Một cách đơn giản để đưa một tôpô vào một không gian vectơ sao cho tôpô tương thích với cấu trúc đại số là cho trước một chuẩn. Tuy nhiên, lớp các không gian đó chưa đủ rộng để nghiên cứu các vấn đề cụ thể của giải tích, bởi vì nhiều không gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiên trên nó không thể cho được bởi chuẩn nào. Tài liệu này khảo sát lớp không gian đó, chúng tổng quát hơn các không gian định chuẩn và gọi là các không gian vectơ tôpô.
Topological Vector Spaces TRAN QUAN KY Department of Mathematics Hue University’s College of Education E-mail address: quankysp (at) gmail Hue, June 2007 Mục lục Mục lục Lời mở đầu Tập lồi, tập cân, tập hút không gian vectơ Không gian vectơ tôpô Cơ sở lân cận Tính chất tách 12 Khơng gian mêtric hóa 15 Họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương 18 Bài tập 28 Kết luận .29 Tài liệu tham khảo 30 ♥ Topological Vector Spaces Lời mở đầu Một cách đơn giản để đưa tôpô vào không gian vectơ cho tơpơ tương thích với cấu trúc đại số cho trước chuẩn Tuy nhiên, lớp không gian chưa đủ rộng để nghiên cứu vấn đề cụ thể giải tích, nhiều khơng gian vectơ quan trọng nảy sinh mà tôpô tự nhiên khơng thể cho chuẩn Tài liệu khảo sát lớp khơng gian đó, chúng tổng qt không gian định chuẩn gọi khơng gian vectơ tơpơ Mở đầu, tài liệu trình bày số kết cần thiết tập lồi, tập cân tập hút, công cụ quan trọng việc khảo sát tôpô không gian vectơ tôpô Phần nội dung tài liệu khảo sát sở lân cận tính chất tách khơng gian vectơ tơpơ, khơng gian mêtric hóa được, khơng gian chuẩn hóa khơng gian lồi địa phương Các vấn đề giải tương đối trọn vẹn sở lân cận, điều kiện cần đủ để khơng gian mêtric hóa được, điều kiện cần đủ để không gian chuẩn hóa được, tính chất tách khơng gian vectơ tơpơ, mối liên hệ họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương Các vấn đề lý thuyết với mức trừu tượng cao minh họa rõ qua nhiều ví dụ tài liệu Tuy nhiên, nhiều ngun nhân khác nhau, chúng tơi chưa trình bày vấn đề: không gian thương, không gian hữu hạn chiều, tập bị chặn tập compact, ánh xạ tuyến tính phiếm hàm tuyến tính khơng gian vectơ tơpơ, Tuy có nhiều cố gắng tài liệu tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn trình bày Chúng tơi mong có góp ý bạn đọc Xin chân thành cảm ơn Huế, 06/2007 Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces Tập lồi, tập cân, tập hút không gian vectơ Trong mục này, ta ln dùng kí hiệu X để không gian vectơ trường K Định nghĩa 1.1 Cho A ⊂ X Khi (a) A gọi tập lồi với t ∈ [0, 1], tA + (1 − t)A ⊂ A (b) A gọi tập cân với α ∈ K mà |α| ≤ αA ⊂ A (c) A gọi tập hút với x ∈ X, tồn t > cho |s| > t x ∈ sA (d) A gọi tập tuyệt đối lồi A vừa tập lồi vừa tập cân Nhận xét 1.2 Trong R2 , ta tìm thấy tập lồi mà không cân tập cân mà không lồi (?) Định lý 1.3 Cho A, B ⊂ X, x ∈ X α ∈ K Khi (a) Nếu A tập lồi αA, x + A tập lồi Hơn nữa, B tập lồi A + B tập lồi (b) Nếu A tập cân αA tập cân Hơn nữa, B tập cân A + B tập cân (c) Nếu A tập hút ∈ A Hơn nữa, (rn )n dãy số không bị chặn ∞ X= rn A n=1 (d) Nếu A tập cân với α ∈ K mà |α| = αA = A, với α, β ∈ K mà |α| ≤ |β| αA ⊂ βA Chứng minh Phép chứng minh (a) (b) tầm thường Ở ta trình bày chứng minh (c) (d) (c) Lấy tuỳ ý x ∈ X Vì A tập hút nên tồn t > cho với s ∈ K Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces mà |s| > t x ∈ sA Vì (rn )n khơng bị chặn nên có n0 để |rn0 | > t Ta có ∞ x ∈ rn0 V Từ ta X ⊂ n=1 rn V Ta suy ∈ A Bao hàm thức ngược lại hiển nhiên (d) Giả sử A tập cân |α| = Khi |α| = |α−1 | = ≤ nên αA ⊂ A α−1 A ⊂ A Do αA ⊂ A A ⊂ αA Vậy αA = A Bây giả sử A tập cân |α| ≤ β Nếu β = α = β = nên hiển α α nhiên αA = βA Nếu β ≤ nên A ⊂ A, tức αA ⊂ βA β β Định lý 1.4 Giả sử (Ai )i∈I họ khác rỗng tập X A= i∈I Ai Khi (a) Nếu Ai tập lồi với i ∈ I A tập lồi (b) Nếu Ai tập cân với i ∈ I A tập cân Chứng minh (a) Lấy tùy ý x, y ∈ A t ∈ [0, 1] Khi với i ∈ I, x, y ∈ Ai Ai lồi nên tx + (1 − t)y ∈ Ai Suy tx + (1 − t)y ∈ A Vậy A tập lồi (b) Lấy tùy ý α ∈ K, |α| ≤ Vì Ai cân nên αAi ⊂ Ai αA = Ai = A αAi ⊂ i∈I i∈I Vậy A tập cân Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 2.1 Cho X không gian vectơ τ tôpô X (X, τ) gọi không gian vectơ tôpô điều kiện sau thỏa mãn: (i) (X, τ) không gian T1 , (ii) Phép cộng hai vectơ: X × X −→ X, (x, y) −→ x + y phép nhân vectơ với vơ hướng: K × X −→ X, (α, x) −→ αx liên tục Nhắc lại rằng, phép cộng hai vectơ liên tục nghĩa với cặp (x, y) ∈ X × X V lân cận tuỳ ý x + y tồn lân cận V1 x Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces V2 y cho V1 + V2 ⊂ V Phép nhân vectơ với vô hướng liên tục nghĩa với x ∈ X, α ∈ K V lân cận tuỳ ý αx, tồn r > lân cận U x cho với β ∈ K mà |β − α| < r βU ⊂ V Nhận xét 2.2 Một tôpô X thỏa điều kiện (ii) gọi tương thích với cấu trúc đại số X Như vậy, (X, τ) khơng gian vectơ tơpơ τ tương thích với cấu trúc đại số X τ thỏa tiên đề tách T1 Thật ra, nhiều tài liệu, định nghĩa không gian vectơ tôpô, người ta khơng đòi hỏi (X, τ) khơng gian T1 Tuy nhiên, để nhận kết quan trọng thú vị, người ta cần đến giả thiết Vì vậy, chúng tơi đưa vào tiên đề Cách trình bày theo quan điểm Rudin Nhận xét 2.3 Cho (X, τ) không gian vectơ tôpô Lấy tuỳ ý a ∈ X, λ ∈ K \ {0} Khi ta có ánh xạ Ta : X → X Mλ : X → X xác định sau: Ta (x) = a + x, Mλ (x) = λx, x ∈ X Ta Mλ gọi phép tịnh tiến (theo vectơ a) phép vị tự (theo tỷ số λ) Ta Mλ phép đồng phôi từ X lên X Thật vậy, dễ thấy Ta Mλ song ánh, có ánh xạ ngược T−a M1/λ Từ tiên đề thứ định nghĩa không gian vectơ tôpô ta suy ánh xạ ánh xạ liên tục Vậy Ta Mλ phép đồng phơi từ X lên X Vì điều này, ta nói τ bất biến phép tịnh tiến phép vị tự Từ ta suy rằng: (i) Với a ∈ X, V lân cận V + a lân cận a (ii) Với α ∈ K \ {0}, V lân cận αV lân cận Như vậy, cấu trúc tơpơ khơng gian vectơ tơpơ hồn toàn xác định tập hợp tất lân cận 0, hay gọn hơn, sở lân cận Khi biết sở lân cận sở lân cận phần tử a ∈ X nhận phép tịnh tiến theo a Chính thế, tiểu luận Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces này, khơng nói thêm, cụm từ "cơ sở lân cận không gian vectơ tôpô X" dùng để sở lân cận ∈ X Định nghĩa 2.4 Cho X không gian vectơ tôpô Tập hợp A ⊂ X gọi tập bị chặn với lân cận V 0, tồn t > cho A ⊂ sV với s ∈ K mà |s| > t Định nghĩa 2.5 Cho X không gian vectơ tôpô với B sở lân cận Khi B gọi cân phần tử cân gọi lồi phần tử lồi Hơn nữa, phần tử B lồi cân ta nói B sở lân cận lồi cân Định nghĩa 2.6 Cho (X, τ) không gian vectơ tôpô (a) X gọi lồi địa phương tồn sở lân cận lồi (b) X gọi bị chặn địa phương ∈ X có lân cận bị chặn (c) X gọi compact địa phương ∈ X có lân cận mà bao đóng compact (d) X gọi mêtric hóa τ sinh metric xác định X (e) X gọi F - không gian τ sinh mêtric bất biến qua phép tịnh tiến đầy đủ (f) X gọi không gian Frechet X F - không gian lồi địa phương (g) X gọi chuẩn hoá tồn chuẩn X cho τ trùng với tơpơ sinh chuẩn Ví dụ Trước hết, không gian định chuẩn (X, ||.