16 BỘ ĐỀ TS L.10 +Đ.ÁN (SÔ1)

Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 §Ị C©u1 : Cho biĨu thøc  x −1  x +  x (1 − x )  + x  − x : A=  x −  x +  x −    a, Ruý gän biÓu thức A b , Tính giá trị biểu thức cho x= c Tìm giá trị x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phơng trình: Với x ;1 +2  ( x − y) + 3( x − y) =   x + y = 12 b Giải bất phơng trình: x − x − x − 15 x= ± +2 +2 17 Câu : a)Đặt x-y=a ta ®ỵc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4  ( x − y) + 3( x − y) = Tõ ®ã ta cã   x + y = 12  x− y = * (1)  x + y = 12 Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10  x− y = −4 * (2)  x + y = 12 Gi¶i hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 ã Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1 ã Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 ®ã ta cã , ∆ = m2-2m+1= (m-1)2≥0 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0) m − m +1 = 2m −1 2m − 1 (-1,0)=> -1<  >0  =>  2m − =>m E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK O hay điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK b BCF= ∠ BAF Mµ ∠ BAF= ∠ BAE=450=> ∠ BCF= 450 Ta cã ∠ BKF= ∠ BEF Mµ ∠ BEF= ∠ BEA=450(EA đờng chéo hình vuông ABED)=> BKF=450 Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B Đề Bài 1: Cho biểu thức: P = ( )  x x −1 x x +   x − x +       x − x − x + x :  x −1     a,Rót gän P Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận A C Tài liệu ôn thi toỏn vo lp 10 b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mÃn x1 x2 =50 Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t1 t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 Bµi 4: Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chøng minh r»ng ®iĨm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y Tìm giá trị nhỏ của: A = 501 + x +y xy Đáp án Bài 1: (2 điểm) ĐK: x a, Rút gọn: P = b P = ≥ 0; x ≠ ( x( x − 1) x − z : x( x − 1) x −1 x +1 =1 + x −1 ) P= x −1 ( x − 1) = x +1 x −1 x Để P nguyên x =1 x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = ⇒ x = x −1 = ⇒ x = ⇒ x = x −1 = − ⇒ x = −1( Loai ) Vậy với x= {0;4;9} P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm ©m th×: Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 ( )   ∆ = 25 >  ⇔  (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −  m< −   ∆ = ( 2m + 1) − m + m − ≥    x1 x2 = m + m − >  x + x = 2m + <   ( m −2) b Giải phơng trình: ( m +3) =50 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − =  − 1+  m1 =  ⇔ m = − 1− 2 Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0  V× x1> => c   + b + a =  x1 x  x1 ct2 + bt + a = 0; t1 = Chøng tá x1 lµ mét nghiƯm dơng phơng trình: Vì x2 nghiệm phơng tr×nh: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 x2> nên c 1  1    + b.  + a = x  x   2 ơng trình ct2 + bt + a = ; t2 = điều chứng tỏ x2 nghiệm dơng ph- x2 Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiƯm dơng phân biệt t1 ; t2 t1 = x1 b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 = x1 + x1 ≥2 t2 + x2 = x2 + x2 ≥2 Do ®ã x1 + x2 + t1 + t2 ≥4 Bµi Một số đề tham khảo ; t2 = x Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toỏn vo lp 10 a Giả sử đà tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên A CH ⊥ AB vµ BH ⊥ AC => BD ⊥ AB CD AC Do đó: ABD = 900 vµ ∠ ACD = 900 Q VËy AD đờng kính đờng tròn tâm O H O Ngợc lại D đầu đờng kính AD P đờng tròn tâm O C B tứ giác BHCD hình bình hành D b) Vì P ®èi xøng víi D qua AB nªn ∠ APB = ∠ ADB nhng ∠ ADB = ∠ ACB nhng ∠ ADB = ∠ ACB Do ®ã: ∠ APB = ∠ ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => ∠ APB + ∠ AHB = 1800 Tø gi¸c APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: ∠ PHB = ∠ DAB Chøng minh t¬ng tù ta cã: ∠ CHQ = ∠ DAC VËy ∠ PHQ = ∠ PHB + ∠ BHC + ∠ CHQ = ∠ BAC + ∠ BHC = 1800 Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lµ lín nhÊt hay  AD lµ lín nhÊt