Các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ – nguyễn hoàng việt

THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường MỤC LỤC A HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU I Chứng minh véctơ II Tính độ dài véctơ BÀI TẬP B TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ tổng nhiều véctơ Dạng : Tìm vectơ đối hiệu hai véctơ Dạng : Chứng minh Đẳng thức véctơ Dạng : Tính độ dài véctơ Bài tập C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: Bài tập 10 Dạng 2: Tìm điểm thoả mãn đẳng thức véctơ cho trước: 11 Bài tập 13 Dạng 3: Phân tích véctơ theo hai véctơ khơng phương 14 Bài tập 18 Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 18 Bài tập 22 Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: 23 Bài tập 24 Dạng 6: Quỹ tích điểm 24 Bài tập 26 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG 26 Bài tập 29 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 30 1.1 Xác đinh véctơ 30 1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ 30 1.3 Tích véctơ với số 31 Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 1/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Chuû đề Nơi có ý chí nơi có đường PHÉP TOÁN VÉCTƠ  A HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU I Chứng minh véctơ Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi M,N trung điểm BC AH Chứng minh: OM  AN Giải: OA kéo dài cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC D A Ta có DC  AC,DB  AB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  BH / /DC,CH / /DB  BHCD hình bình hành  H,M,D N thẳng hàng MH=MD H O Trong tam giác DAH có OM//AH OM  AH Suy OM  AN C B M D Ví dụ 2:Cho hình vng ABCD Gọi M,N,P,Q điểm cạnh AB,BC,CD AM BN CP DQ DA cho     Chứng minh rằng: MN  QP,MQ  NP AB BC CD DA Giải: Từ giả thiết ta suy AM=BN=CP=DQ  MNPQ hình bình N C B hành  MN  QP MQ  NP P M A Q D Ví dụ 3:Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q trung điểm cạnh AB,BC,CD DA Chứng minh rằng: NP  MQ , PQ  NM Giải: Từ giả thiết ta suy MN=PQ MN//PQ chúng C N B AC song song với AC Vậy tứ giác P MNPQ hình bình hành nên ta có M NP  MQ , PQ  NM A D Q Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD Dựng AM  BA ;MN  DA ; NP  DC Chứng minh MP  DB ; MD  PB Giải: Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 2/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ta có B,A,M thẳng hàng AB=AM Do MN  DA  MN / /DA MN=DA Do NP  DC  AB  NP//AP NP=AB Hai tam giác ABC NPM có cạnh tương ứng song song Từ suy MP=DB MP//DB Vậy tứ giác MPDB hình bình hành  MP  DB ; MD  PB (đpcm) B P C A D M N II Tính độ dài véctơ Ví dụ 5: Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB, N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài véctơ sau: MD , MN Giải: Trong tam giác vng MAD ta có a a MD  MD  AB2  AM  a     2 3a Dựng hình vng ADNP , PM  Trong tam giác vng MNP ta có D N P C A B M a 13  3a  MN  MN  NP  PM  a      2 Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Tính độ dài véctơ AG , BI Giải: 2 2 2 a2 a Ta có AG  AG  AM  AB2  BM  a   3 BI  BI  BM  MI2  A a a a 21   I G B M C BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I trung điểm BC Dựng điểm B’ cho B'B  AG a) Chứng minh: BI  IC b) Gọi J trung điểm BB’ Chứng minh : BJ  IG Bài 2:Cho hình bình hành ABCD Gọi M,N trung điểm DC, AB Gọi P giao điểm của AM DB ; Q giao điểm CN DB Chứng minh DP  PQ  QB Bài 3:Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB =2CD Từ C vẽ CI  DA Chứng minh: a) DI  CB b) AI  IB  DC Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 3/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường B TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ tổng nhiều véctơ Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành tính chất tổng véctơ Ví dụ 1:Cho lục giác ABCDEF tâm O Chứng minh OA  OB  OC  OD  OE  OF  Ví dụ 2: Cho năm điểm A,B,C,D,E Hãy tính tổng AB  BC  CD  DE Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD a) Tìm tổng hai véctơ NC MC , AM CD , AD NC b) Chứng minh AM  AN  AB  AD Dạng : Tìm vectơ đối hiệu hai véctơ Phương pháp: 1) Tính tổng a  b ,ta làm hai bước sau: - Tìm véctơ đối b b - Tính tổng a  b   2) Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O,A,B Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.Các điểm M , N P trung điểm AB, AC BC a) Tìm hiệu AM  AN , MN  NC , MN  PN , BP  CP b) Phân tích AM