skkn ứng dụng sự đồng biến nghịch biến giải phương trinh

PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Trong năm gần việc đổi phương pháp dạy học nhà trường, cấp quản lý giáo dục đào tạo, giáo viên quan tâm xem nội lực để phát triển giáo dục Nghị sô 29-NQ/TW ngày tháng 11 năm 2013 Ban Chấp Hành Trung Ương nêu rõ “tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học, khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức kỹ năng, phát triển lực ” Nghị sô 05 - NQ/TU ngày 20 tháng 12 năm 2011 BCH Đảng Bộ tỉnh phát triển, nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo đến năm 2015 năm xác định nhiệm vụ giải pháp chủ yếu “Tích cực đổi phương pháp dạy học; đa dạng hóa hình thức đào tạo, gắn đào tạo với nhu cầu xã hội” Các nhà giáo dục khẳng định: người thực nắm vững mà giành hoạt động tự học thân Thực tế vấn đề tự học thân khâu quan trọng tách rời q trình tích lũy tri thức nhân loại Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trò quan trọng, công cụ để học tốt môn học khác Mơn Tốn rèn luyện cho học sinh khả tự học mang lại chất lượng học tập cao để từ hình thành phảm chất người lao động mới: chủ động tích cực việc Hệ phương trình nội dung trọng tâm chương trình đại số trung học phổ thơng Đặc biệt nội dung phận cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm gần Mặc dầu kiến thức hệ phương trình trình bày sách giáo khoa ba khối mức độ đơn giản so với tập đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Bên cạnh đó, lượng tập ít, số tiết phân phối chương trình hạn chế dẫn đến giáo viên không đưa nhiều dạng tập để học sinh hình thành kỹ giải hệ phương trình Trong để giải hệ phương trình, học sinh cần tích hợp nhiều kỹ tốn học, khơng nắm vững lý thuyết mà phải thực hành nhiều để có lực biến đổi dạng Hiện nay, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sách giáo khoa giảm tải, ứng dụng vào khảo sát hàm số vẽ đồ thị, nhiên, phương pháp lại ứng dụng nhiều tốn chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình,… Những tốn sử dụng phương pháp thường có cách giải nhanh gọn Phương pháp thường giáo viên đưa bồi dưỡng học sinh giỏi hay theo chun đề cho học sinh phương pháp ứng dụng kỳ thi đại học, cao đẳng năm gần nên tơi chọn đề tài: “Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình” để nghiên cứu II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dùng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn theo yêu cầu đổi chương trình sách giáo khoa III Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào nghiên cứu làm sáng tỏ việc dùng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình IV Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sử dụng sách giáo khoa 10, 12 số tài liệu tham khảo V Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài làm rõ - Hệ thống hóa kiến thức ví dụ giải hệ phương trình phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số - Đánh giá thực trạng kỹ giải hệ phương trình học sinh THPT - Đề xuất dạng áp dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 chuẩn bị thi đại học, cao đẳng VI Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu hệ phương trình chương trình Tốn PTTH - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tiến hành thực nghiệm số học sinh để xem xét tính khả thi hiệu đề tài - Thời gian nghiên cứu: suốt thời gian dạy học trực tiếpkhối 10 12 PHẦN B: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Một số kiến thức bản: Định nghĩa hàm số đơn điệu: Cách 