||) không gian vectơ tôpô Thật vậy, không gian định chuẩn rõ ràng khơng gian T1 từ tính chất chuẩn suy phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với vô hướng liên tục với tơpơ xác định chuẩn Họ hình cầu mở {B(0, ) | n ∈ n N} sở lân cận Mỗi hình cầu mở tập lồi Do khơng gian định chuẩn không gian lồi địa phương Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces Ví dụ Với p ∈ (0, 1), xét ∞ p |xn |p < +∞} ∞ l = {x = (xn )n ∈ R | n=1 Khi l p không gian vectơ thực Ta trang bị cho l p mêtric d xác định ∞ |xn − yn |p , d(x, y) = x = (xn )n , y = (yn )n ∈ l p n=1 Với tôpô sinh mêtric này, l p không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương Do l p khơng gian mêtric hóa khơng phải khơng gian chuẩn hóa (xem chi tiết [KH2], trang 16) Cơ sở lân cận Định lý 3.1 Cho X khơng gian vectơ tơpơ Khi (a) Mỗi lân cận tập hút (b) Mỗi lân cận chứa lân cận mở, cân (c) Mỗi lân cận V chứa lân cận mở, cân W thoả mãn W +W ⊂ V (d) Mỗi lân cận lồi chứa lân cận mở, cân, lồi Chứng minh (a) Lấy tuỳ ý x ∈ X Khi ánh xạ f (λ) = λx liên tục λ = nên với lân cận V cho trước 0, tồn r > cho |λ| < r λx ∈ V , tức x |s| > ∈ V , suy x ∈ sV Vậy V tập hút r s (b) Giả sử V lân cận Khi tồn r > lân cận mở U cho αU ⊂ V với α ∈ K mà |α| < r Đặt W = αU Rõ ràng |α| t tU ⊂ sU, ta có A ⊂ tU ⊂ sU ⊂ sV Vậy A tập bị chặn Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ ♥ Topological Vector Spaces Hệ 3.3 Cho X khơng gian vectơ tơpơ Khi (a) X có sở lân cận mở, cân (b) Nếu X khơng gian lồi địa phương X có sở lân cận mở, lồi, cân Chứng minh (a) Ta biết họ tất lân cận sở lân cận X Theo định lý 3.1 lân cận lại chứa lân cận mở, cân Vì vậy, họ tất lân cận mở, cân sở lân cận X (b) Nếu X không gian lồi địa phương X có sở lân cận lồi Theo định lý (3.1) lân cận lồi lại chứa lân cận mở, lồi, cân Vì vậy, họ tất lân cận mở, lồi, cân sở lân cận X Hệ 3.4 Cho X không gian vectơ tôpô V lân cận Khi tồn lân cận mở, cân U cho U +U +U +U ⊂ V Chứng minh Vì V lân cận nên theo định lý (3.1) tồn lân cận cân W cho W + W ⊂ V Cũng W lân cận nên tồn lân cận mở, cân U cho U + U ⊂ W Do U +U +U +U ⊂ W +W ⊂ V Vậy ta có lân cận U phải tìm Để ý chứng minh trên, ∈ U nên từ bao hàm thức U + U + U + U ⊂ V ta suy U + U + U ⊂ V Từ ta thấy rằng, mở rộng hệ sau: Hệ 3.5 Cho X không gian vectơ tôpô V lân cận Khi với n ∈ N, tồn lân cận mở, cân U cho n U ⊂ V i=1 Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 10 ♥ Topological Vector Spaces Nhận xét 5.2 Ta nói thêm tính chất mêtric d định lý Các tính chất chứng minh dễ dàng dựa vào định nghĩa d tính cân VM , M ∈ N Với x ∈ X λ ∈ K cho |λ| ≤ 1, ta có d(λx, 0) ≤ d(x, 0) Với x, y, z ∈ X, d(x + z, y + z) = d(x, y) Vì vậy, ta nói d bất biến phép tịnh tiến Với r ∈ (0, 1], ta có B(0, r) = pM 1, B(0, r) = B (0, 1) = X tập cân Vậy hình cầu mở tâm tập cân Định lý 5.3 Cho X khơng gian bị chặn địa phương Lúc X khơng gian mêtric hóa Chứng minh Vì X không gian bị chặn địa phương nên ∈ X có lân cận V bị chặn Vì theo định lý 3.8, X có sở lân cận đếm { V : n ∈ N} Theo định lý 5.1, X khơng gian mêtric hóa n Họ nửa chuẩn tính chất lồi địa phương Các khơng gian vectơ tơpơ tùy ý có tính chất khác hẳn tính chất quen thuộc không gian Euclide không gian định chuẩn Một lớp quan trọng không gian tổng quát không gian định chuẩn bảo tồn nhiều tính chất không gian định chuẩn không gian lồi địa phương Định nghĩa 6.1 Cho X không gian vectơ trường K Một hàm số p : X → R gọi nửa chuẩn X (a) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), (b) p(αx) = |α|p(x), với x, y ∈ X α ∈ K Tính chất (a) nửa chuẩn p gọi cộng tính Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 20 ♥ Topological Vector Spaces Một họ P nửa chuẩn X gọi họ tách tập X với x ∈ X, tồn p ∈ P cho p(x) Định lý 6.2 Giả sử p nửa chuẩn khơng gian vectơ X Khi (a) p(0) = 0, (b) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y), (c) p(x) ≥ 0, với x, y ∈ X với x (d) p chuẩn X p(x) Chứng minh (a) Vì p(αx) = |α|p(x), với x ∈ X α ∈ K nên với α = ta nhận p(0) = (b) Từ tính cộng tính p ta có p(x) = p(x − y + y) ≤ p(x − y) + p(y) p(x) − p(y) ≤ p(x − y) Thay đổi vai trò x y cho ta p(y) − p(x) ≤ p(y − x) Vì p(x − y) = p(y − x) nên ta suy |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) (c) Thay y = (b) ta p(x) ≥ với x ∈ X (d) Dễ dàng suy từ định nghĩa nửa chuẩn tính chất (a), (c) Định nghĩa 6.3 Cho A tập lồi, cân, hút không gian vectơ X Với x ∈ X, tồn t > cho t−1 x ∈ A, tức {t > | t−1 x ∈ A} tập hợp khác rỗng bị chặn nên tồn infimum Đặt pA (x) = inf{t > | t−1 x ∈ A}, x ∈ X Khi pA hàm số giá trị thực xác định X, gọi phiếm hàm Minkowski A Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 21 ♥ Topological Vector Spaces Nhận xét 6.4 Cho A tập lồi, cân, hút không gian vectơ X Giả sử x ∈ X t > pA (x) Khi t−1 x ∈ A Thật vậy, t > pA (x) nên tồn s ∈ [pA (x), t) cho s−1 x ∈ A Vì ≤ t−1 s < A tập cân nên t−1 x = (t−1 s)(s−1 x) ∈ A A Khi pA (x) ≥ Giả sử x Thật vậy, pA (x) < từ nhận xét ta suy x ∈ A, mâu thuẫn với giả thiết Ta ln có {x ∈ X | pA (x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X | pA (x) ≤ 1} Thật vậy, bao hàm thức {x ∈ X | pA (x) < 1} ⊂ A suy từ nhận xét 2, bao hàm thức A ⊂ {x ∈ X | pA (x) ≤ 1} dễ thấy Định lý 6.5 Cho p nửa chuẩn không gian vectơ X Đặt A = {x ∈ X | p(x) < 1} B = {x ∈ X | p(x) ≤ 1} Khi A, B tập lồi, cân, hút pA = pB = p, pA , pB phiếm hàm Minkowski A B Chứng minh Từ tính chất p ta có A tập cân Lấy tùy ý x ∈ X t > p(x) Khi với s, |s| > t ta có p(s−1 x) = |s|−1 p(x) ≤ t−1 p(x) < 1, nên s−1 x ∈ A, hay x ∈ sA Vậy A tập hút Lấy tùy ý x, y ∈ A t ∈ [0, 1], ta có p(tx + (1 − t)y) ≤ tp(x) + (1 − t)p(y) < Vậy A tập lồi Tóm lại, A tập lồi, cân, hút Lập luận tương tự ta có B tập lồi, cân, hút Với x ∈ X, để ý với t > 0, t−1 x ∈ A ⇔ p(t−1 x) < ⇔ t > p(x) Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 22 ♥ Topological Vector Spaces t−1 x ∈ B ⇔ p(t−1 x) ≤ ⇔ t ≥ p(x) Do {t > | t−1 x ∈ A} = (p(x), +∞), {t > | t−1 x ∈ B} = [p(x), +∞) p(x) > {t > | t−1 x ∈ B} = (0, +∞) p(x) = Từ suy pA (x) = pB (x) = p(x) Vậy pA = pB = p Nhận xét 6.6 Giả sử p nửa chuẩn không gian vectơ X r > Từ định lý ta suy tập A = {x ∈ X | p(x) < r} B = {x ∈ X | p(x) ≤ r} tập lồi, cân, hút Định lý 6.7 Cho V tập