Chương 3 NHẬN DẠNG MÔ HÌNH LIÊN TỤC, TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ TỪ MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

NHẬN DẠNG MÔ HÌNH LIÊN TỤC, TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ TỪ MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

CHƯƠNG III NHẬN DẠNG MÔ HÌNH LIÊN TỤC, TUYẾN TÍNH CÓ THAM SỐ TỪ

MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ Đặt vấn đề

Mô hình liên tục tuyến tính có tham số là mô hình của đối tượng điều khiển tuyến tính và được biểu diễn bởi một hàm truyền dưới dạng ảnh Laplace như sau:

0 1

0 1

( ) W( )

n n m m

Y s s

   (mn) (3.1)Trong đó:

m và n có thể được cho trước hoặc cần phải xác định dựa vào đặc tính quá

độ y(t) hay hàm quá độ h(t)

Bài toán đặt ra là từ mô hình không tham số đã có, hãy xác định các b0, b1 , bn và a0, a1, am thuộc R

Mô hình không tham số đã có là hàm quá độ h(t) thu được tại đầu ra bằng phương pháp nhận dạng chủ động với tín hiệu chọn trước là hàm 1(t) hoặc dựa vào quan sát các tín hiệu vào/ra của hàm trọng lượng g(t) bằng nhận dạng bị động

3.1 Những kết luận tổng quát để xác định tham số mô hình từ hàm quá độ h(t)

Từ việc nghiên cứu hàm quá độ h(t) người ta đưa ra một số kết luận mangtính tổng quát để hỗ trợ cho việc tính toán và xác định các tham số b0, b1, , bn

và a0, a1, , am một cách dễ dàng hơn là:

- Kết luận về bậc mô hình (tức là m và n)

- Kết luận về các thành phần cơ bản như khâu khuyếch đại P, tích phân I,

vi phân D có trong mô hình (3.1)

- Kết luận về dạng các điểm cực, các điểm không của (3.1) và nếu có thểcòn về sự phân bố của chúng trong mặt phẳng phức

3.1.1 Kết luận 1

- Nếu h(+0) = 0 thì m > n, còn nếu h(+0)  0 thì m = n

- Nếu h(+) = 0 thì b0 = 0 suy ra trong mô hình của hệ thống có một khâu

vi phân D nối tiếp:

s b b s b s s

- Nếu h(+) = K thì suy ra trong mô hình của hệ thống có một khâu

khuyếch đại P nối tiếp, với K =

h(t)

K

6

54

7t

Hình 3.1: Các hàm quá độ của các hệ thống điều khiển

Ví dụ:

Cho một đối tượng có đặc tính quá độ như (hình 3.2) Và hàm truyền cho

trước để kiểm nghiệm kết luận:

3 4

(1 2 )W( )

(1 )

s s

s







Từ đặc tính quá độ cho ta biết:

Nếu h(t) không lượn sóng và không giảm, tức h(t) không chứa thành phầnquá điều chỉnh, thì các tham số trên hàm truyền (3.2) phải là các số thực và thoảmãn điều kiện:

T'n < Tm ; T'n-1 < Tm-1 ; ; T1' < T'm-n+1 (3-4)

Ví dụ minh hoạ:

t

1h(t)

0



1

1)

(

1 0,75( )

t0

2)2,21)(

2,11)(

5,01(

)31)(

21()1()

(

p p

p

p p

p p

75,01(

)8,11)(

5,01()(

p p

p p

t0

1 2 ( )

Ở đây ta lấy đối tượng thực đã có

để kiểm tra kết luận 4

Ví dụ: Xét 1 đối tượng có hàm truyền đạt:

2

1 ( )

Từ hình vẽ ta nhận xét ngược trở lại là đa thức mẫu tồn tại nghiệm phức

 Kết luận 5 là đúng

3.2 Các mô hình đối tượng, hệ thống điều khiển thường gặp.

Từ 5 kết luận đã đưa ra ở trên là cơ sở để cho việc xây dựng mô hình đốitượng (tức là xây dựng được cấu trúc của hàm truyền) Còn các tham số tronghàm truyền ta tiếp tục dựa vào h(t) để tính toán ở các bước tiếp theo

