BỔ TÚC GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Chương BỔ TÚC GIẢI TÍCH TỔ HỢP Quy tắc nhân: Một công việc chia làm hai giai đoạn hòan thành Có n cách thực giai đọan I; Có m cách thực giai đọan II Khi có n.m cách thực xong cơng việc Ví dụ: Muốn từ A đến C phải qua B Đi từ A đến B có đường, từ B đến C có đường Hỏi có đường từ A đến C mà phải qua B ? Giải: Công việc từ A  C, có hai giai đọan: Giai đọan I: từ AB có cách; Giai đọan II: từ BC có cách Vậy theo quy tắc nhân có 3x4=12 cách 2 Quy tắc cộng: Một công việc chia làm hai phương án thực hòan thành Có n cách thực phương án I; Có m cách thực phương án II Khi có n+m cách thực xong cơng việc Ví dụ: Muốn từ A đến C phải qua B, qua D (giữa B D khơng có đường nối) Đi từ A đến B có đường, từ B đến C có đường Đi từ A đến D có đường, từ D đến C có đường Hỏi có đường từ A đến C Giải: Công việc từ A đến C Có hai phương án đi: Hoặc lộ trình ABC; Hoặc lộ trình ADC; Theo quy tắc nhân lộ trình ABC có 12 cách (hay 12 đường đi) lộ trình ADC có 10 cách (hay 10 đường đi) Vậy theo quy tắc cộng có 12+10=22 đường 3 Hóan vị: 3.1.Định nghĩa: Ta gọi hóan vị tập n phần tử cách xếp n phần tử vào n vị trí khác Ví dụ: Xếp người ngồi vào ghế khác hóan vị Theo quy tắc nhân số cách xếp 1�2 �3 �4 �5  120 Theo quy tắc nhân ta có 3.2 Định lý 1: Số hóan vị tập n phần tử khác Pn  1�2 �3 � �n  n ! Ví dụ: Có 12 sách gồm Tóan; Lý; Hóa Hỏi có cách xếp sách lên kệ hàng ngang mà sách lọai đứng cạnh Giải: Số cách xếp là: 3!� 5!�4!�3! Chỉnh hợp: 4.1.Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cách xếp k phần tử vào n vị trí khác ( k �n ) Vậy k=n hóan vị 4.2.Định lý 2: Số chỉnh hợp chập k n phần tử n! k An  n P k  (n  k )! Tổ hợp: 5.1.Định nghĩa: Ta gọi tổ hợp chập k n phần tử tập có k phần tử tập có n phần tử Hoặc định nghĩa tổ hợp chập k n phần tử cách xếp không phân biệt thứ tự k phần tử vào n vị trí khác Ví dụ 1: Cho tập A={1; 2; 3; 4} Các tập sau tổ hợp chập phần tử A1={1; 2}={2; 1}, A2={1; 3}={3; 1}, A3={1; 4}={4; 1}, A4={2; 3}={3; 2}, A5={2; 4}={4; 2}, A6={3; 4}={4; 3} Ví dụ 2: Xét ghế có đánh số thứ tự Xếp người A, B ngồi lên ghế mà không phân biệt thứ tự Ta có cách xếp sau 1A B 2B A 1A B 3B A 1A B 4B A 2A B 3B A 2A B 4B A 3A B 4B A Nhận xét: Với cách xếp ta ý đến cách chọn ghế để xếp người ngồi mà không ý đến thứ tự 5.2 Định lý 3: Số tổ hợp chập k n phần tử n! C  nCk  k !(n  k )! k n Chứng minh: Trong tổ hợp có k! chỉnh hợp Vậy tập có n phần tử số chỉnh hợp Akn k k số tổ hợp Ckn Vậy An  k !Cn (đpcm) (Dùng quy tắc tam suất.) Ví dụ: Một đội văn nghệ có thành viên Cần chọn thành viên để hát chung với hát Hỏi có cách chọn nếu: a) Chọn tùy ý b) Nhìn vào danh sách gọi để thành viên.( Không thiết theo thứ tự) 3 a) C7  35 b) A7  210 ... thứ tự 5.2 Định lý 3: Số tổ hợp chập k n phần tử n! C  nCk  k !(n  k )! k n Chứng minh: Trong tổ hợp có k! chỉnh hợp Vậy tập có n phần tử số chỉnh hợp Akn k k số tổ hợp Ckn Vậy An  k !Cn... chập k n phần tử n! k An  n P k  (n  k )! Tổ hợp: 5.1.Định nghĩa: Ta gọi tổ hợp chập k n phần tử tập có k phần tử tập có n phần tử Hoặc định nghĩa tổ hợp chập k n phần tử cách xếp không phân biệt... cạnh Giải: Số cách xếp là: 3!� 5!�4!�3! Chỉnh hợp: 4.1.Định nghĩa: Ta gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cách xếp k phần tử vào n vị trí khác ( k �n ) Vậy k=n hóan vị 4.2.Định lý 2: Số chỉnh hợp chập