theo hai véctơ MN MP Ví dụ 2: Cho bốn điểm A,B,C,D Chứng minh AB  CD  AC  BD Ví dụ 3: Cho hai điểm phân biệt A B Tìm điểm M thoả mãn điều kiện sau: a) MA  MB  BA b) MA  MB  AB c) MA  MB  Dạng : Chứng minh Đẳng thức véctơ Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , trung điểm để biến đổi vế thành vế đẳng thức biến đổi hai vế để hai vế ta biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh tương đương với đẳng thức véctơ công nhận Ví dụ 1: Cho bốn điểm A,B,C,D Chứng minh đẳng thức sau: a) AC  BD  AD  BC b) AB  CD  AD  CB c) AB  CD  AC  BD Ví dụ 2: Cho điểm A,B,C,D ,E, F tuỳ ý Chứng minh rằng: AC  BD  EF  AF  BC  ED Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh : BD  BA  OC  OB BC  BD  BA  Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tuỳ ý Chứng minh : AB  OA  OB MA  MC  MB  MD Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M N trung điểm AD BC Chứng minh a) AD  MB  NA  b) CD  CA  CB  Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 4/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 6: Cho điểm A,B,C,D ,E, F Chứng minh rằng: ( Bằng nhiều cách khác nhau) a) AB  CD  AD  CB b) AB  CD  AC  DB c) AB  AD  CB  CD d) AB  BC  CD  DA  e) AD  BE  CF  AE  BF  CD f) AC  DE  DC  CE  CB  AB Dạng : Tính độ dài véctơ Phương pháp: Đưa tổng hiệu véctơ véctơ có độ dài cạnh đa giác Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông A , biết AB=a ; AC=2a Tính AB  AC AB  AC Giải: + AB  AC  AD  AD  BC  a   2a   a A + AB  AC  CB  CB  a a 2a C B D Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB  BC CA  CB Giải: + AB  BC  AC  AC  a A + AB  AC  CB  CB  a B C Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có BAD  600 Gọi O giao điểm hai đường chéo Tính: a) AB  AD b) BA  BC ; c) OB  DC Giải: a) AB  AD  AC  AC  2AO  AB  BO2  a A b) BA  BC  CA  CA  a c) OB  DC  DO  DC  CO  CO  600 a B O D C Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 5/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông A , biết AB=a B  600 Tính AB  BC AB  AC Giải: + AB  BC  AC  AC  AB.tan 60  a + AB  AC  CB  CB  A a  2a cos600 a 600 C B D Ví dụ 5: Cho hình vng ABCD cạnh a , có O giao điểm hai đường chéo Tính: a) OA  CB b) AB  DC ; c) CD  DA Giải: a a) OA  CB  CO  CB  BO  BO  b) AB  DC  AB  AB  AB  2a B C O c) CD  DA  CD  CB  BD  BD  a A D Bài tập Bài 1:Cho tam giác ABC cạnh a đường cao AH.Tính AB  AC AB  BH , AB  AC Bài 2:Cho hình vng ABCD cạnh a Tính BC  AB ; AB  AC Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Với M tuỳ ý, Hãy chứng minh: MA  MC  MB  MD b) Chứng minh rằng: AB  AD = AB  AD Bài : Cho hai véctơ a b khác Khi thì: a) a  b  a  b b) a  b  a  b c) a  b  a  b Bài 5: Tìm tính chất tam giác ABC biết : CA  CB  CA  CB Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 6/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM trung tuyến, D trung điểm AM Chứng minh: a) 2DA  DB  DC  b) 2OA  OB  OC  4OD ( Với O tuỳ ý) Giải: a) Có DB  DC  2DM O A  2DA  DB  DC  2DA  2DM  DA  DM    b) OB  OC  2OM  2OA  OB  OC  2OA  2OM  OA  OM  4OD   D B C M Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N trung điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh rằng: AB  CD  2MN Giải: Có MN  MA  AB  BN C MN  MC  CD  DN B  2MN  MA  MC  AB  CD  BN  DN     M  2MN  AB  CD N D A Ví dụ 3:Gọi I,J trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: 2IJ  AC  BD  AD  BC Giải: IJ  IA  AC  CJ Có IJ  IB  BD  DJ  2IJ  IA  IB  AC  BD  CJ  DJ  AC  BD  Có   B  J I IJ  IA  AD  DJ IJ  IB  BC  CJ  2IJ  IA  IB  AD  BB  CJ  DJ  AD  BC  C   D A  Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Nếu G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’ 3GG '  AA'  BB'  CC' Giải: AA '  AG  GG '  G 'A ' AG  BG  CG  Có BB'  BG  GG '  G 'B' G 'A '  G 'B'  G 'C'  CC'  CG  GG '  G 'C'  AA'  BB'  CC'  AG  BG  CG  3GG '  G 'A'  G 'B'  G 'C'  3GG '  Chuyên đề: Véctơ    Năm học 2018 – 2019 Trang 7/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F trung điểm AB ,CD O trung điểm EF Chứng minh rằng: a) EF  AC  BD , b) OA  OB  OC  OD  c) MA  MB  MC  MC  4MO ( M điểm bất kì) Giải: EF  EA  AC  CF M a) Có C EF  EB  BD  DF B  2EF  EA  EB  AC  BD  CF  DF  AC  BD F E Vậy: EF  AC  BD O D A OA  OB  2OE b) Có OC  OD  2OF  OA  OB  OC  OD  OE  OF            MA  MO  OA c) Có MB  MO  OB MC  MO  OC    MA  MB  MC  MC  4MO  OA  OB  OC  OD  4MO MD  MO  OD Ví dụ 