Hình chữ nhật

Ngày soạn: Ngày dạy: HÌNH CHỮ NHẬT I Mục tiêu Kiến thức: Học sinh nắm định nghĩa hình chữ nhật , tính chất cảu hình chữ nhật, dấu hiệu nhận biết tứ giác hình chữ nhật - Học sinh biết vẽ hình chữ nhật, biết chứng minh tứ giác hình chữ nhật, biết vận dụng kiến thức hình chữ nhật để giải toán Kĩ năng: Rèn cho học sinh kĩ suy luận, vận dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song Thái độ: Học sinh có thái độ tích cực học tập II Chuẩn bị giáo viên học sinh Giáo viên: SGK, giáo án, máy tính , máy chiếu, đồ dùng dạy học Học sinh: SGK, ghi, đồ dùng học tập, thước kẻ, compa, êke, ôn tập lại kiến thức hình bình hành, hình thang cân, đối xứng trục III Tiến trình giảng A Tóm tắt lý thuyết A D B C Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng ◊ABCD ⇔  Aˆ = Bˆ = Cˆ = Dˆ ◊ABCD hình chữ nhật - Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền A BM = M nửa cạnh huyền, ta có: B C AC - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa BM = cạnh tam giác tam giác vng: B Bài tập dạng toán AC ⇒ ∆ABC vuông Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật AC ⊥ BD ≡ O Bài 1: Cho tứ giác ABCD có BC, CD, DA Chứng minh Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, a OE + OF + OG + OH nửa chu vi tứ giác ABCD B F E A b Tứ giác EFGH hình chữ nhật C O H G D Lời giải a Ta có 1 OE + OF+OG+OH= ( AB + BC + CD + DA) = PABCD 2 b Có EF//GH ⇒ ◊EFGH  EF=G hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết ) Mặt khác  AC ⊥ BD  EF ⊥ BD ⇒ ⇒ EH ⊥ EF ⇒ ◊EFGH  AC // EF BD//EH   A P C hình chữ nhật (dhnb) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC, BC lấy điểm P, Q cho AP = CQ Từ điểm P vẽ PM // BC ( M thuộc AB ) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật M Q B Lời giải ∆ABC Ta có vng cân PM // CQ ⇒ ◊PMCQ hình bình hành Cˆ = 900 ⇒ ◊PMCQ Mặt khác vuông cân ⇒ AP = PM AP = CQ ⇒ PM = CQ Theo giải thiết Lại có ⇒ Aˆ = 450 ⇒ ∆APM hình chữ nhật (dhnb) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, E thuộc AD, F thuộc AB Gọi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm EF, DF, BE, BD Chứng minh IN = KM Lời giải F A E B M I Ta chứng minh tứ giác IKMN hình chữ nhật K N C D +) Theo giả thiết có :  IM // KN (// FB)  ⇒ ◊IMKN   IM = KN = FB Là hình bình hành (dhnb) +)  IK // DA  IK ⊥ AB ⇒ ⇒ IM ⊥ IK ⇒ ◊IKMN   AD ⊥ AB  IM // AB hình chữ nhật ⇒ IN = KM Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Lấy điểm E cạnh AC cho AE = AB Gọi I trung điểm BE, kẻ EK ⊥ BC ( K ∈ BC ), EN ⊥ AH ( N ∈ AH ) A a Chứng minh tứ giác NEKH hình chữ nhật E N b I B H K C ˆ = IHC ˆ IHA Lời giải a Tứ giác NEKH có góc vng nên hình chữ nhật b Ta chứng minh ∆IHA, ∆IHK : Xét ∆IHA = ∆IHK AI = IK = IH cạnh chung , BE Cần thêm AH = HK AH = NE ( HK = NE ) ˆ = IHC ˆ ∆ABH = ∆AEN (ch − gn) ⇒ AH = NE ⇒ AH = HK ⇒ ∆IHA = ∆IHK ⇒ IHA Dạng 2: Vận dụng tính chất HCN để chứng minh qua hệ nhau, song song, vng góc, tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Áp dụng tính chất hình chữ nhật - Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 