NHẬN DẠNG THAM SỐ MÔ HÌNH ARMA
CHƯƠNG NHẬN DẠNG THAM SỐ MƠ HÌNH ARMA 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Bài toán nhận dạng mơ hình ARMA Thực tế bắt gặp lớp mơ hình không liên tục biểu diễn mối quan hệ vào cho hệ thống điều khiển truyến tính (Hệ thống điều khiển số) Khi mơ hình hệ thống biểu diễn dạng rời rạc hàm truyền dạng tốn tử z gọi mơ hình ARMA Như vậy, toán nhận dạng lúc tốn nhận dạng mơ hình rời rạc hay nói cách khác tốn nhận dạng mơ hình ARMA - Xét mơ hình cho hàm truyền: W ( z) = + b1 z −1 + + bnb z − nb Y ( z) = K U (z) + a1 z −1 + + a na z −na (4.1) (4.1) gọi hàm truyền số mơ hình rời rạc dạng tốn tử Z - Cũng giống nhận dạng mơ hình liên tục, ta tiến hành quan sát tín hiệu vào u(t) tín hiệu y(t) từ sở để dựa vào thuật tốn tìm tham số bj Và ta có hai tốn nhận dạng: + Nhận dạng chủ động: Chủ động lựa chọn tín hiệu vào u(t) tín hiệu ồn trắng (egodic), nghĩa có: kỳ vọng toán học mu = phương sai su (ω ) = + Nhận dạng bị động: Ta khơng lựa chọn tín hiệu vào u(t) - Từ mơ hình (4.1), xét nnb= thì: W ( z) = Y ( z) = K −1 U ( z) + a1 z + + a na z −na (4.2) gọi mơ hình AR - Từ mơ hình (4.1), xét nna = thì: W ( z) = Y ( z) = K (1 + b1 z −1 + + bnb z −nb ) U ( z) (4.3) gọi mơ hình MA 4.1.2 Bài tốn tương đương mơ hình chuẩn Ta chuyển tốn tổng qt với hàm truyền có hệ số khuếch đại K dạng tốn có hệ số khuếch đại K u W1(z) y Hình 4.1: Mơ hình hệ số khuếch đại Khi hàm truyền đạt W1(z): W ( z) = Y ( z ) + b1 z −1 + + bnb z − nb = U ( z ) + a1 z −1 + + a na z −na (4.4) (4.4) gọi hàm truyền mô hình bải tốn chuẩn Như ta chuyển mơ hình bải tốn dạng chuẩn với tín hiệu vào là: mu = su (ω ) = K 4.2 Nhận dạng tham số mơ hình AR theo phương pháp Yule –Walker Từ hàm truyền mơ hình AR chuẩn: W ( z) = Y ( z) = −1 U ( z ) + a1 z + + a na z −na Ta thực phép chuyển miền gốc thời gian t: na y n + ∑ ak y n − k = u n (4.5) k =1 Nhân hai vế (4.5) với yn-m, ta được: na yn−m yn + ∑ ak yn−m yn−k = yn−m un k =1 Theo cơng thức cơng nhận, tính giá trị trung bình theo công thức egodic ta được: na ry (mTa ) + ∑ a k ry ((m − k ).Ta ) = ryu (mTa ) k =1 Gọi gm = g(mTa) giá trị hàm trọng lượng mơ hình AR điểm trích mẫu, đối tượng có hệ số khuếch đại nên ta có: 1 gm = 0 Khi m = Khi m ≠ Mặt khác, theo mơ hình tương đương chuyển từ mơ hình tổng qt sang mơ hình chuẩn phải có điều kiện tín hiệu vào có su (ω ) = K , suy ra: K gm = 0 Khi m = Khi m ≠ Khi ta có: ryu (mTa ) = ruy (−mTa ) = ru (mTa ) g − m = Kg − m Lúc ta được: K ryu (mTa ) = Kg −m Khi m = Khi m > Khi m < Suy ra: K ry (mTa ) + ∑ a k ry ((m − k )Ta ) = k =1 Kg −m na Khi m = Khi m > Khi m < (4.6) Viết lại biểu thức (4.6) có m=0, 1, …, na dạng ma trận ta phương trình: ry ( −Ta ) ry (0) r (T ) ry (0) y a ry (naTa ) ry ((na + 1)Ta ) ry (− naTa ) K ry ((−na − 1)Ta ) 1 = a ry (0) 0 (4.7) (4.7) gọi phương trình Yule –Walker với việc tìm tham số aj K từ tín hiệu y(t) gọi phương pháp Yule –Walker 4.3 Nhận dạng tham số mơ hình MA Từ hàm truyền đạt mơ hình MA chuẩn: W ( z) = Y ( z) = (1 + b1 z −1 + + bnb z − nb ) U (z) Khi ta kích thích vào đối tượng tín hiệu ổn trắng: mu = su (ω ) = K Bài toán đặt tìm K tín hiệu vào u(t) tham số mơ hình: b1 b b= 2 bnb Để nhận dạng mơ hình ta khơng theo phương pháp xây dựng phương