Hình chữ nhật

ƠN TẬP HÌNH CHỮ NHẬT A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc A B D C vng ABCD   Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ ABCD hình chữ nhật - Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông A - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM  AC nửa cạnh huyền, ta có: M B - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng BM  AC  ABC Nếu vuông B Bài tập C Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình E chiếu B lên AC Trên tia đối tia BM lấy điểm E cho BE  AC Chứng  minh ADE 45 A B O H D C Lời giải +) Ta có ABCD hình chữ nhật  AC BD BE  BED   Cân B  D1 E   Mặt khác OC OD  OCD ODC 1 1 ADE EDB    BDC  OBH  BOH  900 450 2 +) (góc ngồi tam giác) Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Trên đoạn AB, BC , CD, DA M , N , P, Q M A B lấy điểm Chứng minh rằng: E MN  NP  PQ  QM 2 AC I Q D Lời giải Gọi E , F , I trung điểm MQ, NP, QN Vì AQN , CPN tam giác vuông MQ 2 AE ; NP 2CF     VT 2( AE  EI  FI  FC ) 2 AC 1 IE  MN ; FI  PQ  2  Bài 3: N F C Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc A B đoạn BD , gọi F điểm đối xứng với A E qua E Gọi H , K hình chiếu O F lên BC , CD Chứng minh E , H , K I 1 thẳng hàng F H D M C K Lời giải Ta có HKCF hình chữ nhật  HK , FC cắt trung điểm đường  EI đường trung bình CFA  EI / / AC (1) +) Gọi M trung điểm DK nên EM đường trung bình hình thang ADKF     EM / / FK  EM  CD  DEK cân E  D1 K1 C1  EK / / AC (2)  E , I , K : thanghang    E , H , K H  IK  Từ (1)(2) thẳng hàng Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình A chiếu A lên B , gọi M , N B F trung điểm HD, BC CMR: AM  MN N H M D Lời giải Gọi E trung điểm AH nên ME đường trung bình 1 AHD  ME / / AD; ME  AD  BC BN  BEMN 2 Là hình bình hành  BE / / MN (1)  ME / / AD  ME  AB  +)  AD  AB C AMB có E trực tâm  BE  AM (2)  AM  MN (dpcm) Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD Qua điểm E A thuộc đoạn AC kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD, CD M N Dựng 1 P B E F M hình chữ nhật NDMF Chứng minh E trung điểm BF N D C Lời giải      +) A1 P1 B1 D1 C1  AEP cân E  AE EP +) Tương tự: AE EM  EM MP +) BPND hình bình hành  ND PB  PBMF : hinhbinhhanh       ND FM  EM MP Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD Lấy điểm E thuộc đoạn AD , điểm I, K thuộc đoạn CD A B N E M cho DI CK  AE Đường thẳng qua K vng góc với EK cắt đoạn BC M Chứng minh rằng: IM  IE D I H K C Lời giải +) Gọi N , H trung điểm EM , CD  NH đường trng bình hình thang EDCM  NH  CD HD HC   NI  NK  1  DI  IH HK  KC   HI HK  NIK    NK  NM  NI  NM 2   NK  EM  +) DI KC cân N  EIM vuông I  EI  MI Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD , kẻ BH  AC , gọi A B M trung điểm AH , K trung điểm I CD Chứng minh BM  MK M H D K Lời giải Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC , cắt BH I Ta có: MI / / AB / /CD M trung điểm AH nên MI đường trung bình   MI  AB ABH     IH IB  MI / / CK   MICK  MI  CK  CD  hình bình hành  MK / /CI (1) Trong MBC có I trực tâm  CI  MB(2)  BM  MK  dpcm Bài 8: C Cho hình chữ nhật ABCD , M điểm nằm hình chữ nhật, vẽ ME  AB E , MF  AD F , CK  AM E A B H F M K Chứng minh rằng: K O 2 a) ME  MF MA 2 2 b) MA  MC MB  MD D C G  c) BKD 90 Lời giải 2 2 a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật  MA EF  ME  MF EF  AM b) Gọi G giao điểm EM CD , H giao điểm F BC  Tứ giác DFMG, GMHC , EBHM hình chữ nhật, 2 2 2 2 Do MC MH  MG ; MB ME  MH ; MD MG  MF  đpcm c) Gọi O giao đường chéo AC BD  KO  AC BD    BK  DK  BKD 900 2 Bài 9: Cho H hình chiếu B đường chéo I A B AC hình chữ nhật ABCD , M K theo thứ tự trung điểm AH CD M a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm O H MO  IC AB IC Chứng minh D  b) Tính số đo BMK ? Lời giải Ta có: BIKC hình chữ nhật nên O trung điểm IC BK OM  CD Xét IMC vng, Ta có 1  MD  IC  BK  BMK 900 2 b) MBK có C 1  MD  IC  BK  BMK 900 2 MBK có Bài 10: Cho ABC vng cân A có AH A đường cao, Gọi M điểm K cạnh BC , I K hình chiếu vng góc M AB, AC Chứng minh I IHK vuông cân B M C H Lời giải Chứng minh AIMK hình chữ nhật Vì ABC vng cân A  AK IM BI   Mà BH HA  HBI HAK 45  BHI AHK  cgc   IH HK 0     Mà H  H 90  H1  H 90 Bài 11: Cho ABC vuông A  AC  AB  , đường A cao AH , HC lấy HD HA , đường  BC D cắt AC E E F a) Chứng minh AE  AB M b) M trung điểm BE , Tính AHM B Lời giải a) Chứng minh AE  AB Kẻ EF  AH  HDEF hình chữ nhật  HBA FAE ( gcg )  AB  AE H D C b) ABE vuông cân A BDE vuông cân  AM  D  MD  BE BE Từ ta có: AM MD   Xét AHM DHM (cgc)  H1 H 45 Bài 12: Cho ABC cân A , từ điểm D E H đáy BC , vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AB, AC E F , A Vẽ hình chữ nhật BDEH , CDFK Gọi I , J I tâm hình chữ nhật BDEH CDFK , M trung điểm AD F K M a) CMR: Trung điểm HK điểm có định J khơng phụ thuộc vào vị trí D BC B b) CMR: điểm I , J , M thẳng hàng D đường thẳng AD, HJ , KI đồng quy Lời giải       a) Ta có: B1 D1 mà B1 C1  D1 C1  ID / / AC Chứng minh tương tự ta có: JD / / AB Khi AIDJ hình bình hành  AJ / / ID, AJ ID  Chứng minh AHIJ hình bình hành  IJ / / AH ; IJ  AH ; IJ / / AK ; IJ  AK Khi điểm A, H , K thẳng hàng A trung điểm HK b) Tứ giác AIDJ hình bình hành  M trung điểm AD M nằm đường chéo hình bình hành Bài 13: C Cho hình chữ nhật ABCD E điểm nằm A B đường chéo AC , tia đối tia EB lấy F cho EF BE , Gọi M , N hình O chiếu F đường thẳng AD, ÐC D Chứng minh N C I a) DF / / AC ; MN / / BD 1 M b) điểm E , M , N thẳng hàng F Lời giải a) Dễ thấy OE đường trung bình BDF  DF / / OE  DF / / AC      A1 D (Đồng vị )  OAD cân  A1  D2  D1    IDM cân  D1 M  M   D (đồng vị)  MN / / BD b) I trung điểm DF  IE trung bình  IE / / BD mà MN / / BD Vậy M , N , E thẳng hàng Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD , điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B D ), Gọi M điểm đối xứng C qua P a) Chứng minh AM song song với BD b) Gọi E , F hình chiếu M AD AB Chứng mỉnh ba điểm E , F , P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA khơng phụ thuộc vào vị trí P B C P O M F I E A D K Lời giải a) Ta có: O trung điểm AC ( ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM (Vì M đối xứng với C qua P ) Nên OP đường trung bình ACM , OP / / AM  AM / / BD OP  AM b) Vì OP đường trunh bình ACM nên OP / / AM Do OP / / AI ; OP  AI  tứ giác AIPO hình bình hành  PI / / AC  1   KDA   ME / / AB AC Kẻ cắt K , ta có KAE EAM   Nên AE phân giác KAM , mặt khác AE  KM  AKM cân E trung điểm AMK  EI / / OA  EI / / AC MK , EI đường trung bình  2 Ta lại có E , I , F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) (3) ta có E , F , P thẳng hàng Bài 15: Cho ABC vuông A , đường cao AH , B I trung tuyến AM , Gọi D E theo thứ tự D H chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC , M K O Chứng minh a) AH DE A   b) HAB MAC 10 E C c) AM  DE d, DI / / EK , với I trung điểm HB, K , trung điểm HC Lời giải a) Tứ giác ADHE có góc vng nên hình chữ nhật  AH DE b) ABC vng A , Có AM đường trung tuyến  AM MB MC    ACM cân M  MAC C   Mặt khác HAB C Vì phụ với       HAC  HAB MAC C   c) Chứng minh AM  DE , ta có A1  E2 90 ,       Ta có: E2  A1 E2  A3 E2  E1 90    d) Ta có HEC có EK HK CK  EKC cân K  E3 C  A1  EK / / AM  KE  DE Chứng minh tương tự  DI  DE  DI / / EK Bài 16: Cho ABC có cạnh 4cm, M N A điểm chuyển động hai Q cạnh BC AC cho BM CN H a) Tính diện tích ABC N b) Xác định vị trí M N để độ dài P MN nhỏ Tìm độ dài nhỏ đó? B M Lời giải a) Tính độ dài đường cao: h a  2  cm  2 1 S ABC  a.h  4.2 4 3(cm ) 2 Suy diện tích: b) Gọi P Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB Ta có: ANQ vng Q , có A 600  AQ  AN 11 C PB  BM Tương tự MPB có A 1 1 AQ  PB  AN  BM   AN  NC   AC 2 2 Q Cộng theo vế ta được: Kẻ MH  QN Tứ giác MPQH hình chữ nhật Ta có: MN MH PQ  AB   AQ  BP   AB  N P 1 AC  AB 2 H MN  AB B Như M , N di chuyển ta ln có: O C MN  AB Và , Khi M , N trung điểm BC AC Suy vị trí M , N cần xác định trung điểm BC AC MN  AB 2cm Khi độ dài nhỏ MN là: Bài 17: Cho ABC nhọn, trực tâm H , giao điểm đường trung trực O , Gọi P, Q, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AB , AH , AC a) Chứng minh OPQN hình bình hành OPQN b) ABC cần có điều kiện để hình chữ nhật Lời giải a) Gọi O giao đường trung trực nên OP  AB, ON  AC Trong AHC , QN đường trung bình nên QN / / CH Và PO / / CH (cùng vng góc với AB ) Chứng minh tương tự ta có OPQN hình bình hành b) Tứ giác BCQN hình chữ nhật có đường chéo NC BQ  NC BQ 1  MP  NC  BQ 2 12 MP  BQ Xét MQB có MP đường trung tuyến nên Nên MBQ vuông M  MB  MQ 13