lồi, cân, hút không gian vectơ tôpô X Khi pV nửa chuẩn X Chứng minh Trước hết, V cân nên với α ∈ K, α x ∈ X ta có pV (αx) = inf{t > : t−1 αx ∈ V } = inf{t > : t−1 |α|x ∈ V } t t −1 = |α| inf{ > : x ∈ V} |α| |α| = |α| inf{s > : s−1 x ∈ V } = |α|pV (x), tức pV (αx) = |α|pV (x) Điều hiển nhiên với α = Vậy pV (αx) = |α|pV (x) với α ∈ K Lấy tùy ý x, y ∈ X, ta chứng minh pV (x + y) ≤ pV (x) + pV (y) Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 23 ♥ Topological Vector Spaces Lấy ε > bé tùy ý Đặt t = pV (x) + ε, s = pV (y) + ε Theo nhận xét 6.4 t−1 x, s−1 y ∈ V Vì V tập lồi x+y t −1 s −1 = (t x) + (s y) s+t s+t s+t tổ hợp lồi hai phần tử V nên x+y s+t ∈ V Do pV (x + y) ≤ t + s = pV (x) + pV (y) + 2ε Vì điều với ε > tùy ý nên ta suy pV (x + y) ≤ pV (x) + pV (y) Vậy pV nửa chuẩn X Định lý 6.8 Giả sử B sở lân cận lồi, cân không gian vectơ tôpô X Với V ∈B , gọi pV phiếm hàm Minkowski V Khi P = {pV | V ∈ B } họ tách nửa chuẩn liên tục X Chứng minh Vì phần tử B tập lồi, cân, hút nên theo định lý 6.7, P họ nửa chuẩn Ta chứng minh họ tách phần tử liên tục Vì X không gian T1 B sở lân cận Giả sử x ∈ X x nên tồn V ∈ B cho x V Theo nhận xét 6.4 pV (x) ≥ Vậy P họ nửa chuẩn tách Lấy tùy ý pV ∈ P ε > Khi với x, y ∈ X cho x − y ∈ εV , ta có ε−1 (x − y) ∈ V nên |pV (x) − pV (y)| ≤ pV (x − y) ≤ ε Suy pV liên tục Vậy P họ nửa chuẩn liên tục Tiếp tục nhận xét 6.4 ta có nhận xét sau Nhận xét 6.9 Cho A tập lồi, cân, hút khơng gian vectơ X Khi IntA = {x ∈ X | pA (x) < 1} A = {x ∈ X | pA (x) ≤ 1} Ta chứng minh IntA = {x ∈ X | pA (x) < 1} Thật vậy, từ nhận xét 6.4 định lý ta có {x ∈ X | pA (x) < 1} ⊂ IntA Ngược lại, lấy tùy ý x ∈ IntA Vì IntA tập mở phép nhân vectơ với vô hướng liên tục nên tồn r > lân Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 24 ♥ Topological Vector Spaces cận U x cho với α ∈ K mà |α − 1| < r αU ⊂ A Từ suy có < t < (chẳng hạn t = 1+r/2 ) để t−1 x ∈ A Do pA (x) ≤ t < Vậy IntA ⊂ {x ∈ X | pA (x) < 1} Từ ta có điều phải chứng minh Từ hệ 3.3 định lý 6.8 ta rút hệ sau Hệ 6.10 Trong không gian vectơ tôpô lồi địa phương, tồn họ nửa chuẩn tách liên tục Định lý 6.11 Giả sử P họ tách nửa chuẩn không gian vectơ X Với p ∈ P n ∈ N, đặt V (p, n) = {x ∈ X | p(x) < } n Gọi B họ tất giao hữu hạn tập có dạng V (n, p) Khi B sở lân cận lồi, cân cho tôpô X Với tơpơ đó, X trở thành khơng gian lồi địa phương thỏa mãn: (a) Mỗi p ∈ P liên tục, (b) Tập E ⊂ X bị chặn p ∈ P bị chặn E Chứng minh Dễ thấy họ B thỏa mãn điều kiện định lý 3.6 nên tồn tôpô τ X cho (X, τ) không gian vectơ tôpô B sở lân cận ∈ X Giả sử p ∈ P (α, β) khoảng mở chứa Khi tồn n ∈ N cho (− n1 , n1 ) ⊂ (α, β) Rõ ràng V (p, n) lân cận ∈ X p(V (p, n)) ⊂ (− n1 , n1 ) Do p liên tục ∈ X Từ (b) định lý 6.2 ta suy p liên tục X Giả sử E ⊂ X tập bị chặn Lấy tùy ý p ∈ P Vì V (p, 1) lân cận nên tồn k > cho E ⊂ kV (p, 1) Lúc p(x) < k với x ∈ E Suy p bị chặn E Đảo lại, giả sử p ∈ P bị chặn E ⊂ X Lấy U lân cận Khi tồn p1 , p2 , , pm ∈ P n1 , n2 , , nm ∈ N cho m V (pi , ni ) ⊂ U i=1 Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 25 ♥ Topological Vector Spaces Với i = 1, 2, , m, có Mi > cho pi (x) ≤ Mi với x ∈ E Lấy n ∈ N cho n > Mi ni với i = 1, 2, m Khi với x ∈ E, m n nên x ∈ nV (pi , ni ) Do x ∈ nV (pi , ni ) ⊂ nU Vậy pi (x) ≤ Mi < ni i=1 E ⊂ nU Điều chứng tỏ E tập bị chặn Nhận xét 6.12 Cho (X, τ) không gian lồi địa phương B sở lân cận lồi, cân Theo định lý 6.8, B xác định họ P họ tách nửa chuẩn liên tục X Theo định lý 6.11, họ P cảm sinh tôpô X, gọi τ Vấn đề đặt hai tơpơ có trùng khơng? Trước hết, p ∈ P liên tục τ nên V (p, n) = p−1 − n1 , n1 ∈ τ, với p ∈ P n ∈ N Hơn nữa, với V ∈ B, có p = pV ∈ P V (p, 1) = {x ∈ X | pV (x) < 1} ⊂ V Từ suy τ = τ Nhận xét 6.13 Giả sử X không gian vectơ, P = {pn | n ∈ N} họ tách, đếm nửa chuẩn X Theo định lý 6.11, P cảm sinh tôpô τ (X, τ) khơng gian vectơ tơpơ Vì họ P đếm nên τ có sở lân cận đếm Do theo định lý 5.1, (X, τ) mêtric hóa Trong trường hợp này, mêtric bất biến với phép tịnh tiến cảm sinh τ xác định cách trực tiếp thông qua họ P sau: d(x, y) = max n∈N cn pn (x − y) , + pn (x − y) (cn )n dãy số dương hội tụ Gọi τ tôpô cảm sinh d Ta chứng minh τ = τ Muốn vậy, ta ý rằng, họ hình cầu mở {B(0, r) | r > 0} sở lân cận (X, τ ) Mặt khác, họ tất giao hữu hạn tập V (pi , ri ) = {x ∈ X | pi (x) < ri }, (với ri > 0, i ∈ N) sở lân cận (X, τ) Lấy tùy ý r > Vì cn → nên có hữu hạn cn > r, với số n cn pn (x) r < r ⇔ pn (x) < + pn (x) cn − r Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 26 ♥ Topological Vector Spaces Với số n khác cn ≤ r nên cn pn (x) < r + pn (x) Vậy B(0, r) giao hữu hạn tập có dạng {x ∈ X | pn (x) < r } cn − r Vì pn liên tục τ nên tập có dạng mở τ suy B(0, r) mở τ Hơn nữa, từ nhận xét 6.6 ta suy B(0, r) lồi cân Bây giờ, lấy W = m k=1 V (pik , rik ) Ta cần xét với rik < với k = 1, 2, , m Lấy r > cho 2r < min{ci1 ri1 , , cim rim } x ∈ B(0, r) Khi c i ri cik pik (x) < r < k k, + pik (x) rik < rik với k = 1, , m Do B(0, r) ⊂ W Vậy − ri k họ hình cầu {B(0, r) | r > 0} sở lân cận (X, τ) Ta suy suy pik (x) < τ = τ Nói cách khác, τ sinh mêtric d Tiếp theo, X ta lại xét mêtric bất biến với phép tịnh tiến sau đây: ∞ 2−n d1 (x, y) = n=1 pn (x − y) , + pn (x − y) x, y ∈ X ∞ 2−n min{pn (x − y), 1}, d2 (x, y) = x, y ∈ X n=1 Ta chứng minh d1 , d2 d mêtric tương đương tôpô X nên τ tôpô sinh d1 , d2 Ví dụ Ta trở lại với khơng gian vectơ R∞ ví dụ Với n ∈ N, xác định hàm số R∞ → R (xn )n → |xn | pn : Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 27 ♥ Topological Vector Spaces Dễ thấy họ P = {pn | n ∈ N} họ tách, đếm nửa chuẩn R∞ Do P xác định tơpơ τ cho (R∞ , τ) không gian lồi địa phương Cơ sở lân cận τ tất tập có dạng m {x ∈ R∞ : pki (x) < rki }, i=1 ki ∈ N, rki > với i = 1, , m Đặt r = min{rki , i = 1, , m} ta tập có dạng nhỏ m {x ∈ R∞ : pki (x) < r} i=1 Đó V (k1 , k2 , , km ; r) mà ta đề cập ví dụ Vậy họ tất tập V (k1 , k2 , , km ; r) (với giá trị có k1 , k2 , , km r) sở lân cận τ Ví dụ Gọi C(R) tập tất hàm số thực liên tục R Khi C(R) khơng gian vectơ với phép tốn thơng thường cộng hai hàm số nhân số thực với hàm số Với n ∈ N, xác định hàm số pn : C(R) → f → R max |f (x)| [−n,n] Dễ thấy họ P = {pn | n ∈ N} họ tách, đếm nửa chuẩn C(R) Do P xác định tơpơ τ cho (C(R), τ) không gian lồi địa phương Hơn nữa, (C(R), τ) khơng gian mêtric hóa với τ sinh mêtric d(f , g) = max n∈N cn pn (f − g) , + pn (f − g) (cn )n dãy số dương hội tụ Có thể kiểm tra (C(R), d) không gian đủ C(R) khơng gian Frechet n Ví dụ Giả sử a, b ∈ R a < b Với n ∈ N, kí hiệu C[a,b] không gian vectơ hàm số khả vi liên tục tới cấp n [a, b] với phép tốn ∞ thơng thường Kí hiệu C[a,b] = ∞ n=1 Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ n C[a,b] không gian vectơ hàm số khả 28 ♥ Topological Vector Spaces n vi vô hạn [a, b] Ta biết C[a,b] không gian Banach với chuẩn ||f ||n = sup{|f (k) (x)| : a ≤ x ≤ b, ≤ k ≤ n}, n f ∈ C[a,b] ∞ Họ P = {||.