Chương 1 KHỐI đa DIỆN mức độ 4 phần 1

Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau.. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình

Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho khối hộp chữ nhật

ABCD A B C D    có thể tích bằng 2110 Biết A M MA; DN 3ND; CP2PC Mặtphẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng

Câu 2: - HẾT -(THPT Chuyên Quang

Trung-Bình Phước-lần 1-năm 2017-2018) Xét khối tứ diện ABCD, AB x , các cạnh còn lại bằng

2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất

2 3

x 2

H

M

C A

[Phương pháp tự luận]

Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có tam giác ABC, ABD cân lần lượt tại C và D Suy ra CM AB AB CDM

Ta có: CABDAB c c c  suy ra MC MD Ta được MH CD

Tứ diện BMCH có đường cao BM, đáy là tam giác MHC vuông tại H

Có

2

x

BM  ; BH  BC2 CH2  12 3 3  3

Câu 3: (THPT Hoa Lư A-Ninh Bình-lần 1-năm 2017-2018) Một viên đá có hình dạng là khối chóp tứ giác

đều với tất cả các cạnh bằng a Người ta cắt khối đá đó bởi mặt phẳng song song với đáy của khối

chóp để chia khối đá thành hai phần có thể tích bằng nhau Tính diện tích của thiết diện khối đá bị cắt

bởi mặt phẳng nói trên (Giả thiết rằng tổng thể tích của hai khối đá sau vẫn bằng thể tích của khối đá

đầu).

A

223

k

12



1.31.3

MNPQ ABCD



1.2

2

Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình thang cân, AD2AB2BC2CD2a Hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng vuônggóc với mặt phẳng ABCD Gọi  M N, lần lượt là trung điểm của SB và CD Tính cosin góc

giữa MN và SAC , biết thể tích khối chóp  S ABCD bằng 3 3

A

D H

O

Lại có: ABCD là hình thang cân có AD2AB2BC 2CD2a

MP KQ lần lượt là đường trung bình của tam giác SAB SAC,   MP KQ SA// //

KN là đường trung bình của tam giác 1

a KC

Suy ra: tam giác KNC vuông tại C  C là hình chiếu vuông góc của N lên SAC 

 góc giữa MN và SAC là góc NIC

x

z

y

BK  



là vtpt của SAC Chọn  n 1 1;0;0 cùng phương với BK

Gọi  là góc góc giữa MN và SAC Ta có  1 1

1 2

3 10sin

Câu 5: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m  như hình

vẽ dưới đây Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x m , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp Tìm giá trị của x

A

M O

1

S C

A

D O

x

M

Câu 6: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có cạnh SA x còn tất cả

các cạnh khác có độ dài bằng 2 Tính thể tích V lớn nhất của khối chóp S ABCD .

a a x

Dấu " " xảy ra khi x2 12 x2  x 6.

Câu 7: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác

đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam

giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3

.3

.24

Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam

giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng

tâm tam giác ABC Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng 3

4

a Khi đó

thể tích của khối lăng trụ là

33.12

3.6

3.3

3.24

Xét tam giác AMI như hình vẽ, đặt AM  x 0, MAI  30  MI  x3

Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy a 2x, 0

2

a x

Câu 10: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang

vuông tại A và B với BC là đáy nhỏ Biết rằng tam giác SAB đều có cạnh là 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 5 và khoảng cách từ D tới mặt phẳng SHC bằng 2a 2 ( với

H là trung điểm của AB) Thể tích khối chóp S ABCD là

A 3 3

3

.3

a

C

34.3

a

D. 4 3 3.3

a

Lời giải Chọn D

x A M I

Gọi E là hình chiếu của D lên CH , ta có DESCH  DE d D SCH  ,   2a 2.