6: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P trung điểm BC,CA,AB Chứng minh rằng: AM  BN  CP  Giải: 3 A Có AM  AG; BN  BG;CP  CG 2  AM  BN  CP  AG  BG  CG  P   N G B C M Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD tâm O AO  a , BO  b a) Chứng minh rằng: AB  AD  2AO b) Biểu diễn véctơ sau AC , BD, AB , BC, CD ,DA theo a , b Giải: a) AB  AD  AC  2AO B b) AC  2AO  2a ; BD  2BO  2b b AB  OB  OA  BO  AO  a  b a O BC  OC  OB  AO  BO  a  b CD  BA  OA  OB  AO  BO  a  b A DA  OA  OD  AO  BO  a  b Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 C D Trang 8/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiến đường tròn tâm O , H trực tâm tam giác ,D điểm đối xứng A qua O a) Chứng minh tứ giác HCDB hình bình hành b) Chứng minh: HA  HD  2HO , HA  HB  HC  2HO , OA  OB  OC  OH c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH  3OG Từ có kết luận ba điểm O,H,G Giải: a) Có BH//DC vng góc với AC A CH//BD vng góc với AB Suy tứ giác HCDB hình bình hành b) Vì O trung điểm AD nên: HA  HD  2HO Vì tứ giác HCDB hình bình hành nên HB  HC  HD N G H  HA  HB  HC  HA  HD  2HO Từ đẳng thức HA  HB  HC  2HO Suy C M B HO  OA  HO  OB  HO  OC  2HO  OA  OB  OC  HO  OH O D  Cách khác: Có OA  OH  HA  OH  AH  OH  2OM  OH  OB  OC   OA  OB  OC  OH * c) Do G trọng tâm tam giác ABC nên OA  OB  OC  3OG Kết hợp với (*) ta có OH  3OG Hai véctơ OH OG phương nên ba điểm O,H,G thẳng hàng Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD   AB  DC b) Gọi O điểm nằm đoạn MN OM=2ON.Chứng minh rằng: OA  2OB  2OC  OD  Giải: MN  MA  AB  BN C a) N MN  AD  DC  CN B  2MN  MA  MD  AB  DC  BN  CN  AB  DC O a) Gọi M,N trung điểm AD, BC Chứng minh MN   Vây: MN     AB  DC   b) Có; OA  2OB  2OC  OD  OA  OD  OB  OC  2OM  4ON   A M D = 4NO  4ON  Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 9/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 10: Cho điểm A,B,C,D Gọi I ,F trung điểm BC , CD Chứng minh: AB  AI  FA  DA  3DB   Giải: AB  AI  FA  DA  DA  AB  FA  AI C Có I  DB  FI  DB  DB  DB 2 Do FI  DB  AB  AI  FA  DA  3DB  B F  A D Ví dụ 11: Cho tam giác ABC với G trọng tâm, H điểm đối xứng với B qua G Chứng minh: 1 a) AH  AC  AB ; CH   AB  AC 3 b) M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 Giải: 4 A a) Có AH  AB  BH  AB  BE  AB  AE  AB 3 41   AB   AC  AB    AB  AC H 3 3  E 2 1 CH  2MG  GA   AM   AB  AC   AB  AC 3 G 1 MH  MC  CH  BC  AB  AC b) Có: C B M 1  AC  AB  AB  AC  AC  AB 6               Bài tập Bài 1: Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng: AB  2AC  AD  3AC Bài 2: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Chứng minh rằng: MA  MB  MC  3MG với M Bài 3: Gọi M,N trung điểm AB CD tứ giác ABCD.Chứng minh rằng: 2MN  AC  BD  BC  AD Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu G G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’ AA'  BB'  CC'  3GG ' Suy điều kiện để hai tam giác có trọng tâm Bài 5: Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng: G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC   MA  MB  MC  3MG Bài 6: Cho điểm A,B,C,D M,N trung điểm AB, CD Chứng minh rằng: AD  BD  AC  BC  4MN Bài 7: Gọi O,G,H tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA  HB  HC  2HO b) HG  2GO Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 10/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC ; D E hai điểm cho: BD  DE  EC a) Chứng minh AB  AC  AD  AE b) Tính véctơ: AS  AB  AD  AC  AE theo AI c) Suy ba điểm A, I , S thẳng hàng Giải: a) Do I trung điểm BC nên I trung điểm DE A Nên AB  AC  2AI ; AD  AE  2AI Suy : AB  AC  AD  AE b) AS  AB  AD  AC  AE  AB  AC  AD  AE  4AI c) Có AS  4AI Suy ba điểm A, I , S thẳng hàng B D I E C Ví dụ 6:Cho tam giác ABC Đặt AB  u ; AC  v a) a) Gọi P điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u , v 1 b) Gọi Q R hai điểm định : AQ  AC ; AR  AB Tính RP ;RQ theo u , v c) Suy P,Q,R thẳng hàng Giải: AP  AB  BP  AB  2BC  AB  AC  AB A   AP  AB  2AC  u  2v b) RP  RA  AP   AB  AB  2AC   AB  2AC 3    RP   u  2v    u  v    1 1 RQ  RA  AQ   AB  AC   u  v 3 c) Nhận thấy RP  4RQ nên ba điểm P,Q,R thẳng hàng  R  u B Q v C P Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Lấy điểm I,J cho IA  2IB , 3JA  2JC  Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Giải: Xác định điểm I,J A Có 3JA  2JC   5JA  2AC   AJ  AC J Phân tích véctơ IG , I J qua hai véctơ AB, AC G B IG  AG  AI  AB  AC  