1: Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng K i) Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K với x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) ii) Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K với x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) Cách 2: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm K i) Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K f '( x) = số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K ii) Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K f '( x) = số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K iii) Nếu f '( x) > với ∀x ∈ (a, b) f '( x) liên tục [a; b] hàm số y = f ( x) đồng biến [a; b] 4i) Nếu f '( x) < với ∀x ∈ (a, b) f '( x) liên tục [a; b] hàm số y = f ( x) nghịch biến [a; b] Định lí, tính chất hàm đơn điệu Định lý Cho hàm số y = f ( x) tăng giảm khoảng (a; b) Khi f (u ) = f (v ) ⇔ u = v với u , v ∈ (a; b) Tính chất + Nếu hàm số y = f ( x) tăng giảm khoảng (a; b) phương trình f ( x) = k có khơng q nghiệm khoảng (a,b) + Nếu hàm số y = f ( x) tăng khoảng (a; b) hàm số y = g ( x) hàm hàm giảm khoảng (a; b) phương trình f(x)= g(x) có nhiều nghiệm khoảng (a; b) Do ∃x0 ∈ (a; b) : f ( x0 ) = g ( x0 ) nghiệm phương trình f(x)= g(x) II Cơ sở thực tiễn Hệ phương trình đại số mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn học phổ thơng, thường gặp kì thi tuyển sinh vào lớp 10; tuyển sinh đại học, cao đẳng; thi học sinh giỏi Mặc dù học sinh cọ sát phần nhiều song phần lớn em thường lúng túng trình tìm cách giải Nguyên nhân - Hệ phương trình mảng kiến thức phong phú khó, đòi hỏi người học phải có tư sâu sắc, có kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhìn nhận nhiều phương diện - Sách giáo khoa giảm tải, tài liệu tham khảo đề cập đến nhiều hệ phương trình song sử dụng tính đơn điệu hàm số nên học học sinh chưa có liên kết, định hình chưa có nhìn tổng quát hệ phương trình - Đa số học sinh học cách máy móc, chưa có thói quen tổng qt tốn tìm toán xuất phát, chưa biết toán đề thi đâu mà có nên người đề cần thay đổi chút gây khó khăn cho em Mặt khác hệ phương trình kỳ thi tuyển sinh năm gần thường dùng tính đơn điệu hàm số vào giải học sinh kiếm điểm từ giải hệ Việc sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ thường nhanh, độc đáo tập dạng thường khó khơng mẫu mực nên học sinh lúng túng nhận dạng xây dựng hàm số III Các biện pháp ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình Giải pháp chung ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình Để học sinh có kĩ giải hệ phương trình phương phá sử dụng tính đơn điệu hàm số, xin đưa số giải pháp sau: - Giáo viên cho học sinh tiếp cận phương pháp từ lớp 10 việc chứng minh tính đơn điệu hàm số sử dụng định nghĩa - Giáo viên tùy vào trình độ học sinh đưa tập từ dễ đến khó - Dạy học theo chuyên đề ôn thi THPT quốc gia tạo hứng thú cho học sinh Ngoài giải pháp dạy học theo chuyên đề đưa bước Bước 1: Nhận dạng Bước 2: Xây dựng hàm số Bước 3: Chứng minh tính đơn điệu Bước 4: Kết luận * Bước 1: Nhận dạng Để giải hệ phương trình theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu ta thường áp dụng cho dạng tập: - Không sử dụng biến đổi tương đương; đặt ẩn phụ - Hệ đối xứng loại 1, hệ đối xứng loại II mà ẩn x, y tách riêng hai vế * Bước 2: Xây dựng hàm số Đây bước quan trọng phương pháp Để xây dựng hàm số ta phải biến đổi hai vế phương trình dạng đặc trưng Xét hệ phương trình (I )  F ( x, y ) =  G ( x, y ) = Nếu hai phương trình hệ (I) đưa dạng ( II )  f ( x) = f ( y )  f (u ( x)) = f (v ( y ))  f hàm số đơn điệu khoảng xác định hệ phương trình (I) tương đương với ( III ) x = y  G ( x, y ) = u ( x ) = v ( y )  G ( x, y ) =  Ví dụ (Thi thử trường Đào Duy Từ năm 2012) Giải hệ phương trình sau e x − e y = x − y   x log + log y = 10  Nhận xét: Ở phương trình đầu ta thấy nghiệm x = y nên ta biến đổi ex − e y = x − y ⇔ ex − x = e y − y Sau đó, ta xét hàm số f (t ) = et − t Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x − y + =   (3 − x) − x − y y − = Nhận xét: Ở phương trình thứ ta thấy bậc x y nên ta biến đổi (3 − x ) − x − y y − = ⇔ [1 + (2 − x)] − x = [1 + (2 y − 1)] y − Xét hàm số f (t ) = (1 + t )t ta đưa dạng f ( − x ) = f ( y − 1) * Bước 3: Chứng minh tính đơn điệu Để chứng minh tính đơn điệu hàm số ta thường sử dụng hai phương pháp sau: Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa tính đơn điệu để chứng minh tính đơn điệu hàm số Phương pháp 2: Sử dụng tính chất đạo hàm để chứng minh tính đơn điệu hàm số Phương pháp sử dụng đạo hàm để chứng minh tính đơn điệu hàm số phương pháp nhanh đơn giản Phương pháp sử dụng định nghĩa để chứng minh tính đơn điệu hàm số thường sử dụng cho học sinh lớp 10 * Bước 4: Kết luận Từ tính đơn điệu hàm số ta suy nghiệm hệ phương trình kết luận Nếu từ tính chất đơn điệu hàm số ta đưa hệ đơn giản áp dụng phương pháp học để giải hệ phương trình Một số tập minh họa *Dạng 1: Biến đổi phương trình hệ phương trình có dạng đặc trưng Bài (Khối A-2012) Giải hệ phương trình sau  x − x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  Định hướng: Ở phương trình đầu ta thấy bậc x y bậc nên khả sử dụng đồng biến, nghịch biến cao Mà hai vế có hạng tử bậc nên ta cần tìm số thỏa mãn m(ax + b)3 + n(ax + b) = m(cy + d )3 + n(cy + d ) (*) Ta thấy hệ số x3 y (*) tương ứng với hệ số x3 y phương trình đầu hệ phương trình ta chọn m=1, a= c=1 Phương trình (*) tương đương với ( x + b ) + n ( x + b) = ( y + d ) + n ( y + d ) (**) Hệ số x y (**) thỏa mãn 3b = −3 b = −1 ⇒  3d = d = Khi phương trình (**) tương đương với ( x − 1)3 + n( x − 1) = ( y + 1)3 + n( y + 1) (***) Chọn hệ số x (***) ta n=-12 Do phương trình (***) tương đương với ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1) Mặt khác phương trình thứ hai hệ phương trình cho ta viết lại được: 1   −1 ≤ x − ≤  − ≤ x − ≤  1   2 ( x − )2 + ( y + )2 = ⇒  ⇒ 2  −1 ≤ y + ≤  − ≤ y + ≤   Giải Hệ phương trình cho tương đương với ( x − 1)3 − 12( x − 1) = ( y + 1)3 − 12( y + 1)   2 ( x − ) + ( y + ) =  2 (1) (2) 1   − ≤ x − ≤ − ≤ x − ≤ 1   2 (2) ⇔ ( x − ) + ( y + ) = ⇒  ⇒ 1 2  −1 ≤ y + ≤ − ≤ y + ≤   2 (1) có dạng f(x-1) = f(y+1)   Xét hàm số f (t ) = t − 12t  − ;   2 3   2 Ta có f '(t ) = 3t − 12 = 3(t − 4) < 0; ∀t ∈  − ;  ⇒ f (t ) nghịch biến  2 3  3  − ;  Do ta có f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ x = y +  x=  1  3  2 Thay vào (2) ta  x − ÷ +  x − ÷ = ⇔ x − x + = ⇔  2  2  x =  2 3 2 Với x = ⇒ y = − , Với x = ⇒ y = − 1 3 3 1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là:  ; − ÷;  ; − ÷ 2 2 2 2 Bài ( Thi thử THPT Nguyễn Trãi- Thái Bình năm 2012) Giải hệ phương trình 2  x − y + x − y − 30 = 28 y   x + + x = y (1) (2) Định hướng: Ở phương trình (1) bậc x y khơng nên ta cần đưa x vế y vế để tìm mối liên hệ (1) ⇔ x + x = y + y + 28 y + 30 ⇔ x + x = ( y + 3)3 + ( y + 3) ⇔ x ( x + 1) = ( y + 3) ( y + 3) + 1 ⇒ y+3≥ Xét hàm số f (t ) = t + t với t ≥ Ta