Vì SH là đường cao của tam giác đều SAB nên SH a 3 và

3 2

Câu 11: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018)Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ

nhật có diện tích mặt sàn là 1152 m và chiều cao cố định Người đó xây các bức tường xung2quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau(không kể trần nhà) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất(bỏ qua độ dày các bức tường)

A.16 m 24 m B 8 m 48 m C 12 m 32 m D 24 m 32 m

Lời giải Chọn A

Đặt x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng

Theo giả thiết, ta có x y.3 1152 y 384

Câu 12: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Một người cần làm một hình lăng trụ tam

giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là 6 3 cm Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính3

độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

h

x

C'

B' A'

C

B A

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là ABC A B C    có độ dài AB x , AA h

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ ABC A B C    là nhỏ nhất

Gọi S tp là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ ABC A B C.   , ta có:

Câu 13: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình bình

hành, có thể tích bằng 24 cm Gọi 3 Elà trung điểm SC Một mặt phẳng chứaAEcắt các cạnh

SBvà SD lần lượt tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S AMEN

Lời giải Chọn B

Câu 14: (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Trong không gian cho 3 tia Ox Oy Oz , ,

vuông góc với nhau đôi một Điểm A cố định thuộc tia Oz và OA  2 Các điểm M và N

lần lượt lưu động trên các tia Ox và Oy sao cho OM ON 2(M N không trùng , O) Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN

2 .

Lời giải Chọn B

Trong tam giác vuông OBC, gọi M là trung điểm cạnh BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC Từ H dựng đường thẳng  song song với OA suy ra ,  là trục đường tròn tam giác OBC Mặt phẳng trung trưc của OA qua E và cắt  tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OAMN và bán kính R OI

Vậy OI nhỏ nhất khi và chỉ khi OH nhỏ nhất khi cà chỉ khi H là hình chiếu vuông góc của

O lên BC Khi đó tam giác OBC là tam giác vuông cân và

Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho khối chóp S ABC có SA SB SC a   và

ASB BSC CSA  30 Mặt phẳng   qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B, C sao cho chu vi tam giác AB C nhỏ nhất Tính .

Cắt hình chóp theo cạnh SA rồi trải các mặt bên ra ta được hình như hình vẽ (A là điểm saocho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A).

Khi đó chu vi tam giác AB C  bằng ABB C C A nhỏ nhất khi A, B, C, A thẳng hànghay ABB C C A AA  

Khi đó tam giác SAA có SAAASBB SC C SA 90 nên vuông cân tại S và có SA a

Câu 16: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho ba tia không đồng phẳng Ox Oy Oz đôi, ,

một vuông góc Xét tam giác ABC có các đỉnh A trên tia Ox, B trên tia Oy , C trên tia Oz

sao cho tam giác ABC chứa trong nó một điểm M cố định Thể tích khối tứ diện OABC đạtgiá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

A OM vuông góc với mặt phẳng ABC 

B.

S S S với kí hiệu

ABC

S là diện tích tam giác ABC

C M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Đặt OA a OB b OC c ;  ;  Vì điểm M cố định và M nằm trong tam giác ABC Ta gọi

S S S (Do cùng chiều cao).

Câu 17: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C    có

thể tích là V và độ dài cạnh bên AA 6 đơn vị Cho điểm A1 thuộc cạnh AA sao cho AA 1 2 Các

điểm B1, C1 lần lượt thuộc cạnh BB, CC sao cho BB1x CC, 1y, ở đó x y, là các số thực

dương thỏa mãn xy 12. Biết rằng thể tích của khối đa diện ABC A B C 1 1 1 bằng 1

1 cos sin

Biết thể tích của khối ABCD là

3312

Câu 20: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình chóp tam giác đều S ABC ,

ASB  20 , SA a , M thuộc cạnh SB, N thuộc cạnh SC, D là trung điểm cạnh SA Khi

AM MN ND  đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng diện tích các tam giác SAM , SMN, SND là:

A

24

a

2 34

a

2 28

a

2 38

a

.