2AB   AB  AC 3 6  I J  IA  AJ  2AB  AC =   AB  AC  I 5 3   I J  IG Vậy ba điểm I,G,J thẳng hàng  Chuyên đề: Véctơ  Năm học 2018 – 2019 C Trang 20/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 8: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P thoả mãn : MA  MB  , 3AN  2AC  , PB  2PC Chứng minh: M,N,P thẳng hàng Giải: Xác định điểm M,N,P A + M trung điểm AB + 3AN  2AC   AN  AC M N + PB  2PC  PB  2PB  2BC  BP  2BC P + Phân tích véctơ MN , MP theo hai véctơ AB, AC C B MN  MA  AN   AB  AC ; 1 MP  MA  AP   AB  AC  CP   AB  AC  BC   AB  AC  AC  AB 2   Hay : MP   AB  2AC    AB  AC   3MN     MP   AB  2AC    AB  AC   3MN Vậy ba điểm M,N,P thẳng hàng   Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm I,J thoả mãn 3IA  2IC  2ID  JA  2JB  2JC  Chứng minh I,J ,O thẳng hàng với O giao điểm AC BD Giải: Xác định điểm I, J B C + 3IA  2IC  2ID  I  3IA  2DC   3AI  2DC  AI  AB O J A + JA  2JB  2JC   JA  2BC  D AJ  2AD + Biểu diễn véctơ I J , IO qua véctơ AB, AD 2 1 I J  AJ  AI   AB  2AD ; IO  AO  AI  AB  AD  AB   AB  AD 3 2   Có : I J   AB  2AD    AB  AD   4IO Vậy ba điểm I,J ,O thẳng hàng   Ví dụ 10: Cho tam giác ABC điểm M thoả mãn AM  3AB  2AC Chứng minh B,M,C thẳng hàng Giải: F + Dựng véctơ AE  3AB,AF  2AC    AM  AE  AF  M MC  MA  AC   3AB  2AC  AC +     AC  AB   3BC A M B C Do MB  3BC nên ba điểm M,B,C thẳng hàng E Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 21/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 11: Cho tam giác ABC Gọi M,N điểm thuộc cạnh AB, AC cho AM  MB, AN  3NC điểm P xác định hệ thức 4PB  9PC  Gọi K trung điểm MN a) Chứng minh: AK  AB  AC b) Chứng minh: Ba điểm A,K,P thẳng hàng Giải: Xác định điểm P: 4PB  9PC  A  4PB  PB  BC   BP  BC 13 M 11 3  a) AK  AM  AN   AB  AC   AB  AC N K 23      b) Tìm AP B P 9 AP  AB  BP  AB  BC  AB  AC  AB 13 13 24   24 AP  AB  AC   AB  AC   AK Vì ba điểm A,K,P thẳng hàng 13 13 13   13   Ví dụ 12: Cho tam giác ABC Hai điểm M,N xác định hệ thức BC  MA  ; AB  NA  3AC  Chứng minh MN//AC Giải: + Xác định điểm M,N E Có AM  BC Tứ giác ABCM hình bình hành AB  NA  3AC   AN  AB  3AC A Dựng véctơ AE  AB , AF  3AC  AN  AE  AF MN  AN  AM  AB  3AC  BC    AB  3AC  AC  AB  2AC C M N C B Vậy: MN//AC F Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC Lấy điểm M,N,P cho MB  3MC  ; AN  3NC ; PA  PB  Chứng minh M,N,P thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC M điểm BC, N điểm AM P điểm AC cho BM AN AP   ;  Chứng minh ba điểm B,N,P thẳng hàng BC AC AC Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Giả sử I J điểm thoả mãn hệ thức IA  IB  IC  ; JA  JB  3JC  a) Dựng điểm I,J b) Chứng minh ba điểm I, G, B thẳng hàng c) Chứng minh I J// AC Bài 4: Cho tam giác ABC a) Dựng điểm I thoả mãn hệ thức: 2IA  IB  3IC  b) Giả sử điểm M,N biến thiên luôn thoả mãn hệ thức MN  2MA  MB  3MC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 22/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: Phương pháp: Để chứng minh M M’ trùng , ta lựa chọn hai hướng: Cách 1: Chứng minh MM'  Cách 2: Chứng minh OM  OM' với O điểm tuỳ ý Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M,N , P,Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: Hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm Giải: Với điểm G ta có C 1 N GA  GN  GP  GA  GB  GC  GC  GD B 2 1 P  GC  GA  GB  GA  GD M 2  GC  GM  GQ         A Vậy GA  GN  GP  GC  GM  GQ  Do Hai tam giác ANP CMQ có trọng tâm G D Q Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE,EF,FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải: Với điểm G ta có C N B 1 GM  GP  GR  GA  GB  GC  GD  GE  GF P 2 M       D      1 GB  GC  GD  GE  GF  GA 2  GN  GQ  GS   A Q S Vậy GM  GP  GR  GN  GQ  GS  Do Hai tam giác MPR NQS có trọng tâm G R F E Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Gọi I,J trung điểm AB CD a) Chứng minh rằng: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi P,Q trung điểm đoạn thẳng AC BD , M N trung điểm AD BC Chứng minh rằng: Ba đoạn thẳng IJ , PQ , MN có trung điểm Giải: a) Ta có: AC  BD  AB  BC  BA  AD  BC  AD C I J  IB  BC  CJ N Lại có I J  IA  AD  DJ     B  2I J  IA  IB  BC  AD  CJ  DJ  BC  AD Vì vậy: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Ba hình bình hành MPNQ , MINJ, MIPJ có đường chéo MN, PQ, IJ đồng quy trung điểm đường Chuyên đề: Véctơ P Q I A J G M Năm học 2018 – 2019 D Trang 