CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC

Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC VẤN ĐỀ CĂN BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai: Căn bậc hai số thực a không âm ( a  ) số thực x cho x  a Chú ý:  Số dương a ( a  ) có hai bậc hai, hai số đối nhau: - Số dương kí hiệu là: a; - Số âm kí hiệu là:  a  Căn bậc hai số  Số âm ( a  ) khơng có bậc hai Ví dụ 1.1 Căn bậc hai    3 ; Căn bậc hai Căn bậc hai số học: Với số thực a khơng âm số Ví dụ 1.2 Căn bậc hai số học a gọi bậc hai số học a  ; Căn bậc hai số học (Như vậy, máy tính cầm tay ta tính  bậc hai số học, ta tính tính bậc hai số học Học sinh cần lưu ý để phân biệt, tránh sai lầm tính 2 ) Ghi nhớ: Ví dụ 1.3 x0 a x x  a Giải phương trình sau: a) 2x   ; b)  x   0, x  Giải: a) 2x    x   x  2 b)  x    x   x  36(TM) So sánh hai bậc hai số học: a  b 0a b 42 Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm Ví dụ 1.4 So sánh 10 Giải: Ta có  , mà  10   10   10 Ví dụ 1.5 Tìm giá trị khơng âm x, biết: x  6; a) b) x  Giải: a) Ta có:  36  x   x  36  x  36 Kết hợp với điều kiện x  ta x  36 x  b) Ta có:  49  x   x  49  x  49 Kết hợp với điều kiện x  ta  x  49 x  Ví dụ 1.6 a) Giải bất phương trình sau: x   6, x  ; x   5, x  1 b) Giải: a) Ta có:  36  x    x   36  x   36  x  35 Kết hợp với điều kiện x  ta x  35 b) Ta có:  25  x    x   25  x   25  x  24 Kết hợp với điều kiện x  1 ta 1  x  24 B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm bậc hai bậc hai số học số Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: Nếu a  thì: a  a  Các bậc hai a  Căn bậc hai số học a a Nếu a  bậc hai bậc hai số học a Nếu a  khơng có bậc hai khơng có bậc hai số học Bài 1.1 Tìm bậc hai bậc hai số học số sau: 25 a) 16; b) 0; c) ; d) 0, 64 49 Bài 1.2 Mỗi số sau bậc hai số học số nào? Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm b) 0,31 ; a) 13; ; c) d) 0,5 Bài 1.3 Tính: a) 25 ; b) ; 81 c)  ;  4 e)    ;   d)  (5) ; 2  Bài 1.4 Tính giá trị biểu thức sau: a) 1  16 ; 81 b) 0,5 0, 04  0,36 ; c) 25 2 ; 16 d) 4 25 9 5  16 25 Dạng 2: Giải phương trình Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức x0 a x x  a Bài 1.5 Giải phương trình sau: a) x  16  ; e) x 5  b) x   ; ; x  2x   ; f) c) x 7; d)  g) x    3, x  ; h) x   0, x  ; x  4x    Dạng 3: So sánh bậc hai số học Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: a  b   a  b Bài 1.6 So sánh: a) 2 3; b) 11 Bài 1.7 Giải bất phương trình sau: a) x   2, x  1 ; d) 2x    2, x  b) 99 ; c) 17  5; 2x   8, x  ; c) d) 15  2x   3, x   ; Dạng 4: Dạng toán nâng cao Bài 1.8 So sánh: 2016  2017 ; a) 2015  2018 c)     Bài 1.9 Chứng minh b)  số vô tỉ Bài 1.10 Cho biểu thức A  x  x  a) Đặt y  x  Hãy biểu thị A theo y; b) Tìm giá trị nhỏ A  f)  1 10;    100 Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm VẤN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A  A A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn thức bậc hai: Với A biểu thức đại số, người ta gọi thức bậc hai 1 x Điều kiện xác định thức bậc hai: Ví dụ 2.1 2x  1;  A xác định (có nghĩa)  A  Ví dụ 2.2 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: a) 2x  ; b) ; c) x  16 ;  6x Giải: a) b) A thức bậc hai A 2x  xác định  2x    x  xác định   6x   x  (Vì  6x d)  x2  6x mẫu thức)  x4 x  16 xác định  x  16   x  16   (Có thể tự xây dựng cách đưa bất  x  4 phương trình tích) c) d)  x xác định   x   x   2  x  Ví dụ 2.3 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: 