có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t Suy hàm số f(t) đồng biến Do ta có f ( x ) = f ( y + 3) ⇔ x = y + Khi tìm mối liên hệ x y thay vào phương trình (2) hệ phương trình cho để tìm nghiệm hệ phương trình Bài ( Thi thử k2pi.net.vn năm 2015) Giải hệ phương trình sau:  x x + y + y = x + x3 + x    x + x + x − + y ( x − 1) =  (1) (2) Định hướng: Để giải hệ phương trình ta tìm mối liên hệ x y phương trình (1); sử dụng biến đổi tương đương nhân lượng liên hiệp sử dụng tính đơn điệu hàm số Giải: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Chia hai vế phương trình (1) cho x ta được: 1+ y y 1 + = 1+ + x x x x (3) Xét hàm số f (t ) = + t + t ( 0; +∞ ) f '(t ) = + > ⇒ hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) 1+ t   Phương trình (3) ⇔ f  ÷ = x  y y 1 f  ÷⇔ = ⇔ y = x x x x Thay vào phương trình (2) ta có: x + x + x − + x( x − 1) = ⇔ ( ) x + x −1 + ( ) x + x −1 − = ⇔ x + x −1 = ⇔ x = 25  25 25  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  ; ÷  6  Bài Giải hệ phương trình:  x ( x − y − 12) + y ( x + y − 6) = 16 (1)  2  18 x + + − x − y − y + = (2) Định hướng: Ta thấy phương trình thứ (2) xuất thức chứa x; y nên ta cần tìm mối liên hệ x, y dựa vào phương trình (1) Giải: −2 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤ Đk:  Ta có: x ( x − y − 12) + y ( x − y + 6) = 16 ⇔ x − 12 x − 16 = − y + y ⇔ ( x + 2)3 − 6( x + 2) = −( y − y ) (3) Xét hàm số f(t) = t -6t f '(t ) = 3t − 12t = 3t (t − 4) ≤ 0, ∀t ∈ [ 0; ] Suy ra, hàm số f(t) nghịch biến [0;4] (3) ⇔ y = x + Thay y = x +2 vào phương trình (2) ta phương trình : 4x2 + = − x2 ⇔ x=0 ⇒ y=2 Vậy nghiệm hệ phương trình (0;2) Bài Giải hệ phương trình ( 57 − x ) 11 − x + ( y − 52 ) 10 − y =   x − y + + x = −2 x + y + 11 + x + 66 (1) (2) ( x, y ∈ ¡ ) Giải:  x ≤ 11  y ≤ 10  ĐK:  2 x − y + ≥  −2 x + y + 11 ≥ Phương trình (1) ⇔  + ( 11 − x )  11 − x =  + ( 10 − y )  10 − y (3) Xét hàm số f (t ) = ( − 5t ) t ; ∀t ≥ ⇒ f '(t ) = + 15t > 0; ∀t ≥ Do hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Phương trình (3) ⇔ 11 − x = 10 − y ⇔ y = x − Thay vào phương trình (2) ta có: x + + x = 10 − x + x + 66 ⇔ ( ) ( ) x + − + − 10 − x + x − x − 63 = x−9 x−9 + + ( x − 9) ( x + ) = x + + + 10 − x 1   ⇔ ( x − 9)  + + x + ÷=  x + + + 10 − x  ⇔  ⇔ x =   1  + + x + > 0÷ x + + + 10 − x  Vậy nghiệm hệ phương trình là: (9;8) Bài 6: Giải hệ phương trình ( )( )  x + x + y + y + = (1)   27 x = x3 − y + (2) Giải: Phương trình (1) ⇔ x + x + = ⇔ x + x +4 = y + y2 +1 ( −2 y ) + + ( −2 y ) (3) Hàm số f (t ) = t + + t đồng biến Phương trình (3) ⇔ x = y Thay vào phương trình (2) ta có 27 x = x + x + ⇔ 3x = x3 + x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x + x + + x + x + (4) Hàm số g (t ) = t + t đồng biến ¡ nên Phương trình (4) ⇔ x + = x + x + ⇔ 3x − x − = ⇔x= ± 13  + 13 + 13   − 13 −2 + 13  ;− ÷ ÷ ÷;  ; ÷ 6     Vậy nghiệm hệ phương trình là:  Bài Giải hệ phương trình  x − y = tan x − tan y (1)   π  x; y ∈  0; ÷÷   (2)     tan x + tan y = Giải: Phương trình (1) ⇔ x − tan x = y − tan y (3)  π Xét hàm số f(t) = t − tant; ∀ t ∈  0; ÷  f '( t ) = 1−   π < 0; t ∈  0; ÷⇒ < cos t < cos t  2 Do hàm số nghịch biến Phương trình (3) ⇔ x = y Thay vào phương trình (2) ta có tan x = tan y = ⇔ x = y = π π π  Vậy nghiệm hệ phương trình:  ; ÷ 4 4 Bài ( Thi thử chuyên ĐH Vinh 2014) Giải hệ phương trình  xy + ( xy − ) xy + xy − =  log ( x − y ) + log log y = Giải: (1) (2) ( x, y ∈ ¡ ) Điều kiện: x>y>0 Đặt t=xy >0 Phương trình (1) trở thành 4t + ( t − ) 2t + t − = ⇔ ( 2t + 1) ( 2t + t − ) = ⇔ 2t + t − = 0, 2t + > Vì hàm số f (t ) = 2t + t − đồng biến ¡ mà f(1)=0 nên 2t + t − = ⇔ t = Khi ta có xy = hay y = x Thay vào phương trình (2) ta được: 1 x2 −1  log 22  x − ÷+ log x.log = ⇔ log 22 = log 22 x x x x  2   x −1 x −1 log x = log x  x =x  x2 −1 = x  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=  x2 −1 x − =   x2 −1  log x = − log x  x = x   Suy nghiệm hệ phương trình là:  2; ÷ 2  Bài 9:Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  x − y + y − 3x − =  2  x + − x − y − y + m = Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 3 (1) ⇔ x − 3x = ( y − 1) − 3( y − 1) Hàm số f (t ) = t − 3t nghịch biến đoạn [−1;1] x, y − 1∈ [ −1;1] nên f ( x) = f ( y − 1) ⇔ x = y − ⇔ y = x + Thế vào pt (2) ta x − − x = − m (3) Hệ có nghiệm ⇔ Phương trình (3) có nghiệm x ∈ [ −1;1]   2 Xét g ( x) = x − − x , x ∈ [ −1;1] , g '( x ) = x 1 + ÷ − x2   g '( x ) = ⇔ x = g (0) = −2, g (±1) = Phương trình (3) có nghiệm x ∈ [ −1;1] ⇔ −2 ≤ − m ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ *Dạng 2: Từ phương trình hệ phương trình tìm mối liên hệ x y sử dụng tính đơn điệu hàm số tìm nghiệm hệ phương trình Bài 10 Giải hệ phương trình sau:  x + y + xy + y = 3x + (1)    x − − y = x + y − 10 (2)  Định hướng: Ở phương trình (1) xuất thức có mối liên hệ x, y nên ta biến đổi để tìm mối liên hệ x, y từ phương trình Giải Điều kiện: x ≥ , y≥ , x+y ≠ 10 (*) Với điều kiện (*) ta có x+2>0 nên : (1) ⇔ y + y x + − 2( x + 3) = ( ⇔ y − x+3 )( ) y +2 x+3 =0  y − x + = ⇔  y + x + = (VN ) ⇔ y − x + = ⇔ y=x+3 (3) Thay (3) vào (2) ta có phương tình: 3x − − x + − Vậy điều kiện để (4) có nghĩa: x ≥ , x≠ Xét hàm số : f ( x) = x − − x + − f '( x ) = = = (4) 2x − 2  7   ;+∞  \   2x − 3  2 10 x + − 3x − 10 − + = + 2 3x − 2 x + ( x − ) x − x + ( x − ) x + 29 ( x − x + 3 x + + x − ) + 10 ( 2x − ) 2  7  > 0; ∀x ∈  ; +∞ ÷\   3  2 2 7 7  ⇒ f(x) đồng biến khoảng  ;   ;+∞  3 2 2  2 7 Mặt khác khoảng  ;  : ta có f(1)=0 3 2   ⇒Trên khoảng  ;  : phương trình (4) có nghiệm x =1 3 2 7  7  Tương tự khoảng  ;+∞  : f(6)=0 nên khoảng  ;+∞  phương trình(4) 2  2  có nghiệm x=6 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : (1;4) (6;9) Bài 11 (Thi thử THPT Phan Đăng Lưu năm 2013) Giải hệ phương trình sau:  y x + = +2  y  x x  2  y x + = x + 3x + (1) (2) Định hướng: Từ phương trình (1) ta tìm mối liên hệ x y, nhiên thay vào phương trình (2) ta khó tìm nghiệm giải theo cách thông thường Giải: Điều kiện: x > 0; y ≠ Phương trình (1) ⇔ x + y x + 2y = ⇔ x y ( 1 2 x + y  − ÷= x y )  x+y=0  y = 2x  ⇔ 1 ⇔ − =0 y = − x  x y * Với y = 2x ta có: x x + = x + 3x + (3) ⇔ = Dễ thấy hàm số f ( x) = x2 + 1 x +1 + 2x nghịch biến ( 0; +∞ ) 2x + Mặt khác f ( ) = nên phương trình (3) có nghiệm x = ⇒ y = * Với y = − x ta có: − x x + = x + 3x + (4) Phương trình (4) vơ nghiệm vế trái không dương, vế phải dương Vậy nghiệm hệ phương trình là: ( 3; ) 3x +1 + x +1 − y + = Bài 12 Giải hệ phương trình sau:  x − y x y +1 +2 −2 =0  (1) (2) Giải x− y x− y Ta có ( ) ⇔ ( ) + 2( ) = (3) Đặt t = x − y ; t > phương trình (3) trở thành: t = t2 + t − = ⇔  ⇒ t =1⇒ x = y t = −2 Thay vào phương trình (1) ta có: x x +1 +2 x x +1 x x 1 1 1 − + = ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ = (4) 2  3  6 x x x 1 1 1 Xét hàm số f ( x) =  ÷ +  ÷ +  ÷ 2 3  6 f '( x ) < 0; ∀x ⇒ hàm số f(x) nghịch biến với x Mặt khác f(2) = nên phương trình (4)có nghiệm x = Vậy nghiệm hệ phương trình: (2; 2) Bài 13 Giải hệ phương trình sau:  x + x − = y + x + y + (1)  2 6 x + xy + 2( x − 1)( x + 1) = 3( x − y − 4) x + xy + x + Giải x + y + ≥ § K:  x ≥ Từ phương trình (1) suy x + x = x + y + + x + y + (3) Xét hàm số f(t)=t + 3t (t ≥ 0) f'(t)=2t+3>0 ,t Hàm số đồng biến trªn [ 0; +∞ ) Phương trình (3) ⇔ f(x)=f( x + y + 3) ⇔ x = x + y + ⇔ x2 = x + y + ⇔ y = x2 − x − Thay vào phương trình (2) ta có: 2x3 + x − x − = 3( x − 1) x + x + ⇔ ( x − 1)(2 x + x + − 3 x + x + 2) = x = ⇔ 3 2 x + x + − x + x + = +) Ví i x=1 ⇒ y=-3 +) Ví i x + x + = 3 x3 + x + ⇔ x3 + x + + x + x + = x3 + x + + 3 x3 + x + ⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = x + x + + 3 x + x + Xét hàm số g(t)=t + 3t ⇒ g'(x)=3t2 +3>0;∀t Do hàm số đồng biến ¡ nªn f(x+1)=f( x + x + 2)  −3 + 17 x = ⇔ x + = x + x + ⇔ x + 3x − = ⇔   −3 − 17 (lo¹i) x =  Với x = −3 + 17 −5 − 17 ⇒y= (2) −3 + 17 −5 − 17 ; ) *Dạng 3: Biến đổi hai phương trình hệ phương trình có dạng đặc trưng Bài 14 Giải hệ phương trình sau: Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-3) vµ (  x − − y = − x  ( x − 1) = y (1) (2) Giải Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Thay phương trình (2) vào phương trình (1) ta có: x − − ( x − 1) = − x ⇔ x − = − x3 + x − x + (3) Nhận xét x = nghiệm phương trình (3) Xét hàm số f ( x) = x − [ 1; + ∞ ) f '( x ) = >0 x −1 ⇒ hàm số f(x) đồng biến [ 1; + ∞ ) Xét hàm số g ( x) = − x3 + x − x + g '( x) = −3x + x − < 0; ∀x ≥ ⇒ hàm số g(x) nghịch biến [ 1; + ∞ ) Do x = nghiệm phương trình (3) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (2; 1) Bài 15 Giải hệ phương trình:  y ( x + x − 1) + y =  2  y x + y x − y + y = (1) (2) Định hướng: Bậc x phương trình (1) bậc y phương trình (2) nên ta cần biến đổi hai phương trình hệ phương trình phương trình có dạng đặc trưng Giải: Xét y = khơng thỏa mãn Khi hệ phương trình tương đương  3 x + x − = y − y    x3 + x + = +  y2 y (3) ⇒ 3x + x − + x3 + x + = + y3 y 2 2 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) =  ÷ +  ÷  y  y Xét hàm số (4) f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ⇒ hàm số f(t) đồng biến với t 2 Do (4) ⇔ f ( x + 1) = f  ÷ ⇔ x + = Thay vào phương trình (3) ta có y  y x + x + = ( x + 1) + ( x + 1) ⇔ x3 + x + − x − x − − 3x − = ⇔ x3 − x − x + = x = ⇔  x = −1 Với x = -1 y khơng có giá trị Với x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ phương trình: (1; 1)  x + 3x + ln ( x + 1) = y Bài 16 Giải hệ phương trình:   y + y + ln ( y + 1) = x (1) (2) Định hướng: Đây hệ phương trình đối xứng loại II nên có nghiệm x = y, mà phương trình xuất liện ln nên ta dùng tính đơn điệu hàm số để giải Giải  x>−  x + >  ⇒ Điều kiện:  2 y + >  y > −  Lấy (1) – (2) ta được: x + 3x + ln ( x + 1) −  y + y + ln ( y + 1)  = y − x ⇔ x + x + ln ( x + 1) = y + y + ln ( y + 1) Xét hàm số f (t ) = t + 4t + ln ( 2t + 1) ; t > − f '(t ) = 2t + + (3) 2 > 0; ∀t > − 2t + ⇒ Hàm số f(t) đồng biến với t > − Do phương trình (3) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào phương trình (1) ta được: x + x + ln ( x + 1) = x ⇔ x + x + ln ( x + 1) = Xét hàm số g ( x) = x + x + ln ( x + 1) ; x > − ⇒ g '( x ) = x + + (4) 2 > 0; x > − 2x +1 ⇒ hàm số g(x) đồng biến với ∀x > − Mặt khác g(0) = nên x = nghiệm phương trình (4) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0; 0) Bài 17:Giải hệ phương trình sau:  x + + − y = ( 1)   y + + − x = ( ) ( x, y ∈ ¡ ) Giải   − ≤ x ≤ Điều kiện:  − ≤ y ≤  Trừ (1) cho (2) ta được: x + − − x = y + − − y (3)   Xét hàm số f (t ) = 2t + − − t liên tục đoạn  − ; 4   Ta