23/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Bài tập Bài 1:Cho hai tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm tương ứng G , G’ a) Chứng minh rằng: AA'  BB'  CC'  3GG ' b) Từ suy AA'  BB'  CC'  hai tam giác có trọng tâm Bài 2: Cho hai tam giác ABC Lấy D,E,F cạnh BC,CA,AB cho BD CE AF    Chứng minh hai tam giác ABC DEF có trọng tâm BC CA AB Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M,N,P,Q,R trung điểm cạnh AB , BC , CD , DE , EA Chứng minh hai tam giác MPE NQR có trọng tâm Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh rằng: a) BB'  C'C  DD'  b) Hai tam giác BC’D B’CD’ có trọng tâm Dạng 6: Quỹ tích điểm Phương pháp: Đối với tốn quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau: - Nếu MA  MB với A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB - Nếu MC  k AB với A,B , C cho trước M thuộc đường tròn tâm C , bán kính k AB - Nếu MA  k.BC + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC k  + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC hướng với BC k  +M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng với BC k    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý mặt phẳng a) Chứng minh rằng: véctơ v  3MA  5MB  2MC khơng đổi b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: 3MA  2MB  2MC  MB  MC Giải: a) v  3MA  5MB  2MC v  MA  MB  MC  MB  3BA  2BC     I A véctơ không đổi b) Chọn điểm I cho 3IA  2IB  2IC  Khi 3MA  2MB  2MC  MB  MC        MI  IA  MI  IB  MI  IC  CB MI  CB  MI  BC Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R  BC Chuyên đề: Véctơ B K C Về mặt hình học: 3IA  2IB  2IC   3IA  2CB   AI  CB  I Ta cần vẽ đường tròn tâm I bán kính R  BC Năm học 2018 – 2019 Trang 24/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC Giải: a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC D trung điểm BC A Ta có: MA  MB  MC  MB  MC 3MG  2MD  MG  MD  MG  MD E Vậy tập hợp điểm M đường thẳng trung trực đoạn GD G d B D …… b) Chọn điểm I cho IA  3IB  2IC  Khi MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC     MI  IA  MI  IB  MI  IC A  K I  MA  MB  MA  MC  M C  B  2MI  IA  3IB  2IC  BA  CA 1 BA  CA  MI  BA  CA 2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I bán kính R  BA  CA  AD  MI  C D Về mặt hình học: Gọi K trung điểm AB Khi đó: IA  3IB  2IC   IA  IB  IB  IC     2IK  2BC   KI  BC  I 1 R  BA  CA  AB  AC  AD 2 Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD Với k số tuỳ ý thuộc đoạn  0;1 lấy điểm M,N cho AM  kAB , DN  kDC Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN k thay đổi Giải: Gọi P ,Q trung điểm AD BC Ta có PQ  AB  DC Vì P I trung điểm AD MN nên k PI  AM  DN  AB  DC  PI  kPQ 2 Ba điểm P,I Q thẳng hàng Do  k  nên tập hợp điểm I đoạn thẳng PQ   Chuyên đề: Véctơ C     Q B M A N I P Năm học 2018 – 2019 D Trang 25/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  MA  MC Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA  MB  MC b) MA  MC c) MA  MB  MC  AB  AC Bài 3: Cho hai điểm A B Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA  MB  MA  MB b) MA  MB  MA  MC MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Phân tích véctơ IC theo phương AI, BI b) Từ câu a) chứng minh hệ thức véctơ aIA  bIB  cIC  ( BC=a, CA= b, AB = c) Giải: a) Dựng hình bình hành IECF Viết IC  IE  I F A F IE CF B'C BC a a      IE   I A Ta có B' IA IA B'A BA c c b ( Do BB’ là đường phân giác góc B nên c I B'C BC a   ) B'A BA c C B a A' IF b b a b   IF   IB Vì IC   IA  IB Tương IB c c c c a b b) Từ kết IC   IA  IB  aIA  bIB  cIC  E c c Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Có trọng tâm G , M điểm tuỳ ý Gọi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy trung điểm đoạn ( gọi điểm O) b) Chứng minh M,O,G thẳng hàng Giải: a) Ta có MA  MA1  MA  MB  MC A MB  MB1  MA  MB  MC MC  MC1  MA  MB  MC Suy MA  MA1  MB  MB1  MC  MC1 Từ suy đoạn AA1 , BB1 , CC1 đồng quy trung điểm đoạn b) Từ kết câu a) ta có 2MO  MA  MB  MC  3MG Suy hai véctơ MO;MG phương hay M,O,G thẳng hàng Chuyên đề: Véctơ K C1 M J B1 G O B C I A1 Năm học 2018 – 2019 Trang 26/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , M điểm cạnh BC Chứng minh MC MB AM  AB  AC BC BC Giải: Vẽ MN//AC ( N  AB ) A Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN MC AN  AB  AB N AB BC NM MB NM  AC  AC AC BC C MC MB B M  AM  AN  NM  AB  AC BC BC Ví dụ 4: Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với