1 a) A  ; b) B  x  2x  x  2x  Giải: a) Điều kiện xác định A là:  x 1  x   x  2x    x  2x    (x  1)      x     x   (1) 2x   b) Điều kiện xác định B là:   x  2x   (2) Giải (1) ta được: x     x0  x   Giải (2) ta được: x  2x      x    x    x  2x       x   Kết hợp (3) (4) ta x   điều kiện xác định B Ví dụ 2.4 Cho biểu thức: A  x  x  4x  a) Tìm điều kiện xác định A b) Rút gọn biểu thức A Giải: (3) (4) Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm a) Điều kiện xác định A là:  x  4x   x0   (x  2)  0, x   x  x2    x   2  x  x  4x   x  (x  2)   x  x  4x   b) Biến đổi biểu thức được: A  x  (x  2)2  x  x  - Nếu x  A  x  (x  2)  - Nếu  x  A  x  (2  x)  2x  Chú ý 1: Nhắc lại giá trị tuyệt đối  A A   A  ; A A   A  A ;   AB A  B  ;  A  B  A  A  A  0;  A  A  A  Chú ý 2: Nhắc lại dấu tích, dấu thương  a   b   a.b    ;  a    b  a   a b  0  ;  a  b    b   a   b   a.b    ;  a    b   a   a b  0  ; a  b    b     a  a Chú ý 3: Với a  , ta ln có:  xa  x2  a2   ;  x  a  x  a  a  x  a Hằng đẳng thức:  A A  A2  A   A A  Ví dụ 2.5 Tính: a) A  16 25  196 : 49 ; b) B  36 : 2.32.18  169 ; Giải: a) A  16 25  196 : 49  4.5  14 :  22 b) B  36 : 2.32.18  169  36 : 182  2.13  36 :18  26  24 c) C  52  122  169  132  13 Ví dụ 2.6 Tính: c) C  52  122 Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm a)    2 1 ; b) 32  Giải: a) b)     2 2 1 2 1     ,     ,  Ví dụ 2.7 Chứng minh: a)  2      c)   b) 11    ; 1 ;   1 Giải:  2  1 b) 11    2.3        c)          1 a)  2  2  2 1  2 2 Ví dụ 2.8 Thực phép tính: a) 10   10  b) 49  12  49  12 Giải: a) 10   10    b)   62    2   6  2   3 52   6  6.2  22   6.2  22 2  2  2 2  49  12  49  12  3 3   2.3 5.2  22  3   2.3 5.2  22  2  2  23 2  Ví dụ 2.9 Tính: a) (x  1) , x  ; b) a6 , a  ; c) (x  2) , x  ; d) a4 Giải: a) Vì x   x    (x  1)2  x   x  b) a6  a   a  a , a   a  c) Vì x   x    (x  2)  x    x d) a4  a  2  a  a , a  0, a B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức sau:  A xác định A  Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm xác định A  A   B  A  B xác định  A  B  Bài 2.1 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau:  a) 2x  ; 7x ; b) c)  4x ; x2  7  2x ; f) ; g) ; 4x x 1 Bài 2.2 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: e) a) 3x  ; x  2x  b) e) 7 ; x  f) i) 8x  x  15 ; 2 x  8x  ; (3  5x)(x  6) ; c) x  5x  2 j) x2  x 1 g)   16x ; ; ; k) x  2x  d) 3x  ; h) x  2x  2x  d) 36  x ; h) ; 1 x2  l) ; 16  x  x  8x  14 2x  Bài 2.3 Cho biểu thức: A  x  6x   x  6x  a) Tìm điều kiện xác định A b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A = Bài 2.4 Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x 1 ; b) d) x  x 1 ; e) x 1  ; 4 x ; c)  12x  4x ; f) x  x 1 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức  A A  A2  A   A A  Bài 2.5 Tính: a) (3)6  (2) ; b) 144 49 0, 01 ; 64 c) 72 : 32  42  52  32 Bài 2.6 Thực phép tính: a) 5 d)   2 5   ; b)   1    11   11 ;  c) 2 7  2 ; Bài 2.7 Chứng minh: a) 28  10    5 ;   b) 193  132  11  ;   c)    ; Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm d)      e)  1 ; g) 11   11   ;   27  10 ;     2 ; h) f) 94  94  4; i) 28  10  28  10  10 Bài 2.8 Thực phép tính sau: a) 5  52 ; b) d) 31  12  31  12 ; Bài 2.9 Thực phép tính sau: a) d)   29  12 ; 41  12  41  12 ; 21  12  21  12 ; c) e) 17  12  17  12 ; f) 11   11  b) 13  30   ; c)  13    13  ;   2 5 ; e)   13     13  Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: Bước 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức (nếu có) Bước 2: Khai biểu thức phân tích tử mẫu thức thành nhân tử Bước 3: Thu gọn (Có thể cách giản ước cho nhân tử chung) Bước 4: Kết luận Bài 2.10 Rút gọn biểu thức sau: a) M  a  5a, a  ; b) 64a  3a, a  ; c) Q  4a  3a Giải: a) M  a  5a  a  5a  3a  5a  8a , a  b) 64a  3a  8a  c) Q  4a  3a   3a  8a  3a  8a  3a  11a , a   2a   3a  2a  3a - Nếu a  Q  2a  3a  6a  3a  3a - Nếu a  Q  2a  3a  6a  3a  9a Bài 2.11 Rút gọn biểu thức sau: a) A  x    4x  x , x  ; b) B   x  x  6x  9, x  3 ; c) C  2x  4x  4x  Giải: a) A  x    4x  x  x   2  x  b) B   x  x  6x    x   x  3  x    x  x   (x  2)  , x    x  2   x  x    x  x   , x  3  x   c) ĐKXĐ: 4x  4x   (2x  1)2  0, x Ta có: C  2x  4x  4x   2x  - Nếu 2x    x   2x  1  2x  2x  C  2x  (2x  1)  Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng mơn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Toàn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm C  2x  (1  2x)  4x  Nếu 2x    x  - Bài 2.12 Rút gọn biểu thức sau: a) M  x2  ; x b) N  d) Q  x ; x  5x  e) R  x 2 ; x4 c) P  x  2x  ; x2  x 3 x  x 5 x 6 Giải: a) ĐKXĐ: x    x       x   x    x  x2  x  M  x x x 3  x0 x  b) ĐKXĐ:   x   x  N x 2  x4 x 2  x  22  x 2  x 2  x 2   x 2 c) ĐKXĐ: x    x     x x  2x  x P   x 2 x x x     d) ĐKXĐ: x  5x    x  Q  0x x x   x  5x  x  x    x0 x  x0      x   x  e) ĐKXĐ:   x  x    x    x 3 R x 3 x   x 5 x 6    x   x 1  x  3 x 2 x 1 x 3 Bài 2.13 Rút gọn biểu thức sau: a) A  64a  2a ; b) B  9a  6a ; d) D  3x   6x  x , x  3 ; e) E  c) C  4x  x  4x  4, x  ; x  4x  , x  2 ; x2 Bài 2.14 Rút gọn biểu thức sau: a) M  x  2x  , x  1; x 1 b) N  2(x  2) x  4x  ; c) P   4x  4x ; 2x  Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn – 0984.698.554 Nhận dạy ôn thi vào 10, bồi dưỡng môn Tốn THCS THPT – Ngõ 16 Nguyễn Khánh Tồn – Cầu Giấy Ngõ 176 Xuân Đỉnh – Bắc Từ Liêm d) Q  4(3x  1) 9x  6x  f) F  x   x  10 e) E  x  ; x  25  x 5 x  25 Bài 2.15 Rút gọn biểu thức sau: a) M  x    2x , x  ; x  x 9  x 3 x 9 ;  b) N  x  4x   x , x  ; c) P  x  x   x   ; d) Q  a  a   a  a  1,  a  Bài 2.16 Rút gọn biểu thức sau: a) A  a a   2a  a ; a4 c) C  x   12 b) B  x  4x  , x  2; x2 72  72 d) D   x  4x x  8x  16 ; , x  Bài 2.17 Rút gọn biểu thức sau: a) x   x2  6x  (x  3) ; c) b) x2  4x   x2 (2  x  0) ; x2  4x  d) x   (x  2) x2 x2  2x  (x  1) ; x 1 Bài 2.18 Rút gọn biểu thức sau: a)  4a  4a2  2a ; d) 2x   c) x  x  8x  16 ; b) x  2y  x2  4xy  4y2 ; x2  10x  25 ; x5 e) x  4x  x2  ; f) Bài 2.19 Cho biểu thức A  x2  x   x  x  a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x  Bài 2.20 Cho số dương x,y,z thoả điều kiện: xy  yz  zx  Tính: Ax (1  y2 )(1  z2 )  x2 y (1  z )(1  x )  y2 z (1  x )(1  y ) ĐS: A  Gợi ý:  y2  (xy  yz  zx)  y  (x  y)(y  z) ,  z2  (y  z)(z  x) ,  x2  (z  x)(x  y) 10  z2 (x  4)2  x4 x  8x  16 ... – Bắc Từ Liêm VẤN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A  A A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn thức bậc hai: Với A biểu thức đại số, người ta gọi thức bậc hai 1 x Điều kiện xác định thức bậc hai: Ví dụ... BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Để rút gọn biểu thức, cần thực tốt bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung   Phân tích mẫu thức. .. DẠNG TỐN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức chứa bậc hai Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức sau:  A xác định A  Tài liệu ôn thi vào 10 – CĂN THỨC – Th.S Lê Hữu Thiện – Sưu tầm biên soạn