Lời giải:

Chọn D

Hình 1

M D'

A' C B

Trải các mặt bên của hình chóp theo đường cắt SA ta được Hình 1

Khi đó, tổng AM MN ND  nhỏ nhất khi A, M , N, D thẳng hàng Với A và D là hai điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A, D

Khi đó tam giác SAD có ASD   , 60 SA2SD Suy ra SAD là nửa tam giác đều cạnh SA

Ta được S SAM S SMN S SND S SAM S SMNS SND

Câu 21: (THPT Tam Phước-Đồng Nai-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình l p phương ập phương ABCD A B C D    

có bằng a Điểm M thu c đoạn thẳngộc đoạn thẳng BC, điểm N thu c đoạn thẳngộc đoạn thẳng AB, MN tao với đáỵo với đáy

m t gócộc đoạn thẳng bằng 30 Tính đ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng ộc đoạn thẳng MN

11

Câu 22: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Trong mặt phẳng  P cho

tam giác XYZ cố định Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P tại điểm X và vềhai phía của  P ta lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho hai mặt phẳng AYZ và BYZ luônvuông góc với nhau Hỏi vị trí của A, B thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì thể tích khối tứ

diện ABYZ là nhỏ nhất

d X

Do X và F cố định nên đường cao XFcủa tam giác AXFkhông đổi.

Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy AB ngắn nhất khi

4



  Suy ra AX BX XF.Hay X là trung điểm AB

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi XA XB

Vậy thể tích khối tứ diện ABYZ nhỏ nhất khi X là trung điểm AB

Câu 23: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có

Sử dụng công thức giải nhanh: Cho chóp S ABC có SA a , SB b , SC c và ASB ,

C E

F

x

x y y

z

z

Trong mặt phẳng ABC dựng  D, E, F sao cho A, B, C lần lượt là trung điểm của DE,

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC

Lúc đó MN là đường vuông góc chung của SAvà BC

N

Lúc đó 2 2

3



Câu 25: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là

tam giác cân với AB AC a  , BAC120, m t phẳng ặt phẳng A BC  tạo với đáy m t góc ộc đoạn thẳng 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

338

 a

398

 a

3 38

a

3

3 38

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Gọi M , I, I lần lượt là trung điểm của A C , BC, B C .

D là điểm đối xứng với A qua I, D là điểm đối xứng với A qua I.

Khi đó m t phẳng ặt phẳng A BC   A BDC 

Þ góc giữa m t phẳng ặt phẳng (A BC¢ ¢) với đáy là góc giữa m t phẳng ặt phẳng A BDC  với đáy.

Câu 26: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình bình hành I nằm trên cạnh SCsao cho IS2IC Mặt phẳng  P chứa cạnh

AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M và N Gọi V  và V lần lượt là thể tích khối chóp

Đặt SB x

SM  ,

SD y

SN   x y, 1 Do SI 2IC

32

SC SI

 

Ta có SB SD 1 SC

SM SN   SI

3 51

Đặt SB x

SM  ,

SD y

SN   x y, 1 Do SI 2IC

32

SC SI

 

Ta có SB SD 1 SC

SM SN   SI

3 51

2 2

x y

     1

Câu 27: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABC có mặt đáy là

tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm  H nằm trongtam giác ABC sao cho AHB 150 , BHC 120 , CHA   Biết tổng diện tích mặt cầu90ngoại tiếp các hình chóp S HAB , S HBC , S HCA là 124

3  Tính thể tích khối chóp S ABC. .

A .

92

S ABC

43

O1M

B

A

C S

Vì O H O S1  1 nên tam giác O SH cân tại 1 O và 1 O M1 SH

Từ đây ta có HMO I là hình chữ nhật.1 1

Do đó, theo Định lí Pytagores thì 2 2 2 2 2

R O H  O M MH  x  x Suy ra diện tích mặt cầu  O là 1  2

1 4 4

S   x Tương tự, ta tính được diện tích mặt cầu O là 2 2

2

443

S   x 

  và O là 3  2

3 4 1

S   x Tổng diện tích các mặt cầu là 1 2 3 2

76123

Câu 28: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hai hình vuông ABCD và ABEF có

cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng t phẳng vuông góc với nhau Gọi S là

điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Thể tích của khối đa diện

Gọi V là thể tích cần tìm Ta có V V S CDEF. V ADF BCE.  *

E F

H