cạnh BC, CA , AB M,N,P Chứng minh rằng: aIM  bIN  cIP  ( Trong BC=a , CA=b, AB=c) Giải: Gọi p nửa chu vi tan giác ABC , ta có: A AP  AN  p  a   N BM  BP  p  b P CN  CM  p  c b  c I MC MB Áp dụng ví dụ ta có IM  IB  IC BC BC a B C M  aIM   p  c  IB   p  b  IC  bIN   p  a  IC   p  c  IA Tương tự  Cộng vế đẳng thức ta cIP  p  b IA  p  a IB       aIM  bIN  cIP   2p  b  c  IA   2p  c  a  IB   2p  a  b  IC  aIA  bIB  cIC  Ví dụ 5: Cho tam giác ABC điểm M tam giác Đặt SMBC  Sa , SMCA  S ,SMAB  Sc Chứng minh rằng: Sa MA  Sb MB  Sc MC  b Giải: A 'C A 'B A MB  MC Áp dụng ví dụ ta có MA '  BC BC Ta lại có: 1 H MA '.CK CK.MA S Sb A 'C SMA 'C CK MAC       M A 'B SMA 'B MA '.BH BH BH.AM SMAB Sc A' 2 Sc Sb A 'C A 'B B E    ; BC Sb  Sc BC Sb  Sc K  MA '  C Sb Sc MB  MC * Sb  Sc Sb  Sc Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 27/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Sa Sa MA ' SMA 'C SMA 'B SMA 'C  SMA 'B  MA '       MA Thay vào (*) MA SMAC SMAB Sb  Sc SMAC  SMAB Sb  Sc Sa Sb Sc Ta  MA  MB  MC Suy Sa MA  Sb MB  Sc MC  Sb  Sc Sb  Sc Sb  Sc + Tính Ví dụ 6: Cho tam giác ABC tâm O M điểm tuỳ ý bên tam giác D,E,F hình chiếu M BC, CA, AB.Chứng minh rằng: MD  ME  MF  MO Giải: Gọi AA’ , BB’ , CC’ đường cao tam giác ABC A Khi SMBC MA  SMCA MB  SMAB.MC  Đặt S  SABC S MD SMBC Ta ln có: MD  AA '  MBC AA '  AO AA ' S S F B' C' SMCA ME SMCA ME  BB'  BB'  BO E BB' S S O M MF S SMAB MF  CC'  MAB CC'  CO CC' S S C Cộng vế với vế ba đẳng thức ta B A' D S 3S S  MD  ME  MF   MBC AO  MCA BO  MAB CO  2 S S S   SMBC MO  MA  SMCA MO  MB  SMAB MO  MC 2S 3  SMBC  SMCA  SMAB  MO  SMBC MA  SMCA MB  SMAB MC 2S 2S 3  MD  ME  MF  S.MO  MO 2S          Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Tìm điểm M thuộc (O) cho MA  MB  MC lớn , nhỏ Giải: Gọi I đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI , ta có IA  IB  IC  suy MA  MB  MC  MI , M A I M2 Vậy MA  MB  MC lớn M  M1 MA  MB  MC nhỏ M  M2 O B Trong M1 ,M2 giao điểm đường thẳng IO với đường tròn, M1 khác phía với I, M2 phía với I tâm O (Tam giác ABC nhọn nên I ln nằm ngồi đường tròn) Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD Hai điểm M,N thay đổi cạnh AB , CD cho: AM CN  Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN AB CD Giải: Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 C M1 Trang 28/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Từ giả thiết ta có: AM  kAB , CN  kCD ; (  k  ) Gọi P Q trung điểm AC BD k PI  PA  AM  MI  PI  AM  CN  AB  CD 2 PI  PC  CN  NI  Có PQ  PA  AB  BQ PQ  PC  CD  DQ  PQ     AB  CD   B M A Q I D P C N Suy PI  kPQ Chứng tỏ P,I,Q thẳng hàng Vì  k  nên I thuộc đoạn PQ Vậy :Tập hợp trung điểm I đoạn MN đoạn PQ Bài tập Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M,N,P,Q , R, S theo thứ tự trung điểm đoạn EA, AB BC,CD,MP,NQ Chứng minh RS//ED RS  ED Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi E, F trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh I,E,F thẳng hàng Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a Chứng minh ràng véctơ u  4MA  3MB  MC  2MD Không phụ thuộc vào vị trí M Tính độ dài véctơ u Bài 4: Cho tam giác ABC , hai điểm M,N thay đổi cho MN  4MA  MB  2MC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 5: Cho tứ giác ABCD Tìm tập hợp điểm M cho MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC - Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 29/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I VÉCTƠ 1.1 Xác đinh véctơ Câu 1: Cho tam giác ABC, xác định vectơ khác vectơ có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A.3 B C D Câu 2: Cho tứ giác ABCD Số vectơ khác có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác bằng: A B C D 12 Câu 3: Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác phương với OC có điểm đầu cuối đỉnh lục giác là: A B C D Câu 4: Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ OC có điểm đầu cuối đỉnh lục giác là: A B C D Câu 5: Cho AB ≠ điểm C, có điểm D thỏa mãn: AB  CD A B C D vô số Câu 6: Cho AB ≠ điểm C, có điểm D thỏa mãn: AB  CD A B C D vô số Câu 7: Điều kiện điều kiện cần đủ để AB  CD : A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành C AD BC có trung điểm D AB = CD AB // CD 1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3, BC=4 Độ dài AC là: A.5 B.6 C D Câu 9: Cho ba điểm phân biệt A, B, C Đẳng thức đúng? A