Bài toán ổn định hoá nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều bằng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số_2

Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA NGHIỆM DỪNG CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ THANH HUYỀN BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA NGHIỆM DỪNG CHO HỆ LERAY-α BA CHIỀU BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI DẠNG HỮU HẠN THAM SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS Vũ Mạnh Tới HÀ NỘI, 2018 Footer Page of 54 Header Page of 54 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn TS Vũ Mạnh Tới Các kết phát biểu luận văn hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Hà Nội, tháng 08 năm 2018 Tác giả Dương Thị Thanh Huyền Footer Page of 54 Header Page of 54 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khố học Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tồn thể thầy nhà trường dạy dỗ bảo tận tình suốt trình em học tập trường đặc biệt thầy Bộ mơn Tốn giải Tích, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn Ban lãnh đạo trường Cao đẳng Giao thông vận tải Trung ương I tạo điều kiện để em tham gia học tập hồn thành tốt khóa học cao học Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Mạnh Tới, người trực tiếp bảo hướng dẫn tận tình em suốt trình thực luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người bên để giúp đỡ chia sẻ khó khăn với em suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 08 năm 2018 Tác giả Dương Thị Thanh Huyền Footer Page of 54 Header Page of 54 Mục lục Trang Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu hệ Leray-α 1.2 Không gian hàm 1.3 Toán tử đánh giá số hạng phi tuyến 1.4 Sự tồn nghiệm 1.5 Một số bất đẳng thức thường sử dụng 1.6 Một số định lí bổ đề thường dùng 10 Chương Ổn định hóa cho nghiệm dừng hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số 12 2.1 Sự tồn ổn định nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều 13 2.2 Sự tồn ổn định hóa nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số 18 Tài liệu tham khảo 32 Footer Page of 54 Header Page of 54 Mở đầu Lí chọn đề tài Các α-mơ hình học chất lỏng coi chỉnh hóa hệ Navier-Stokes đề xuất trình nghiên cứu hệ Navier-Stokes ba chiều Các kết nghiên cứu cho α-mơ hình học chất lỏng nhiều nhà toán học nghiên cứu (có thể xem [1] tài liệu trích dẫn đó) Một α-mơ hình học chất lỏng nghiên cứu gần nhiều nhà tốn học mơ hình Leray-α (xem [11])      ∂t v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f (x), v = u − α2 ∆u, (0.1)     ∇ · u = ∇ · v = 0, Trong năm gần đây, tồn tại, tính trơn dáng điệu tiệm cận nghiệm theo thời gian cho hệ (0.1) thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem [3, 7, 8, 9, 11]) Gần đây, Azouani Titi [5] đề xuất kiểu điều khiển phản hồi cho điều khiển phương trình tiến hóa tiêu hao tổng qt cách sử dụng hữu hạn tham số (modes, nodes, volume elements, ) mà khơng cần u cầu có mặt phân tách thang không gian, tức không Footer Page of 54 Header Page of 54 cần giả thiết tồn đa tạp quán tính Sau tác giả áp dụng ổn định hóa cho phương trình phản ứng khuếch tán phi tuyến cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Kết nghiên cứu cho phương trình truyền sóng phi tuyến tắt dần (xem [10]), nghiên cứu tính tốn cho thuật toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều [12] Bài toán ổn định cho nghiệm dừng (0.1) miêu tả sau: Với nghiệm dừng v ∗ hệ (0.1), ta điều kiện đủ hệ số nhớt ν (thường đủ lớn, tức ngoại lực đủ nhỏ), cho với nghiệm v hệ (0.1) tiến đến v ∗ theo tốc độ mũ thời gian t → +∞ Bài toán ổn định hóa cho nghiệm dừng (0.1) miêu tả sau: Khi điều kiện đủ để ổn định nghiệm dừng không thỏa mãn (hệ số ν nhỏ, tức ngoại lực đủ lớn), nghiệm dừng v ∗ (0.1) khơng ổn định Khi ta tìm điều khiển phù hợp vào (0.1) để cho hệ có nghiệm nghiệm tiến đến nghiệm dừng v ∗ (0.1) theo tốc độ mũ theo thời gian t → +∞ Ở dựa ý tưởng báo [5] ta sử dụng điều khiển dạng phản hồi Ih (xem [2]), dạng hữu hạn tham số liên quan đến phần tử thể tích hữu hạn hữu hạn Fourier modes, để ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều Mục đích luận văn trình bày kết [4] tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số cho hệ Leray-α ba chiều Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều khơng có/có điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Footer Page of 54 Header Page of 54 3 Nhiệm vụ nghiên cứu • Chỉ tồn nghiệm dừng cho hệ Leray-α đưa điều kiện đủ để nghiệm dừng ổn định • Khi điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định không thỏa mãn (nghiệm dừng khơng ổn định) ta ổn định hóa nghiệm dừng cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Leray-α ba chiều miền hình hộp với điều kiện biên tuần hồn • Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều; lí thuyết ổn định hóa Đóng góp đề tài • Trình bày tồn nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều điều kiện đủ để nghiệm dừng ổn định • Trình bày tồn nghiệm hệ Leray-α ba chiều với ngoại lực dạng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Đồng thời điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định khơng thỏa mãn (nghiệm dừng khơng ổn định) ta ổn định hóa nghiệm dừng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Footer Page of 54 Header Page of 54 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn "Bài tốn ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số" gồm chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau bao gồm: Giới thiệu hệ Leray-α ba chiều; khơng gian hàm tốn tử; kết tồn nghiệm; số bất đẳng thức thường sử dụng; số định lí bổ đề thường dùng • Chương 2: Ổn định hóa cho nghiệm dừng hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Chương trình bày: Sự tồn ổn định nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều; Sự