 , h(t) không lượn sóng và có thànhphần khuếch đại h() = , để đơn giản mà vẫn đảm bảo được độ chính xác, tachọn hàm truyền đơn giản nhất có dạng:

* Vậy với những kết luận và nhận xét trên ta xác định được các môhình cơ bản sau:

1- Mô hình khâu quán tính bậc nhất (PT1): G(s)= K

s(1+Ts)

4-Mô hình khâu quán tính bậc 2 (PT2):

K G(s)=

(1+T s)(1+T s) ; T1  T25- Mô hình khâu quán tính bậc n (PTn): ( )

Tn > Tm : là mô hình Lead

Tn < Tm : là mô hình Lag7- Mô hình khâu dao động bậc 2 tắt dần: ( ) 2 2

3.3 Xác định tham số cho mô hình PT 1

3.3.1 Trường hợp đầu vào là hàm quá độ 1(t)

Giả sử có 1 đối tượng tuyến tính, ta kích thích vào đối tượng này 1 hàmHeaviside 1(t) và ta thu được hàm h(t) ở đầu ra có dạng như hình vẽ:

Dựa vào 5 kết luận ở trên ta có các nhận xét đặc tính h(t) như sau:

- Vì h(+0) = 0 và 0 m n 1

dt

) 0 ( dh

) S T 1 ) (

S T 1 )(

S T 1 (

) S T 1 ) (

S T 1 )(

S T 1 ( K ) s ( W

m 2

1

' n

' 2

' 1

Căn cứ vào các kết quả trên, để đơn giản ta chọn: n = 0  m = 1, T1 = T

Do đó ta hoàn toàn có thể chọn hàm truyền đơn giản nhất mà vẫn thoả

mãn mô hình đối tượng: ( )

Hình 3.7: Hàm quá độ h(t)

+ Kẻ đường tiếp tuyến với h(t) tại t = 0 và xác định giao điểm của đườngtiếp tuyến với h(+) (ta xác định được tại A)

+ Gióng điểm A xuống trục t ta tìm được T

* Chú ý:

Với phương pháp ở trên việc xác định T chính xác hay không phụ thuộchoàn toàn vào việc kẻ chính xác đường tiếp tuyến, tức là phụ thuộc con người; vìvậy thường không chính xác và thiếu độ tin cậy, nhất là khi K lớn

Để khắc phục nhược điểm này người ta làm như sau:

) TS 1 ( S

K S

) S ( W ) S (

Vậy ta có cách xác định T như sau:

+ Kẻ đường tiệm cận h(+)  K

+ Xác định tung độ có giá trị 0,632K  điểm B

+ Xác định hoành độ của điểm B  T

t 0

3.2.2 Trường hợp tác động vào đối tượng là hàm u(t)

- Nếu tín hiệu tác động vào đầu vào đối tượng không phải là hàm 1(t) mà

là hàm u(t) = U0.1(t) thì do tính chất tuyến tính của đối tượng, đáp ứng y(t) tạithời điểm T cũng có giá trị tỉ lệ với U0 tức là:

y() = K.U0 và tại T  y(T) = 0,632 K U0 = 0,632.y()

- Vậy ta có phương pháp xác định K và T như sau:

+ Kẻ đường tiệm cận với y(t) tại t   

0

) ( 0

U

y K U

K ) (

+ Xác định điểm C có tung độ bằng 0,632.y() = 0,632K.U0

+ Hoành độ của điểm C chính là T cần tìm

- Ví dụ 1: Xét đối tượng là lò điện trở (xét lý tưởng khi không có trễ tức 

= 0), cho tác động vào đối tượng là hàm 1(t) ta được h(t):

0

h(t)

31,6 50

0

3.4 Xác định tham số cho mô hình IT 1 và IT n

3.4.1 Xác định cấu trúc mô hình hàm truyền của đối tượng

Giả sử có một đối tượng tuyến tính cần được nhận dạng (động cơ điềuchỉnh vị trí) Nếu ta cho tín hiệu 1(t) tác động vào đối tượng trên và thu đượcđặc tính quá độ h(t) như hình vẽ:

