Luận văn về đường hyperbol tới hạn của một hệ elliptic hamilton với trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ VỀ ĐƯỜNG HYPERBOL TỚI HẠN CỦA MỘT HỆ ELLIPTIC HAMILTON VỚI TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ VỀ ĐƯỜNG HYPERBOL TỚI HẠN CỦA MỘT HỆ ELLIPTIC HAMILTON VỚI TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Như Thắng HÀ NỘI, 2018 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành khố học Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới tồn thể thầy nhà trường dạy dỗ, bảo tận tình trình em học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn tới tồn thể thầy Bộ mơn Tốn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Như Thắng, người trực tiếp bảo hướng dẫn tận tình em suốt trình thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người bên để giúp đỡ chia sẻ khó khăn với em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Hà Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Như Thắng, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài "Về đường hyperbol tới hạn hệ elliptic Hamilton với trọng" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc Hà Mục lục Mở đầu 1 Giới thiệu số công cụ bổ trợ 1.1 Giới thiệu vấn đề 1.2 Toán tử Dirichlet-Laplace không gian hàm 1.2.1 Tính chất phổ 1.2.2 Các định lí nhúng 10 1.2.3 Tính giải nghiệm mạnh 12 1.2.4 Nguyên lí cực đại 12 Lí thuyết điểm tới hạn hàm số 13 1.3 Chứng minh định lí tồn nghiệm khơng tầm thường 15 2.1 Thiết lập giải tích hàm 15 2.2 Chứng minh định lí tồn nghiệm 19 2.2.1 Một số bổ đề 19 2.2.2 Chứng minh Định lí 25 Kết luận chung 28 Tài liệu tham khảo 29 Danh mục kí hiệu Rn Khơng gian vectơ Euclide n chiều H Đường Hyperbol tương ứng với hệ Hamilton với trọng C ∞ (Ω) Không gian hàm khả vi vô hạn Ω C0∞ (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục vô hạn Ω W k,p (Ω) Không gian Sobolev bậc k thang Lp H s (Ω) Không gian Sobolev bậc s Ω (−∆)s Lũy thừa cấp s toán tử Dirichlet- Laplace âm Es Miền xác định toán tử Laplace cấp phân số (−∆D )s (s, t)-nghiệm yếu Nghiệm yếu không gian E t × E s φn Hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λn toán tử dương −∆D En Khơng gian tuyến tính span{φ1 , , φn } sinh hàm riêng {φ1 , , φn } Mở đầu Lý chọn đề tài Các hệ elliptic phi tuyến thường phương trình tới hạn nhiều tượng, chẳng hạn biến đổi vật liệu, phương trình tiến hóa, phản ứng-khuếch tán, thiên văn học Có thể kể đến vài phương trình tiếng nghiên cứu có nhiều ứng dng nh phng trỡnh LotkaVolterra, Bose-Einstein, h Schrăodinger, h Lane-Emden Trong hầu hết tình huống, nghiệm phương trình thường mơ tả mật độ phân bố đó, nghiệm dương hệ có ý nghĩa vật lí vai trò quan trọng Đối với hệ Lane-Emden tốn tử Laplace tồn khơng gian:   −∆u = v p RN   −∆v = uq (1) N R nghiên cứu sâu rộng Giả thiết tiếng đường hyperbol Sobolev tới hạn 1 + =1− (2) 1+p 1+q N phân chia miền tồn không tồn nghiệm hệ Trong trường p > 0, q > : hợp nghiệm đối xứng radial, giả thiết Miditieri giải phần năm 1996 (với hạn chế p > 1, q > 1) Serrin Zou chứng minh hoàn thiện năm 1998 (với p > 0, q > 0) Giả thiết Lane-Emden tổng quát hạn chế tính đối xứng nghiệm đến toán mở Trong trường hợp miền Ω ⊂ RN bị chặn với biên trơn, kết tương tự chứng minh độc lập vào năm 1992 Clément, Ph., de Figueiredo, D.G., Mitidieri Peletier, L.A., van der Vorst, R.C.A.M Các tác giả chứng minh hệ   −∆u = v p Ω   −∆v = uq Ω (3) với điều kiện biên Dirichlet u = v = ∂Ω, phương trình (2) mơ tả đường hyperbol tới hạn hệ (3) Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu diễn giải chi tiết kết tồn vô hạn nghiệm không tầm thường tồn nghiệm dương hệ:  vp   −∆u = |x|α uq    −∆v = |x|β Ω (4) Ω với điều kiện biên Dirichlet u = v = ∂Ω α, β < N Được hướng dẫn TS Nguyễn Như Thắng, chọn đề tài: “Về đường hyperbol tới hạn hệ elliptic Hamilton với trọng” Nội dung luận văn gồm hai chương: • Chương Giới thiệu số công cụ bổ trợ Trong chương này, giới thiệu lịch sử vấn đề, khái niệm, kết trình bày kiến thức bổ trợ toán tử Dirichlet-Laplace định lí liên kết để thiết lập giải tích phù hợp hệ, trình bày chứng minh tồn nghiệm chương sau • Chương Chứng minh định lí tồn nghiệm khơng tầm thường Dựa thiết lập giải tích hàm chương trước, chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh định lí tồn vơ số nghiệm khơng tầm thường nghiệm dương hệ (4) 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm hiểu đường Hyperbol tới hạn hệ elliptic Hamilton với trọng yếu tố ảnh hưởng đến đường hyperbol Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết tìm hiểu tồn đường hyperbol tới hạn H mặt phẳng (p, q) (phụ thuộc vào α, β N) chứng minh (p, q) nằm đường hyperbol tới hạn tồn nghiệm không tầm thường Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Sự tồn đường hyperbol tới hạn mặt phẳng (p, q) (phụ thuộc vào α, β số chiều N ) cho (p, q) nằm đường hyperbol tới hạn tồn nghiệm khơng tầm thường • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm không tầm thường hệ hệ elliptic Hamilton số mũ (p, q) nằm đường hyperbol tới hạn Giả thuyết khoa học Trình bày chi tiết kết tồn nghiệm Áp dụng kết để chứng minh tồn nghiệm không tầm thường hệ hệ elliptic Hamilton số mũ (p, q) nằm đường hyperbol tới hạn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp biến phân trừu tượng thông qua dạng định lí liên kết thiết lập giải tích hàm phù hợp cho hệ dựa kết tốn tử Dirichlet-Laplace Các kết trình bày luận văn tham khảo chủ yếu từ báo [6] “Djairo G de Figueiredo · Ireneo Peral · Julio D Rossi: The critical hyperbola for a Hamiltonian elliptic system with weights Annali di Matematica (2008) 187:531–545” sách chuyên khảo [14]: Gilbarg, D., Trudinger, N.S (1983): Elliptic