tồn ổn định hóa nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Footer Page of 54 Header Page 10 of 54 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần thiết để nghiên cứu nội dung chương sau, bao gồm: Giới thiệu hệ Leray-α ba chiều; khơng gian hàm tốn tử; kết tồn nghiệm; số bất đẳng thức thường sử dụng; số định lí bổ đề thường dùng 1.1 Giới thiệu hệ Leray-α Giả sử Ω = [0, L]3 , L > 0, miền hình hộp tuần hồn R3 Xét {ej }3j=1 sở tự nhiên R3 , tức e1 = (1, 0, 0)T , e2 = (0, 1, 0)T , e3 = (0, 0, 1)T Ta xét hệ Leray-α ba chiều sau      ∂t v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f (x), v = u − α2 ∆u, (1.1)     ∇ · u = ∇ · v = 0, (x, t) ∈ Ω × (0, ∞), với điều kiện biên tuần hoàn v(x, t) = v(x + Lej , t), t > 0, Footer Page 10 of 54 (1.2) Header Page 24 of 54 19 Ta xét hệ điều khiển dạng hữu hạn tham số Ih :      ∂t v − ν∆v + (u · ∇)v + ∇p = f − µIh (v − v ∗ ),           v = u − α2 ∆u,      ∇ · u = ∇ · v = 0,          v(x, t) = v(x + Lej , t),          v(x, 0) = v , x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω (2.21) Ta viết hệ (2.21) dạng tương đương    dv    + νAv + B(u, v) = P f − µP Ih (v − v ∗ ), v = u + α2 Au, dt (2.22)     v(0) = v Ta xét Ih xây dựng [2] để ổn định hóa nghiệm dừng v ∗ điều kiện (2.3) không thỏa mãn Xét ánh xạ Ih : V → H toán tử nội suy thỏa mãn ước lượng sau: ϕ − Ih (ϕ) L2 ≤ c21 h2 ϕ H1 , với ϕ ∈ (H (Ω))3 , (2.23) với số c1 > không phụ thuộc vào h Từ đánh giá này, ta nhận đánh giá: |ϕ − Ih (ϕ)|2 ≤ c21 h2 ϕ , với ϕ ∈ V, (2.24) với số c1 > Hai ví dụ sau tốn tử Ih thỏa mãn (2.23) dựa phần tử thể Footer Page 24 of 54 Header Page 25 of 54 20 tích hữu hạn phép chiếu lên hệ số Fourier (xem [2] để biết thêm chi tiết): • Phần tử thể tích hữu hạn Ta chia miền Ω thành N khối Ωk , k = √ 1, , N , Ωk khối lập phương thứ k có cạnh h = L/ N , thể tích Ωk |Ωk | = L3 /N Ở 1Ωk hàm đặc trưng Ωk Tốn tử Ih có dạng sau N ϕk 1Ωk (x), Ih (ϕ) = k=1 ϕk trung bình ϕ Ωk , định nghĩa sau ϕk = |Ωk | ϕdx Ωk • Phép chiếu lên hệ số Fourier toán tử nội suy Xét toán tử Ih dựa phép chiếu lên hệ số Fourier, không |k| với |k| ≤ L 2πh định nghĩa Ih (ϕ) = ϕk wk (x), |k|≤ với ϕ = L 2πh ϕk wk (x), k∈Z3 \{0} wk (x) = 2πi exp k · x , ∀k ∈ Z3 \ {0} ϕk = (ϕ, wk ) L L3 Ta có kết mục Định lí 2.2.1 Giả sử f ∈ V v ∗ Định lí 2.1.2 Lấy µ h tham số dương thỏa mãn 2µc21 h2 Footer Page 25 of 54 c20 < ν µ > 1/2 f αν V − νλ1 , (2.25) Header Page 26 of 54 21 Ih thỏa mãn (2.24) Khi đó, với v ∈ H, tồn nghiệm yếu v hệ (2.22) thỏa mãn với T > 0, v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V ), dv ∈ L2 (0, T ; V ), dt |v(t) − v ∗ |2 ≤ |v − v ∗ |2 e−d1 t với t > 0, c20 d1 = νλ1 + µ − 1/2 f 2V αν (2.26) Theo định lí này, ta chứng minh nghiệm dừng v ∗ ổn định mũ toàn cục cách sử dụng điều khiển phản hồi Ih Chứng minh i) Sự tồn nghiệm Đầu tiên ta chứng minh tồn nghiệm v hệ (2.22) phương pháp xấp xỉ Galerkin Giả