trình mơ hình AR mà tìm cách chuyển mơ hình MA mơ hình AR tương đương Theo ngun lý đối ngẫu Makov: Với mơ hình MA tồn mơ hình AR tương đương bậc vô hạn: nb + ∑ bn z −n = n =1 ∞ (4.9) + ∑ cn z −n n =1 thông số b c có quan hệ truy hồi: nb −1 c n + nb = ∑ bi +1c n +i ; n ≥1 (4.10) i =0 Như ta chuyển toán nhận dạng tham số b thành nhận dạng tham số c sau tính ngược lại tìm tham số b Mặc dù việc nhận dạng thường gặp vấn đề cần giải sau: + Mơ hình AR tương đương bậc vô hạn nên ta cần phải chuyển hữu hạn s mà đảm bảo sai số cho phép, nghĩa (4.9) trở thành: nb + ∑ bn z −n = n =1 s + ∑ cn z −n n =1 + Việc tính ngược b từ c theo (4.10) đồng nghĩa với việc tìm nghiệm hệ phương trình có số phương trình nhiều số ẩn số cần tìm (c nhiều số hạng b) dẫn đến thường xảy vơ nghiệm Vì ta thường chọn số phương trình (chọn s): - Chọn s = 2nb, có nb phương trình ta sử dụng cơng thức (4.10) để tìm b - Chọn s > 2nb, khơng thể sử dụng (8) để tìm thơng số b mà phải sử dụng trực tiếp công thức (4.11) 4.4 Nhận dạng tham số mơ hình ARMA 4.4.1 Nhận dạng chủ động Khi ta chủ động tác động tín hiệu ồn trắng (egodic) vào mơ hình ARMA thay nhận dạng trực tiếp mơ hình tat hay mơ hình dạng: u(t) Mơ hình MA x(t) Mơ hình AR Hình 4.2: Tách mơ hình ARMA y(t) 4.4.2 Nhận dạng bị động Xét toán tổng quát nhận dạng mơ hình ARMA, bải tốn nhận dạng bị động (passive hay online) Vì tín hiệu vào u(t), y(t) trường hợp bất kỳ, để nhận dạng tham số mơ hình ta phải đo tín hiệu u(t) y(t) Bải tốn nhận dạng passive mơ tả sơ đồ hình 4.3: Nhiễu uk Đối tượng ARMA B(z) yk B(z) ek Hình 4.3: Sơ đồ nhận dạng bị động mơ hình ARMA Để nhận dạng mơ hình ta có cách: + Nhận dạng tham số mơ hình trực tiếp từ dãy giá trị vào đo với tổng bình phương sai lệch ek nhỏ + Nhận dạng tham số mơ hình cách chuyển tốn chủ động sử dụng thuật toán nhận dạng chủ động biết để tìm tham số mơ hình đối tượng * Nhận dạng bị động trực tiếp với tín hiệu vào tiền định: Để đơn giản ta chuyển mơ hình đối tượng dạng: W ( z) = ~ ~ ~ b0 + b1 z −1 + + bnb z − nb −1 + a1 z + + a na z − na = B( z ) A( z ) ~ Với: bi = Kbi Có thể viết miền thời gian: ~ ~ ~ y k + a1 y k −1 + + a na y k − n = b0 u k + b1u k −1 + + bn u k −n a b b Mơ hình đo xác giá trị vào thường tồn sai số: na nb ~ ek = y k + ∑ y k −i −∑ bi u k −i i =1 i =1 Ta có q tổng bình phương sai lệch: Q= N ∑e k = na k → Để điều xảy ta có thuật tốn sau: - Lập ma trận y ma trận M, S: y na y= ; yN M = y na y y na y1 y N −1 y N −na u na u na −nb u na +1 u na −nb +1 ; u N u N −nb S=MT.M - Kiểm tra ma trận S phải xác định dương không suy biến - Tính tham số mơ hình: − a1 − a na −1 T p=S M y= ~ b0 ~ bnb ... thay nhận dạng trực tiếp mơ hình tat hay mơ hình dạng: u(t) Mơ hình MA x(t) Mơ hình AR Hình 4. 2: Tách mơ hình ARMA y(t) 4. 4.2 Nhận dạng bị động Xét tốn tổng qt nhận dạng mơ hình ARMA, bải toán nhận. .. dụng cơng thức (4. 10) để tìm b - Chọn s > 2nb, khơng thể sử dụng (8) để tìm thơng số b mà phải sử dụng trực tiếp công thức (4. 11) 4. 4 Nhận dạng tham số mơ hình ARMA 4. 4.1 Nhận dạng chủ động Khi... ek Hình 4. 3: Sơ đồ nhận dạng bị động mơ hình ARMA Để nhận dạng mơ hình ta có cách: + Nhận dạng tham số mơ hình trực tiếp từ dãy giá trị vào đo với tổng bình phương sai lệch ek nhỏ + Nhận dạng tham