* Căn cứ vào đặc tính quá độ h(t) ta có các nhận xét ban đầu về hàmtruyền của đối tượng như sau:

- h(+0) = 0 Và 0 m n 1

dt

) 0 ( dh

G(p) =

) s a

s a a ( s

s b

s b b

1 m m 2

1

n n 1

K )

s (

K )

s (

G



 (n > 1) và được gọi là mô hình tích phân bậc n (ITn)

3.4.2 Xác định tham số cho mô hình IT 1

h(t)

t

Hình 3.9: Hàm quá độ h(t)

a Trường hợp tín hiệu đầu vào là hàm 1(t)

Giả sử ta kích thích tín hiệu 1(t) ở đầu vào của 1 đối tượng tuyến tính thìthu được đặc tính quá độ như hình vẽ:

Từ h(t) như phần trên ta đã có hàm truyền dạng:

) Ts 1 ( s

K )

s ( G



 suy ra phải xác định K, TXuất phát từ h(+)  + suy ra ta kẻ đường tiệm cận với đường h(t) tại t

= + như hình vẽ, thì góc hợp bởi tiệm cận với trục t được xác định như sau:

K ) Ts 1 ( s

Ks lim

) s ( sw lim dt

) t ( dh lim tg

0 s 0

Từ hình vẽ và biểu thức trên ta có thể lấy bất kỳ một đoạn tiệm cận, sau

đó chiếu lên các trục h(t) và t suy ra tìm được h và t khi đó: K =

KT s

KT s

K ) TS 1 ( s

K s

) s (

2



Suy ra: h(t) = k.t - KT + KT.e-t/T = K[ t - T(1 - e-t/T)]

Ta thấy đường tiệm cận htc(t) chính là đường khi t   thì e-t/T  0 suy rađường tiệm cận có phương trình: htc(t) = K(t - T)  T là giao điểm của htc(t) vớitrục hoành tại t = T

Vậy ta có thuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận htc(t) ứng với h(t) tại t = + 

- Lấy một đoạn bất kỳ trên đường tiệm cận suy ra h và t khi đó:

- Tìm giao điểm của đường tiệm cận htc(t) với trục hoành suy ra T.

b Trường hợp tín hiệu đầu vào là u(t)

Trong trường hợp không thể sử dụng được tín hiệu đầu vào 1(t) mà tínhiệu đầu vào là u(t) = U0.1(t), ta thu được đặc tính đầu ra như hình vẽ:

Do tính chất tuyến tính của đối

tượng ta đi đến thuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận ytc(t) ứng với

y(t) tại t = + 

- Lấy một đoạn bất kỳ trên đường

tiệm cận suy ra y và t khi đó: K =

- Tìm giao điểm của đường tiệm

cận ytc(t) với trục hoành suy ra T

Ví dụ:

Nhận dạng đối tượng tuyến tính là một động cơ điều chỉnh vị trí, với tínhiệu vào là u(t) = 10.1(t), ta thu được đặc tính y(t) như hình vẽ:

Dựa vào các kết luận ta có hàm

truyền của đối tượng:

) Ts 1 ( s

K )

2 , 1 t u

Vậy hàm truyền của đối tượng là:

) s 1 ( s

1714 , 0 ) s ( G





3.4.3 Xác định tham số mô hình IT n

Giả sử một đối tượng tuyến tính sau khi cho tác động tín hiệu u(t) =U0.1(t)

ta thu được dạng y(t) Dựa vào đặc tính y(t) ta xác định được mô hình đặc tínhdạng:

n

) TS 1 ( S

K )

S ( W

K U )

S (

2 2

0

) TS 1 (

T ) i 1 n ( S

nT S

1 K U )

1

i

1 i i

T t

1

1 i 0

)!

1 i ( T

e t ) i 1 n ( nT t K U ) t

K U S lim dt

) t ( dy lim tg

) t (

0 S t

y K

 xác định ngay được

n

T

T  tc

Tóm lại thuật toán:

- Dựng đường tiệm cận ytc(t) tại t  + sau đó lấy 1 đoạn AB  y; t 

i n

0 tc

T

)!

