suy phương trình tiếp tuyến là: x y = f '(-1).(x+1)+4  y  9(x 1)   y  9x  Phân tích: -1 O qx = -9 x-5 fx = -x3 +3x2 Phương trình tiếp tuyến y  9x  tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có -5 Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 13 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(-1;4) có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm: x3  3x  k (x  1)   (I)   k  3x  6x  x  3x    x  2, k    x  1, k  9 k  3x  6x  Hệ (I)   Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = y = - 9x - http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y = 2x  1 x b y = x2  x 1 x 1 c y = cosx - sinx Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau cực trị: y= x2  2mx  x m Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: a y = (7  x ) x  c y = sin2x b y = cosx - sinx Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x = 1: http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/  2 y = x3  mx2  m   x   3 Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến  : y= (a 1)x  ax  3a  2 x Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y = x3  3x2  72x  90 đoạn 5;5   3     b y = 2sinx + sin2x đoạn 0; c y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 14 Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/   http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Bài tập 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;0) Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a ex  cos x   x  x2 , x   b ex  ex  ln x  1 x2 , x  x c 8sin  sin 2x  2x, x   0;  Bài tập 9: Cho hàm số y = x  (m 1)x  m  3 x  (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + ba điểm phân biệt Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: x  x  m( x 1) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ có nghiệm thực phân biệt ? http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ Trần Trường Sinh - Trường trung học phổ thơng Phan Đình Giót www.facebook.com/tailieupro Đăng ký thành viên để nhận tài liệu thường xuyên 15 ... http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo. .. http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số" Quy tắc:... http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ http://www .tailieupro. com/ Phân tích sai lầm học chương "Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ thị hàm số"  m