CA  BA  BC B AB  AC  BC C AB + CA = CB D AB  BC  CA Câu 10: Cho hai điểm A B phân biệt Điều kiện để I trung điểm AB là: A IA = IB B IA  IB C IA  IB D AI  BI Câu 11: Cho ABC cân A, đường cao AH Câu sau sai: A AB  AC B HC  HB C AB  AC D AB  CB  CA Câu 12: Cho đường tròn tâm O hai tiếp tuyến song song với tiếp xúc với (O) hai điểm A B Câu sau đúng: A OA  OB B AB  OB C OA = –OB D AB = –BA Câu 13: Cho ABC , cạnh a Câu sau đúng: A AB  BC  CA B CA  AB C AB  BC  CA  a D CA  BC Câu 14: Cho đ.tròn tâm O , hai tiếp tuyến MT, MT ' (T T' hai tiếp điểm) Câu sau đúng: A MT  MT ' B MT  MT'  TT' C MT = MT  D OT  OT' Câu 15: Cho ABC, với M trung điểm BC Tìm câu đúng: A AM  MB  BA  B MA  MB  AB C MA  MB  MC C AB  AC  AM Câu 16: Cho ABC với M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tìm câu sai: Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 30/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 A AB  BC  AC  Nơi có ý chí nơi có đường C AP  BM  CN  C MN  NP  PM  D PB  MC  PM Câu 17: Gọi O tâm hình vng ABCD Vectơ vectơ CA ? A BC  AB B OA  OC C BA  DA D DC  CB Câu 18: Điều kiện điều kiện cần đủ để I trung điểm đoạn thẳng AB A I A = I B B IA  IB  C IA  IB  D IA  IB Câu 19: Cho ba điểm ABC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A AB + BC = AC B AB  BC  CA  C AB  BC  CA  BC D AB  CA  BC Câu 20: Cho bốn điểm ABCD Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A AB  CD  AD  CB B AB  BC  CD  DA C AB  BC  CD  DA D AB  AD  CD  CB Câu 21: Cho hình vng ABCD, mệnh đề sau, tìm mệnh đề ? A AB  BC B AB  CD C AC  BD D AD  CB Câu 22: Cho ABC điểm M thoả mãn điều kiện MA  MB  MC  Trong mệnh đề sau tìm đề sai : A MABC hình bình hành B AM  AB  AC C BA  BC  BM D MA  BC 1.3 Tích véctơ với số Câu 23: Cho ABC có G trọng tâm, I trung điểm BC Đẳng thức đúng? A GA  2GI B IG   IA C GB  GC  2GI D GB  GC  GA Câu 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm G M trung điểm BC Khẳng định sau sai? A AG  AM B AB  AC  3AG C GA  BG  CG D GB  GC  GM Câu 25: Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức đúng? A AC  BD  2BC B AC  BC  AB C AC  BD  2CD D AC  AD  CD Câu 26: Cho ABC vuông A với M trung điểm BC Câu sau đúng: BC A AM  MB  MC B MB  MC C MB  MC D AM  Câu 27: Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Trong mệnh đề sau tìm mệnh đề sai : A AB  2AM B AC  2NC C BC  2MN D CN   AC Câu 28: Cho hình vng ABCD có tâm O Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai 1 A AB  AD  2AO B AD  DO   CA C OA  OB  CB D AC  DB  2AB 2 Câu 29: Cho tam giác ABC, có điểm M thoả mãn : MA  MB  MC = A B C D vơ số Câu 30: Cho hình bình hành ABCD, có M giao điểm hai đường chéo Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A AB  BC  AC B AB  AD  AC C BA  BC  2BM D MA  MB  MC  MD Câu 31: Cho G trọng tâm tam giác ABC Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề : Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 31/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường A AB  AC  AG B BA  BC  3BG C CA  CB  CG D AB  AC  BC  Câu 32: Cho tam giác ABC điểm I thoả: IA  2IB Chọn mệnh đề đúng: CA  2CB CA  2CB A CI  B CI  3 CA  2CB C CI  CA  2CB D CI  3 Câu 33: Cho tam giác ABC có cạnh a Độ dài AB  AC a A 2a B a C a D Câu 34: Cho ABC Đặt a  BC, b  AC Các cặp vectơ sau phương? A 2a  b,a  2b B a  2b, 2a  b C 5a  b, 10a  2b D a  b,a  b Câu 35: Cho tam giác ABC I điểm IA  IB  IC  A Trung điểm AB B Trọng tâm tam giác ABC C Đỉnh thứ tư hình bình hành ACBI D Đỉnh thứ tư hình bình hành ABCI Câu 36: Cho hình bình hành ABCD, Điểm M thoả mãn 4AM  AB  AC  AD Khi đó, điểm M là: A Trung điêm AC B Điểm C C Trung điểm AB D Trung điểm AD Câu 37: Cho ba điểm ABC thoả mãn AB  2AC Chọn câu trả lời sai : A Ba điểm A,B,C thẳng hàng B Điểm B nằm AC đoạn AC C Điểm C trung điểm đoạn thẳng AB D Điểm B trung điểm đoạn thẳng AC Câu 38: Cho tam giác ABC Điểm N thoả mãn 2NA  NB  NC  là: A Trọng tâm tam giác ABC B Trung điểm đoạn BC C Trung điểm đoạn AK với K trung điểm đoạn BC D Đỉnh thứ tư hình bình hành nhận AB AC làm hai cạnh Câu 39:Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm I thoả mãn 2IB  3IC  A I trung điểm BC B I không thuộc BC C I nằm BC đoạn BC D I thuộc đoạn BC BI  IC Câu 40: Cho tam giác ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn MA  MB  MC  A Trọng tâm tam giác ABC B Đỉnh hình bình hành ABCM C Trùng điểm B D Trung điểm BC Câu 41: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Trên cạnh BC lấy hai điểm M,N cho BM=MN=NC Điểm G điểm tam giác AMN ? A Trực tâm B Tâm đường tròn ngoại tiếp C Tâm đường tròn nội tiếp D Trọng tâm Câu 42: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F trung điểm AB CD.