40cm, O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Tính độ dài đoạn DH, OH, OB 40 A B 25 Lời giải Áp dụng định lý pytago 30 O ⇒ BD = 50cm OA = OB = OC = OD = 25cm H C D AD − DH = AH = AO − HO = AO − ( DO − DH ) 302 − DH = 252 − (25 − DH ) ⇔ 302 − DH = 252 − (625 − 50 DH + DH ) ⇔ 50 DH = 900 Hay ⇒ DH = 18 ⇒ HO = 7CM S ABD = Cách 2: 1 AD AB = 600 = AH BD ⇒ 600 = 50 AH ⇒ AH = 24 ⇒ DH = 18cm 2 Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B đến AC I trung điểm AE, M trung điểm CD, H trung điểm BE A B I a Chứng minh CH // IM b Tính góc BIM H Lời giải E D M C a Ta có IH đường trung bình Lại có Ta có: Xét  MN // AB  ⇒ ◊IMCH  MN = AB   IH // AB  ∆AEB ⇒   IH = AB hình bình hành ⇒ CH // IM IH // MC , MC ⊥ BC ⇒ IH ⊥ BC ∆IBC có H trực tâm CH ⊥ BI ˆ = 900 ⇒ ⇒ BIM CH // IM Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm P tùy ý đường chéo BD Gọi M điểm đối xứng C qua P B C P M F I E b Gọi E, F hình chiếu M AD, AB Chứng minh AEMF hình chữ nhật O a Chứng minh AM // BD c EF // AC D A d E, F, P thẳng hàng Lời giải a Gọi O giao điểm BD AC Ta có OP đường trung bình b Xét ◊AEMF c Ta có , có ∆AMC ⇒ OP // AM Eˆ = Aˆ = Fˆ = 900 ⇒ ◊AEMF hình chữ nhật Aˆ = Dˆ1 ( slt ), Aˆ = Eˆ1 , Eˆ1 = Aˆ1 (dvi ) ⇒ Eˆ1 = Aˆ1 ⇒ EF //AC d E, F, P thẳng hàng Lại có EF // AC IE // AC , IP//AC ⇐ IP đường trung bình ⇒ IE // AC Theo tiên đề Ơclit E, F, P thẳng hàng ∆AMC Bài 8: Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB E AC F Vẽ hình chữ nhật DBHE CDFK Gọi I tâm hình chữ nhật BDEH, J tâm hình chữ nhật CDFK Chứng minh a AIDJ AHIJ hình chữ nhật b A, H, D thẳng hàng A trung điểm HK Lời giải E H a A I ◊AIDJ ◊AHIJ F K hình bình hành hình bình hành  AI // DJ ( Bˆ1 = Dˆ = Cˆ1 ) ⇒ AJ//DI(Cˆ = Dˆ = Bˆ1 )  HI // AJ ( HD // AC ) ⇒  AJ//HI(=ID) J B A, H , K 1 D b C thẳng hàng ⇒ ◊AIJK HBH  AI // KJ ( AI // DJ ) ⇒  AI = KJ ( AI = DJ ) Vậy qua A có HA // IJ, KA // IJ nên A, H, K thẳng hàng Dạng 3: Sử dụng định lý thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Cách giải: Sử dụng định lý tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng để chứng minh hình chứng minh tam giác vuông Bài 9: Cho tam giác ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh A a N IK ⊥ ED b EM = DN D I Lời giải E EK = DK = M a Ta có B K C  ∆EKD ( KE = KD ) BC ⇒   IE = ID ⇒ IK ⊥ ED (dpcm)  KB = KC ( K ∈ BC ) ⇒ KI  KI // BM // NC  b đường trung bình hình thang MBNC  IM = IN ⇒ ⇒ ME = DN IE = ID  Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh B a H ˆ = 900 IHK b Chu vi tam giác IHK nửa chu vi tam giác ABC I Lời giải A K C Ta có: ∆IAH , ∆KAH cân I K ˆ = IHA ˆ = AHK ˆ , HAK ˆ ⇒ IAH ˆ + AHK ˆ = 900 ⇒ IHK ˆ = 90 ⇒ IHA IH = b Ta có 1 1 AB, HK = BC , IK = BC ⇒ PIHK = PABC (dpcm) 2 2 Bài 11: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm hai tia Ax By Nối M với trung điểm P AB, đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a Tứ giác AMBQ hình A b Chứng minh CH vng góc với AB Q P c Chứng minh tam giác PIQ cân H Lời giải M B I b Ta có H trực tâm PI = PQ = c có C a Ta có tứ giác AMBQ hình chữ nhật ( hai đường chéo cắt trung điểm đường ) ∆ABC ⇒ CH ⊥ AB AB ⇒ ∆PIQ cân P Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật Bài 12: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải Ta có tứ giác EFGH hình bình hành B E Để EFGH trở thành hình chữ nhật : A F H ⇒ HEF=900 ⇒ HE ⊥ EF ⇒ AC ⊥ BD Vậy điều kiện hai đường chéo tứ giác ABCD vng góc với D G C Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tứ giác M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC, AC, AB a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành A b Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật P Q Lời giải O a Ta có MNPQ hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết ) M N B C b Để MNPQ trở thành hình bình hành O nằm đường cao xuất phát từ đỉnh A ∆ABC A P Q O M B N C Bài 14: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AB < CD ) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC, BC a Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng b Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật Lời giải B A M a Ta có thẳng hàng Q P N MN // AB, MP // AB, PQ // AB, PN // AB ⇒ M , N , P, Q b Hình thang ABPN có hai đường chéo nên hình thang cân C D A c để ABPN hình chữ nhật NP = AB hay CD = 3AB B Q M P N C D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy E điểm đối xứng với H qua I Gọi M, N trung điểm HC, CE Các đường thẳng AM, AN cắt HE G K a Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật A E K I N H Hướng dẫn a Chứng minh tứ giác AHCE hình bình hành, có AHC = 900 ⇒ ◊AHCE G B b Chứng minh HG = GK = KE C M b Chứng minh G, K trọng tâm tam giác AHC, AEC sử dụng tính chất đường chéo HCN Bài 2: Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H, gọi I, K, R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB Chứng minh A I E F N P a Tứ giác MNIK, PNRK hình chữ nhật O b P, N, R, K, M, I thuộc đường tròn R K B hình chữ nhật D M C c D, E, F thuộc đường tròn Lời giải OD = Ta có: 1 IM , OE = KN , OF= PR 2 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, M thuộc BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC a Định dạng tứ giác ADME A b Gọi I trung điểm DE Chứng minh A, I, M thẳng hàng D I c Điểm M nằm đâu BC DE nhỏ Tính DE trường hợp biết AB = 15cm, AC =20cm E B H M C Lời giải a Tứ giác ADME có góc vng nên hình chữ nhật c DE nhỏ AM nhỏ ( DE = AM ) AM nhỏ AM = AH M trùng H Xét ∆ABC vuông A ⇒ BC = 25cm( pytago) ⇒ S ABC = 1 AB AC 15.20 AH BC = AB AC ⇒ AH = = = 12(cm) 2 BC 25 10 ... Vẽ hình chữ nhật DBHE CDFK Gọi I tâm hình chữ nhật BDEH, J tâm hình chữ nhật CDFK Chứng minh a AIDJ AHIJ hình chữ nhật b A, H, D thẳng hàng A trung điểm HK Lời giải E H a A I ◊AIDJ ◊AHIJ F K hình. ..- Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông - Trong tam giác vuông,... ABPN hình chữ nhật Lời giải B A M a Ta có thẳng hàng Q P N MN // AB, MP // AB, PQ // AB, PN // AB ⇒ M , N , P, Q b Hình thang ABPN có hai đường chéo nên hình thang cân C D A c để ABPN hình chữ nhật