Partial Differential Equations of Second Order Springer, New York Bên cạnh đó, tác giả tham khảo số tài liệu khác liệt kê mục Tài liệu tham khảo Tác giả mong nhận đóng góp thầy, bạn đọc cho luận văn, để luận văn hồn thiện hơn, trở thành tài liệu tham khảo có ý nghĩa Chứng minh Ta có |u|q |x|β ∂H (x, u, v)φ = ∂u Ω |φ| Ω Từ bất đẳng thức Hăolder v Mnh (2) ta thu c H (x, u, v)φ ≤ C(||u||qE s )||φ||E s ∂u Ω Tương tự ta thu bất đẳng thức Hv Vì H xác định bị chặn E nên sử dụng lập luận thông thường dẫn đến H khả vi Fréchet với H liên tục Thực tế, sử dụng Mệnh đề (hoặc xem chi tiết [19]) ta thu H compact Xét hàm số I:E→R cho s uq+1 v p+1 + (p + 1)|x|α (q + 1)|x|β t A uA v − I(u, v) = Ω Ω s t A uA v − = Ω (2.2) H(x, u, v) Ω Với s, t > thỏa mãn s + t = 1, q+1< 2(N − β) 2(N − α) p + < N − 4s N − 4t Chú ý 2.1 Ta chọn (p, q) nằm đường hyperbol tới hạn (1.2) Hơn nữa, ∃s, t > nhờ giả thiết (1.4) Định lí số mũ Ta xét định nghĩa nghiệm yếu (4) Định nghĩa 2.1 Giả sử z = (u, v) ∈ E = E s × E t nghiệm yếu (s, t) (4) z điểm tới hạn I Nói cách khác, với (φ, ψ) ∈ E ta có s t φ A Av− A uA ψ + Ω vp ψ− |x|α t Ω Ω 17 uq φ=0 |x|β Ω (2.3) Bây giờ, ta chứng minh định lí đưa tính quy (s, t)-nghiệm yếu Thực tế, (s, t)-nghiệm yếu có đạo hàm cấp tương ứng Lr (Ω) đó, nghiệm mạnh Định lí 10 Nếu (u, v) ∈ E s × E t (s, t)-nghiệm yếu (4) u ∈ W 2,a (Ω), v ∈ W 2,b (Ω) với 1 Ω thu C(1 + ||zk ||E ) ≥ H(x, uk , vk ) Ω Do đó, |uk |q+1 |vk |p+1 + ≤ C(1 + ||uk ||E s + ||vk ||E t ) |x|β |x|α Ω Xét w = (φ, 0) với φ ∈ Ens k Từ (2.8) ta có s (uk )q |φ| + εk ||φ||E s |x|β t A φA vk ≤ Ω Ω 20 (2.9) Sử dụng bất ng thc Hăolder, |uk |q || ||uk ||qLq+1 (,|x| ) ||φ||Lq+1 (Ω,|x|−β ) β |x| Ω Vậy từ mệnh đề (2) ta suy | As φ, At vk | ≤ C||φ||E s ||uk ||qLq+1 (Ω,|x|−β ) + Do tính chất đối ngẫu (As phép đẳng cấu từ E s vào L2 ), ta thu ||vk ||E t ≤ C ||uk ||qLq+1 (Ω,|x|−β ) + (2.10) Tương tự, ta thu ||uk ||E s ≤ C ||vk ||pLp+1 (Ω,|x|−α ) + (2.11) Kết hợp (2.9), (2.10), (2.11) kéo theo q/(q+1) ||uk ||E s + ||vk ||E t ≤ C ||uk ||E s p/(p+1) + ||vk ||E t +1 Suy tất số mũ liên quan nhỏ 1, ta kết luận zk bị chặn Bây giờ, tính compact tính khả nghịch L ta rút dãy zk hội tụ E Thật vậy, ta lấy dãy zkj mà hội tụ yếu E , H compact, từ H (zkj ) hội tụ mạnh E Do đó, kết hợp với I(zkj ) → mạnh tính khả nghịch L, ta có điều phải chứng minh Ta xác định phân tích En Với k ∈ N n ≥ k đặt + Xn = (E1− ⊕ ⊕En− )⊕(E1+ ⊕ ⊕Ek−1 ) Yn = (Ek+ ⊕ ⊕En+ ), (2.12) Ej+ = span {(φj , A−t As φj )} Ej− = span {(φj , −A−t As φj )} Ta có En = Xn ⊕ Yn 21 Bổ đề 12 Tồn αk > ρk > cho với ∀n ≥ k inf z∈Sρk ∩Yn {I(z)} ≥ αk Sρk = {y ∈ E + | ||y|| = ρk } Hơn nữa, αk → ∞ k → ∞ Chứng minh Mệnh đề kéo theo E s nhúng Lγ (Ω, |x|− ) với γ thỏa mãn γ≤ 2(N − ) (N − 4s) Do đó, tồn a = a(γ) cho với ∀u ∈ E s ||u||Lγ (Ω,|x|− ) ≤ a||u||E s Với z ∈ Ek+ ⊕ ⊕ Ej+ ⊕ ta có min{s,t} ||z||E ≥ λk ||z||L2 (Ω) với λk → ∞, k → ∞ Xét z − (u, v) ∈ Yn Với số a độc lập n, tồn κ > cho 2/κ q+1−2/κ ||u||q+1 ≤ ||u||L2 (Ω) ||u||Lγ (Ω,|x|− ) ≤ Lq+1 (Ω,|x|−β ) a min{s,t}(2/κ) λk ||u||q+1 E Tương tự, ta thu ||v||p+1 Lp+1 (Ω,|x|−α ) ≤ a min{s,t}(2/θ) λk ||v||p+1 E với θ > Với z = (u, v) ta thu a I(z) ≥ ||z||2E − C min{s,t} min{2/κ,2/θ} λk p+1 max ||z||q+1 +1 E , ||z||E Ta chọn max{p+1,q+1} ρk min{s,t} min{2/κ,2/θ} = λk 22 thấy ρk → ∞ k → ∞ Với z ∈ Sρk ∩ Yn ta có I(z) ≥ ρ2k − C (2.13) Xác định αk vế phải (2.13) ý ρk αk không phụ thuộc với n ≥ k , ta kết thúc chứng minh bổ đề Ta xác định Tσ (z) = (σ µ−1 u, σ ν−1 v) (2.14) với µ ν thỏa mãn µ + ν < {µ(p + 1), ν(q + 1)} Đặc biệt, từ pq > (1.3), ta đặt µ = p + ν = q + ta có bất đẳng thức (p + 1) + (q + 1) < (p + 1)(q + 1) Bổ đề 13 Tồn Bk > 0,σk Mk > cho với ∀n ≥ k thỏa mãn σk > ρk , sup I ≤ Tρk (∂D∩En ) sup I ≤ Bk Tρk (D∩En ) D = z ∈ E − ⊕ E1+ ⊕ ⊕ Ek+ | ||z − || ≤ Mk , ||z + || ≤ σk Chứng minh Xét z = Tσ(u,v) với (u, v) ∈ D Ta viết z = (σ µ−1 u+ , σ ν−1 v + ) + (σ µ−1 u+ , σ ν−1 v − ) Sử dụng định nghĩa không gian E + E − ta có As , At v = σ µ+ν−2 (||z + ||2 − ||z − ||2 ) Ω 23 Mặt khác, dễ thấy H(x, z) = Ω σ + (q+1)(µ−1) |u + − p+1 + u− |q+1 (p+1)(ν−1) |v + v | +σ |x|β |x|α Ω Các hàm u+ u− phân tích k k − + u = γi φi + u˜− , θi φi u = i=1 i=1 với u ˜− trực giao với φi , i = 1, , k L2 (Ω) Sử dụng bất đẳng thc Hăolder ta thu c k ist (i2 + i γi ) = u+ + u− , As−t u+ i=1 ≤ ||u+ + u− ||Lq+1 (Ω,|x|−β ) ||As−t u+ || L q+1 β q (Ω,|x| q ) ≤ C(Ω, β)(||u+ + u− )||Lq+1 (Ω,|x|−β ) ||As−t u+ ||L2 (Ω) Khi định nghĩa As−t , tồn số Ck thỏa mãn k λis−t (θi2 + θi γi ) ≤ Ck (||u+ + u− )||Lq+1 (Ω,|x|−β ) ||u+ ||2L (Ω) (2.15) i=1 Tương tự, sử dụng v + = As−t u+ v − = −As−t u− kéo theo tồn số Ck cho k λis−t (θi2 − θi γi ) ≤ Ck (||v + + v − )||Lp+1 (Ω,|x|−α ) ||v + ||2L (Ω) (2.16) i=1 Tùy theo dấu k s−t i=1 (λi θi γi ) ta sử dụng (2.15) (2.16) để thu ||u+ ||L2 (Ω) ≤ Ck ||u+ + u− ||Lq+1 (Ω,|x|−β ) ||u+ ||L2 (Ω) ≤ Ck ||v + + v − ||Lp+1 (Ω,|x|−α ) Vậy I(z) ≤ σ µ+ν−2 (||z + ||2 − ||z − ||2 ) − Ck σ (q+1)(µ−1) ||u+ ||q+1 L2 (Ω) 24 I(z) ≤ σ µ+ν−2 (||z + ||2 − ||z − ||2 ) − Ck σ (p+1)(ν−1) ||u+ ||p+1 L2 (Ω) Vì vậy, ta chọn ||z + ||E = σk đủ lớn để thu σk > ρk điều kiện µ ν, I(z) ≤ Lấy ||z + || ≤ σk ||z − || = Mk , ta thu I(z) ≤ σkµ−ν−2 (σk2 − Mk2 ) chọn Mk đủ lớn ta tìm I(z) ≤ Bằng cách này, ta chứng minh xong phần thứ Bổ đề 13 Tiếp theo ta chọn Bk đủ lớn để bất đẳng thức thứ hai 2.2.2 Chứng minh Định lí Trước hết ta chứng minh tồn vô hạn nghiệm Với k ≥ 1, Bổ đề 12 13 cho phép ta sử dụng Định lí Hệ hàm số I có giá trị tới hạn ck ∈ [αk , Bk ] Vì αk → ∞ ta thu vô hạn giá trị tới hạn I Do tốn (4) có vơ số nghiệm Tiếp theo, ta chứng tỏ tồn nghiệm dương (4) Ta sử dụng ý tưởng [8] với thiết lập giải tích hàm Mục 2.1 Ta định