sử {wj }∞ j=1 sở trực giao H gồm vectơ riêng toán tử A Đặt Hm = span{w1 , , wm } Pm phép chiếu trực giao từ H lên Hm Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin cho hệ (2.22) ta hệ   dvm    + νAvm + Pm B(um , vm ) = Pm f − µPm P Ih (vm − v ∗ ),   dt    vm = um + α Aum ,         vm (0) = Pm v (2.27) Hệ (2.27) hệ phương trình vi phân thường với phi tuyến bậc hai Pm B(um , vm ) phần tuyến tính Pm P Ih (vm − v ∗ ), nên từ định lí cổ điển phương trình vi phân thường (có thể xem Định lí 1.6.1), hệ (2.27) có nghiệm khoảng thời gian ngắn (0, Tm ) Ta chứng minh Tm = +∞ cách nghiệm vm hệ (2.27) bị chặn nghiệm xấp xỉ vm - tồn toàn cục theo thời gian Footer Page 26 of 54 Header Page 27 of 54 22 Nhân hai vế phương trình (2.27) với vm lấy tích phân Ω, sử dụng (1.7) ta 1d |vm |2 + ν vm dt = Pm f, vm V ,V − µ (Pm Ih (vm − v ∗ ), vm ) (2.28) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Pm f, vm V ,V ≤ f V vm ≤ f ν V + ν vm (2.29) Ta có −µ(Pm Ih (vm − v ∗ ), vm ) = − µ(Pm Ih (vm ), vm ) + µ(Pm Ih (v ∗ ), vm ) = µ (Pm (vm − Ih (vm ), vm ) − µ(vm , vm ) − µ(Pm (v ∗ − Ih (v ∗ )), v ∗ ) + µ(Pm v ∗ , vm ) ≤ µ|vm − Ih (vm )| |vm | − µ|vm |2 + µ|v ∗ − Ih (v ∗ )| |v ∗ | + µ|v ∗ | |vm | Mặt khác, cách sử dụng (2.24) bất đẳng thức Cauchy, ta µc21 h2 µ|vm − Ih (vm )| |vm | − µ|vm | ≤ vm 2 µ − |vm |2 , ∗ ∗ ∗ ∗ µ|v − Ih (v )| |v | + µ|v | |vm | ≤ µc1 h v ∗ 2µ2 ∗ νλ1 |v | + |v | + |vm |2 νλ1 ∗ Vì vậy, µc21 h2 −µ(Pm Ih (vm − v ), vm ) ≤ vm ∗ + µc1 h v Footer Page 27 of 54 ∗ νλ1 µ |vm |2 − |vm |2 2 2µ ∗ |v ∗ | + |v | νλ1 + (2.30) Header Page 28 of 54 23 Do đó, từ (2.29), (2.30) bất đẳng thức Poincaré (1.4), ta có Pm f, vm V ,V µ µc21 h2 ν + vm − |vm |2 2 f 2V 2µ ∗ + µc1 h + v + νλ1 ν (2.31) − µ(Pm Ih (vm − v ∗ ), vm ) ≤ Kết hợp điều kiện µc21 h2 < ν (2.25) sử dụng (2.2), (2.28) (2.31), ta d |vm |2 + ν vm dt 2 + µ|vm | ≤ µc1 h 2µ2 + 2 +2 ν ν λ1 f 2V ν (2.32) Sử dụng (1.4) bất đẳng thức Gronwall, ta kết luận (2.32), với t ∈ [0, Tm ), |vm (t)|2 ≤ e−(νλ1 +µ)t |vm (0)|2 2µ2 µc1 h f 2V + 2 +2 − e−(νλ1 +µ)t + ν ν λ1 ν(νλ1 + µ) Bất đẳng thức cho thấy nghiệm vm (t) mở rộng đến [0, +∞) Với T > 0, lấy tích phân (2.32), cận từ đến t, t ∈ [0, T ], ta có t µc1 h 2µ2 f 2V + 2 +2 t ν ν λ1 ν µc1 h 2µ2 f 2V T ≤ |v | + + 2 +2 ν ν λ1 ν vm (s) ds ≤ |vm (0)|2 + |vm (t)| + ν Do : • {vm } bị chặn theo m L∞ (0, T ; H) vm L∞ (0,T ;H) ≤ |v |2 + µc1 h 2µ2 + 2 +2 ν ν λ1 f V T (2.33) f 2V T ν2 (2.34) ν • {vm } bị chặn theo m L2 (0, T ; V ) vm 2L2 (0,T ;V ) Footer Page 28 of 54 02 µc1 h 2µ2 ≤ |v | + + 2 +2 ν ν ν λ1 Header Page 29 of 54 24 • {Avm } bị chặn theo m L2 (0, T ; V ) Sử dụng (1.8) ta có B(um (t), vm (t)) V ≤ c0 |um (t)|1/2 um (t) 1/2 vm (t) c0 |vm (t)| vm (t) 23/4 α1/2 ≤ Từ (1.5) với vm = um + α2 Aum bất đẳng thức Cauchy |um (t)|1/2 um (t) 1/2 ≤ 23/4 α1/2 |vm (t)| Do (2.35), ta có T B(um , vm ) L2 (0,T ;V ) B(um (t), vm (t)) = V dt ≤ ≤ T c20 |vm (t)|2 vm (t) dt 