Điểm G thoả mãn : GA  GB  GC  GD  Xét mệnh đề : I G trung điểm AC II G trung điểm EF Mệnh đề : A Chỉ I B Cả I,II C Chỉ II D I , II sai Câu 43: Cho tứ giác ABCD Điểm P thoả mãn hệ thức 3PA  PB  PC  Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 32/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường A P trung điểm AG , G trọng tâm tam giác ACD B P trung điểm AG , G trọng tâm tam giác BAD C P trung điểm AG , G trọng tâm tam giác BCD D P trung điểm AG , G trọng tâm tam giác ABC Câu 44: Tứ giác ABCD hình thoi có đáy AB CD A AD//BC B AB  kCD với k  \ 0 D AB  kCD với k0 Câu 45: Tứ giác ABCD hình thoi A AB  DC AC  BD C BA  CD BA  BC B BC  AD AC phân giác BAD D Các kết A,B,C Câu 46: Cho tam giác ABC có AB  AC  AB  AC tam giác ABC : A Cân B Đều C Vuông A D Vuông B Câu 47: Tứ giác ABCD hình thoả mãn hệ thức AD  BD  DC ? A Hình thang B Hình chữ nhật C Hình bình hành D.Hình vng Câu 48: Tứ giác ABCD thoả mãn hệ thức AC  kAD  AB tứ giác hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình thang D Hình thoi Câu 49: Gọi M,N lầ lượt trung điểm cạnh AD DC tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN BM cắt P Biết PM  BM ; AP  AN Tứ giác ABCD hình ? 5 A Hình bình hành B.Hình thang C Hình chữ nhật D Hình vng Câu 50: Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c trọng tâm G thoả mãn a GA  b2 GB  c2 GC  Tam giác ABC tam giác ? A Đều B Cân A C Thường D Vuông B Câu 51: Cho tam giác ABC cố định , M điểm di động thoả mãn MA  MB  MC  Khi tập hợp điểm M : A Đoạn thẳng B Đường thẳng C Đường tròn D Các kết A,B,C sai Câu 52: Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I trung điểm BC Tập hợp điểm M di đọng thoả mãn NA  NB  NC  NB  NC : A Đường trung trực IG B Đường thẳng qua G vng góc với IG C Đường thẳng qua G song song với IG D Đường tròn tâm G, bán kính IG Câu 53: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện sau: A Tập hợp điểm M đường trung trực EF ; E,F trung điểm AB, AC B Tập hợp điểm M đường thẳng qua A song song với BC AB C Tập hợp điểm M đường tròn tâm I, bán kính D Tập hợp điểm M đường thẳng vng góc với AC Câu 54: Cho hai điểm cố định A B Tập hợp điểm M thoả mãn MA  MB  MA  MB là: A Đường tròn đường kính AB Chun đề: Véctơ B Trung trực đoạn thẳng AB Năm học 2018 – 2019 Trang 33/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường C Đường tròn tâm I , bán kính AB D Nửa đường tròn đường kính AB Câu 55:Cho tam giác ABC Tâp hợp điểm M thoả mãn điều kiện MA  MB  MC  AB  AC là: A Đường tròn tâm G , đường kính BC B.Đường tròn tâm G, đường kính BC BC D Đường tròn tâm G , đường kính 3MG Câu 56: Cho hai véctơ a b không phương cho a  b  , a  b  Khi đó, véctơ C Đường tròn tâm G, bán kính a b có giá A Trùng C Vng góc với B Song song với D Cắt khơng vng góc với Câu 57: Cho tam giác ABC , tâm O, M điểm tam giác Hình chiếu M xuống ba cạnh tam giác D, E., F Hệ thức véctơ MD, ME ,MF,MO : A MD  ME  MF  MO B MD  ME  MF  MO 3 C MD  ME  MF  MO D MD  ME  MF  MO Câu 58: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng: 1 A OA  OB  OC  OH B OA  OB  OC  OH C OA  OB  OC  OH D OA  OB  OC  2OH Câu 59: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chọn khẳng định đúng: A HA  HB  HC  4OH B HA  HB  HC  2OH C HA  HB  HC  OH D HA  HB  HC  3OH Câu 60: Cho tam giác ABC với cạnh AB=c , BC=a, CA=b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Đẳng thức sau ? 1 A aIA  bIB  cIC  B IA  IB  IC  a b c C bIA  cIB  aIC  D aIA  bIB  cIC  Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 34/34 luyenthitracnghi ... Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019 Trang 3/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường B TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ tổng nhiều véctơ Phương... học 2018 – 2019 Trang 10/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Dạng 2: Tìm điểm thoả mãn đẳng thức véctơ cho trước: Phương Pháp: + Biến đổi đẳng thức cho dạng :... 2018 – 2019 Trang 13/34 luyenthitracnghi THẦY VIỆT  0905.193.688 Nơi có ý chí nơi có đường Dạng 3: Phân tích véctơ theo hai véctơ không phương Phương Pháp: * Quy tắc điểm AB  AO  OB ( phép