D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O Đề Bài 1: Cho biểu thøc: P = x ( x + y )(1 − y ) − y x + y) ( ) x +1 − ( xy )( x +1 − y ) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P = Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) cã hƯ sè gãc m ®i qua ®iĨm M(-1 ; -2) Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng tr×nh : x + y + z =  1 1  + + =1 x y z  xy + yz + zx = 27  Bµi 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C A ; C B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M ®iĨm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N a) Chứng minh tam giác BAN MCN c©n b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R Bµi 5: Cho 1 1 + + = x y z x +y +z tháa m·n : x, y , z ∈R H·y tÝnh giá trị biểu thức : M = + (x8 y8)(y9 + z9)(z10 x10) Đáp án Bài 1: a) Điều kiện để P xác định :; x(1 + *) Rót gän P: P = = = = = ( ( x ) − y (1 − x + ) ( x − y ) + x x + y y − xy ( ( x + x + y ( )( )( y 1+ x − )( )( ( x + x 1− y +x− y ) − xy ) (1 + y y x ≥ ; y ≥ ; y ≠1 ; x + y ≠ ) ) xy + y − xy x + ) (1 − y ) x y ( y ) ) )( y) x ( x + 1) − y ( x + 1) + y ( + x ) ( − x ) (1 + x ) (1 − y ) x (1 − y ) (1 + y ) − y (1 − y ) x − y + y − y x = (1 − y ) (1 − y ) x + y 1+ x 1− VËy P = x + x + xy − b) P = ⇔ ( ⇔ x1+ ( ⇔ )( xy − ) ( y − x −1 + y ) =2 = x + xy − y y ) y +1 =1 y =1 Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Ta cã: + y ≥ ⇒ x − ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m – ⇔ x2 + mx + m = (*) Vì phơng tr×nh (*) cã ∆ = m − 4m + = ( m − 2) + > m nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung phơng trình : x2 + mx + m = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m < x + y + z = (1)  1 1 Bµi :  + + = (2) x y z  xy + yz + xz = 27 ( 3)  §KX§ : x ≠ , y ≠ , z ≠ ⇒ ( x + y + z ) = 81 ⇔ x + y + z + ( xy + yz + zx ) = 81 ⇔ x + y + z = 81 − ( xy + yz + zx ) ⇔ x + y + z = 27 ⇒ x + y + z = ( xy + yz + zx ) ⇒ 2( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) = ( x − y ) =  ⇔ ( y − z ) = ( z − x ) =  x = y  ⇔ y = z  z = x ⇔ x= y= z Thay vµo (1) => x = y = z = Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Q Bµi 4: a) XÐt ∆ABM NBM Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) N nên :AMB = NMB = 90o M điểm cung nhỏ AC C nªn ABM = MBN => BAM = BNM M => BAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cïng bï víi gãc MCB) A O => MCN = MNC ( cïng b»ng gãc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M b) Xét ∆ MCB vµ ∆ MNQ cã : Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt) ∠ BMC = ∠ MNQ ( v× : ∠ MCB = ∠ MNC ; ∠ MBC = ∠ MQN ) => ∆ MCB = ∆ MNQ (c g c) => BC = NQ Xét tam giác vuông ABQ cã AC ⊥ BQ ⇒AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( −1) R Bµi 5: Tõ : => 1 1 + + = x y z x +y +z => x + 1 + − =0 y z x +y +z x +y x + y +z −z + =0 xy z( x + y + z )   ⇒ ( z + y )  xy + z ( x + y + z )  =0     zx + zy + z + xy  ⇒ ( x + y )  xyz ( x + y + z )  =    ⇒ ( x + y )( y + z ) ( z + x ) = Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = Đề Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định y = 2x + Đờng thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là: A.y = x + ; B.y = x - ; C.y = HÃy chọn câu trả lời ®óng x - ; D.y = - 2x - 2) Mét h×nh trơ cã chiỊu cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình lại kính hình trụ bán kính hình cầu A.2 ; B ; C 3; bình Tỉ số bán D kết khác Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn A = x + y Bài 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức : (x + a)(x - 4) - Ph©n tÝch thành thừa số đợc : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, ®iĨm M di ®éng gãc xAy cho MA MB = Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ Mt s b tham kho Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB CD vuông góc với nhau, lấy điểm I đoan CD a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung ®iĨm cđa MN b) Chøng minh tỉng MA + NA không đổi c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hớng dẫn Bài 1: 1) Chọn C Trả lời 2) Chọn D Kết khác: Đáp số là: Bµi : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1) = (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2 VËy A chia hÕt cho sè phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( x + y )2 = x + y + xy = + xy (1) Ta cã: x+y ≥ xy => > xy (Bất đẳng thức Cô si) (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + Max A2 = x = y = xy MB MD = MA AD =2 => MD = 2MD (0,25 ®iĨm) XÐt ba ®iĨm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do ®ã MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC Dấu "=" xảy M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ MB + MC DC * Cách dựng điểm M - Dựng đờng tròn tâm A bán kính - Dựng D trªn tia Ax cho AD = AB AB M giao điểm DC đờng tròn (A; AB) Bµi 4: a) Dùng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC N Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA A => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta cã IA = IB = IM = IN Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN qua hai điểm A, B cố định N C I K O M D Đề Bài Cho ba số x, y, z tho· m·n ®ång thêi : x2 + y + = y + z + = z + 2x + = Tính giá trị biểu thức : A = x 2007 + y 2007 + z 2007 Bµi 2) Cho biÓu thøc : M = x − x + y + xy − y + 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình :  x + y + x + y = 18    x ( x + 1) y ( y + 1) = 72  Bµi Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D a.Chứng minh : AC BD = R2 b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực dơng Chøng minh r»ng : Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ơn thi tốn vào lp 10 a) Rút gọn A 2) Tìm giá trị x để A = Câu 4: Từ điểm P nằm đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC a) Chứng minh PC cắt AH trung điểm E cđa AH b) Gi¶ sư PO = d TÝnh AH theo R d Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án Câu a) f(x) = x − x + = ( x − 2) = x − Suy f(-1) = 3; f(5) = b)  x − = 10 f ( x) = 10 ⇔  ⇔ x − = − 10  c) A=  x = 12 x = −8  x −2 f ( x) = x − ( x − 2)( x + 2) x+2 Víi x > suy x - > suy A= Víi x < suy x - < suy A=− x+2 C©u Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10  x( y − 2) = (x + 2)( y − 4)   (x − 3)(2 y + 7) = (2x − 7)( y + 3)  xy − 2x = xy + y − 4x − ⇔  2xy − y + 7x − 21 = 2xy − y + 6x − 21  x − y = −  x = -2 ⇔ ⇔   x+ y =  y = C©u 3a) Ta cã: A= = = 2− x x x   x −1    x − x +1 x −1   x − x + x   :  −  x −1 x −1   x −1      = =>   x −1   x  ( x + 1)( x − x + 1) x −   x ( x − 1)    +  ( x − 1)( x + 1) − x −  :  x −1    = b) A =  x x +1 x −1       x −1 − x −1  :  x +    x − x +1 − x +1 x −1 − x +2 =3 C©u x −1 : : x x −1 = x −1 => 3x + x x − x +2 -2=0 x −1 ⋅ x −1 = x 2− x x => x = 2/3 P A E B Một số đề tham khảo O H C Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 a) Do HA // PB (Cïng vu«ng góc với BC) b) nên theo định lý Ta let ¸p dông cho tam gi¸c CPB ta cã EH CH = PB CB ; (1) Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC POB Do ®ã: AH CH = PB OB (2) Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta cã AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH = ( R − AH.CB AH.CB ) 2PB 2PB ⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 ⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB ⇔ AH = = 4R.CB.PB 4R.2R.PB = 2 4.PB + CB 4PB + (2R) 8R d − R 2.R d − R = 4(d − R ) + 4R d2 Câu (1đ) Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 > (2m - 1)2 - (m - 1) > Tõ ®ã suy m ≠ 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta cã: Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 2m −   x1 + x = −  m−  ⇔  x x =   3x − 4x = 11   13 - 4m  x1 =   7m −   x1 = 26 - 8m   13 - 4m 7m −  − 26 - 8m = 11 Giải phơng trình 13 - 4m 7m = 11 26 - 8m ta đợc m = - m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt t Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức: A= 3+ + 5+ + 7+ + .