có f '(t ) = 1   + > 0; ∀t ∈  − ; ÷ 2x + − x     ⇒ Hàm số đồng biến đoạn  − ;    Do phương trình (3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào phương trình (1) ta được: 2x + + − x = ⇔2 ( x + 3) ( − x ) =9− x x = 9 − x ≥ ⇔ ⇔  x = 11 x − 38 x + 33 =   Vậy nghiệm hệ phương trình (3;3) vµ ( 11 11 ; ) 9 Nhận xét: Khi biến đổi hệ phương trình để có phương trình (3) ta nhân lượng liên hợp đưa dạng (x- y).f(x;y)= 0; nhiên cách dài dễ sai Ngồi ta mở rộng tốn sau: Tìm m để hệ phương trình:  x + + − y = m ( x, y ∈ ¡ )   y + + − x = m a.Có nghiệm b Vô nghiệm * Một số tập tương tự Bài 18 Giải hệ phương trình sau: ( x + 1) x + ( y − 3) − y = a  2  x + y + − x = ( x, y ∈ ¡ ) (A-2010)  2 + 3x = y  b   x3 − =  y  x − ( y + 3) + 12 xy + y = c  2  x − x − xy + 36 y = 5 x −3 y = x − 3xy d  2  x − x = y − y 8 x + ( x − 1) − ( y + 1) ( + y ) = 13 x đ  2  y − x + y + = − y )( ( )  −2 + x + x − x + y2 +1 − y =  e   x − + x y − x + =  x − y − y + ( x − y ) = 14 f   − x + y + = x + y −  x − y + + y =  x + y − x + y = g  h   x − y + 13 − x − + y − = i  2  y − + 2( y − 1) = x + + ( x + 1) + + xy  x − x + = y + y j   x − = y − x +  x10 + x = y + x y k   x + + y + =  x3 = − x + y  l  3 x + y = x y ( x + 3)  ( + x ) ( − y ) − + x + =  2 x + y − x + = ( )( )  x2 + − x y2 + + y =  m   x2 − y = x −   x + y +1 +1 = ( x + y ) + x + y  n  2 x − y =   y2 − x2 x + = e y +1 o  3log ( x + y + ) = log ( x + y + ) + 2  log x = y + p   x + + xy + y = x  x2 + x + ln − e y + y = e y q   x + x8 + y − y =  3x − y = y − x r  log x + ( y − ) log y − x + =  x.3x − = ( x − 3x ) t  log ( + x ) + log ( + xy ) = ( + log y ) log x + − log y = s  3 log x − − log y = −1  x + x − x + = y −1 + x  x −1  y + y − y + = + ( x, y ∈ ¡ ) 1 + x + y + = ( x + y ) + x + y  w  x +3 y   x +1 + ÷ = 4 2  x y  − = ( y − x ) ( xy + ) y  2  x + y = ( + x − y ) 51− x + y = + 3x − y +  z  x − 3y y − = 1− y x  Bài 19: Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  x − 12 x − y + y − 16 =  2  x + − x − y − y + m = Bài 20: Cho hệ phương trình: log ( x − y + 3) = − x + y  2 2 log 2+ x2 ( x − y + 2m − 4m ) = log 2+ y2 ( y + 2mx − 2m ) Tìm m để hệ phương trình có hai cặp nghiệm ( x1 ; y1 ) ; ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x12 + x22 + y12 + y22 > IV Kết thực nghiệm Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Nội dung thực nghiệm - Triển khai đề tài: Ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình - Đối tượng áp dụng: học sinh khá, giỏi lớp 12 Kết thực nghiệm Trước áp dụng đề tài vào dạy học khảo sát chất lượng giải hệ phương trình học sinh thơng qua tập Giải hệ phương trình sau  y2 + 3 y = x  a  3 x = x +  y2  x + x + x + = y + y b  3  x (3 y − 7) = − (1 + x ) Tôi khảo sát hai lớp 12A, 12B lớp 20 học sinh Kết quả: Câu a Tỉ lệ Câu b Tỉ lệ Không nhận biết 5% 25 62,5% Nhận biết, vận dụng 7,5% 12,5% Nhận biết biết vận dụng, chưa giải hoàn chỉnh 12,5% 17,5% Nhận biết biết vận dụng, giải hoàn chỉnh 30 75% 7,5% Qua khảo sát nhận thấy: Đa số học sinh giải câu a hệ đối xứng loại II mà em học lớp 10, nhiên găp hệ phương trình khơng có cấu trúc đặc biệt câu b em chưa giải Qua thực tế giảng dạy chuyên đề cho em khối 12 thấy em học sinh nâng cao khả giải hệ phương trình, biết cách vận dụng vào tốn cụ thể mà hứng thú học chuyên đề Sau tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề cho 40 học sinh khá, giỏi hai lớp 12A, 12B tiến hành làm kiểm tra với đề gồm hệ phương trình tương tự học Kết thu sau: Không nhận biết