1 i (

n ) i 1 n ( T e K U ) T ( y

i 2

n 0

T tc

0

T

)!

1 i (

n ) i 1 n ( n

e nT K U

y T

K U y

Lập trình để tìm mối quan hệ giữa n và 

Vậy thuật toán:

T

KT U

3.5 Xác định tham số cho mô hình PT 2 và PTn

3.5.1 Xác định mô hình cấu trúc của hệ thống

Giả sử ta kích thích vào 1 đối tượng tuyến tính bằng phương phápchủ động với tín hiệu là 1(t) ta thu được ở đầu ra đối tượng đường cong thựcnghiệm h(t) như hình vẽ:

- Đặc tính h(t) tiến dần đến K khi t  + tức là h( ) K Hàm truyền

có 1 khâu khuyếch đại

h(t)

t h()

Từ các nhận xét trên ta hoàn toàn có đủ cơ sở lý thuyết và đơn giản hóa

mô hình để đưa ra hàm truyền của mô hình dạng:

) S T 1 )(

S T 1 (

K )

 T1  T2 gọi là mô hình quán tính bậc n (PTn)

3.5.2 Xác định tham số cho mô hình PT 2

a.Trường hợp tín hiệu đầu vào là 1(t)

Giả sử tác động tín hiệu 1(t) ở đàu vào của một đối tượng tuyến tính tathu được đặc tính quá độ h(t) như hình vẽ:

Bằng các kết luận ta có:

) S T 1 )(

S T 1 (

K )

Để xác định được T1 và T2 ta phải dựa vào tính chất của h(t) Từ hình vẽ

ta thấy ngay h(t) có điểm uốn tại điểm A và gọi Tu là giá trị hoành độ điểm uốn;h(Tu) giá trị tung độ h(t) tại điểm uốn

Ta thấy vận tốc biến thiên h(t) đạt giá trị max tại điểm uốn

dt

) t ( h max v

v

u

T t max

dt

) t ( dh lim tg

K v b

K

v

) T ( h T tg

) T ( h T

( S

1

2 1

C S

T 1

B S

A

2 1

T T

0 C B T T 0

CT BT

T

AT

0 C B ) T

T

(

A

K A

1 2 2

1

2 1 1

2 2

1

2 1

 B=- C - T1 - T2

 T1T2 - CT2 - T1T2 -T22 + CT1 = 0



2 1

2 1 2

1

2 2

2 1

2 2 2

2 2

1

T T

T T

T

T T T C T

S T 1 (

T )

S T 1 )(

T T (

T S

1

2 1 2

2 2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2 1

1

T T

e T e

T 1 K T

T

e T T T

e T 1

T t 2

T t 1

T t

2

T

e e

K

e ) T

2

1

2 T u T 1

T u

T

e T e



2 T u T 1

T

u

T

e T ln e

T u T

e ln T ln e

1

2 1

u

*

T

T T

K dt

) T ( dh tg

1

2 T T T

1

2 2 2

1

T T T

1

2 1 u

T T

T

T T

T T T

T T

T T 1 K )

T

(

h

2 1

2 2

1 2

1

2

T

T T T

T T T

1

2 1

1

1 2 T T T

1 2

* u

T

T T T

T K v

K T v

) T ( h

T

a

2 1 2

2 1 2

x  (1)

1 x

x T

T T

1

2

* 1 1

x T

T v

T

K T

v b K

v T b

T T

T ln T T

T T

1

2 1 2

2 1 u

x

1 x x ln x x b

Giải phương trình (1)  x dựa vào (2)  T1  dựa vào (1)  T2 Vậy ta

có thuật toán để tìm x như sau:

Trước hết là ta cần tìm điều kiện cho tỷ số

b

a

nghĩa là xác định giới hạncho phép để phương trình (3) có nghiệm:

Ta dựa vào tính giới hạn nghĩa là ta thấy (2) không có nghĩa khi x  1

A 1 1

x

1 x x ln x x

x 0

) Z 1 ( ) Z 1 ( lim

2 Z

Z 1 0

) Z 1 ln(

) Z 1 ln(

) Z 1 ( ) Z 1 ( ) Z 1 (

1 lim A

2 1

Z 1 0

Z

103648 ,

0 1 e

3 1 ) 2 Z ( lim 1

Vậy 0 , 103648

b

a

0   thì mới tìm được x hay mô hình PT2

Khi đã có điều kiện trên ta lập trình trên Pascal hoặc C++ để tìm x ( thuậttoán chia đôi)

Tóm lại:Thuật toán để tìm K , T1 , T2 như sau:

x

b T

Ví dụ: Xác định mô hình tham số cho bộ cảm biến chuyển đổi áp suất với

giả thiết kích thích ở đầu vào tín hiệu P(t) = 1,5at thu được y(t) như hình vẽ:

5 , 2 U

y K

0

) (

1 , 0 b

1,4

664 , 0 334

, 0

15 , 1 x

b T

1 334 , 0 334 , 0 1

x x

S 664 , 0 1 (

K )

S ( W







b Trường hợp tín hiệu đầu vào là u(t)

Nếu tác động vào đối tượng tín hiệu u(t) = u0.1(t) thu được đặc tính y(t)

có dạng như hình vẽ:

Vì đối tượng là tuyến tính  y(t) = u0.h(t)

Ta có thuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận ytc(t) tại t =  

0

U

) ( y

- Kẻ đường tiếp tuyến tại điểm uốn ytt(t)  a và b

- Lập a/b và kiểm tra điều kiện a/b < 0,103648

- Tìm x nhờ chương trình Pascal hoặc C++

- Tìm

1 x x 1

x

b T





- Tìm T2 = x.T1

3.5.3 Xác định tham số cho mô hình PT n

Như ở trên ta biết một đối tượng có hàm quá độ h(t) hay y(t) thì được mô

tả bởi khâu PT2, tuy nhiên phải kiểm tra điều kiện a/b < 0,103648 Nếu trường

1 TSn

K )

Để tìm các thông số trên ta xuất phát từ các nhận xét và thuật toán sau:

- Ta thấy việc xác định K cũng giống như đối với PT2 tức là chỉ cần xácđịnh h() hoặc y()

( S K

i T

t 1

n 0 i

i T

t

!i T

t e

1 K

! i T

t e 1 K ) t (

i 1

n 0 i

i T

t

! 1 i

T / T

! i

T / t tT

e K dt

) t (

0

! i

t.

) T / ( T i.

) T / ( ) T t 2 (

iT ) T / ( T

t

Ke dt

) t

(

h

0 i

2 2 2

2 i i

2 2

T / 2

Giải ra ta được Tu = (n - 1)T bằng cách thay giá trị i = n - 1

Thay Tu = (n - 1)T vào các biểu thức (1) và (2) ta được:

 

n 2! T

1 n e K dt

) T ( dh

v

2 n n

1 u

n 0 i

i 1

n

! i

1 n e

K )

1 n

T

! 2 n v

1 n 2 n

*

u u

! i

i 1 n e

1 n

! 2 n T T 1 n v

T h T

1 n

! 1 n

1 n e b

0 i

i n

n 1

Giải phương trình (3) bằng Pascal hoặc C++  n   

n 2!

e

1 n b

2 n

Vậy thuật toán:

* Trường hợp tín hiệu tác động ở đầu vào là 1(t):

- Kẻ đường tiệm cận htc(t) tại t =  suy ra K = h()

- Kẻ đường tiếp tuyến htt(t) tại điểm uốn suy ra xác định được a và b

- Lập tỷ số và kiểm tra điều kiện 0 , 103648

* Trường hợp tín hiệu tác động ở đầu vào là u(t) = u 0 1(t):

Do tính tính chất tuyến tính của đối tượng mà ta có thuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận ytc(t) tại t =  suy ra K =

0

u

) (

y 

- Kẻ đường tiếp tuyến ytt(t) tại điểm uốn suy ra xác định được a và b

- Lập tỷ số và kiểm tra điều kiện 0 , 103648

Function tinhn(tyso: real):integer;

Var i,n: integer;

save, result: real;

End;

Writeln(' Hang so thoi gian T1= ',T1:4:5);