+ 97 + 99 3333 35   B = 35 + 335 + 3335 + +   99 sè  C©u II :Ph©n tích thành nhân tử : 1) X2 -7X -18 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 C©u III : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dơng : cho x+4y = T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2 C©u : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q a) Chứng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP MQ C©u 5: Cho P = x − 4x + x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rót gän biĨu thøc C©u : Một số tham kho đáp án Nguyn Vn Thun Ti liu ôn thi toán vào lớp 10 1) A = = 1 1 + + + .+ 3+ 5+ 7+ 97 + 99 ( − + − + − + .+ 99 − 97 )= ( 99 − )     35 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333  = 99 sè =33 +2 +333+2 +3333+2+ .+ 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) ( 102 -1 +103 10101 −10    +165   27   198 + B= 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + C©u 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1®) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ 1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) a2b2+2abcd+c2d2 ≤ a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 ≤ a2d2 - 2cbcd+c2b2 ≤ (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc 2) áp dụng đẳng thức ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) ≤ (x2 + y2) (1 +16) => x2 + y2 ≥ 25 17 => 4x2 + 4y2 ≥ 100 dÊu 17 = x·y x= 17 ,y= 20 17 (2đ) Câu : 5® Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = góc BCA=> MPD đồng dạng với ICA => DM MP = => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB CI IA (1) Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10 Ta cã gãc ADC = gãc CBA, Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = góc BIA Do DMQ đồng dạng với ∆ BIA => DM MQ = => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA Tõ (1) vµ (2) ta suy MP MQ =1 Câu Để P xác định : x2-4x+3 ≥ vµ 1-x >0 Tõ 1-x > => x < Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nªn ta cã : (x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > VËy víi x < th× biĨu thøc cã nghÜa Víi x < Ta cã : P= x − 4x + 1− x = ( x −1)( x − 3) 1−x = 3−x §Ị 11 C©u : a Rót gän biĨu thøc A = 1+ b Tính giá trị tổng 1 + a ( a + 1) B = 1+ Víi a > 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 100 C©u : Cho pt x − mx + m − = m a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ b Gäi x1 , x lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt P= C©u : Cho x ≥ 1, y ≥1 x1 x2 + x1 + x2 + 2( x1 x + 1) 2 Chøng minh 1 + ≥ 2 + xy 1+ x 1+ y Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, tõM kỴ MH ⊥ AB (H ∈ AB) Gäi E F lần lợt hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB D Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn Chøng minh Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 MA AH AD = BD BH MB Hớng dẫn Câu a Bình phơng vế A= a2 + a +1 a( a + 1) (V× a > 0) c áp dụng câu a A =1 + 1 − a a +1 9999 = 100 100 ∆≥0 ∀ m ⇒ B = 100 − Câu a : cm B (2 đ) áp dụng hÖ thøc Viet ta cã:  x1 + x2 = m   x1 x2 = m − ⇒P= 2m + (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiÖm theo Èn m2 + ≤ P ≤1 ⇒ GTLN = − ⇔ m = −2 GTNN = ⇔ m = ⇒− C©u : Chuyển vế quy đồng ta đợc x( y − x ) y( x − y ) b®t ⇔ (1 + x )(1 + xy ) + (1 + y )(1 + xy ) ≥ ⇔ ( x − y ) ( xy − 1) xy Câu 4: a - Kẻ thêm đờng phụ - Chứng minh MD đờng kÝnh cđa (o) => b Gäi E', F' lÇn lợt hình chiếu D MA MB §Ỉt HE = H1 HF = H2 ⇒ AH AD HE.h1 MA = BD BH HF h2 MB ⇔ ∆HEF (1) M o E' F E F' D A B H I ∞ ∆DF ' E ' ⇒ HF h2 = HE.h Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 MA AH AD = Thay vµo (1) ta cã: BD BH MB C©u 1: Cho biĨu thøc D = §Ị 12  a+ b a + b + 2ab  a + b  +   : 1 + + ab   − ab    − ab a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a = 2 c) Tìm giá trị lớn D 2 Câu 2: Cho phơng trình x2- mx + 2− m2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1 b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiÖm tho· m·n 1 + = x1 + x x1 x Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Chøng minh r»ng AI = 2bc.Cos b +c α ˆ A = α(α = 90 ) (Cho Sin2 = 2SinCos ) Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho NA NB Vễ vào đờng tròn hình vuông ANMP a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp c) Chứng minh đờng thẳng MP qua điểm cố định Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 HÃy tính giá trị của: B= xy zx xyz + + z y x Đáp ¸n Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 a ≥ Câu 1: a) - Điều kiện xác định cđa D lµ  b ≥  ab ≠  - Rót gän D D= D=  a + 2b a   a + b + ab   :  − ab    − ab  a a +1 b) a = 2+ VËy D = = 2( + = ( + 1) ⇒ a = + 1 +2 3 −2 = 4− +1 c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có a a +1 D Vậy giá trị D Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) x + x − = ⇔ x + 2x − = 2  x1 = − − 10 ⇒  x2 = − + 10 b) Để phơng trình có nghiệm ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ * ( ) m + 4m ( ) + Để phơng trình có nghiệm khác m1 − *  ⇒  m2 ≠ − +  ⇔ 1 + + = x + x ⇔ ( x + x )( x x − 1) = ⇔ 2 12 x1 x2 Một số đề tham khảo  x1 + x2 =   x1x2 − = Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi toán vào lớp 10  m=  2m =  ⇔  ⇔  m −= − 19  m + 8m − =   m −= + 19 KÕt hỵp víi điều kiện (*)và (**) ta đợc m = C©u 3: + S ∆ABI = m = −4 − 19 α AI cSin ; 2 A α + S ∆AIC = AI bSin ; 2 + S ∆ABC = bcSinα; S ∆ABC = S ∆ABI + S ∆AIC ⇒ bcSinα = AISin ⇒ AI = C©u 4: b) a α (b + c) bcSinα = α Sin (b + c) ) ) ⇒ QA = QB α 2bcCos b+c α 2 B α ˆ ˆ a) N1 = N Gọi Q = NP Suy Q cố định I b C c ∩ (O) ˆ ˆ ˆ A1 = M ( = A2 ) ⇒ Tø gi¸c ABMI nội tiếp c) Trên tia đối QB lấy ®iĨm F cho QF = QB, F cè ®Þnh Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF ˆ ABF vuông A B = 45 ⇒ AFB = 45 ˆ ˆ L¹i cã P1 = 45 ⇒ AFB = P1 ⇒ Tø gi¸c APQF néi tiÕp ⇒ ˆ ˆ APF = AQF = 90 2 ˆ ˆ Ta cã: APF + APM = 90 + 90 ⇒ M1,P,F Thẳng hàng Câu 5: Biến đổi B = xyz N A = 180  1  + + x y z  M I 1 P  =2  =  = xyz  xyz  Q F Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận B Tài liệu ôn thi toỏn vo lp 10 Đề 13 Bài 1: Cho biÓu thøc A = x − 4( x − 1) + x + 4( x − 1)   1 − x −1÷   x − 4( x 1) a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng tr×nh Èn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh a) EF // BC b) C¸c tam gi¸c AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài : Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 ≥ x3 + y4 Chøng minh: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y ≤ Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thun Ti liu ụn thi toỏn vo lp 10 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mÃn x − ≠   x − 4( x − 1) ≥   x + 4( x − 1) ≥   x − 4( x − 1) > ⇔ x ≠ x ≥   x ≥ x ≠  ⇔ x > vµ x ≠ KL: A xác định < x < x > b) Rót gän A A= ( x − − 1)2 + ( x − + 1)2 x − x −1 ( x − 2)2 x −1 −1 + x −1 +1 x − x −2 x −1 Víi < x < A= 1− x A= Víi x > A= x −1 KÕt luËn Víi < x < th× A = Víi x > A = x x Bài 2: a) A B có hoành độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB cã d¹ng y = ax + b A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta có a = 3; b = -13 Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Gi¶ sư M (x, 0) ∈ xx’ ta cã MA = ( x − 5)2 + (0 − 2)2 MB = ( x − 3)2 + (0 + 4)2 ∆MAB c©n ⇒ MA = MB ⇔ ( x − 5)2 + = ( x − 3)2 + 16 ⇔ (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16 x=1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng Mt s đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ôn thi tốn vào lớp 10 Ta l¹i cã: m = 0; < loại m = th× ∆ = = 22 nhËn m ≥ th× 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ ∆ - (2m2 - 2m - 5) < ∆ < ∆ + 4m + ⇔ m4 - 2m + < ∆ < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < ∆ < (m2)2 ∆ kh«ng phơng Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4: A F E ằ à à a) EAD = EFD(= sd ED) (0,25) » B · · FAD = FDC(= sd FD ) (0,25) · · · · mµ EDA = FAD ⇒ EFD = FDC (0,25) D ⇒ EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) » » b) AD phân giác góc BAC nên DE = DF 1 » · s® AE = s® ADE 2 à à à à ACD = ADE EAD = DAC à ẳ ằ sđ ACD = sđ( AED − DF ) = ⇒ ∆DΑΕ ∼ ∆ADC (g.g) » 1 · ¼ » ¼ » · à à Tơng tự: sđ ADF = sd AF = sd ( AFD − DF ) = (sd AFD − DE ) = sd ABD ⇒ ADF = ABD 2 ®ã ∆AFD ~ →ΑΒ (g.g c) Theo trªn: + ∆AED ~ ∆ΑDB AE AD = hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF = + ∆ADF ~ ∆ABD ⇒ AB AD ⇒ ⇒ AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ): Ta có (y2 - y) + ≥ ⇒ 2y3 ≤ y4 + y2 ⇒ (x3 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x2 + y2) + (y4 + x3) mµ x3 + y4 ≤ x2 + y3 ®ã x3 + y3 ≤ x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 ≥ ⇒ x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y ≥ ⇒ (x2 + y2) + (x2 + y3) ≤ (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 Một số đề tham khảo Nguyễn Văn Thuận C Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 ⇒ x2 + y2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ (y - 1)(y3 -1) ≥ x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 + ≥ ⇒ (x + y) + (x2 + y3) ≤ + (x3 + y4) mµ x2 + y3 ≥ x3 + y4 ⇒x+y≤2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x3 + y3 ≤ x2 + y2 ≤ x + y Đề 14 Câu 1: x- 4(x-1) + x+ 4(x-1) cho A= (1- ) x - 4(x-1) x-1 a/ rút gọn biểu thức A b/ Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thoà mÃn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1 m3x+(m2-1)y =2 vô nghiệm, vô số nghiệm Câu 4: tìm max biểu thức: x2+3x+1 x2+1 Câu 5: Từ đỉnh A hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với góc 45 Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM hớng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x≠2 vµ x>1 ( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 A= x-2 ( (x-2) x-1 + x- 2 = x- -1 + = Một số đề tham khảo ) x-1 x- = Nguyễn Văn Thuận Tài liệu ơn thi tốn vào lớp 10 x-2 x-1 x-1 x-1 b/ Để A nguyên x- ớc dơng * x- =1 x=0 loại * x- =2 x=5 với x = A nhận giá trị nguyên Câu 2: Ta có x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt vàchỉ m-7-4 m-7+4 (*) a/ Giả sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoà mÃn (*) b/ Theo gi¶ thiÕt ta cã: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2) x1x2 =-m+6 (3) giải hệ ta đợc m=0 m= Thoả mÃn (*) Câu 3: *Để hệ vô nghiệm m/m3=-1/(m2-1) 1/2 3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0 2 3m -1≠-2 3m ≠-1 m=±1/2 m=±1/2 ∀m *HƯv« sè nghiƯm th×: m/m3=-1/(m2-1) =1/2 3m3-m=-m3 m=0 3m -1= -2 m=1/2 Vô nghiệm Không có giá trị m để hệ vô số nghiệm Câu 4: Hàm số xác định với x(vì x2+10) x2+3x+1 gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm *y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 -2 ≤ y0 ≤ VËy: ymin=-2 vµ y max=4 Câu 5: A Giải a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới góc 450 tứ giác ABEQ nội tiếp đợc FQE = ABE =1v chøng minh t¬ng tù ta cã ∠ FBE = 1v Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy AQE vuông cân AE AQ = (1) Mt số đề tham khảo D (y0-1)2≤ suy B M P E Q F Nguyễn Văn Thuận C ... ⇔ x +1 = x −15 ? ?16 = x ⇒ x= c M = x +1 x −3 = 16 = ⇒ x =16 x −3 + Do M ∈ z nªn ⇒x ∈{1;4 ;16; 25;49} x −3 =1+ x −3 lµ x −3 íc cđa x nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; x ≠ ⇒ x ∈{1 ;16; 25;49} Bµi a 3x2... + ÷+  + + ÷+  + + ÷ x + y + z x + y + z x + y + z 16  x y z  16  x y z  16  x y z  4 4 1 1 ≤  + + ÷ ≤  + + ÷ ≤ = 16  x y z  16  x y z  V× 1 + + =4 x y z x − x + 2006 B= ( x ≠... ÷ 2 1 4 4 ≤  +  +  +  =  + + ÷ x y x z 16  x y z  1 1 1 ≤  + + ÷ x + y + z 16  x y z  T¬ng tù 1 1 2 ≤  + + ÷ x + y + z 16  x y z Cộng vế bất đẳng thức ta cã: 1 1 2 1