||n | n ∈ N} họ tách, đếm nửa chuẩn C[a,b] Do ∞ P xác định tôpô τ cho (C[a,b] , τ) không gian lồi địa phương ∞ Hơn nữa, (C[a,b] , τ) khơng gian mêtric hóa với τ sinh mêtric d(f , g) = max n∈N cn ||f − g||n , + ||f − g||n (cn )n dãy số dương hội tụ ∞ Giả sử (fi )i dãy Cauchy (C[a,b] , d), tức d(fi , fj ) → i, j → ∞ Khi đó, với n ∈ N, ||fi −fj ||n → i, j → ∞ nên (fi )i dãy n n Cauchy (C[a,b] , ||.||n ) Do tồn f0,n ∈ C[a,b] cho ||fi −f0,n ||n → i → ∞ Ta chứng minh f0,n = f0,m với n, m ∈ N Thật , khơng m tính tổng qt, giả sử m < n Khi f0,n ∈ C[a,b] ||fi − f0,n ||m ≤ ||fi − f0,n ||n → 0, i → ∞, ∞ nên f0,n = f0,m Vậy hàm f0 = f0,n không phụ thuộc vào n f0 ∈ C[a,b] Vì với n ∈ N, ||fi −f0 ||n → i → ∞, nên ta dễ dàng suy d(fi , f0 ) → ∞ Vậy (C[a,b] , d) không gian đủ ∞ Tóm lại, C[a,b] khơng gian Frechet Định lý 6.14 Một không gian vectơ tôpô X chuẩn hóa điểm ∈ X có lân cận lồi, bị chặn Chứng minh (⇒) Giả sử X chuẩn hóa tôpô X sinh chuẩn ||.|| Lúc hình cầu mở B(0, 1) = {x ∈ X | ||x|| < 1} lân cận lồi bị chặn ∈ X Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 29 ♥ Topological Vector Spaces (⇐) Giả sử điểm ∈ X có lân cận lồi, bị chặn Khi theo định lý 3.1, điểm ∈ X có lân cận mở, lồi, cân, hút bị chặn V Gọi pV phiếm hàm Minkowski V Theo định lý 6.7, pV nửa chuẩn Để chứng minh pV chuẩn X ta cần chứng tỏ pV (x) với x Thật vậy, theo định lý 3.8, họ { V | n ∈ N} sở lân cận n Vì x X khơng gian T1 nên tồn n ∈ N cho x V Theo n 1 nhận xét 6.4, pV (x) = pV (nx) ≥ Vậy pV (x) với x Đặt n n ||x|| = pV (x), x ∈ X, ||.|| chuẩn X Gọi τ tôpô không gian vectơ tôpô X τ tơpơ cảm sinh ||.|| Khi họ { V | n ∈ N} sở lân cận không gian vectơ tôpô n (X, τ), họ {B(0, ) | n ∈ N} sở lân cận không gian vectơ tôpô n (X, τ ) Mặt khác, V tập mở nên theo nhận xét 6.4, ta có 1 1 B(0, ) = {x ∈ X : ||x|| < } = { x ∈ X : ||x|| < 1} = V n n n n Từ suy τ = τ Vậy X khơng gian chuẩn hóa Từ định lý (6.14) định lý (3.1) ta dễ dàng nhận kết sau Định lý 6.15 (Kolmogorov) Cho X khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương Khi X chuẩn hóa X bị chặn địa phương Ví dụ Rõ ràng khơng gian định chuẩn khơng gian chuẩn hóa Trở lại với khơng gian vectơ tơpơ C(R) ví dụ Ta chứng minh C(R) khơng gian chuẩn hóa Thật vậy, giả sử có chuẩn ||.|| C(R) cho tôpô sinh chuẩn trùng với tôpô sinh họ nửa chuẩn P = {pn | n ∈ N} Kí hiệu B(0, 1) = {f ∈ C(R) : ||f || < 1}, tồn pn1 , pn2 , , pnk ∈ P , (n1 < n2 < < nk ) r > cho V = {f ∈ C(R) : pni (f ) < r, i = 1, , k} ⊂ B(0, 1) Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 30 ♥ Topological Vector Spaces Lấy f0 ∈ C(R) cho f0 (x) = với x ∈ [−nk , nk ] tồn x > nk để f0 (x) Lúc ||f0 || > pni (f0 ) = với i = 1, , k Từ suy mf0 ∈ V ⊂ B(0, 1) với m ∈ N Do m||f0 || < với m ∈ N Điều vơ lý ||f0 || > Vậy C(R) khơng phải khơng gian chuẩn hóa Nhận xét 6.16 Về mối liên hệ không gian lồi địa phương họ nửa chuẩn, ta thấy: Trong