Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Thpt năm học 2009 - 2010 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức (Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Môn: toán ---------------------------------------------- I. Hớng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài đúng, không theo cách nêu trong đáp án thì cho điểm các phần tơng ứng nh đáp án. 2) Cho điểm đến 0,25 không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm: Câu ý Nội dung Điểm I (3,0 điểm) 1) (1,0 điểm) Điều kiện xác định của biểu thức A là x 0 x 1 0,25 x x 1 (x 1)( x 1) A x 1 + = 0,25 x x 1 x x x x 1 x x x 1 x 1 + + + + = = 0,25 x( x 1) x ( x 1)( x 1) x 1 + = = + 0,25 2) (1,0 điểm) Khi 9 x 4 = , ta có 9 4 A 9 1 4 = 0,25 3 2 3 1 2 = 0,25 3 2 1 2 = 0,25 3 = , Vậy A = 3. 0,25 3) (1,0 điểm) Trong điều kiện xác định thì A < 1 trở thành x 1 x 1 < (*). x x x 1 1 (*) 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 + < < < 0,5 x 1 0 x 1 x 1 < < < 0,25 Kết hợp với điều kiện ta có kết quả là 0 x 1 < 0,25 II (2,5 điểm) 1) (1,0 điểm) Khi m = 2, phơng trình trở thành 2x 2 - 5x + 2 = 0 0,25 25 16 9 = = 0,25 Phơng trình có hai nghiệm là 1 5 9 1 x 4 2 = = 0,25 2 5 9 x 2 4 + = = 0,25 2) (1,0 điểm) Ta có ( ) = + = + 2 2 m 3 8m m 2m 9 0,25 ( ) = + > 2 m 1 8 0, m R 0,25 Khi đó + + = = 1 2 1 2 m 3 x x 2 m x x 2 0,25 + = 1 2 1 2 5 x x x x 2 , trở thành + = = m 3 5m m 2 2 4 . Vậy m = 2. 0,25 3) (0,5 điểm) Ta có + + + + + = = 2 2 1 2 m 3 (m 1) 8 m 3 (m 1) 8 x ; x 4 4 0,25 + = = = 2 1 2 (m 1) 8 8 P x x 2 2 2 , dấu "=" khi m = 1. Vậy MinP = 2 , khi m = 1. (Lu ý: HS có thể viết đảo nghiệm x 1 cho x 2 thì không có gì thay đổi) 0,25 III (1,5 điểm) Gọi chiều rộng, chiều dài của thửa ruộng tơng ứng là x, y. Điều kiện x > 0, y > 0; đơn vị của x, y là mét. 0,25 Vì chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m nên y - x = 45 (1). 0,25 Chiều dài giảm 2 lần, chiều rộng tăng 3 lần ta đợc hình chữ nhật có hai cạnh là y/2 và 3x. 0,25 Theo giả thiết chu vi không thay đổi nên 2(x + y) = 2(3x + y/2) (2). 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình = + = + y x 45 y 2(x y) 2(3x ) 2 . Giải hệ này ta có = = x 15 (m) y 60 (m) , thỏa mãn điều kiện. 0,25 Vậy diện tích của thửa ruộng là S = xy = 900 (m 2 ). 0,25 IV (3,0 điểm) 1) Vì CD là đờng kính, nên tam giác AEF là tam giác vuông tại A. 0,25 Vì EF là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R) tại B nên AB là đờng cao của tam giác vuông AEF 0,25 Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có BE.BF = AB 2 0,25 Vì AB là đờng kính nên BE.BF = 4R 2 . 0,25 2) (1,0 điểm) ã ằ ẳ ằ ( ) 1 1 2 2 ADC Sd AC Sd ACB SdCB= = 0,25 ã ẳ ằ ( ) ẳ ằ ( ) 1 1 2 2 AEF Sd ADB Sd CB Sd ACB Sd CB= = 0,25 Suy ra ã ã ã ã 0 180ADC AEF CDF CEF= + = 0,25 Vậy tứ giác CEFD nội tiếp đợc trong đờng tròn. 0,25 3) (1,0 điểm) Gọi K là trung điểm của EF, từ K kẻ đờng thẳng Kt EF, từ O kẻ đờng thẳng Ox CD. Khi CD không trùng, không vuông góc với AB thì Kt cắt Ox tại I là tâm đờng tròn ngọai tiếp tứ giác CEFD. 0,25 Vì AK là trung tuyến của tam giác vuông AEF nên ã ã KAF AFE= , kết hợp với ã ã ADC AEF= và ã ã 0 90AFE AEF AK CD+ = 0,25 Suy ra tứ giác AKIO là hình bình hành, do đó KI = AO = R không đổi và I khác phía với điểm O so với đờng thẳng cố định EF. Suy ra I năm trên đờng thẳng d cố định (d // EF, d cách EF một khoảng bằng R không đổi và d thuộc nữa mặt phẳng bờ EF không chứa điểm O.) 0,25 Trong trờng hợp CD AB thì tâm I là giao điểm của đờng thẳng AB và d. Vậy tâm I nằm trên một đờng thẳng d cố định. (Lu ý: Nếu thí sinh làm theo cách này mà không nói gì đến CD AB thì chỉ trừ 0,25 điểm) 0,25 A B C D F I O K E t x d Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Nghệ an Năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A = x x 1 x 1 x 1 x 1 + + . 1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 4 . 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1. Câu II (2,5 điểm). Cho phơng trình bậc hai, với tham số m : 2x 2 (m + 3)x + m = 0 (1) 1) Giải phơng trình (1) khi m = 2. 2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 + x 2 = 1 2 5 x x 2 . 3) Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 2 x x . Câu III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Câu IV (3,0 điểm). Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB cố định và CD là một đờng kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đờng tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng AC và AD lần lợt tại E và F. 1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn. 3) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đờng thẳng cố định. --------------Hết------------- Họ và tên thí sinh: Số báo danh :. Gợi ý Đáp án Đề chính thức Câu I: 1. Đkxđ: x 0, x 1 A = 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x + + = = + + + 2. Với x = 9 4 => A = 3 2 3 3 1 2 = . 3. A<1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 + < < < < x x x x x x x x x x<1 Kết hợp với ĐKXĐ của biểu thức ta có: 0 x < 1 Vậy để A < 1 thì 0 x < 1. Câu II: 1. Với m = 2 thì phơng trình trở thành: 2x 2 5x + 2 = 0 Phơng trình có hai nghiệm là: x 1 = 2 và x 2 = 1 2 . 2. Ta có = (m + 3) 2 4.2.m = m 2 - 2m + 9= (m - 1) 2 + 8 > 0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Theo Viét ta có: 1 2 1 2 3 2 2 m x x m x x + + = = Do đó : x 1 + x 2 = 5 2 x 1 x 2 2(m+3) = 5m m = 2. 3. Ta có (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 4x 1 .x 2 = 2 (m 3) 4 + 2m = 2 ( 1) 8 2 4 m + 1 2 2 x x Vậy MinP = 2 khi m - 1 = 0 m = 1 Câu III: Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x(m) ( x> 0) Khi đó chiều dài của thửa ruộng là x + 45 (m) Lập đợc PT : 2(x + x + 45) = 2(3x + x 45 2 + ) Giải PT trên đợc x = 15 thoả mãn điều kiện ban dầu. Suy ra chiều rộng thửa rộng là 15m, chiều dài là 60m Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m 2 ). Câu IV: 1. Ta có tam giác AEF vuông tại A ( à A là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) Mà AB là đờng cao. => BE.BF = AB 2 (Hệ thức lợng trong tgv) => BE.BF = 4R 2 ( Vì AB = 2R) 2. Ta có ã CEF = ã BAD (Cùng phụ với ã BAE ) Mà ã BAD = ã ADC ( Tam giác AOD cân tại A) => ã CEF = ã ADC => Tứ giác CEFD nội tiếp. 3. Gọi H trung điểm của EF là . => IH // AB hay IH // AO (*) Ta lại có tam giác AHE cân tại H (AH là trung tuyến của tam giác vuông AEF, à A = 90 0 ) => ã HAC = ã HEA (1) d R R I H O F E D C B A Mà ã HEA + ã BAC = 90 0 (2) Mặt khác ã BAC = ã ACO ( tam giác AOC cân tại O) (3) Từ (1), (2) và (3) => ã ã 0 HAC ACO 90+ = AH CD Mặt khác OI CD ( đờng kính đi qua trung điểm của 1 dây) => AH// OI (**) Từ (*) và (**) => AHIO là hình bình hành => IH = AO = R (không đổi). Nên I cách đờng thẳng cố định EF một khoảng không đổi bằng R Vậy I thuộc đờng thẳng d // EF và cách EF một khoảng bằng R. ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TỈNH NGHỆ AN Năm học: 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (3,0đ). Cho biểu thức 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9/4. 3. Tìm tất cả các giá trị của x để A <1. CâuII: (2,5đ). Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x 2 – (m+3)x + m = 0 (1). 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 + x 2 = x 1 x 2 . 3. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu III: (1,5đ). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi. Câu IV: (3,0đ). Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F. 1. Chứng minh rằng BE.BF = 4R 2 . 2. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn. 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định. !" # $%&' ()*+,-. / 01"2/0 "3 456)*+,-34 473 89 : ;<)*+,-8+= : / >/ ? @/ 0/ 3AB / 4/ 3!B 49 : ;<;8;C+DE-D (;)F+G+H8)*+,-.3/0I1J'24 4&-KI;;)F+G+;L;.$1>M21A>A24 4&,+,)F+NKIO-;)N-;P1!>28% : ;)F+G+;8J%+DE-D (9! (IQ. + − = − − + a 3 3 a M 2 a 6 2 a 6 a 0;a 9.≥ ≠ 4RC+$4 4&-;$8+',<IS+#4 !4&-+',<+=;$8+',<+=*4&-+',< +=;84 (9#4 (;)F+,T;)F+JUV3 R4&OJWXXH ;)F+,T45(;,=+V>YV(JZH[H\]4 456^(;U+_+V4(Q++'V] %+94 456^(;I`J-,=+V1(J%+,a+V24 5b;I`J-,=+?(1bJ%+,a+(24YVb JZH[b\c4 2(Q+Q+'(b]c% : X;)F+,T4 I2(Q+V(4V]3Vb4Vc34 M 56)*+,-./ # "d/ 0/0 34 )+He9J8 M./ # "d/ 0/0 3 ⇔1/ "/"!21/ "/"#23 êf tuyêgn sinh vafo lp 10 ca #" M $%&' 1!;2 4&-;J= : /';<'IQ − 2 1 a) x 25 +b) x 2 456= : )*+,- 2 3 5 x y 3 2 1 x y + = − = 1 KM;2 ()*+,-./ 0 /" "!3 456)*+,-34 4(Q+,S+)*+,-8+= : +',<4 !4&-+= : )*+,-Jh+I-)*+'+= : 9 : +',<?`4 (9!1!;2 (+'V(%+\V>b% : ;,=V(>;)F+,T ;)F+JUb([(\]>;)F+G+b[;)F+,T;)F+JU b(\c4 (Q+,S+. 4&+'V(;i+H\++']b(4 4&Q+'V(c% : X;)F+,T4 !4V(9+'+8]Vc4 (9#41KM;2 4(Q+,S+ 4 4 3 3 a b a b ab+ ≥ + KI4 4&-+= : +=)*+,-.1 0#21/ 0 23d/ 4 )+He9J8 (9#. 4 ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 2 a b a b ab a b a ab b 0 + ≥ + ⇔ − + + ≥ 41 0#21/ 0 23d/ ⇔1/" 2 01 " /2 3 2 2 y 0 xy 2y 0 x 2 y 2x 0 y 2x = − = = ⇔ ⇔ − = = b;88'+j.1>2>1 > 2>1 >A 2 2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TỈNH NINH BÌNH M" k $%.&' &F+I.MC Câu 1.1 K;2(YIl`.3 /0I12 2Y;@;i+IX+<IX,=RD56UD I2X,S+;i<Y12;L;V1>!24&-Im;i< Y124 Câu 2.1 K;2(IQ 1 1 A 1 a 1 a 1 = − − − + 2&-l/';<,C+IQV4 I2&-'Y+=Y;+',<IQVnY+=4 Câu 3.1 K;2 $n^,n+-_l8HjUISH 4&U;nH' \^,n+4XX+,n+^,n+= +6H^,n+;M-HjU^,n+m+= M 4 Câu 4.1!K;2 (;)F+,T1o>R24&On;Pp+;)F+,TJWX X9IjPVKP(1VK('X;>PVqR2;)F+,T1o24 2(Q+Q+'PVo(nX;)Nn;)F+,T4 I2&Vo[;)F+,T1o2\>;)F+G+LP++ SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (3 điểm). Cho biểu thức A = 2 2 1 1 1 x x x x − − − − + . 1. Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. 2. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9. 3. Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B, với B = A(x – 1). Câu II (2 điểm). Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m. x 2 – (m + 1)x + 2m – 2 = 0 (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1). Câu III (1,5 điểm). Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là không thay đổi). Câu IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O). Đường thẳng đi qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại C. Trên cung BC lấy điểm D bất kỳ (D khác B và C). Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại D cắt đường thẳng HC tại E. Gọi I là giao điểm của AD và HC. 1. Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân. 3. Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD. Chứng minh góc ABF có số đo không đổi khi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C). Hết Họ và tên thí sinh:………………………………………Số báo danh:………………… Đề chính thức SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn và biểu điểm chấm này gồm 03 trang) Môn : TOÁN I. Hướng dẫn chung : 1) Nếu thì sinh làm bài đúng , không theo cách nêu trong đáp án thì cho điểm các phần tương ứng như trong đáp án. 2) Cho điểm đến 0,25 không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm : Câu Ý Nội dung Điểm I. (3,0đ) 1. (1,5đ) Điều kiện xác định của biểu thức A là: 0 1 x x ≥ ≠ 0,50 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 x x x A x x + − − − = − + 0,50 ( ) ( ) 1 1 x x x x − = − + 0,25 ( ) 1 x x = + 0,25 0,75đ Khi x = 9, ta có A = 9 9 1+ 0,50 = 0,25 0,75đ B = ( ) 1x x − 0,25 2 1 1 B 2 4 x x x = − = − − ÷ 0,25 B ≥ - ∀x : 0 ≤ x ≠ 1 ; Đẳng thưc xẩy ra khi x = , thoả mãn . Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng - khi x = . 0,25 II. (2,0đ) 1. (1,00đ) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành x 2 - 3x + 2 = 0 0,25 ∆ = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 ) 0,25 Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2 0,50 2. (1,00đ) Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên (- 2) 2 - (m + 1)(-2) + 2m - 2 =0 (*) 0,50 (*) ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔ m = - 1 . Vậy m= -1 0,50 III. (1,5đ) Gọi x là thời gian người thứ nhất một mình hoàn thành công việc . Gọi y là thời gian người thứ hai một mình hoàn thành công việc . ( x > 0, y > 0, đơn vị của x,là giờ ) 0,25 I C O E A B H D Người thứ nhất làm trong thời gian 1 gìờ được 1/x công việc . Người thứ hai làm trong thời gian 1 giờ được 1/y công việc . Vì hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong thời gian 4giờ 30 phút nên 1 1 2 9x y + = 0,25 Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người làm được 75% công việc nên 4 3 3 4x y + = Từ đó ta có hệ 1 1 2 1 1 9 12 1 5 4 3 3 36 4 x y x y x y + = = ⇔ = + = 0,50 12 36 5 x y = = (thoả mãn điều kiện ) Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ người thứ hai một mình làm xong công việc trong 7giờ 12 phút 0,25 IV. (3,5đ) 1. (1,5đ) 0,50 Vì AB là đường kính nên · 90ABD = ° , do đó · 90IDB = ° 0,25 vì CH ⊥ AB nên · 90IHB = ° 0,25 suy ra · IDB + · 180IHB = ° 0,25 Vậy tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn 0,25 2. (1,25đ) · · » 1 AD 2 EDA DBA sd = = ÷ 0,50 · · DEI DBA= ( cùng bù · DIH ) 0,50 Do đó · · EDI DIE= hay ∆DEI là tam giác cân 0,25 F I C E O A B H D 3. (0,75đ) ( lưu ý : Không yêu cầu