Writeln(' Hang so thoi gian T2= ',T2:4:5);

Write(' Nhap tu so a: ');readln(a);

Write(' Nhap mau so b: ');readln(b);

Writeln;

Writeln(' -'); Writeln;

tyso:=a/b;

Writeln(' Ty so a/b = ',tyso:4:5);

3.6 Xác định tham số cho mô hình Lag

3.6.1 Xác định mô hình cấu trúc của hệ thống

Giả sử ta cho tín hiệu 1(t) tác động vào đối tượng tuyến tính và thu đượcđặc tính quá độ h(t) như hình vẽ:

h(t)

h(

)

t

* Căn cứ vào đặc tính quá độ h(t) ta có các nhận xét ban đầu về hàmtruyền của đối tượng như sau:

Vậy ta có thể mô tả đối tượng bằng hàm truyền dạng:

s T 1

s T 1 K ) s ( W

m

n





 (Tn < Tm) được gọi là mô hình Lag

3.6.2 Xác định các tham số cho mô hình

a Trường hợp tín hiệu vào là 1(t)

Giả sử tác động vào đầu vào

đối tượng tín hiệu 1(t) ta thu được đặc

tính quá độ như hình vẽ:

Và như ở trên ta đã có mo hình

của đối tượng dạng:

s T 1

s T 1 K )

n s

s s

s 0

T K s T 1

s T 1 K Lim )

s ( W Lim )

s ( sH Lim )

t ( h sL Lim )

t ( h Lim )

m m

m n

m

n m

n s

s s

s 0

t

T

) 0 ( h ) ( h T

T

T K K ] T

T s s T 1

) s T 1 ( s [ K Lim

)] 0 ( h ) s ( W [ s Lim )]

0 ( h ) s ( sH [ s Lim dt

) t ( dh sL Lim dt

) t ( dh Lim tg

Suy ra Tm chính là hoành độ của điểm A (giao điểm giữa đường tiếp

tuyến và tiệm cận) từ đó ta cũng xác định được

K

T ).

0 ( h

n





Vậy ta có thuật toán như sau:

- Kẻ đường tiệm cận htc(t) tại t = +  K = h(+) (xác định trên đồ thị)

- Kẻ đường tiếp tuyến htt(t) tại t = 0  xác định được Tm là hoành độ củađiểm A(giao điểm giữa htc(t) và htt(t) trên hình vẽ

- Xác định

K

T ).

0 ( h

Giả sử chọn điểm A(a,b) trên đồ thị:

Khi đó đường tiếp tuyến tại

A có phương trình như sau:

T T 1 ( K )

t

(

t m

m

n m

T

T T K ) a ( h

Từ hình vẽ ta có:

m T

a m

n m T

a n m

2

T

T T 1 ( K K e

) T T ( K

T tg

) a ( h ) ( h a

B

b

T

Tm

Vậy Tm chính là khoảng thời gian cần thiết để htt(t) đi từ A đến B Ta cóthuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận htc(t) tại t = +  K = h(+) (xác định trên đồ thị)

- Lấy một điểm A bất kỳ và kẻ đường tiếp tuyến htt(t) tại A sau đó xácđịnh điểm B như hình vẽ

- Chiếu đoạn AB lên trục tời gian suy ra Tm

- Xác định

K

T ).

0 ( h

n





b Trường hợp tín hiệu vào là u(t)

Vì lý do nào đó mà ta không thể tạo ra được tín hiệu 1(t) mà chỉ là tínhiệu u(t) = u0.1(t) đặt vào đối tượng và thu được đặc tính đầu ra như hình vẽ:

Do tính chất tuyến tính ta có thuật toán sau:

- Kẻ đường tiệm cận ytc(t) tại t = + 

0

u

) ( y

T ).

0 ( y T

0

m n





3.7 Xác định tham số cho mô hình Lead

3.7.1 Xác định mô hình cấu trúc của hệ thống

Giả sử ta cho tín hiệu 1(t) tác động vào đối tượng tuyến tính và thu đượcđặc tính quá độ h(t) như hình vẽ:

B

b

T

Tm