không gian lồi địa phương tồn họ tách nửa chuẩn liên tục Ngược lại, họ tách P nửa chuẩn không gian vectơ X xác định tôpô lồi địa phương X cho p ∈ P liên tục Khi giải vấn đề cụ thể giải tích, ta thấy nhiều không gian vectơ, tôpô tự nhiên cho chuẩn Một phương pháp thường dùng để trang bị tôpô khơng gian cho họ nửa chuẩn tách Định lý 6.17 Cho X không gian Frechet Khi tập lồi, cân, đóng, hút lân cận ∈ X Chứng minh Giả sử V tập lồi, cân, đóng, hút Theo định lý 1.3 ta có ∞ X= nV Vì X không gian Frechet nên X thuộc phạm trù n=1 tồn n0 ∈ N cho int(n0 V ) ∅ Vì V tập đóng Mn0 phép đồng phơi nên suy int(n0 V ) =int(n0 V ) ∅ Dễ thấy int(n0 V )−int(n0 V ) tập mở chứa V lồi nên n0 V + n0 V = 2n0 V , V cân nên n0 V = −n0 V , ta suy ∈ int(n0 V ) − int(n0 V ) ⊂ n0 V − n0 V = n0 V + n0 V = 2n0 V Vậy n0 V lân cận M 2n0 phép đồng phôi nên V lân cận Bài tập Với cặp (x, y) ∈ R2 , ta đặt d1 (x, y) = |x − y|, Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ d2 (x, y) = |φ(x) − φ(y)|, 31 ♥ Topological Vector Spaces x Chứng minh d1 d2 mêtric tương + |x| đương tôpô R, d1 đầy đủ d2 không đầy đủ φ(x) = Chứng minh mêtric nhắc đến nhận xét 6.13 tương đương tơpơ Chứng minh khơng gian C(R) ví dụ không gian Frechet Chứng minh khơng gian vectơ tơpơ khơng gian hồn tồn quy Cho X = C[0,1] tập tất hàm giá trị thực liên tục [0, 1] Với t ∈ [0, 1], ta đặt pt (x) = |x(t)|, x ∈ X Gọi P = {pt : t ∈ [0, 1]} Ngoài ra, X, ta định nghĩa d(x, y) = |xt − yt | dt, + |x(t) − y(t) x, y ∈ X a) Chứng minh P họ tách nửa chuẩn X b) Chứng minh d mêtric X c) Gọi τ tôpô sinh họ nửa chuẩn P τd tôpô sinh mêtric d Chứng minh (xn )n hội tụ x0 theo τ (xn )n hội tụ x0 theo τd d) Chứng minh ánh xạ id : (X, τ) → (X, τd ) ánh xạ id : (X, τd ) → (X, τ) ánh xạ không liên tục e) Chứng minh (X, τ) khơng có sở lân cận đếm Từ suy τ τd khơng trùng f) Điều ngược lại (c) có không? Cho X = C[0,1] tập tất hàm giá trị thực liên tục [0, 1] Trên X ta xác định mêtric |x(t) − y(t)| , [0,1] + |x(t) − y(t) d(x, y) = sup Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 32 x, y ∈ X ♥ Topological Vector Spaces Tập X với tơpơ có phải khơng gian vectơ tôpô không? ♥ Ghi tài liệu tham khảo ♥ Các kết mục trích từ [KL], [HP] [HT] Các định nghĩa mục trích từ [RU] Các kết mục trích từ [RU] [HT] Các kết mục trích từ [KH1] Các kết mục phát triển từ [RU] [HT] Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 33 ♥ Topological Vector Spaces Tài liệu tham khảo [ĐH] Nguyễn Định & Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, 2000 [KL] Phan Huy Khải & Đỗ Văn Lưu, Giải tích lồi, NXB Khoa học - kĩ thuật, 2000 [KH1] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập 2, NXB Giáo dục, 2001 [KH2] Nguyễn Văn Khuê & Lê Mậu Hải, Bài tập giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [HP] Huỳnh Thế Phùng, Giải tích lồi, Giáo trình Cao học, 2006 [HT] Hồng Tụy, Giải tích đại, tập 3, NXB Giáo dục, 1978 [K-F] A.N.Kolmogorov & S.V Fomine, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập (bản dịch tiếng Việt Võ Tiếp & Trần Phúc Chương), NXB Giáo dục, 1982 [RO] A.P Robertson & W.Robertson, Topological Vector Spaces, Cambridge Press, 1964 [RU] Walter Rudin, Funtional Analysis, Mc Graw - Hill Inc, NewYork, 1976 Quan Ky, Hue Univ of Education ♥ 34