23/2 α c20 23/2 α vm L∞ (0,T ;H) vm L2 (0,T ;V ) Do đó, nhờ (2.33) (2.34), ta kết luận • B(um , vm ) bị chặn theo m L2 (0, T ; V ) Từ (2.24), ta có |Ih (vm − v ∗ )| ≤ |vm − v ∗ − Ih (vm − v ∗ )| + |vm − v ∗ | ≤ µc1 h vm − v ∗ + |vm − v ∗ |, Do Ih (vm − v ∗ ) ∈ L2 (0, T ; H) Mà dvm = νAvm − Pm B(um , vm ) + Pm f − µPm P Ih (vm − v ∗ ), dt nên ta có Footer Page 29 of 54 (2.35) Header Page 30 of 54 25 dvm dt • bị chặn theo m L2 (0, T ; V ) Từ vm bị chăn trên, áp dụng Bổ đề compact Aubin-Lions (xem Bổ đề 1.6.3), từ dãy {vm } ta trích dãy (để đơn giản, kí hiệu {vm }), cho v L2 (0, T ; V ), vm vm dt Av L2 (0, T ; V ), Avm v L2 (0, T ; V ), dt vm → v L2 (0, T ; H), um → u L2 (0, T ; D(A)) Khi đó, ta có vm = um + α2 Aum → v = u + α2 Au L2 (0, T ; H) B(u, v) L2 (0, T ; V ) Bây giờ, ta cần chứng minh B(um , vm ) Với w ∈ V , ta có T T B(um (t), vm (t)), w V ,V dt − B(u(t), v(t)), w V ,V dt T ≤ B(um (t) − u(t), vm (t)), w V ,V dt (2.36) T B(u(t), vm (t) − v(t)), w + V ,V dt = Km(1) + Km(2) Sử dụng (1.8) bất đẳng thức Hăolder, ta cú T Km(1) B(um (t) u(t), vm (t)), w ≤ V ,V dt T |um (t) − u(t)|1/2 um (t) − u(t) ≤ c0 1/2 vm (t) w dt T ≤ c0 vm (t) dt w |um (t) − u(t)| um (t) − u(t) dt Footer Page 30 of 54 T (2.37) Header Page 31 of 54 26 Chú ý từ (1.5) ta có |um (t) − u(t)| um (t) − u(t) ≤ ≤ 23/2 α 23/2 α (|um (t) − u(t)|2 + 2α2 um (t) − u(t) ) |vm (t) − v(t)|2 Vì vậy, (2.37) trở thành Km(1) ≤ c0 23/2 α vm − v L2 (0,T ;H) vm L2 (0,T ;V ) w (2.38) Do vm → v L2 (0, T ; H) vm bị chặn theo m L2 (0, T ; V ), nên từ (2.38) ta có lim Km(1) = 0, với w ∈ V (2.39) m→+∞ Sử dụng (1.6), (1.9) bất đẳng thức Hăolder, ta cú T Km(2) = B(u(t), w), vm (t) − v(t) V ,V B(u(t), w), vm (t) − v(t) V ,V dt T ≤ dt T u(t) w |vm (t) − v(t)|1/2 vm (t) − v(t) ≤ c0 1/2 dt 1/2 T ≤ c0 L2 (0,T ;V ) 1/2 |vm (t) − v(t)| vm (t) − v(t) dt u(t) dt ≤ c0 u T w vm − v 1/2 L2 (0,T ;H) vm − v 1/2 L2 (0,T ;V ) w (2.40) Do vm → v L2 (0, T ; H) vm − v bị chặn L2 (0, T ; V ), từ (2.40) ta lim Km(2) = 0, với w ∈ V m→+∞ Footer Page 31 of 54 (2.41) Header Page 32 of 54 27 Kết hợp (2.39) (2.41), suy từ (2.36), ta T T B(um (t), vm (t)), w đó, B(um , vm ) V ,V dt → B(u(t), v(t)), w V ,V dt ∀w ∈ V, B(u, v) L2 (0, T ; V ) Qua giới hạn hai vế (2.27) m → +∞, v thỏa mãn dv(t) ,w dt = v0, w V ,V + ν((v(t), w)) + B(u(s), v(s)), w V ,V V ,V + f − µIh (v − v ∗ ), w V ,V , hầu khắp t ∈ (0, T ), ∀w ∈ V, đó, v = u + α2 Au v = u0 + α2 Au0 Hơn v ∈ L2 (0, T ; V ), ∂t v ∈ L2 (0, T ; V ) nên v ∈ C([0, T ]; H) Vậy v nghiệm yếu (2.22) Bây giờ, ta chứng minh tính phụ thuộc liên tục nghiệm điều kiện ban đầu Giả sử v1 , v2 hai nghiệm (2.22) với điều kiện ban đầu tương ứng v10 = u01 + α2 Au01 , v10 = u02 + α2 Au02 Đặt z = v1 − v2 = w + α2 Aw Khi z thỏa mãn dz + νAz + B(u1 , z) + B(w, v2 ) = −µP Ih (z), z = w + α2 Aw (2.42) dt Nhân (2.42) với z lấy tích phân Ω sử dụng (1.6), ta có 1d |z| + ν z dt + B(w, v2 ), z Ở đây, sử