nghĩa lại hàm ˜ : ∂Ω × R × R → R cho Hamilton Giả sử H    H(x, u, v) u, v ≥ 0,        H(x, 0, v) u ≤ 0, v ≥ 0, ˜ H(x, u, v) =   H(x, u, 0) u ≥ 0, v ≤ 0,        u, v ≤ 25 (2.17) Ta nhận thấy (u, v) nghiệm mạnh không tầm thường   −∆u = Hv (x, u, v) Ω,   −∆v = Hu (x, u, v) (2.18) với điều kiện biên Dirichlet Áp dụng Nguyên lý cực đại 6, ta thu u v nghiệm dương thực Ω Do đó, H(x, u, v) = H(x, u, v) Vậy (u, v) nghiệm mạnh dương (4) Để tìm nghiệm khơng tầm thường (2.18) ta sử dụng kết phần trước Bởi giả thiết hàm Hamilton H quy Ta phải sửa đổi chứng minh Định lí 1, cho hàm số I với Hamilton H thay H Ta nhận thấy chứng minh điều kiện Palais-Smale điều kiện hình học hồn tồn tương tự với vài thay đổi nhỏ, xem chi tiết [8] Chứng minh Định lí Sự tồn nghiệm mạnh dương Như kết trước, hàm số I thay đổi (với thay hàm H thành H ) có giá trị tới hạn c = Giả sử (U, V ) điểm tới hạn hàm I˜ ứng với giá trị tới hạn c Dễ thấy, ∆(−U ) = Hv (x, U, V ) ≥ ∆(−V ) = Hu (x, U, V ) ≥ Do đó, sử dụng Ngun lí cực trị yếu ta thu −U ≤ 0, −V ≤ hay U, V hàm không âm Để chứng minh tính dương nghiệm, ta cần nguyên lí cực trị mạnh Giả sử U khơng dương Bởi nguyên lí cực đại ta thu nghiệm mạnh dương (4) Kết luận Trong chương trình bày chứng minh tồn nghiệm hệ với trọng số mũ nằm đường hyperbol tới hạn H cách tiếp 26 cận biến phân, dựa lựa chọn thiết lập giải tích hàm phù hợp biến thể định lí liên kết 27 Kết luận chung Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nghiên cứu, tìm hiểu ảnh hưởng trọng số tới tính tồn nghiệm (vơ hạn nghiệm không tầm thường, nghiệm dương) hệ Hamilton Dựa tài liệu tham khảo [6], hệ thống hóa diễn giải chi tiết cách tiếp cận biến phân để chứng minh tồn nghiệm dựa định lí liên kết Kết luận văn Định lí 1, khẳng định tồn nghiệm số mũ (p, q) nằm đường hyperbol H cho phương trình (1.1) Trong trường hơp khơng có trọng số, đường hyperbol H đường hyperbol tới hạn, theo nghĩa, (p, q) nằm bên đường hyperbol này, ta chứng minh kết không tồn nghiệm hệ Khi có trọng số, kết khơng tồn nghiệm trường hợp tổng quát vấn đề mở, đường hyperbol H gọi đường hyperbol tới hạn hệ Hamilton (1) Các kết trình bày luận văn phát triển cho trường hợp hàm trọng tổng quát hơn, thay toán tử Laplace số dạng toán tử suy biến phù hợp 28 Tài liệu tham khảo [1] Bartsch, T, de Figueiredo, DG (1999): Infinitely many solutions of Nonlinear Elliptic Systerms Prog Nonlinear Diff Equ and Their Appl vol.35, pp 51-67 Birkhauser Verlag Basel/Switzerland [2] Brezis, H., Cabré, X (1998): Some simple nonlinear PDE’s without solution Boll Union Math Ital Ser B 8, 223–262 [3] Caffarelli, L., Kohn, R., Nirenberg, L.: First order interpolation inequalities with weights Comp Math 53, 259–275 (1984) [4] Clément, Ph., de Figueiredo, D.G., Mitidieri, E (1992): Positive solutions of semilinear elliptic systems Comm Part Diff Equ 17, 923– 940 [5] de Figueiredo, D.G (1982): Positive solutions of semilinear elliptic equations, Springer Lecture Notes in Mathematics, vol 957, pp 34– 87 [6] de Figueiredo D.G., Peral I., Rossi J.D.