5 trọng tâm,trực tâm, tâm nội,ngoại tiếp

1 Giao điểm đường tam giác GIAO ĐIỂM CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Trọng tâm: Trọng tâm giao điểm đường trung tuyến tam giác Giả sử ABC có đường trung tuyến AM , BE , CF Khi đường trung tuyến đồng quy điểm G nằm tam giác, ta gọi G trọng tâm tam giác ABC A F E  GA  AM   Tính chất: GB  BE Hệ   GC  CF    AG  2GM ; GM  AM    BE  2GE; GE  BE   CF  2GF ; GF  CF  G B M C Nâng cao: Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến theo độ dài cạnh Giả sử ABC có BC  a; AC  b; AB  c ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A,B,C Khi ta có cơng thức:  b2  c2 a  ma     a  c2 b2   mb   2  b  c a2   mc   ( Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 – Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn Giao điểm đường tam giác Trực tâm: Trực tâm giao điểm đường cao tam giác A Chú ý: - Với ABC tam giác nhọn trực tâm H nằm tam giác - Với ABC tam giác vng trực tâm H trùng đỉnh góc vng - Với ABC tam giác tù trực tâm H nằm tam giác E F H D B C Một số kết cần nhớ với trực tâm: Kết 1: - ABC nhọn trực tâm H tâm đường tròn nội tiếp tam giác có đỉnh chân đường cao hạ từ đỉnh tam giác - ABC tù đỉnh góc tù ta giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác có đỉnh chân đường cao hạ từ đỉnh tam giác B A D E F H B D A F C E C H Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 – Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn Giao điểm đường tam giác Kết 2: ( Bài toán quen thuộc với học sinh lớp ) P, Q hình chiếu B, C lên đường A thẳng EF ta có: FP  EQ E Q F P H B D C Tâm đường tròn ngoại tiếp: Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm đường trung trực cạnh tam giác ( Tính chất đường trung trực: Mọi điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách đầu mút đoạn thẳng ) A E H O B C Giả sử ABC có O giao điểm đường trung trực cạnh AB, BC , CA Khi O gọi tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 – Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn Giao điểm đường tam giác Tính chất: - Điểm O cách đỉnh tam giác: OA  OB  OC  R ( R bán kính đường tròn ngoại tiếp ) - Nếu ABC vng A tâm O trùng trung điểm cạnh huyền BC Kết cần nhớ: BOC  2.BAC Với hình vẽ ta nhớ mơ hình hình vẽ khai thác nhiều, với H trực tâm BOE đường kính Khi ta có: AHCE hình bình hành a b c    2R sin A sin B sin C Tâm đường tròn nội tiếp: Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm đường phân giác tam giác A E F I B D C Tính chất: - Gọi I giao điểm đường phân giác ABC Khi đó: - Đường tròn  I  tiếp xúc với cạnh AB, AC , BC ABC F , E , D IE  IF  ID  r ( r tâm đường tròn nội tiếp ABC ) - Ta có cơng thức tính diện tích tam giác: S ABC  p.r ( P nửa chu vi tam giác ) - Do  I  tiếp xúc với cạnh tam giác, nên ta có: Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 – Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn Giao điểm đường tam giác  AE  AF  p  a   BF  BD  p  b CD  CE  p  c  ( P nửa chu vi tam giác ) Mở rộng nâng cao: Đường thẳng Euler: Trong tam giác trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm đường thẳng ta có hệ thức: OG  9R   a  b  c  Hệ thức Euler: Trong tam giác bán kính R đường tròn ngoại tiếp, bán kình r đường tròn nội tiếp khoảng cách d tâm đường tròn có hệ thức: d  R  2Rr ( Hệ thức Euler) Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 – Hãy theo đuổi đam mê, thành công theo đuổi bạn ... cần nhớ với trực tâm: Kết 1: - ABC nhọn trực tâm H tâm đường tròn nội tiếp tam giác có đỉnh chân đường cao hạ từ đỉnh tam giác - ABC tù đỉnh góc tù ta giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác có... Trong tam giác trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm đường thẳng ta có hệ thức: OG  9R   a  b  c  Hệ thức Euler: Trong tam giác bán kính R đường tròn ngoại tiếp, bán kình... B sin C Tâm đường tròn nội tiếp: Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm đường phân giác tam giác A E F I B D C Tính chất: - Gọi I giao điểm đường phân giác ABC Khi đó: - Đường tròn  I  tiếp xúc