dụng P Ih (z), z Footer Page 32 of 54 V ,V V ,V = −µ(Ih (z), z) = (Ih (z), z) (2.43) Header Page 33 of 54 28 Sử dụng (2.24) bất đẳng thức Cauchy, ta −µ(Ih (z), z) = µ(z − Ih (z), z) − µ|z|2 ≤ µ|z − Ih (z)| |z| − µ|z|2 (2.44) ≤ µc1 h z |z| − µ|z|2 µc21 h2 z ≤ 2 µ − |z|2 Từ giả thiết 2µc21 h2 < ν, ta nhận từ (2.43) (2.44) d |z| + ν z dt 2 + µ|z|2 ≤ − B(w, v2 ), z V ,V (2.45) Sử dụng (1.8) bất đẳng thức Cauchy, ta − B(w, v2 ), z 1/2 V ,V ≤ c0 |w| w 1/2 c20 z ≤ |w| w 2ν v2 v2 + ν z 2 Mặt khác, từ (1.5) ta có |w| w ≤ |w|2 + 2α2 w 23/2 α ≤ 23/2 α |z|2 Vì thế, − B(w, v2 ), z V ,V c20 ν ≤ 5/2 v2 |z|2 + z να (2.46) Thế (2.46) vào (2.45), ta d |z| + ν z dt c20 + µ|z| ≤ 5/2 v2 |z|2 να Sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận c20 |z(t)| ≤ |z(0)| exp 5/2 να t v2 (s) ds , ∀t ∈ [0, T ] Bất đẳng thức cho ta điều phải chứng minh (ii) Tính ổn định Bây chứng minh ổn định mũ v ∗ Với nghiệm v = u + α2 Au (2.21) z = v − v ∗ thỏa Footer Page 33 of 54 Header Page 34 of 54 29 mãn d z + νAz + B(u, z) + B(u − u∗ , v ∗ ) = −µP Ih (z), z = (I + α2 A)(u − u∗ ), dt z(0) = v − v ∗ (2.47) Nhân phương trình đầu (2.47) với z, lấy tích phân Ω sử dụng (1.7) ta thu 1d |z| + ν z dt + B(u − u∗ , v ∗ ), z V ,V = −µ(Ih (z), z) (2.48) Sử dụng (2.24) bất đẳng thức Cauchy ta có −µ(Ih (z), z) = µ(z − Ih (z), z) − µ|z|2 ≤ µ|z − Ih (z)| |z| − µ|z|2 (2.49) ≤ µc1 h z |z| − µ|z|2 µc21 h2 ≤ z 2 µ − |z|2 Kết hợp (2.48) (2.49) ta có 1d |z| + ν z dt ∗ ∗ + B(u − u , v ), z V ,V µc21 h2 ≤ z 2 µ − |z|2 Theo giả thiết 2µc21 h2 < ν, ta có d 3ν |z| + z dt µ + |z|2 ≤ − B(u − u∗ , v ∗ ), z V ,V (2.50) z (2.51) Từ (1.8), ta có B(u − u∗ , v ∗ ), z V ,V ≤ c0 |u − u∗ |1/2 u − u∗ 1/2 v∗ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sử dụng ước lượng (1.5) |u − u∗ |1/2 u − u∗ Footer Page 34 of 54 1/2 |u − u∗ |2 + 2α2 u − u∗ 23/4 α1/2 ≤ 3/4 1/2 |z| α ≤ (2.52) Header Page 35 of 54 30 Vì vậy, kết hợp (2.51) (2.52), ta có B(u − u∗ , v ∗ ), z V ,V c0 |z| v ∗ z 3/4 1/2 α ν c2 v ∗ |z|2 + z ≤ 3/20 αν ≤ (2.53) Từ (2.50), sử dụng (2.53), ta suy d |z| + ν z dt + µ− c20 v∗ 1/2 αν |z|2 ≤ Sử dụng bất đẳng thức Poincaré (1.4) ước lượng (2.2) ta c20 d |z| + νλ1 + µ − 1/2 f dt αν V |z|2 ≤ (2.54) Sử dụng bất đẳng thức Gronwall (xem Mục 1.5), ta có từ (2.54): c20 |z(t)| ≤ |z(0)| exp − νλ1 + µ − 1/2 f αν 2 Do ta có (2.26) Footer Page 35 of 54 V t , ∀t > Header Page 36 of 54 31 Kết luận Luận văn nghiên cứu tốn ổn định hóa nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Luận văn trình bày số kết sau: • Sự tồn nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều điều kiện đủ để nghiệm dừng ổn định • Sự tồn nghiệm hệ Leray-α ba chiều với ngoại lực dạng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Đồng thời điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định khơng thỏa mãn (nghiệm dừng khơng ổn định) ta ổn định hóa nghiệm dừng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Footer