(2008): The critical hyperbola for a Hamiltonian elliptic system with weights Annali di Matematica 187:531–545 [7] de Figueiredo, D.G (1996): Semilinear elliptic systems: a survey of superlinear problems Resenhas IME-USP 2, 373–391 29 [8] de Figueiredo, D.G, Felmer, P.l (1994): On superquadratic elliptic systems Trans Amer Math Soc 343,99–116 [9] de Figueiredo, D.G (1998): Semilinear Elliptic Systems in Nonlinear Functional Analysis and Applications to Differential Equation In: Ambrosetti, A., Chang, K.C Ekeland I.(eds) pp 122–152, World Scientific [10] de Figueiredo, D.G., Ruf, B (2004): Ellitic Sysrem with nonlinearities of arbitrary growth Mediterr J Math (4), 417–431 [11] Felmer, P., Wang Z-Q (1998): Multiplicity for symmetric indefinite functionals: application to Hamiltonian and ellitic systems Topol Methods Nonlinear Anal 12(2), 207–226 [12] Garcia, A.J., Peral, I (1998): Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems J Diff Equ 144, 441–476 [13] Ghoussoub, N., Yuan, C (2000): Multiple solutions for quasi-linear involving the critical Sobolev and Hardy exponents Trans Amer Math Soc 352, 5703–5743 [14] Gilbarg, D., Trudinger, N.S (1983): Elliptic Partial Differential Equations of Second Order Springer, New York [15] Hulshof, J.L., Magenes, E (1972): Non-homogeneous Boundary Value Problems and Applications, Vol I and II Springer, Berlin [16] Lions, J.L., Magenes, E (1972): Non-homogeneous Boundary Value Problems Applications, Vol I and II Springer, Berlin 30 [17] Ni, W.M (1982): A nonlinear Dirichlet problem on the unit ball and its applications Indiana Univ Math J 31, 801–807 [18] Peletier, L.A., van der Vorst, R.C.A.M (1992): Existence and nonexistence of positive solutions of non-linear elliptic systems and the Biharmonic equation Diff Int Equ 5,747–767 [19] Rabinowitz, P.(1986): Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations, CBMS Regional Conf Ser.in Math., no 65, Amer Math Soc., Providence, R.I [20] van der Vorst, R (1991): Variational identities and applications to differential systems Arch Rat Mech Anal 116, 375–398 31 ... Thắng, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài "Về đường hyperbol tới hạn hệ elliptic Hamilton với trọng" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGỌC HÀ VỀ ĐƯỜNG HYPERBOL TỚI HẠN CỦA MỘT HỆ ELLIPTIC HAMILTON VỚI TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02... α, β < N Được hướng dẫn TS Nguyễn Như Thắng, chọn đề tài: Về đường hyperbol tới hạn hệ elliptic Hamilton với trọng Nội dung luận văn gồm hai chương: • Chương Giới thiệu số công cụ bổ trợ Trong