Nhận biết, vận dụng Nhận biết biết vận dụng, chưa giải hoàn chỉnh Nhận biết biết vận dụng, giải hoàn chỉnh Số lượng 10 20 Tỉ lệ ( %) 7,5% 17,5% 25% 50% Qua kết thu thấy phương pháp có tác dụng học sinh giải hệ phương trình Học sinh biết vận dụng nhiều kiến thức học vào giải hệ phương trình cách nhanh chóng PHẦN C: KẾT LUẬN Kết luận: “ Ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình” nói riêng sử dụng phương pháp hàm số vào giải toán thường hay sử dụng từ lâu Tuy nhiên phương pháp giảm tải SGK nên không phổ biến SKKN đưa số dạng ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình từ giải vấn đề sau: - Giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống phương pháp này, từ có kỹ giải thành thạo toán thuộc chủ đề - Phương pháp rèn luyện cho học sinh khả làm việc độc lập, sáng tạo phát huy tính tích cực học sinh đặc biệt học sinh khơng e ngại giải hệ phương trình - Cách phân dạng tập giúp học sinh dễ hiểu, định hướng vấn đề, giải logic số hệ phương trình khơng có cấu trúc đặc biệt Phương pháp khơng phải chìa khóa để giải tất hệ phương trình mà có tác dụng với số dạng định Tôi tin học sinh nắm phương pháp việc giải hệ phương trình nhanh, gọn Kiến nghị, đề xuất: Để nâng cao lực học toán cho học sinh kinh nghiệm giảng dạy giáo viên tơi có số kiến nghị: - Học sinh cần tích cực giải tốn, trao đổi phương pháp học cho - Nhà trường nên tạo điều kiện mua thêm sách tham khảo không cho giáo viên mà mở rộng cho học sinh - Tạo thuận lợi thời gian đưa chuyên đề vào ôn thi THPTQG - Sở GD- ĐT nên đưa thêm SKKN đạt giải qua năm chuyên đề lên trang web Sở để giáo viên học hỏi ứng dụng vào giảng dạy Đề tài kinh nghiệm cá nhân trình giảng dạy thông qua số tài liệu nên không tránh hạn chế, thiếu sót Rất mong hội đồng khoa học góp ý để đề tài ngày hoàn thiện nâng cao kinh nghiệm giảng dạy TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK sách tập giải tích 12 Nhà xuất giáo dục Năm 2008 Sách giáo khoa sách tập giải tích nâng cao lớp 12 Nhà xuất giáo dục Năm 2008 Lê Hồng Đức Phương pháp giải toán đạo hàm ứng dụng Nhà xuất Hà Nội năm 2008 Lê Hồng Đức- Lê Hữu Trí Phương pháp giải tốn mũ- loogarit Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012 Ths Trần Đình Cư- Nguyễn Văn Rin Khám phá tư kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ- logarit Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Năm 2015 Ths Lê Văn Đồn - Ths Văn Đức Chính Ơn luyện dạng toán kỳ thi tuyể sinh đai học: phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Đề thi thử đại học trường THPT qua năm Các tài liệu hệ phương trình mạng internet MỤC LỤC Trang PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Đối tượng nghiên cứu III Phạm vi nghiên cứu IV Mục đích nghiên cứu V Nhiệm vụ nghiên cứu VI Phương pháp nghiên cứu 2 2 PHẦN B: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II Cơ sở thực tiễn III Các giải pháp ứng dụng tính đơn điệu hàm số giải hệ phương trình III.1 Các giải pháp III.2 Một số tập minh họa IV Kết thực nghiệm PHẦN C: KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 3 4 18 19 20 ... số vào giải toán thường hay sử dụng từ lâu Tuy nhiên phương pháp giảm tải SGK nên không phổ biến SKKN đưa số dạng ứng dụng tính đơn điệu vào giải hệ phương trình từ giải vấn đề sau: - Giúp học... cho học sinh - Tạo thuận lợi thời gian đưa chuyên đề vào ôn thi THPTQG - Sở GD- ĐT nên đưa thêm SKKN đạt giải qua năm chuyên đề lên trang web Sở để giáo viên học hỏi ứng dụng vào giảng dạy Đề