Giai tich to hop Bo sung kien thuc

Tài liệu giúp thầy cô giáo giảng dạy trên lớp bằng cách trình chiếu. Nội dung đầy đủ. chi tiết có đầy đủ ví dụ. Tài liệu tham khảo ở nhiều giáo trình hiện tại đang áp dụng cho giảng dạy cho sinh viên cao đẳng.

I – Tập hợp

II – Ánh xạ

III – Giải tích tổ hợp

Bổ trợ về Tập hợp, Giải tích tổ hợp

I - TẬP HỢP

1 Khái niệm về tập hợp

- Tập hợp (tập) là một khái niệm nguyên thủy (khái niệm cơ bản của Toán học), nó không định nghĩa được mà chỉ được mô tả qua các ví dụ như tập hợp những học sinh trong một lớp học, tập hợp các cầu thủ trong một đội bóng… vv Một cách trực quan, tập hợp

để chỉ các đối tượng được nhóm lại theo một tính chất nào đó

- Một tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa A, B, C, X, Y, Z…; các phần tử ký hiệu là a, b, c, x, y, z…

- Nếu a là một đối tượng của tập hợp A (phần tử của tập hợp A) thì

ta viết a ∈ A, (đọc là a thuộc tập A) nếu không, ta viết a ∉ A, (đọc

là a không thuộc tập A)

- Tập không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng (trống) Ký hiệu

c Biểu diễn bằng sơ đồ Venn

Biểu thị một tập hợp nào đó là một đường cong kín

Số lượng các tập hợp con của một tập hợp X nào đó là 2n, trong đó

X = n Tập tất cả các tập con của tập X ký hiệu là P(X)

b Giao (Intersection) của 2 tập hợp

Giao của 2 tập hợp A và B là tập tạo nên từ các phần tử

vừa thuộc tập A và tập B Ký hiệu A ∩ B Nghĩa là

A ∩ B = x ∈ U| x ∈ A ∧ x ∈ B

c Hợp (union) của 2 tập hợp

Hợp của 2 tập hợp A và B là tập tạo nên từ các phần tử

ít nhất thuộc một trong hai tập Ký hiệu A ∪ B Nghĩa là

B, ký hiệu là CBA

e Tích Descartes (Đề các) của 2 tập hợp

Tích Đề các của 2 tập A và B là tập tất cả các cặp có thứ tự x, y , trong đó x ∈ A và y ∈ B Ký hiệu là AxB Nghĩa là

AxB = x, y |x ∈ A, y ∈ B

Ghi nhớ:

AxB = A B

I - TẬP HỢP

Các phép giao, hợp, tích Descartes có thể mở rộng cho nhiều tập hợp

- y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f

- x được gọi là tạo ảnh của y qua ánh xạ f

X

Y

y ∉ f A ⟺ ∀x ∈ A, y ≠ f(x)

Ảnh ngược (tạo ảnh) của B qua ánh xạ f là tập hợp

f−1 B = x ∈ X|f(x) ∈ Y Như vậy x ∈ f−1 B ⟺ f x ∈ B

II – ÁNH XẠ

2 Phân loại ánh xạ

c Song ánh

Ta nói ánh xạ f là một song ánh (còn gọi là sánh) nếu

f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

Y

X

II – ÁNH XẠ

Ánh xạ ngược

Xét f: X → Y là một song ánh Khi đó với mỗi y ∈ Y ta

có duy nhất một x ∈ X và f x = y Do đó ta cũng có tương ứng y ⟼ x một ánh xạ từ Y vào X Ta ký hiệu ánh xạ đó là f −1 và gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Như vậy

f −1: Y ⟶ X

y ⟼ f−1 y = x

Tính chất

f f −1 y = y, y ∈ Y

II – ÁNH XẠ

Ví dụ:

f: ℝ ⟶ ℝ

x ⟼ f x = 2x + 1 thì

iv f −1 F1 ∩ F2 = f −1 F1 ∩ f−1 F2

v f E1\E2 ⊃ f E1 \f E2

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1 Phép đếm

Định nghĩa

Cho A ≠ ∅ Nếu tồn tại một số nguyên

dương n và một song ánh từ A đến tập con 1,2, … , n của ℕ thì ta nói A là một tập hữu hạn và A có n phần tử Khi đó song ánh f: A → 1,2, … , n được gọi là phép đếm tập hợp A và ta viết A = n

Nếu tập A không hữu hạn thì ta nói A vô hạn và A = ∞

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

2 Nguyên lý cộng

Nếu một công việc được thực hiện bằng n cách loại trừ

cách ki lại có ti, i = 1, n phương án khác nhau Khi đó tổng số cách thực hiện công việc là t1 + t2 + ⋯ + tn

k1

k2

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

2 Nguyên lý cộng

Ví dụ:

Để đi từ Tp Hồ Chí Minh ra Hà Nội có 3 cách: đi ôtô,

đi tàu hỏa hoặc đi máy bay Để đi bằng ôtô có 3 cách: đi taxi hoặc đi xe đò hoặc thuê xe riêng Đi bằng tàu hỏa có 2 cách: đi bằng tàu nhanh hoặc đi băng tàu bình thường Đi bằng máy bay cũng có 2 cách: Đi bằng Việt Nam Airline hoặc đi bằng Pacific Airline Như vậy tổng số cách đi từ Tp Hồ Chí Minh

ra Hà Nội là 3 + 2 + 2 = 7 (cách)

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

3 Nguyên lý nhân

Nếu một công việc phải thực hiện theo n giai đoạn khác nhau là k1, k2, … , kn Mỗi giai đoạn ki lại có ti, i = 1, n cách để thực hiện Như vậy sẽ có t1 t2 … tn cách khác nhau để thực hiện công việc

k1

kn

- Bước 1: Chọn phần tử đứng vị trí đầu tiên có n cách do có n phần tử

- Bước 2: Chọn phần tử đứng vị trí thứ hai có n - 1 cách do còn lại n – 1 phần tử

…

- Bước n: Chọn phần tử đứng vị trí thứ n có 1 cách chọn duy nhất

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

4 Hoán vị (permutation)

c Hoán vị lặp (permutation loop)

Định nghĩa

Cho n đối tượng, trong đó có ni đối tượng loại i giống hệt nhau (i = 1, k; n1 +

n2 + ⋯ + nk = n) Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng ban đầu được gọi là một hoán vị lặp của n

1 ! Lập luận

x1 + x2 + ⋯ + xm n = n C n, r1, r2, … rm x1r1

i=0 x2r2 … xmrm, trong đó

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

4 Hoán vị (permutation)

Bài tập

1 Tính số các số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số được tạo từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

2 Tính số các số tự nhiên có 6 chữ số trong đó bắt buộc phải có 3 chữ số 1, 2 chữ số 2 và 1 chữ số 3

3 Có bao nhiêu chuỗi ký tự khác nhau bằng cách sắp xếp các chữ cái khác nhau của từ SUCCESS?

4 Tính hệ số của đơn thức xy2z3t khi khai triển

x + 2y − z + 4t − 5u 7

Mệnh đề

Số các chỉnh hợp không lặp chập k của n là

Akn = n!

n − k !

A320 = 20!

20 − 3 ! = 6840

Mệnh đề

Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là

Fnk = nk

F35 = 35 = 243

III – GIẢI TÍCH TỔ HỢP

6 Tổ hợp

a Tổ hợp không lặp

Cho n phần tử khác nhau Số cách chọn ra k, (k ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ n) phần tử từ n phần tử ban đầu (không có phần tử nào lặp lại) sao cho hai cách lấy ra được gọi là khác nhau nếu giữa hai cách lấy ra có ít nhất một phần tử khác nhau được gọi là một

tổ hợp chập k của n Ký hiệu là Cnk hoặc C(n, k)

Mệnh đề

Số các tổ hợp không lặp chập k của n phần tử là

Cnk = n!

k! n − k !

Ta có hệ số của hạng tử xkyn−k là số cách chọn ra k nhân tử x + y trong

x + y n và lấy ra x và n - k nhân tử còn lại lấy ra y

Ta có: Số cách chọn ra k nhân tử x + y là Cnk từ n nhân tử Sau đó đem nhân

n

Bảng này được gọi là bảng tam giác PasCal

n = 0

n = 1

n = 2

Mệnh đề

Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử là

Kk = Ck

0 ≤ xi ≤ ki, i = 1, n nên ta thể hiện nó là k dấu * và mối dấu cộng là một gạch | (có n – 1 dấu cộng)

Biểu diễn k vật giống nhau là k dấu * và cần n – 1 gạch | để chia k vật giống nhau vào n hộp khác nhau

∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗

k dấu ∗

||||||||||||||

n−1 gạch |Mỗi hoán vị lặp của k dấu * và n – 1 gạch | chính là một cách chia

Số cách chia chính là số hoán vị lặp

Ta có k! n−1 !k+n−1 ! = Cn+k−1k = Cn+k−1n−1

Nguyên lý Dirichlet tổng quát

Nếu nhốt n con chim bồ câu vào k chuồng thì chắc chắn có một chuồng có không ít hơn n con chim bồ câu

2 Cho A ⊂ S = 1,2, … , 25 và A ≥ 14 Chứng minh rằng tồn tại 2 số a, b và a ≠ b sao cho a + b = 26