Page 36 of 54 Header Page 37 of 54 32 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] C.T Anh, Hệ động lực học chất lỏng, NXB Đại học Sư phạm, 2017 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] D.A.F Albanez, H.J Nussenzveig-Lopes and E.S Titi (2016), Continuous data assimilation for the three-dimensional Navier-Stokes-α model, Asymptot Anal 97, 139-164 [3] H Ali (2013), On a critical Leray-α model of turbulence, Nonlinear Anal Real World Appl 14, 1563-1584 [4] C.T Anh and V.M Toi (2017), Finite-parameters feedback control for stabilizing 3D Leray-α equations, submitted [5] A Azouani and E.S Titi (2014), Feedback control of nonlinear dissipative systems by finite determining parameters: a reaction-diffusion paradigm, Evol Equ Control Theory 3, 579-594 [6] V.V Chepyzhov, E.S Titi and M.I Vishik (2007), On the convergence of solutions of the Leray-α model to the trajectory attractor Footer Page 37 of 54 Header Page 38 of 54 33 of the 3D Navier-Stokes system, Discrete Contin Dyn Syst 17, 481-500 [7] A Cheskidov, D.D Holm, E Olson and E.S Titi (2005), On a Leray-α model of turbulence, Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Eng Sci 461, 629-649 [8] A.A Ilyin, E.M Lunasin and E.S Titi (2006), A modified-Leray-α subgrid scale model of turbulence, Nonlinearity, 19, pp 879-897 [9] A Kostianko (2018), Inertial manifolds for the 3D modified-Lerayα model with periodic boundary conditions, J Dynam Differential Equations, 30, 1-24 [10] V Kalantarov and E.S Titi (2016), Finite-parameters feedback control for stabilizing damped nonlinear wave equations, Contemporary Mathematics AMS, (to appear) arXiv:1501.00556 [11] J Leray (1934), Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math 63, 193-248 (in French) [12] E Lunasin and E.S Titi (2017), Finite determining parameters feedback control for distributed nonlinear dissipative systems-a computational study, Evol Equ Control Theory 6, 535-557 [13] J.C Robinson (2001), Infinite-dimensional dynamical systems An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors Cambridge Texts in Applied Mathematics Cambridge University Press, Cambridge [14] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, second ed., Philadelphia Footer Page 38 of 54 ... tốn ổn định hóa điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số cho hệ Leray-α ba chiều Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều khơng có/có điều khiển phản hồi dạng. .. lực dạng điều khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Đồng thời điều kiện đủ cho nghiệm dừng ổn định không thỏa mãn (nghiệm dừng khơng ổn định) ta ổn định hóa nghiệm dừng điều khiển phản hồi dạng hữu. .. khiển phản hồi dạng hữu hạn tham số Chương trình bày: Sự tồn ổn định nghiệm dừng cho hệ Leray-α ba chiều; Sự tồn ổn định hóa nghiệm cho hệ Leray-α ba chiều cách sử dụng điều khiển phản hồi dạng hữu